PDF_AEP_Modular_MatematicaBasica_Apostila_PedroEvaristo

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Modulares 
Matemática Básica 
Apostila 
Pedro Evaristo 
 
 
CAPÍTULO 01 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NATURAIS 
 
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...} 
 
N* = N – {0} 
 
INTEIROS 
 
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
Z* = Z – {0} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} (inteiros não nulos) 
 
Z+ = (0, 1, 2, 3, 4, ...} (inteiros não negativos) 
 
Z - = {..., -3, -2, -1, 0} (inteiros não positivos) 
 
MÚLTIPLOS NATURAIS 
R – Reais 
I – Irracionais 
Q – Racionais 
Z – Inteiros 
N – Naturais 
 
R 
N 
Z 
Q I 
 
Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número 
natural qualquer. Dessa forma, para obter todos os múltiplos naturais de um número 
N, basta multiplicar N por todos os naturais. 
 
EXEMPLOS: 
Como os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número 
pelos números naturais, então os múltiplos de 7 são: 
7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ... 
 
EXEMPLOS: 
 M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 
 M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} 
 M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, ...} 
 
 
 
LINK: 
Importante! 
 Um número tem infinitos múltiplos. 
 Zero é múltiplo de qualquer número natural. 
 Existem também os múltiplos negativos (não naturais) 
 
 OS 40 PRIMEIROS NOS PRIMOS 
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 
31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 
73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 
127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 
 
LINK: 
 
DIVISORES NATURAIS 
 
Um número natural é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0, ou 
seja, quando um número natural N for dividido por qualquer de seus divisores, o 
resultado dessa divisão terá que ser inteiro. 
 
EXEMPLOS: 
 D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 
 D(20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20} 
 M(35) = {1, 5, 7, 35} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRIMOS 
 
Um número natural é dito primo quando possui apenas dois divisores naturais 
distintos, onde um deles é o 1 e outro é ele mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entende a diferença entre “divisível”, “divisor” e 
“múltiplo”? 
É importante entender essas nomenclaturas! Observe que: 
 se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, ou 
seja, 15 é múltiplo de 3. 
 se 28 é divisível por 7, então 7 é divisor de 28, ou 
seja, 28 é múltiplo de 7. 
 
LINK: 
Interessante! 
 Se um número maior que dez terminar em 
{0, 2, 4, 5, 6, 8}, então não será primo. 
 Se um número maior que dez for primo, 
então terminará em {1, 3, 7, 9}. 
 
LINK: 
 
 
 
 
PRIMOS ENTRE SI 
 
Dois números inteiros A e B são ditos primos entre si quando seu maior divisor comum 
é o número 1, ou ainda, o m.d.c.(A, B) = 1 e o m.m.c.(A, B) = A.B. Sendo assim, A/B é 
sempre uma fração irredutível. 
 
EXEMPLO: 
Os números 14 e 45 são primos entre si, pois o maior divisor comum entre eles é 1, 
uma vez que o 14 é divisível pelos primos 2 e 7, enquanto o que o 45 só é divisível 
pelos primos 3 e 5. Dessa forma, a fração 14/45 será irredutível. 
Dois números consecutivos N e N+1, sempre serão primos 
entre si. 
LINK: 
 
REGRAS DE DIVISIBILIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
3 
4 
5 
6 
8 
9 
10 
11 
12 
15 
25 
Basta que o número seja par 
A soma dos algarismos é um no divisível por 3 
Os dois últimos algarismos formam um no divisível por 4 
Termina em 0 ou 5 
O número satisfaz a regra do 2 e do 3 
Os três últimos algarismos formam um no divisível por 8 
A soma dos algarismos é um no divisível por 9 
Termina em 0 
A diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par (ou somar e 
subtrair os algarismos alternadamente) resulta em um no div. por 11. 
O número satisfaz a regra do 4 e do 3 
O número satisfaz a regra do 5 e do 3 
Termina sempre em 00, 25, 50 e 75 
7 Separa-se o algarismo das unidades do restante, então a diferença entre esse número e 
o dobro do algarismo das unidades, tem que ser divisível por 7. 
 a 
eb 
 a 
 b 
ra 
da 
pb 
ob 
a2 
a3 
s4 
s5 
e6 
a8 
e9 
 10 
u11 
 12 
u15 
N = ABCD 
Se D é par então N  M(2) 
N = ABCD 
Se (A+B+C+D)/3  Z então N  M(3) 
N = ABCD 
Se CD/4  Z então N  M(4) 
N = ABCD 
Se D = 0 ou 5 então N  M(5) 
N = ABCD 
Se N M(2) e N M(3) então N  M(6) 
N = ABCD 
Se (ABC–2D)/7  Z então N  M(7) 
N = ABCD 
Se BCD/8  Z então N  M(8) 
N = ABCD 
Se (A+B+C+D)/9  Z então N  M(9) 
N = ABCD 
Se D = 0 então N  M(10) 
N = ABCD 
Se (A–B+C–D)/11  Z então N  M(11) 
N = ABCD 
Se N M(3) e N M(4) então N  M(12) 
N = ABCD 
Se N M(3) e N M(5) então N  M(15) 
N = ABCD 
Se AB/25  Z então N  M(25) 
 
EXEMPLO: 
Verifique se o número N = 27720 é divisível pelos naturais de 2 a 12. 
 
SOLUÇÃO: 
 Como 27720 é par, então ele é divisível por 2; 
 A soma dos algarismos é 2+7+7+2+0 = 18. Como 18 é divisível por 3, N também é 
divisível por 3; 
 Os dois últimos algarismos formam o número 20, que é divisível por 4, logo N 
também é divisível por 4; 
 Como N termina em 0 ele é divisível por 5; 
 Como N é múltiplo de 2 e 3, ele será divisível por 6; 
 Aplicando a regra do 7, temos 2772  2.0 = 2772, 277  2.2 = 273 e 27  2.3 = 21, 
que é divisível por 7; 
 Os três últimos algarismos formam o número 720, que é divisível por 8, logo N 
também é divisível por 8; 
 A soma dos algarismos é 18. Como 18 é divisível por 9, N também é divisível por 
9; 
 Como N termina em 0 ele é divisível por 10; 
 Somando os algarismos alternando o sinal temos 27+72+0 = 0, que é divisível 
por 11; 
 Como N é múltiplo de 3 e 4, ele será divisível por 12. 
 
 
INTERVALOS 
 
No conjunto dos números reais, definem-se alguns subconjuntos chamados de 
intervalos, sejam a e b reais a < b temos: 
SSUUBBCCOONNJJUUNNTTOO 
DDEE RR 
RREEPPRREESSEENNTTAAÇÇÃÃOO NNAA 
 RREETTAA RREEAALL 
NNOOMMEENNCCLLAATTUURRAA 
NNOOTTAAÇÇÃÃOO DDEE 
IINNTTEERRVVAALLOO 
{x  R/ axb} 
 
 
 
Intervalo fechado 
de extremos a e b 
[a; b] 
 
{x  R/ a<x<b} 
 
 
 
Intervalo aberto de 
extremos a e b 
]a; b[ 
{x  R/ ax<b} 
 
 
 
Intervalo fechado 
à esquerda e 
aberto à direita: 
seus extremos são 
a e b 
[a; b[ 
{x  R/a<x b} 
 Intervalo aberto à 
esquerda e 
fechado à direita: 
seus extremos são 
a e b 
]a; b] 
{x  R/ x  a} Intervalo infinito [a; + [ 
{x  R/ x > a} Intervalo infinito ]a; + [ 
{x  R/ x  b} Intervalo infinito ]- ; b] 
{x  R/ x < b} Intervalo infinito ]- ; b[ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) 
 
a b 
a b 
a b 
a b 
a 
a 
b 
b 
LINK: 
IMPORTANTE! 
Número de páginas de um livro, para os seguintes 
intervalos: 
 De 30 à 40  11 páginas (40 – 30 + 1 ou 40 – 29, inclui 
os extremos) 
 Entre 30 e 40  9 páginas (40 – 30 – 1 ou 39 – 30, não 
inclui os extremos) 
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de 
mínimo múltiplo comum desses números. Podemos usar a abreviação m.m.c. 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
Vamos achar os múltiplos comuns de 10 e 15. 
 M(10) = {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60,...} 
 M(15) = {0, 15, 30, 45, 60, 75,...} 
 Múltiplos comuns de 10 e 15 = {0, 30, 60, 90,...} 
Dentre os múltiplos desses números, percebe-se que o 30 é menor natural positivo 
que é múltiplo comum. 
Dessa forma, podemos chamar o 30 de mínimo múltiplo comum de 10 e 15, ou seja, 
mmc(10, 15) = 30. 
Dois ou mais números naturais sempre 
possuem múltiplos comuns a eles. 
CÁLCULO DO M.M.C. 
Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. 
Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30: 
 1º) decompomos os números em fatores primos 
 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns: 
 12 = 2 x 2 x 3 
 30 = 2 x 3 x 5 
 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 
 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 
 12 = 22x 3 
 30 = 2 x 3 x 5 
 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5 
 
