Arquivo 3_subespaço_inters_AL_EngCiv_2016

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Profa. Dra. Maria Inez Miguel - PUC/SP 
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Arquivo 3 - Subespaço vetorial - Intersecção de subespaços 
O tema tratado a seguir, refere-se à busca de novos espaços vetoriais sobre um corpo 𝐾. Sabemos que, para 
verificar se um conjunto é um espaço vetorial sobre um corpo 𝐾, em relação a um par de operações (adição e 
multiplicação por escalar), dá muito trabalho, considerando que precisamos verificar se as oito propriedades 
são válidas, quatro em relação a cada operação. Assim, buscaremos novos espaços vetoriais, considerando 
subconjuntos dos espaços vetoriais já conhecidos e adotando as operações que deram a esses conjuntos a 
estrutura de espaço vetorial sobre um corpo 𝐾. 
Consideremos o ℝ2, espaço vetorial sobre ℝ, em relação às operações usuais. Buscando subconjuntos de ℝ2, 
tais que, adotando as operações de adição e de multiplicação por escalar de ℝ2, continuam sendo 
espaços vetoriais sobre ℝ. Temos que 𝐴 = {(0,0)} ⊂ ℝ2 é, por si só, um espaço vetorial sobre ℝ. 
Além dele, toda reta que passa pela origem também é espaço vetorial sobre ℝ, em relação ao par de operações 
usuais do ℝ2, como também o próprio ℝ2, que é subconjunto dele mesmo. 
Os subconjuntos de um espaço vetorial sobre 𝐾, que continuam sendo espaços vetoriais sobre 𝐾, são 
denominados subespaços vetoriais. A vantagem desse conceito é a simplificação na hora de 
verificarmos se esses subconjuntos de espaços vetoriais, que adotam as operações de adição e 
multiplicação por escalar, são espaços vetoriais sobre 𝐾. A definição é apresentada a seguir. 
Definição: Seja 𝑉 um espaço vetorial sobre um corpo 𝐾. Sendo 𝐵 um subconjunto de 𝑉 (𝐵 ⊂ 𝑉) e 
adotando as operações de adição e de multiplicação por escalar de 𝑉, dizemos que 𝑩 é subespaço 
vetorial de 𝑽, se as seguintes condições forem satisfeitas: 
(i) 𝟎𝑽 ∈ 𝑩 
(ii) 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑩 ⇒ 𝒖 + 𝒗 ∈ 𝑩 (se 𝑢 e 𝑣 pertence a 𝐵, então 𝑢 + 𝑣 pertence a 𝐵) 
(iii) 𝒖 ∈ 𝑩 𝒆 𝜶 ∈ 𝑲 ⇒ 𝜶𝒖 ∈ 𝑩 (se 𝑢 pertence a 𝐵 e 𝛼 pertence a 𝐾, então 𝛼𝑢 pertence a 𝐵) 
A seguir algumas situações de aplicação da definição de subespaço vetorial. 
Situação 1. Verifique se 𝑊 = {(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) ∈ ℳ2(ℝ): 𝑎 + 𝑏 = 0 𝑒 2𝑐 − 𝑑 = 0} é subespaço vetorial. 
Inicialmente, vamos identificar os elementos do conjunto 𝑊. 
Resolvendo as condições: {
𝑎 + 𝑏 = 0
2𝑐 − 𝑑 = 0
~ {
𝑎 = −𝑏
𝑑 = 2𝑐
. Substituindo na matriz de 𝑊, temos: 
𝑊 = {(
−𝑏 𝑏
𝑐 2𝑐
) : 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ}. Dessa forma, identificamos os vetores de 𝑊. Por exemplo, a matriz 
(
−3 3
4 8
) ∈ 𝑊 , ou a matriz (
−1 1
5 10
) ∈ 𝑊. 
(i) (𝟎𝑽 ∈ 𝑩) a matriz 0𝑉 = (
0 0
0 0
) ∈ 𝑊, bastando considerar {
𝑏 = 0
𝑐 = 0
 em (
−𝑏 𝑏
𝑐 2𝑐
) 
(ii) (𝒖, 𝒗 ∈ 𝑩 ⇒ 𝒖 + 𝒗 ∈ 𝑩) Sendo: 𝑢 = (
−𝑏1 𝑏1
𝑐1 2𝑐1
) e 𝑣 = (
−𝑏2 𝑏2
𝑐2 2𝑐2
) ∈ 𝑊, temos que: 
 