 
 
PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA 
Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, 
num dispositivo como mostra a figura ao lado, onde dividimos os 
números por um mesmo número primo até que pelo menos um deles 
possa ser dividido. O produto dos fatores primos que obtemos nessa 
decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo 
do m.m.c.(15,24,60). 
Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 
 
 
PROPRIEDADE DO M.M.C. 
Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste 
caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe: 
 
m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 
 
 
 
O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é 
o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, 
cada um elevado ao maior expoente. 
Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de 
todos os outros, então 
ele é o m.m.c. dos números dados. 
 
Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, 
que é o produto de 4 por 15. Observe: 
 m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 
 
 
 
 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) 
Dois números naturais sempre têm divisores comuns. 
Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. 
Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) 
= 6. 
 
 
Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o 
produto desses números. 
O maior divisor comum de dois ou mais números é 
chamado de máximo divisor comum desses números. 
Usamos a abreviação m.d.c. 
EXEMPLOS: 
Vamos achar os divisores comuns de 30 e 24. 
 D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 30} 
 D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} 
 Divisores comuns de 30 e 24 = {1, 2, 3, 6} 
Dentre os divisores desses números, percebe-se que o 6 é maior natural positivo que 
é divisor comum. 
Dessa forma, podemos chamar o 6 de máximo múltiplo comum de 30 e 24, ou seja, 
mdc(30, 24) = 6. 
CÁLCULO DO M.D.C. 
 Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a 
decomposição desses números em fatores primos. 
1) decompomos os números em fatores primos; 
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. 
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 
36 = 2 x 2 x 3 x 3 
90 = 2 x 3 x 3 x 5 
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 
Portanto m.d.c.(36,90) = 18. 
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 
36 = 22 x 32 
90 = 2 x 32 x5 
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18. 
 
 
 
PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA 
Esse processo de decomposição funciona de forma semelhante ao 
m.m.c., onde todos os números são decompostos ao mesmo tempo, 
num dispositivo como mostra a figura ao lado. Mas nesse caso, a 
divisão só poderá ser feita se todos os números ferem divisíveis ao 
mesmo tempo por cada um dos números primos. O produto dos fatores primos comuns 
que obtemos nessa decomposição é o m.d.c. desses números. Ao lado vemos o 
cálculo do m.d.c.(15,24,60). 
Portanto, m.d.c.(24,30,60) = 2 x 3 = 6 
24, 30, 60 2 
12, 15, 30 3 
 4, 5, 10 
O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é 
o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado 
ao menor expoente. 
 
LINK: 
EM UMA QUESTÃO, COMO DIFERENCIAR MMC E MDC? 
 Quando a questão remeter a uma situação cíclica, pense 
em MMC. 
 Quando a questão quiser dividir em partes iguais de 
maior tamanho possível, pense em MDC. 
 
RACIONAIS 
 
Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de fração. 
Q = {x = 
q
p
/ p  Z e q  Z*} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS: 
 NATURAIS E INTEIROS 
Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como fração. Afinal, eles 
representam divisões exatas. 
Ex.: 
5
10
1
2
2  
8
0
1
0
0  
5
30
1
6
6



 
2
18
1
9
981  
 
 DECIMAIS 
Esse número pode ser escrito na forma fracionária colocando-se o número sem 
vírgula sobre 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais, ou seja, 
após a virgula. 
Ex.: 
 
10
4
4,0  
100
12
12,0  
1000
8125
125,8  
10
15
100
225
25,2  
DEMONSTRAÇÃO 
Seja x = 0,12 
então 100.x = 12 
ou seja x = 12100 
 
 DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES 
Nem toda dízima pode ser escrita em forma de fração, só as periódicas. No caso 
das simples, elas possuem apenas uma parte periódica, ou seja, que se repete. 
Para transformar em fração, basta escrever o número que se repete, sobre tantos 
noves quantos forem os algarismos que se repetem. 
Ex.: 
9
4
...444,04,0  
99
12
...121212,012,0  
LINK: 
POR QUE O DENOMINADOR 
NÃO PODE SER ZERO? 
Observe, ao lado, que quando 
isso ocorre, gera uma situação 
impossível ou indeterminada. 
999
125
....125125125,0125,0  
9999
5526
....265526552655,05526,0  
 
DEMONSTRAÇÃO
Seja 
 x = 0,222... 
então 
 10x = 2,222... 
10x = 2 + 0,222... 
 10x = 2 + x 
 9x = 2 
Logo 
 x = 29 
 
Seja 
 x = 0,212121... 
então 
 100x = 21,212121... 
100x = 21 + 
0,212121... 
 100x = 21 + x 
 99x = 21 
Logo 
 x = 2199 
 
Seja 
 x = 0,218218218... 
então 
 1000x = 
218,218218218... 
1000x = 218 + 
0,218218218... 
 1000x = 218 + x 
 999x = 218 
Logo 
 x = 218999 
 
 
 DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTAS 
No caso das compostas, elas possuem um parte não periódica (que não se repete) 
e outra parte periódica (que se repete). Para transformar em uma fração 
equivalente você pode escrever a parte não periódica seguida da parte 
periódica, menos a parte não periódica, tudo sobre tantos noves quantos forem os 
algarismos que se repetem seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos 
que estão após a vírgula. 
 
EXEMPLO: 
90
221
90
24245
...4555,254,2 

 
900
4846
900
5385384
...38444,5438,5 

 
990
804
990
8812
...8121212,0128,0 

 
990
5331
990
535384
...3848484,5843,5 

 
9
20
9
222
...222,22,2 

 
999
5379
999
55384
...384384384,5384,5 

 
 
IRRACIONAIS 
Como o próprio nome já sugere são aqueles números que não racionais, ou seja, 
que não podem ser escritos na forma de fração, tais como as dízimas não 
periódicas. 
I = {x  
q
p
/ p  Z e q  Z*} ou I = R – Q 
 
EXEMPLOS: 
 DÍZIMAS NÃO PERIÓDICAS 
Observe que a raiz de um inteiro que não é quadrado perfeito sempre será uma 
dízima não periódica. 
2 = 1,414213562... 
3 = 1,732050807... 
5 = 2,236067977... 
  = 3,141592658... 
 
 
REAIS 
 
É o conjunto formado pela reunião de todos os conjuntos racionais e irracionais. 
Dessa forma, temos: 
R = Q  I 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
01. Dois fiscais, Pedro e Diego, visitam 
uma mesma empresa a cada 30 e 40 
dias, respectivamente. Em uma segunda-
feira ambos estavam nessa empresa 
desempenhando seus trabalhos. Em que 
dia da semana eles voltarão a se 
encontrar? 
a) sexta-feira 
b) quinta-feira 
c) quarta-feira 
d) terça-feira 
 
02. Três rolos de tecido: um Azul com 30m, 
um Vermelho com 24m e outro Branco 
com 18m, devem ser cortados em peças 
iguais, com o maior tamanho possível. 
Determine o menor número de peças 
após o corte. 
a) 24 peças com 3m cada 
b) 18 peças com 4m cada 
c) 15 peças com 5m cada 
d) 12 peças com 6m cada 
 
03. Belarmino leu 3/5 de um livro e ainda 
faltam 48 páginas para ele terminar de 
ler o livro todo. Qual é o número mínimo 
de folhas que tem esse livro? 
a) 120 
b) 80 
c) 60 
d) 45 
 
04. Sabendo que após Rodolfo gastar 1/3 
do seu salário com aluguel, 1/4 do salário 
com alimentação e 1/5 do salário com 
lazer e transporte, ainda lhe sobrou R$ 
260,00. Qual o salário de Rodolfo? 
a) R$ 1200 
ANOTAÇÕES: 
 
 
b) R$ 1400 
c) R$ 1600 
d) R$ 1800 
 
05. Ao entrar em uma loja, Sophia gasta 1/3 do que tem na bolsa, ao entrar em uma 
segunda loja gasta 1/4do que lhe restou e finalmente na terceira loja gasta 1/5 do 
que ainda tinha, ficando ainda com R$48,00 na bolsa. Determine a quantia que ela 
tinha antes de entrar na primeira loja. 
a) 120 
b) 130 
c) 140 
d) 150 
 
06. Quantos algarismos um datilógrafo digita para numerar cada uma das 250 páginas 
de um livro? 
a) 151 
b) 250 
c) 453 
d) 642 
 
 
 
07. Um estudante terminou um trabalho 
que tinha n páginas. Para numerar todas 
essas páginas, iniciando com a página 1, 
ele escreveu 270 algarismos. Então 
determine o valor de n. 
a) 108 
b) 126 
c) 158 
d) 194 
 
08. Em um livro com 380 páginas, quantas 
vezes em sua numeração aparece o 
dígito 2? 
a) 178 
b) 138 
c) 98 
d) 78 
 
09. Em um domingo, Sophia, Lia e 
Mariana encontraram-se no shopping. 
Sabendo que Sophia vai sempre ao 
mesmo shopping de 12 em 12 dias, Lia 
vai de 10 em 10 dias e Mariana de 20 em 
20 dias, determine em que dia da 
semana poderá ocorrer o próximo 
encontro. 
a) segunda-feira 
b) terça-feira 
c) quarta-feira 
d) quinta-feira 
 
10. Geovane deseja embalar 60 apostilas 
de matemática e 24 apostilas de física, 
em pacotes com igual quantidade em 
cada um e sem misturar as disciplinas. 
Determine o maior número de apostilas 
que ele pode colocar em cada pacote. 
a) 24 
b) 16 
ANOTAÇÕES: 
 
 
c) 12 
d) 8 
 
11. (FUNRIO) Num saco de bolinhas de gude, Fernando notou que elas poderiam ser 
divididas em grupos de 2, ou em grupos de 3, ou em grupos de 4, ou, ainda, em 
grupos de 5, sem que houvesse sobras em nenhum desses tipos de divisão. Esse saco 
pode conter um número de bolinhas igual a 
a) 180 
b) 170 
c) 160 
d) 150 
e) 140 
 
12. Um biólogo, estudando espécies migratórias que cruzavam o estado do Ceará, 
observava um grupo de centenas de aves que estavam prestes a pousar nos galhos 
de uma grande árvore de galhos secos. 
 
 
Curiosamente, percebeu que se todas as aves pousassem nos galhos da árvore em 
grupos de 3, ou de 4, ou de 5, ou de 6, ou de 7 aves em cada galho, sobrariam 
sempre uma ave sozinha em um galho. 
Dessa forma, determine o número 
mínimo de aves desse bando, de forma 
a satisfazer a curiosa condição. 
a) 420 
b) 421 
c) 840 
d) 841 
e) 842 
 
13. Um estudante de direito que gostava 
muito de matemática percebeu que 
para numerar todas as páginas de seu 
volumoso livro a partir do número 1, 
seriam necessários 4893 dígitos. 
Determine quantas páginas têm o livro. 
a) 1500 
b) 1850 
c) 2520 
d) 2889 
 
14. Nair tem em seu cofre apenas 
moedas de 1 centavo, 5 centavos, 10 
centavos, 25 centavos e 50 centavos, 
todas em quantidades iguais, totalizando 
R$15,47. Nessas condições, qual 
importância que ela tem em moedas de 
25 centavos? 
a) 5,75 
b) 5,25 
c) 4,75 
d) 4,25 
 
ANOTAÇÕES: 
 
 
15. No tempo em que os animais falavam, um gavião sobrevoando um bando de 
pombinhas, cumprimentou-as: 
 - Bom dia, minhas cem pombinhas! 
E uma das pombinhas respondeu: 
 - Cem pombinhas não somos nós, mas com outro tanto de nós, mais a metade de 
nós, mais a quarta parte de nós, mais vós, senhor gavião, cem pombinhas seríamos 
nós. 
Quantas pombinhas havia no bando? 
a) 28 
b) 32 
c) 36 
d) 40 
 
GABARITO 
01. D 02. D 03. C 04. A 05. A 
06. D 07. B 08. A 09. D 10. C 
11. A 12. B 13. A 14. D 15. C 
 
 
 
 DESAFIO 
 
 
01. Pedro saiu de casa e fez compras em 
quatro lojas, cada uma num bairro 
diferente. Em cada uma, gastou a 
metade do que possuía e, ao sair de 
cada uma das lojas pagou R$2,00 de 
estacionamento. Se, no final, ainda tinha 
R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair 
de casa? 
a) 188 
b) 178 
c) 168 
d) 158 
 
02. (FCC) Certo dia, um técnico judiciário 
foi incumbido de digitar um certo 
número de páginas de um texto. Ele 
executou essa tarefa em 45 minutos, 
adotando o seguinte procedimento: 
 nos primeiros 15 minutos, digitou a 
metade do total das páginas e mais 
meia página; 
 nos 15 minutos seguintes, a metade 
do número de páginas restantes e 
mais meia página; 
 nos últimos 15 minutos, a metade do 
número de páginas restantes e mais 
meia página. 
Se, dessa forma, ele completou a tarefa, 
o total de páginas do texto era um 
número compreendido entre 
a) 5 e 8 
b) 8 e 11 
ANOTAÇÕES: 
 
 
c) 11 e 14 
d) 14 e 17 
e) 17 e 20 
 
03. A mercearia do “Seu Zé” tinha certa quantidade de ovos em uma cesta. Ana 
entrou na mercearia e comprou a metade dos ovos que tinham na cesta e mais meio 
ovo. Em seguida, Bruna comprou a metade dos ovos que restaram na cesta e mais 
meio ovo. Por fim, Carine comprou a metade dos ovos restantes na cesta e mais meio 
ovo. Se ao final restou apenas um ovo na cesta, então podemos afirmar que Ana 
comprou: 
a) 15 ovos 
b) 8 ovos 
c) 7 ovos 
d) 3 ovos 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 02 
 
UNIDADES DE MEDIDAS 
 
INTRODUÇÃO 
 
 O mundo como conhecemos certamente não existiria sem que o homem tivesse 
inventado uma maneira de medir, 
pois isso o ajudou a contabilizar, 
mensurar, comparar, construir e até 
mesmo guardar 
O SISTEMA MÉTRICO DECIMAL é 
parte integrante do Sistema de 
Medidas. É adotado no Brasil tendo 
como unidade fundamental de 
medida o metro. Apenas três das 203 
nações não adotaram oficialmente esse sistema como seu sistema principal ou único 
de medição: Mianmar, Libéria e Estados Unidos. 
 O Sistema de Medidas é um conjunto de medidas usado em quase todo o 
mundo, visando padronizar as formas de medição. 
 Deste os tempos passados os povos criavam seu método próprio de unidades de 
medidas. Cada um, desta forma, tinha seus próprios métodos de medição. 
 Com o comércio crescente e em expansão na época, ficava cada vez mais 
complicado operar com tamanha diversidade de sistemas de medidas e a troca de 
informações entre os povos era confusa. 
 Assim foi necessário que se adotasse um “sistema padrão” de medidas em suas 
respectivas grandezas. 
 Então no ano de 1795, um grupo de representantes de diversos países reuniu-se 
para discutir a forma de adotar um sistema de medidas único que facilitasse a troca 
de informações entre os povos. Após isso foi desenvolvido o sistema métrico decimal. 
 