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𝑢 + 𝑣 = (
−𝑏1 𝑏1
𝑐1 2𝑐1
) + (
−𝑏2 𝑏2
𝑐2 2𝑐2
) = (
−𝑏1 − 𝑏2 𝑏1 + 𝑏2
𝑐1 + 𝑐2 2𝑐1 + 2𝑐2
) = (
−(𝑏1 + 𝑏2) 𝑏1 + 𝑏2
𝑐1 + 𝑐2 2(𝑐1 + 𝑐2)
) ∈ 𝑊 
(iii) (𝒖 ∈ 𝑩 𝒆 𝜶 ∈ 𝑲 ⇒ 𝜶𝒖 ∈ 𝑩) Sendo 𝛼 ∈ ℝ 𝑒 𝑢 = (
−𝑏 𝑏
𝑐 2𝑐
) ∈ 𝑊, temos que: 
𝛼𝑢 = 𝛼 (
−𝑏 𝑏
𝑐 2𝑐
) = (
𝛼(−𝑏) 𝛼𝑏
𝛼𝑐 𝛼2𝑐
) = (
−𝛼𝑏 𝛼𝑏
𝛼𝑐 2𝛼𝑐
) ∈ 𝑊 
De (i) , (ii) e (iii) concluímos que 𝑊 é subespaço vetorial de ℳ2(ℝ). 
Situação 2. Verifique se 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑦 = 𝑥2} é subespaço vetorial de ℝ2. 
Identificando os vetores de 𝑊, temos: 𝑊 = {(𝑥, 𝑥2): 𝑥 ∈ ℝ}. 
Considerando 𝑢 = (2,4) e 𝑣 = (3,9) ∈ 𝑊, temos: 𝑢 + 𝑣 = (2,4) + (3,9) = (5,13) ∉ 𝑊. 
Logo, 𝑊 não é subespaço vetorial de ℝ2. 
Observação importante: Para demonstrarmos que um subconjunto de um espaço vetorial sobre K 
não é subespaço vetorial desse espaço, a única forma é exibir um contraexemplo (numérico) de algum 
item da definição, como fizemos na situação 2. 
Situação 3. Verifique se 𝑊 = {𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ ℂℝ ∶ 𝑎 + 𝑏 = 2} é subespaço vetorial de ℂℝ. 
Identificando os vetores de 𝑊, temos: 𝑊 = {(2 − 𝑏) + 𝑏𝑖: 𝑏 ∈ ℝ}. 
(i) ( 𝟎𝑽 ∈ 𝑩 ) como 0𝑉 = 0 + 0𝑖 ∈ ℂℝ , considerando (2 − 𝑏) + 𝑏𝑖 = 0 + 0𝑖 , temos que: 
{
2 − 𝑏 = 0
𝑏 = 0
 que é impossível. Logo, 0𝑉 = 0 + 0𝑖 ∉ 𝑊. 
Portanto, W não é subespaço vetorial de ℂℝ. 
Exercícios para estudo 
1. Verifique se 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ∶ 𝑥 − 𝑦 = 0 𝑒 𝑧 + 𝑦 = 0 } é subespaço vetorial de ℝ3. 
2. Verifique se 𝑊 = {𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ ℂℝ ∶ 𝑎 = 2𝑏} é subespaço vetorial de ℂℝ. 
3. Verifique se 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ∶ 𝑥 − 2𝑦 = 3 } é subespaço vetorial de ℝ2. 
4. Verifique se 𝑊 = {𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡2 ∈ ℘𝟐(ℝ) ∶ 𝑎 = 2𝑏 = 𝑎 − 𝑐} é subespaço vetorial de ℘𝟐(ℝ). 
A fim de encontrar mais subespaços vetoriais, consideremos a intersecção de dois subespaços vetoriais de um 
mesmo espaço vetorial sobre um corpo 𝐾. 
Exemplo 1. Considere os seguintes subespaços vetoriais de ℝ4 . Determine 𝑊 ∩ 𝑈 e mostre que o 
conjunto obtido é subespaço vetorial de ℝ4. 
𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4 ∶ 2𝑥 − 𝑧 = 𝑥 + 3𝑡 = 0 } e 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4 ∶ 𝑥 + 𝑦 + 3𝑡 = 0 } 
𝑊 ∩ 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4 ∶ 2𝑥 − 𝑧 = 𝑥 + 3𝑡 = 0 𝑒 𝑥 + 𝑦 + 3𝑡 = 0} 
Identificando os vetores de 𝑊 ∩ 𝑈: {
2𝑥 − 𝑧 = 0
𝑥 + 3𝑡 = 0
𝑥 + 𝑦 + 3𝑡 = 0
Resolvendo esse sistema (Método de Gauss): 
 
 
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 x y z t .. Assim, o sistema linear que estamos resolvendo 
 2 0 -1 0 0  é equivalente a (tem a mesma solução): 
 1 0 0 3 0 {
2𝑥 − 𝑧 = 0
2𝑦 + 𝑧 + 6𝑡 = 0
𝑧 + 6𝑡 = 0
 
 1 1 0 3 0 Como nesse sistema, que já está escalonado (de 
 0 1 6 0 uma equação para a seguinte tem pelo menos 
 2 1 6 0 uma variável a menos), temos 4 variáveis e 3 
 2 1 6 0  equações, ele é indeterminado com 4 − 3 = 1 
 0 1 6 0 variável livre (resposta só com uma variável). 
 2 12 0 Resolvendo "de baixo para cima": 
 1 6 0  𝑧 + 6𝑡 = 0 ⇒ 𝒛 = −𝟔𝒕 
 Substituindo na equação anterior, vem: 
 2𝑦 − 6𝑡 + 6𝑡 = 0 ⇒ 𝒚 = 𝟎 
 Substituindo na equação anterior, os dois valores, vem: 
 2𝑥 − (−6𝑡) = 0 ⇒ 2𝑥 + 6𝑡 = 0 ⇒ 𝒙 = −𝟑𝒕 
Logo, 2𝑥 − 𝑧 = 𝑥 + 3𝑡 = 0 𝑒 𝑥 + 𝑦 + 3𝑡 = 0 equivale a: 𝑧 = −6𝑡 , 𝑦 = 0 e 𝑥 = −3𝑡 
Substituindo esses valores na intersecção dos dois subespaços, temos: 
𝑊 ∩ 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4 ∶ 𝑧 = −6𝑡 , 𝑦 = 0 e 𝑥 = −3𝑡} = {(−3𝑡, 0, −6𝑡, 𝑡): 𝑡 ∈ ℝ} 
Apenas para complementar, como foi pedido, podemos mostrar que 𝑊 ∩ 𝑈 é subespaço vetorial de 
ℝ4 (não faz parte do exercício de determinar a intersecção dos subespaços, mostrar que é subespaço 
vetorial). 
(i) (𝟎𝑽 ∈ 𝑩) temos que 0𝑉 = (0,0,0) ∈ 𝑊 ∩ 𝑈, basta considerar 𝑡 = 0 em (−3𝑡, 0, −6𝑡, 𝑡) 
 
(ii) (𝒖, 𝒗 ∈ 𝑩 ⇒ 𝒖 + 𝒗 ∈ 𝑩) Sendo 𝑢 = (−3𝑡, 0, −6𝑡, 𝑡) e 𝑣 = (−3𝑠, 0, −6𝑠, 𝑠) ∈ 𝑊 ∩ 𝑈, temos: 
𝑢 + 𝑣 = (−3𝑡, 0, −6𝑡, 𝑡) + (−3𝑠, 0, −6𝑠, 𝑠) = (−3𝑡 − 3𝑠, 0, −6𝑡 − 6𝑠, 𝑡 + 𝑠) =
= (−3(𝑡 + 𝑠), 0, −6(𝑡 + 𝑠), 𝑡 + 𝑠) ∈ 𝑊 ∩ 𝑈 
 