AS PRIMEIRAS MEDIÇÕES 
 
 
 
No mundo atual, temos os mais diversos meios e instrumentos 
que permitem ao homem moderno medir comprimentos. Porém nem 
sempre foi desta forma, há 3.000 anos, quando não se existia os 
recursos atuais, como o homem fazia para efetuar medidas de 
comprimentos? 
 Esta necessidade de medir espaços é tão antiga quanto à 
necessidade de contar. Quando o homem começou a construir suas 
habitações e desenvolver sua agricultura e outros meios de 
sobrevivência e desenvolvimento econômico, que se fazia necessário medir espaços, 
então houve ai a necessidade de se medir espaços. 
 Desta forma, para medir espaços o homem antigo, tinha como base seu próprio 
corpo, por isto que surgiram: polegadas, a braça, o passo, o palmo. Algumas destas 
medidas ainda são usadas até hoje, como é o caso da polegada. 
 Há algum tempo, o povo egípcio usava como padrão para comprimento, o 
“cúbito”, que é a distância do cotovelo a ponta do dedo médio. 
 Como as pessoas, é claro, tem tamanhos diferentes, o “cúbito” variava de uma 
pessoa para outra, fazendo com que houvesse muita divergência nos resultados finais 
de medidas. 
 Então, vendo este problema de variação de medidas, o povo egípcio resolveu 
adotar uma outra forma de medir o “cúbito”, passaram então ao invés de usar seu 
próprio corpo, a usarem uma barra de pedra como o mesmo comprimento, assim 
deu-se origem então o “cúbito padrão”. 
 Como era impossível realizar medições em extensões grandes, o povo egípcio 
então começou a usar cordas, para medir grandes áreas. Tinham nós que eram 
igualmente colocados em espaços iguais, e o intervalo entre estes nós, poderia medir 
“x” cúbitos fixos. Desta forma de medição com cordas, originou-seo que chamamos 
hoje de “trena”. 
 
 
SISTEMA IMPERIAL 
 
Embora atualmente não sejam usadas com muita frequência, principalmente no 
meio científico, poderemos nos deparar com unidades expressas no Sistema Imperial. 
 
A Tabela a seguir fornece dados para conversão entre os Sistemas Imperial e 
Internacional de Unidades. 
Sistema Imperial Sistema Internacional 
1 in (polegada) = 2,54 cm 
1 ft (pé) = 12 in (polegadas) = 30,48 cm 
1 yd (jarda) = 3 ft (pés) = 36 in (polegadas) = 0,9144 m 
1 mile (milha) = 1760 yd (jardas) = 1,609 km 
` 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O METRO 
 
O metro (m) é uma unidade de medida de comprimento padrão do sistema 
numérico decimal, sendo criado com base nas dimensões da Terra. O nome “metro” é 
oriundo da palavra grega “métron” e tem como significado “o que mede”. 
 
 
Inicialmente a medida do “metro” foi definida como a décima milionésima 
parte da distância entre o Pólo Norte e Equador, medida pelo meridiano que passa 
pela cidade francesa de Paris. O metro padrão foi criado no de 1799 e hoje é 
baseado no espaço percorrido pela luz no vácuo Atualmente o metro é definido 
como sendo "o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um 
intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo". 
 
 
 
 
 
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL 
 
O Sistema Métrico Decimal tem o metro (m) como unidade fundamental do 
comprimento e dele foram criadas outras unidades menos ou maiores a partir de seus 
múltiplos e submúltiplos. Os nomes prefixos destes múltiplos e submúltiplos são: quilo (k), 
hecto (h), deca (da), deci (d), centi (c) e mili (m). 
 Os múltiplos do metro são usados para realizar medição em grandes 
áreas/distâncias, enquanto os submúltiplos para realizar medição em pequenas 
distâncias. 
 Outras unidades foram criadas de forma direta ou indireta a partir de relação 
com o metro. Por exemplo, para criar uma unidade específica de volume foi definido 
que um cubo de 1dm de aresta, ou seja, com volume igual a 1dm3, seria denominado 
de litro (L). Para definir uma unidade específica para medidas de massa, foi usada a 
água como referência, onde exatamente um litro de água pura pesaria o que se 
conhece por quilograma. Dessa forma, outras unidades surgiram. 
 
LINK: 
NOMES E FUNÇÕES DE ALGUMAS MEDIDAS 
 
 
 
COMPRIMENTO 
 
 
O metro é uma das unidades básicas do Sistema Internacional de Unidades. A 
partir dele são denominadas outras unidades de medida apenas com o uso de 
prefixos, pois nem sempre ele é prático 
Se queremos medir grandes extensões ela é muito pequena. Por outro lado, se 
queremos medir extensões muito "pequenas", a unidade metro é muito "grande", daí a 
necessidade do uso de múltiplos e submúltiplos do metro, que são chamados de 
unidades secundárias de comprimento. 
 
OBSERVE A TABELA ABAIXO: 
 
 
 
 
km hm dam m dm cm mm 
quilômetr
o 
hectômetr
o 
decâmetr
o 
metr
o 
decímetr
o 
centímetr
o 
milímetr
o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vírgula 
anda uma casa para esquerda e para cada unidade que mudamos 
para direita, a vírgula anda uma casa para direita. 
 
EXEMPLOS: 
 4,58 m = 45,8 dm 
 4,58 m = 458 cm 
 4,58 m = 4580 mm 
 
LINK: 
10 
x10 x10 x10 x10 x10 x10 
10 10 10 10 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LINK: 
MÚLTIPLOS E SUBMÚTIPLOS DO METRO 
 
 
 
ÁREA 
 
As unidades de área representam ao mesmo tempo duas dimensões e por isso 
tem um tratamento particular. Área é um conceito matemático que pode ser definida 
como quantidade de superfície. 
Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro 
quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos. São também muito usadas as 
medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, 
que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o 
acre e o alqueire. 
 
OBSERVE A TABELA ABAIXO: 
 
 
 
 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
quilômet
ro 
quadrad
o 
hectômet
ro 
quadrado 
decâmet
ro 
quadrad
o 
metro 
quadrad
o 
decímetr
o 
quadrad
o 
centímet
ro 
quadrad
o 
milímetr
o 
quadrad
o 
 
 
 
 
 
 
 
 
100 
x100 x100 x100 x100 x100 x100 
100 100 100 100 100 
Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vírgula 
anda duas casas para esquerda e para cada unidade que mudamos 
para direita, a vírgula desloca duas casas para direita. 
 
EXEMPLOS: 
 4,58 m
2
 = 458 dm
2
 
 4,58 m
2
 = 45800 cm
2
 
 4,58 m
2
 = 4580000 mm
2
 
 
LINK: 
 
 
LINK: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POR QUE A VÍRGULA DESLOCA DUAS CASAS? 
Para unidades de área ocorrem duas transformações, nas 
duas dimensões: largura e comprimento. Por isso, 1 m
2
 
equivale a 100 dm
2
. 
LINK: 
SABE QUANTO MEDE UM QUARTEIRÃO PADRÃO? 
O quarteirão padrão é 
um quadrado de 
100m de lado. 
QUARTEIRÃO: 
100m x 100m 
10000m
2
 
1hm x 1hm 
1hm
2
 
1ha (hectare) 
100a (ares)
 
 
 
 
VOLUME 
 
O volume de um corpo é a quantidade de espaço ocupada por esse corpo. 
Volume tem unidades de tamanho cúbicas (por exemplo, cm³, m³, in³, etc.). 
Sua unidade no Sistema internacional de unidades é o metro cúbico (m³). A 
seguinte tabela mostra a equivalência entre volume e capacidade. Contudo, não é 
considerado uma unidade fundamental do SI, pois pode ser calculado através dos 
comprimentos. A unidade mais comum utilizada é o litro. 
 
 
OBSERVE A TABELA ABAIXO: 
 
 
 
 
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
quilômetr
o 
cúbico 
hectômetr
o 
cúbico 
decâmetr
o 
cúbico 
metro 
cúbic
o 
decímetr
o 
cúbico 
centímetr
o 
cúbico 
milímetr
o 
cúbico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1000 
x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 x1000 
1000 1000 1000 1000 1000 
Para cada unidade de medida que mudamos para esquerda, a vírgula 
anda três casas para esquerda e para cada unidade que mudamos 
para direita, a vírgula desloca três casas para direita. 
 
EXEMPLOS: 
 4,58 m
3
 = 4580 dm
3
 
 4,58 m
3
 = 4580000 cm
3
 
 4,58 m
3
 = 4580000000 mm
3
 
 
LINK: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POR QUE A VÍRGULA DESLOCA TRÊS CASAS? 
Para unidades de volume ocorrem três transformações, nas 
três dimensões: largura, comprimento e altura. 
Por isso, 1 m
3
 equivale a 1000 dm
3
. 
LINK: 
 
 
 
PREFIXOS 
 
As abreviações das unidades derivadas do metro estão expressas na Tabela 1, 
bem como a medida equivalente: 
Nome Símbolo Fator de multiplicação da unidade 
yotta Y 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 
zetta Z 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000 
exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 
peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 
tera T 1012 = 1 000 000 000 000 
giga G 109 = 1 000 000 000 
mega M 106 = 1 000 000 
quilo k 10³ = 1 000 
hecto h 10² = 100 
deca da 10 
deci d 10-1 = 0,1 
centi c 10-2 = 0,01 
mili m 10-3 = 0,001 
micro µ 10-6 = 0,000 001 
nano n 10-9 = 0,000 000 001 
pico p 10-12 = 0,000 000 000 001 
femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 
atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 
zepto z 10-21 = 0,000 000 000 000 000 000 001 
yocto y 10-24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001 
 
 
 
UNIDADES DE BASE 
 
As unidades de base do SI são sete, consideradas independentes do ponto de 
vista dimensional, definidas para as grandezas e simbolizadas de acordo com o 
seguinte quadro: 
 
GRANDEZA UNIDADE SI SÍMBOLO 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Intensidade de corrente 
eléctrica ampere A 
Temperatura 
termodinâmica kelvin K 
Quantidade de matéria Mole mol 
Intensidade luminosa candela cd 
 
UNIDADES DERIVADAS 
São formadas pela combinação de unidades de base, unidades suplementares 
ou outras unidades derivadas, de acordo com as relações algébricas que relacionamas quantidades correspondentes. Os símbolos para as unidades derivadas são obtidos 
por meio dos sinais matemáticos de multiplicação e divisão e o uso de expoentes. 
Algumas unidades SI derivadas têm nomes e símbolos especiais. 
ALGUMAS UNIDADES SI DERIVADAS SIMPLES EM TERMOS DAS UNIDADES DE BASE 
Grandeza Unidade Símbolo 
 
área metro quadrado m2 
volume metro cúbico m3 
http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de comprimento#Unidade de comprimento
http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de massa#Unidade de massa
http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de tempo#Unidade de tempo
http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de intensidade de corrente el�ctrica#Unidade de intensidade de corrente el�ctrica
http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de intensidade de corrente el�ctrica#Unidade de intensidade de corrente el�ctrica
http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de temperatura termodin�mica#Unidade de temperatura termodin�mica
http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de temperatura termodin�mica#Unidade de temperatura termodin�mica
http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de quantidade de mat�ria#Unidade de quantidade de mat�ria
http://www.ipq.pt/museu/sistema/base.htm#Unidade de intensidade luminosa#Unidade de intensidade luminosa
 
 
velocidade metro por segundo m/s 
aceleração metro por segundo quadrado m/s2 
número de onda metro recíproco m-1 
densidade quilograma por metro cúbico kg/m3 
 
UNIDADES DE USO PERMITIDO COM AS DO SISTEMA INTERNACIONAL 
 
Grandeza Unidade Símbolo Conversão 
tempo 
minuto 
hora 
dia 
mim 
h 
d 
1 min = 60s 
1h = 60 min = 3600s 
1d = 24h = 86400 s 
volume litro(a) l, L 1 L = 1 dm3 = 10-3 m3 
massa tonelada(b) t 1 t = 103 kg 
 
 
 
 
TEMPO 
 
Este é um item que é muito pedido em grande parte de concursos que exigem 
matemática, e é justamente onde muitas pessoas que estudam este tema tem 
comprometido seus resultados. 
 
 
 
 
 
POR QUE DIVIDIRAM A HORA E O 
MINUTO EM 60 PARTES? 
O número 60 é interessante porque é 
fácil de fracionar, uma vez que é 
divisível por 2, 3, 4, 5 e 6. Observe: 
LINK: 
1/2 hora 
(30 min) 
1/3 hora 
(20 min) 
1/4 hora 
(15 min) 
1/5 hora 
(12 min) 
1/6 hora 
(10 min) 
2012 Copyright. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor. 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 41 
 
RESOLVIDOS 
 
01. Determine a equivalência dos tempos 
a seguir. 
 
a) 47/2 de hora 
 h
2
47
 






2
1
2
46
 = 23h 30min 
 
b) 47/3 de hora 
 h
3
47
 






3
2
3
45
 = 15h 40min 
 
c) 47/4 de hora 
 h
4
47
 






4
3
4
44
 = 11h 45min 
 
d) 47/5 de hora 
 h
5
47
 






5
2
5
45
 = 9h 24min 
 
e) 47/6 de hora 
 h
6
47
 






6
5
6
42
 = 7h 50min 
 
f) 47/10 de hora 
 h
10
47
 






10
7
10
40
 = 4h 42min 
 
g) 21/5 de hora 
 h
5
21
 






5
1
5
02
 = 4h 12min 
 
h) 63/10 de hora 
 h
10
63
 






10
3
10
60
 = 6h 18min 
 
x 60 
x 60 
x 60 
x 60 
x 60 
x 60 
x 60 
x 60 
ANOTAÇÕES: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 42 
i) 16/3 de minuto 
 min
3
16
 






3
1
3
15
 = 5min 20s 
 
j) 35/4 de minuto 
 min
4
35
 min
4
3
4
32






 = 8min 45s 
 
f) 35/8 de um dia 
 dia
8
35
 






8
3
8
32
 = 4d 9h 
 
g) 3/10 do dia 
 dia
10
3
 = h
5
36
 






5
1
5
35
 = 7h 12min 
 
x 60 
X24 
x 60 
X60 X24 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 43 
h) 17/36 do dia 
 dia
36
17
 = h
3
34
 






3
1
3
33
 = 11h 20min 
 
i) 5,85 horas 
 0,85h = 51min  5,85h = 5h 
51min 
 
 
j) 8,43 horas 
 0,43h = 25,8min  0,8min = 
48s 
 
 
8,43h = 8h 25min 48s 
 
k) 14,76 horas 
 0,76h = 45,6min  0,6min = 
36s 
 
 
14,76h = 14h 45min 36s 
 
02. Qual a diferença de tempo entre 24h 
e 19h14min20s? 
 
24h – 19h 14min 20s 
 
 
 
 
 
23h 59min 60s – 19h 14min 20s 
 
4h 45min 40s 
 
X60 X24 
X60 
X60 X60 
X60 X60 
23h60mi
n 
23h59min60s 
ANOTAÇÕES: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 44 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
01. Qual a área de um terreno retangular 
que mede 3 hm de largura por 500 m de 
comprimento? 
a) 0,15 ha 
b) 1,5 ha 
c) 15 ha 
d) 150 ha 
e) 1500 ha 
 
02. Podemos afirma que 0,3 semana 
corresponde a: 
a) 2 dias e 1 hora; 
b) 2 dias, 2 horas e 4 minutos; 
c) 2 dias, 2 horas e 24 minutos; 
d) 2 dias e 12 horas; 
e) 3 dias. 
 
03. (FCC) Durante todo o mês de março, 
o relógio de um técnico estava 
adiantando 5 segundos por hora. Se ele 
só foi acertado às 7h do dia 2 de março, 
então às 7h do dia 5 de março ele 
marcava 
a) 7h05min 
b) 7h06min 
c) 7h15min 
d) 7h30min 
e) 6h54min 
ANOTAÇÕES: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 45 
 
04. Na última sexta-feira, cheguei ao trabalho às 8h20min da manhã, trabalhei 
durante 21/5 de hora, saí para o almoço e retornei 32/15 de hora depois, trabalhei 
por mais 23/6 de hora e finalmente acabei meu expediente. A que horas terminei 
o expediente? 
a) 18h30min 
b) 17h30min 
c) 19h20min 
d) 16h50min 
 
05. Considerando que um dia equivale a 24 horas, 1,8 dias equivale a: 
a) 1 dia e 8 horas; 
b) 1 dia e 18 horas; 
c) 1 dia e 19 horas; 
d) 1 dia, 19 horas e 2 minutos; 
e) 1 dia, 19 horas e 12 minutos. 
 