(iii) (𝒖 ∈ 𝑩 𝒆 𝜶 ∈ 𝑲 ⇒ 𝜶𝒖 ∈ 𝑩) Sendo 𝛼 ∈ ℝ e 𝑢 = (−3𝑡, 0, −6𝑡, 𝑡) ∈ 𝑊 ∩ 𝑈, temos: 
𝛼𝑢 = 𝛼(−3𝑡, 0, −6𝑡, 𝑡) = (𝛼(−3𝑡), 𝛼0, 𝛼(−6𝑡), 𝛼𝑡) = (−3𝛼𝑡, 0, −6𝛼𝑡, 𝛼𝑡) ∈ 𝑊 ∩ 𝑈 
 
Portanto, de (i) , (ii) e (iii), temos que 𝑊 ∩ 𝑈 é subespaço vetorial de ℝ4. 
Exemplo 2. Considere os seguintes subespaços vetoriais de ℘𝟐(ℝ): 
𝑈 = {𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡2 ∈ ℘𝟐(ℝ) ∶ 𝑎 − 𝑏 = 𝑏 + 2𝑐 = 0} e 
 
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𝑊 = {𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡2 ∈ ℘𝟐(ℝ) ∶ 𝑎 + 𝑐 − 3𝑏 = 0}. Determine: 𝑊 ∩ 𝑈 em ℘𝟐(ℝ). 
Determinando os vetores de 𝑊 ∩ 𝑈: {
𝑎 − 𝑏 = 0
𝑏 + 2𝑐 = 0
𝑎 + 𝑐 − 3𝑏 = 0
Resolvendo o sistema (Método de Gauss): 
 a b c .. Assim, o sistema linear que estamos resolvendo 
 1 -1 0 0  é equivalente a (tem a mesma solução): 
 0 1 2 0 {
𝑎 − 𝑏 = 0
𝑏 + 2𝑐 = 0
5𝑐 = 0
 
 1 -3 1 0 Como nesse sistema, que já está escalonado (de 
 1 2 0  uma equação para a seguinte tem pelo menos 
 -2 1 0 uma variável a menos), temos 3 variáveis e 3 
 5 0  equações, ele é determinado (3 − 3 = 0) , ou 
seja, tem uma única solução. Como o sistema é homogêneo,ou seja, termo independente é zero, temos 
que a única solução é a trivial, isto é, 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0. Assim, 𝑊 ∩ 𝑈 = {0 + 0𝑡 + 0𝑡2}. 
 
 
Exercícios para estudo 
1. Sejam 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4 ∶ 2𝑥 − 𝑧 = 𝑦 + 2𝑥 = 0} e 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℝ4 ∶ 𝑥 − 𝑧 = 0} 
subespaços vetoriais de ℝ4. Determine 𝑊 ∩ 𝑈 e encontre três vetores distintos desse subespaço. 
 
2. Considere o espaço vetorial ℳ2(ℝ) sobre ℝ e os seguintes subespaços vetoriais: 
𝑈 = {(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) ∈ ℳ2(ℝ) ∶ 𝑎 − 2𝑏 = 𝑐 = 0} e 𝑊 = {(
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) ∈ ℳ2(ℝ) ∶ 𝑎 − 𝑐 = 𝑏 = 0}. 
Determine 𝑊 ∩ 𝑈 e determine três vetores distintos desse subespaço. 
 
3. Considere o espaço vetorial ℂℝ e os seguintes subespaços vetoriais: 
𝑈 = {𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ ℂℝ ∶ 𝑎 + 3𝑏 = 0} e 𝑊 = {𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ ℂℝ ∶ 𝑏 − 𝑎 = 0} 
Determine o subespaço vetorial de ℂℝ: 𝑊 ∩ 𝑈. 
 
4. Considere o espaço vetorial ℘𝟑(ℝ) e os seguintes subespaços vetoriais: 
𝑈 = {𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡2 + 𝑑𝑡3 ∈ ℘𝟑(ℝ) ∶ 𝑎 − 𝑏 = 𝑏 + 2𝑑 = 0} e 
𝑊 = {𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡2 + 𝑑𝑡3 ∈ ℘𝟑(ℝ) ∶ 𝑏 + 𝑐 − 3𝑑 = 0} 
Determine o subespaço vetorial de ℘𝟑(ℝ): 𝑊 ∩ 𝑈.