 
GABARITO 
01. C 02.C 03. B 04. A 05. E 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 46 
 
CAPÍTULO 03 
 
RAZÃO 
 
A razão entre duas grandezas é o quociente estabelecido entre elas, ou 
melhor, é o resultado da divisão entre as grandezas. 
Assim, dados dois números reais a e b, com b  0, calcula-se a razão entre a e 
b através do quociente da divisão de a por b. 
Para indicarmos a razão entre a e b usamos: 
b
a
 ou a : b (“a” está para “b”). 
Na razão de a por b, o número “a” é chamado de antecedente e o número 
“b” é chamado de conseqüente. 
 
 
 
 
 
RAZÕES INVERSAS 
 
Duas razões são inversas quando o antecedente de uma é igual ao 
conseqüente da outra e vice-versa 





a
b
e
b
a
. Note que, o produto de duas razões 
inversas é sempre igual a 1. 
 
 
 
 
 
RAZÕES ESPECIAIS 
 
CONCORRÊNCIA DE UM CONCURSO 
É a razão entre o número de candidatos inscritos no concurso e o número de 
vagas oferecidas por ele. 
 
 
 
 
 
VELOCIDADE MÉDIA 
É a razão entre a distância percorrida por um móvel e o tempo gasto para 
percorrê-la. 
Razão entre a e b = 
b
a
 
1. 
a
b
b
a
 
Concorrência = 
oferecidasvagasden
inscritoscandden
º
.º
 
Matemática 
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DENSIDADE DE UM CORPO 
É a razão entre a massa do corpo e o volume por ele ocupado. 
 
 
 
 
 
DENSIDADE DEMOGRÁFICA DE UMA REGIÃO 
É a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. 
 
 
 
 
Velocidade média = 
t
S
Vm



gasto tempo
apercorriad distância
 
Densidade = 
V
m
d
volume
massa
 
Densidade demográfica = 
região dessa 
região uma de habitantes de 
área
no
 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 48 
0km 200km 400km 600km 800km
cm
cm
km
cm
000.000.20
1
200
1

ESCALA NUMÉRICA 
É a razão entre um comprimento no desenho e o seu correspondente 
comprimento no tamanho real, medidos na mesma unidade. 
 
 
 
 
 
Tamanhos de escala 
 Escala grande: É aquela que possui um pequeno denominador, ou seja, é aquela 
destinada a pequenos comprimentos reais (áreas urbanas). É rica em detalhes. É 
usada em cartas ou plantas. 
 Escala pequena: É aquela que possui um grande denominador, ou seja, é aquela 
destinada a grandes comprimentos reais (áreas continentais). É pobre em 
detalhes gráficos. É usada em mapas e globos. 
Obs.: Há ainda um outro tipo de escala, chamada escala gráfica, que se 
apresenta sob a forma de um segmento de reta graduado. Nele, cada 
graduaçãorepresenta 1cm de comprimento no desenho. Exemplo: 
 
 
 
  Escala = ou 1: 20.000.000. 
 
EXEMPLO 
Numa prova com 50 questões, acertei 35, deixei 5 em branco e errei as demais. 
Responda os itens à seguir. 
a) Qual a razão entre o nº de questões certas e erradas? 
b) Qual a razão entre o nº de questões erradas sobre o total de questões da 
prova? 
c) Qual a razão entre o nº de questões em branco sobre o nº de questões certas? 
 
SOLUÇÃO: 
O importante é dividir seguindo a ordem dada, logo 
a) 
2
7
10
35

ERRADAS
CERTAS
= 7 : 2 (proporção de 7 certas para cada 2 questões 
erradas) 
 
b) 
5
1
50
10

TOTAL
ERRADAS
= 1 : 5 (proporção de 1 errada para cada 5 questões da 
prova) 
 
Escala = 
real 
desenho no 
ocompriment
ocompriment
 
D
d
E  
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 49 
c) 
7
1
35
5

CERTAS
BRANCO
= 1 : 7 (proporção de 1 em branco para cada 5 questões 
certas) 
 
 
VAZÃO (FLUXO) 
A vazão de um líquido é o volume desse fluido que passa por uma determinada 
seção de um conduto por uma unidade de tempo. Geralmente a unidade 
adotada é litros por segundo (l/s), embora existam outras unidades. 
 
tempo
Volume
Vazão  
 
SOMA DAS VAZÕES 
Por exemplo, quando temos duas ou mais torneiras enchendo um mesmo balde, 
devemos somar as vazões dessas torneiras para encontrar a vazão 
equivalente, ou seja, 
 BA VVVazão  
O volume do recipiente pode ser representado por uma unidade 
qualquer. Podemos então dizer que a vazão da torneira A é de 1 
balde em tA minutos, da torneira B é de 1 balde a cada tB minutos e a 
vazão equivalente é de 1 balde em tE minutos, ou seja 
BAe ttt
111
 
O conceito de fluxo pode ser aplicado a outras situações diferentes dos líquidos, 
dessa forma podemos ter fluxo de carros, de pessoas, de dinheiro, de trabalho, 
etc. 
 
EXEMPLO 
Uma torneira enche um tanque em 3 horas, uma outra em 4 horas e uma terceira 
pode esvaziá–lo em 2 horas. Se forem abertas as três torneiras ao mesmo tempo, 
em quantas horas o tanque ficará completamente cheio? 
 
A B 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 50 
SOLUÇÃO: 
Observe que quanto mais torneiras, menor o tempo, portanto o tempo 
equivalente será dado por 
ne tttt
1
...
111
21
 
Nesse caso duas torneiras enchem e uma das torneiras esvazia, logo 
2
1
3
1
4
11

et
  
12
6431 

et
  
12
11

et
  te = 12 horas 
 
PROPORÇÃO 
 
 A grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcional. 
 
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas “x” e “y” são diretamente proporcionais quando a razão 
entre elas é constante. Além disso, quando o valor absoluto de “x” cresce, o valor 
absoluto de “y” cresce na mesma proporção. 
 
 
 
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas “x” e “y” são inversamente proporcionais quando o produto 
entre elas é constante. Pode-se afirmar também que quando o valor absoluto de 
“x” cresce, o valor absoluto de “y” decresce em proporção inversa. 
 
 
 
SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS 
Uma série de razões iguais é uma igualdade de duas ou mais razões. 
Também, pode ser chamada de proporção múltipla. Em símbolos, temos: 
k
b
a
b
a
b
a
b
a
n
n  ...
3
3
2
2
1
1 
A principal propriedade a ser utilizada é: 
n
n
n
n
bbbb
aaaa
b
a
b
a
b
a
b
a



...
...
...
321
321
3
3
2
2
1
1 = k 
 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 51 
DIRETAMENTE PROPORCIONAL 
 
Os números de uma sucessão numérica A = (x, y, z) são ditos diretamente 
proporcionais aos números da sucessão numérica B = (a, b, c), quando as razões 
de cada termo de A pelo seu correspondente em B forem iguais , isto é: 
 
 
 
 
Este valor “k” é chamado de fator de proporcionalidade ou coeficiente de 
proporcionalidade, que pode corresponder a razão entre a soma dos termos de A 
em relação a soma dos elementos de B. 
 
 
 
 
k
c
z
b
y
a
x
 
cba
zyx
c
z
b
y
a
x


 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 52 
EXEMPLO 
Verificar se os números da sucessão (20, 16, 12) são ou não diretamente 
proporcionais aos números da sucessão (5, 4, 3). Em caso afirmativo, determine o 
coeficiente de proporcionalidade “k”. 
 
SOLUÇÃO: 
Note que: 
 .4
3
12
4
4
16
;4
5
20
 e 
Então as sucessões são diretamente proporcionais e o coeficiente de 
proporcionalidade k = 4. 
 
EXEMPLO 
Encontrar x e y sabendo que os números da sucessão (20, x, y) são diretamente 
proporcionais aos números da sucessão (4, 2, 1) 
 
SOLUÇÃO: 
Pela definição de números diretamente proporcionais, temos: 
 






5
10
12
5
124
20
y
xyxyx
 
EXEMPLO 
(FCC) Certo dia, em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar 
judiciário observou que o número de pessoas atendidas no período da tarde 
excedera o das atendidas pela manhã em 30 unidades. Se a razão entre a 
quantidade de pessoas atendidas no período da manhã e a quantidade de 
pessoas atendida no período da tarde era 3/5, então é correto afirmar que, nesse 
dia, foram atendidas 
a) 130 pessoas. 
b) 48 pessoas pela manhã. 
c) 78 pessoas à tarde. 
d) 46 pessoas pela manhã. 
e) 75 pessoas à tarde. 
 
SOLUÇÃO: 
Seja 
 T – número de pessoas atendidas no período da tarde; 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 53 
 M – número de pessoas atendidas no período da manhã; 
Do enunciado, temos: 
 







5
3
T
M
30MT
  







5
T
3
M
30MT
 
Então 
 
35
MT
3
M
5
T


 
logo 
 
2
30
5
T
  T = 75 e 
2
30
3
M
  T = 45 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 54 
 
INVERSAMENTE PROPORCIONAL 
 
Os números de uma sucessão numérica A = (x, y, z) são inversamente 
proporcionais aos números da sucessão numérica B = (a, b, c), quando os produtos 
de cada termo da sucessão A pelo seu correspondente em B forem iguais, isto é: 
 
 
 
Este valor k também é chamado de fator ou coeficiente de 
proporcionalidade. 
Na situação exposta, podemos dizer também que os elementos da sucessão 
A são diretamente proporcionais aos inversos dos elementos da sucessão B, assim 
como a soma dos elementos de A são proporcionais a soma dos inversos de B.
 
 
 
 
 
EXEMPLO1 
Verificar se os números da sucessão (3, 6, 8) são ou não inversamente 
proporcionais aos números da sucessão (24, 12, 9). Em caso afirmativo, determine 
o coeficiente de proporcionalidade “k”. 
 
SOLUÇÃO: 
Note que: 
 3 . 24 = 72; 6 . 12 = 72; 8 . 9 = 72. 
 Então as sucessões são inversamente proporcionais e o coeficiente de 
proporcionalidade é 72. 
 
EXEMPLO 
Encontrar x, y e z, sabendo que os números das sucessões (x, 3, z) e (9, y, 36) são 
inversamente proporcionais e têm coeficiente de proporcionalidade k = 36. 
 
SOLUÇÃO: 
Pela definição, temos: 
 








.13636.
.1236.3
.4369.
zz
yy
xx
 
 
EXEMPLO 
x . a = y . b = z . c = k 
c/1b/1a/1
zyx
c/1
z
b/1
y
a/1
x


 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 55 
Repartir o número 18 em partes diretamente proporcionais a 5 e 4. 
 
SOLUÇÃO: 
Sejam x e y as partes procuradas: 
 















8
10
2
9
18
45
4545
18
y
xyx
yxyx
yx
 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 56 
 
03. (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois 
técnicos judiciários do TRF de uma certa circunscrição judiciária. 
 IDADE TEMPO DE 
SERVIÇO 
JOÃO 36 
ANOS 
8 ANOS 
MARIA 30 
ANOS 
12 ANOS 
Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram 
o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos 
de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, determine o total de laudas do 
processo. 
 
SOLUÇÃO: 
Sejam 
 – Laudas de João: x 
 – Laudas de Maria: y 
Então 
 
8
36
x
 = 
12
30
y
= 
12
30
8
36

 yx
 
Como x = 27, temos 
 
8
36
27
 = 
12
30
8
36
 yx
 
ou seja 
 
36
8
.27 = 
2
5
2
9

 yx
 
 6 = 
7
yx 
 
então 
 x+y = 42 
 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 57 
 
DIRETAMENTE E INVERSAMENTE PROPORCIONAL 
 
 Grandeza diretamente proporcional a dois valores ao mesmo tempo: 
 
 
 
 
 
 Grandeza diretamente proporcional a um valor e inversamente a outro: 
 
 
 
 
 
 Grandeza diretamente proporcional a dois valores e inversamente a um 
terceiro valor: 
 
 
 
 
 
 
nmba
yx
nm
y
ba
x
.... 

 
nmba
yx
nm
y
ba
x
//// 

 
p
nm
c
ba
yx
p
nm
y
c
ba
x
....


 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 58 
(FCC) Valdete deu R$ 32,00 a seus dois filhos, apenas em moedas de 25 e 50 
centavos. Eles dividiram a quantia recebida entre si, na razão direta de suas 
respectivas idades: 7 e 9 anos. Se o mais jovem ficou com todas as moedas de 25 
centavos, o número de moedas de 50 centavos era 
a) 28 
b) 32 
c) 36 
d) 48 
e) 56 
 
SOLUÇÃO: 
Do enunciado temos: 
 
97
BA
9
B
7
A


 
Sabendo que A+B = 32, então 
 
16
32
9
B
  B = 18 reais 
Como o mais jovem ficou com todas as moedas de 25 centavos, o mais velho 
ficou com todas as de 50 centavos, portanto o número de moedas dele será: 
 nB = 18/0,50 = 36 moedas 
 
 
REGRA DE SOCIEDADE 
O fato é que: para ser justo em uma sociedade os lucros e os prejuízos devem 
ser distribuídos entre os vários sócios proporcionalmente aos capitais empregados 
(C) e ao tempo (T) durante o qual estiveram empregados na constituição dessa 
sociedade. 
É uma aplicação prática da divisão em partes diretamente proporcionais, 
portanto: 
 
332211332211 T.CT.CT.C
dividido) ser a lucro( zyx
T.C
z
T.C
y
T.C
x


 
 
EXEMPLO: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 59 
Três sócios lucraram juntamente R$20.200,00. Para tanto, o primeiro entrou com um 
capital de R$7.000,00 durante 1 ano, o segundo com R$8.000,00 durante 8 meses e 
o terceiro com R$9.000,00 durante 1 semestre. Quanto lucrou cada um? 
 
SOLUÇÃO: 
Sejam: 
 Lucro Investimento Tempo 
1º Sócio x R$ 7 mil 12 meses 
2º Sócio y R$ 8 mil 8 meses 
1º Sócio x R$ 9 mil 6 meses 
 
Como 
332211332211 T.CT.CT.C
dividido) ser a lucro( zyx
T.C
z
T.C
y
T.C
x


 
Então 
 
6.98.812.7
20200
6.9
z
8.8
y
12.7
x

 
 
546484
20200
54
z
64
y
84
x

 
Ou seja 
202
20200
84
x
  x = 8400 
202
20200
64
y
  y = 6400 
202
20200
54
z
  y = 5400 
 
 
PROPORÇÃO 
 
Dados quatro números reais a, b, c e d, todos diferentes de zero, dizemos que 
eles formam, nesta ordem, uma proporção, quando a razão entre o primeiro e o 
segundo (a:b) é igual à razão entre o terceiro e o quarto (c:d). Representamos isto 
por: 
d
c
b
a
 ou a : b = c : d 
E lemos: “a está para b assim como c está para d”. 
Na proporção 
d
c
b
a
 , destacamos que os termos a e d são chamados 
extremos e os termos b e c são chamados meios. 
 
 
a : b = c : d ou 
d
c
b
a
 
 
 
 
MEIOS 
EXTREMOS 
MEIOS 
EXTREMOS 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 60 
 
PROPRIEDADES DE UMA PROPORÇÃO 
 
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL 
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 
cbda
d
c
b
a
..  
SOMA DOS TERMOS 
Em toda proporção, temos: 















d
dc
b
ba
ou
c
dc
a
ba
d
c
b
a
 
DIFERENÇA DOS TERMOS 
Em toda proporção, temos: 














d
dc
b
ba
ou
c
dc
a
ba
d
c
b
a
 
SOMA DOS ANTECEDENTES E CONSEQÜENTES 
Em toda proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos 
conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente. 
db
ca
d
c
b
a


 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 61 
 
QUARTA PROPORCIONAL 
Dados três números reais, a, b e c, não-nulos, chama-se de quarta 
proporcional desses números dados o número x tal que: 
x
c
b
a
 
Note que, a quarta proporcional forma uma proporção com os números a, b 
e c, nessa ordem. 
 
TERCEIRA PROPORCIONAL 
Dados dois números reais a e b, não-nulos, chama-se de terceira proporcional 
desses números o número x tal que: 
x
b
b
a
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
É uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas 
proporcionais, A e B, relacionando dois valores de A e dois valores de B. Nos 
problemas, haverá um desses quatro valores que será desconhecido e deverá ser 
calculado com base nos três valores dados. Daí o nome regra de três. 
Dependendo das grandezas A e B, podemos ter: 
 Regra de três direta  A e B são grandezas diretamente proporcionais. 
2
1
2
1
B
B
A
A
 
 Regra de três inversa  A e B são grandezas inversamente proporcionais. 
A1.B1 = A2.B2 
 
EXEMPLO: 
Se uma dúzia de ovos custa R$1,40, então quanto deve custar uma bandeja com 
30 ovos? 
 
SOLUÇÃO: 
Faça uma tabela relacionando a quantidade de ovos ao preço, e por meio de 
setas verifique se estas grandezas são diretamente ou inversamente 
proporcionais. 
 Quantidade de ovos Preço (R$) 
 12 1,40 
 30 xxx 
 As setas têm o mesmo sentido porque as grandezas são diretamente 
proporcionais, ou seja, quanto mais ovos se quer comprar, mais dinheiro se tem 
que gastar. Logo: 
50,3
12
40,1.3040,1
30
12
 xx
x
 
 Resposta: Uma bandeja com 30 ovos deve custar R$3,50. 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 62 
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
É uma regra prática utilizada na resolução de problemas que envolvem várias 
grandezas proporcionais. A regra de três composta é realizada da seguinte 
maneira. 
 
1º Passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os 
valores de cada grandeza. 
2º Passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referência. 
3º Passo: Comparamos esta grandeza de referência a cada uma das outras 
grandezas, isoladamente, identificando se há proporcionalidade direta 
(seta de mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas). 
4º Passo: Colocamos a razão da grandeza de referência isolada no 1º membro 
e, no 2º membro, colocamos o produto das razões das outras 
grandezas, lembrando que se há proporcionalidade inversa em relação a 
 uma grandeza, devemos inverter os elementos da respectiva coluna e 
escrever a razão inversa no produto. 
 
EXEMPLO: 
Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias, conseguem realizar 
um determinado serviço. Trabalhando 9 horas por dia, 12 operários farão o mesmo 
serviço em quantos dias? 
 
1ª SOLUÇÃO: 
Montando a tabela e tomando a quantidade de dias como referência, temos: 
 
 Operários Horas por dia Dias 
 18 7 12 
 12 9 x 
 
Logo: 
 












7
9
.
18
1212
x
18.7 = 9.x  x = 14 dias 
Resposta: São necessários 14 dias. 
 
2ª SOLUÇÃO: 
Montando a tabela e tomando o no de operários como referência, temos: 
 
 Operários Horas por dia Dias 
 18 7 12 
 12 9 x 
 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 63 
Logo: 
 












12
.
7
9
12
18 x
18.7 = 9.x  x = 14 dias 
 
 Resposta: São necessários 14 dias. 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 64 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Um balde de 5 litros pode ser cheio 
por uma torneira A em 3 min ou em 6 min 
por uma torneira B. Caso sejam ligadas 
as duas torneira concomitantemente, em 
quanto tempo o balde estará cheio? 
a) 2 min 
b) 2 min e 30 seg 
c) 4 min e 30 seg 
d) 9 min 
 
02. Antônio demora 6 horas para pintar 
uma parede, enquanto seu auxiliar 
Baltazar demoraria mais tempo para 
executar o mesmo serviço. Sabendo que 
juntos eles pintariam essa parede em 4 
horas, determine em quantas horas o 
auxiliar pintaria sozinho. 
a) 7 
b) 9 
c) 12 
d) 16 
 
03. Sophia tenta encher sua piscina de 
plástico usando duas mangueiras do 
jardim, sem perceber que o plástico 
estava com um pequeno furo na parte 
inferior e que poderia esvaziar 
completamente a piscinaem 60 min. 
Uma das mangueiras encheria toda a 
piscina em 10 min e a outra mangueira, 
também sozinha e sem furo, enche a 
piscina em 20 min. Dessa forma, mesmo 
com o furo, em quanto tempo as duas 
mangueiras enchem completamente a 
piscina? 
a) 6 min e 40 seg 
b) 7 min e 10 seg 
c) 7 min e 30 seg 
d) 8 min e 20 seg 
 
04. No Banco Dimdim será dividido um 
prêmio de R$2.400,00 entre os três 
ANOTAÇÕES: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 65 
funcionários que mais se destacaram no último ano. A parte que caberá a cada 
funcionário é diretamente proporcional ao tempo de serviço prestado a empresa. 
Sabendo que Aurisvanderson tem 3 anos de empresa, Belarmino 4 anos e 
Cleosvaldo 5 anos, determine quanto coube ao funcionário que ficou com a 
maior quantia. 
a) R$ 1.200,00 
b) R$ 1.000,00 
c) R$ 800,00 
d) R$ 600,00 
 
05. O dono de uma empresa resolveu 
distribuir uma gratificação de R$2.100,00 
entre seus dois gerentes, de forma 
inversamente proporcional às faltas de 
cada um num determinado mês. Quanto 
caberá ao mais assíduo, se os gerentes 
faltaram 5 e 2 vezes? 
a) 600 
b) 900 
c) 1200 
d) 1500 
 
06. (FCC) Curiosamente, dois técnicos 
bancários observaram que, durante o 
expediente de certo dia os números de 
clientes que haviam atendido eram 
inversamente proporcionais às suas 
respectivas idades: 36 e 48 anos. Se um 
deles atendeu 4 clientes a mais que o 
outro, então o total de pessoas 
atendidas pelo mais velho foi: 
a) 20 
b) 18 
c) 16 
d) 14 
e) 12 
 
07. Uma empresa irá dividir R$ 24.000,00 
entre quatro funcionários de forma 
diretamente proporcional ao tempo de 
empresa e inversamente proporcional ao 
número de faltas mais um. Determine o 
maior valor recebido por um dos quatro, 
sabendo que André trabalha a 6 anos e 
faltou 2 vezes, Bruno trabalha a 2 anos e 
ANOTAÇÕES: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 66 
nunca faltou, Cléber trabalha a 12 anos e faltou 3 vezes e Daniel trabalha a 10 
anos e faltou apenas uma vez. 
a) R$ 2.000,00 
b) R$ 4.000,00 
d) R$ 6.000,00 
d) R$ 10.000,00 
e) R$ 12.000,00 
 
08. O lucro de R$ 14.000,00 da lanchonete WR, será dividido entre seus dois sócios. 
Wendel aplicou na empresa R$2.000,00 por 6 meses e Rinaldo aplicou R$4.000,00 
por 4 meses. Quanto, respectivamente, coube a cada um deles? 
a) R$ 4.000,00 e R$ 10.000,00 
b) R$ 6.000,00 e R$ 8.000,00 
c) R$ 7.000,00 e R$ 7.000,00 
d) R$ 9.000,00 e R$ 5.000,00 
 
09. (FCC) Um técnico bancário foi incumbido de digitar as 48 páginas de um texto. 
Na tabela abaixo, têm-se os tempos que ele leva, em média, para digitar tais 
páginas. 
 
NÚMERO
DE 
PÁGINA
S 
TEMPO 
(MINUTO
S) 
1 12 
2 24 
3 36 
4 48 
 
Nessas condições, mantida a regularidade mostrada na tabela, após 9 horas de 
digitação desse texto, o esperado é que: 
a) ainda devam ser digitadas 3 páginas. 
b) Todas as páginas tenham sido digitadas. 
c) Ainda devam ser digitadas 9 páginas. 
d) Ainda devam ser digitadas 8 páginas. 
e) Ainda devam ser digitadas 5 páginas. 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 67 
 
10. Desenvolvendo uma velocidade 
média de 18km por hora, um pedestre 
correu durante 1h 20min. Se tivesse 
desenvolvido a velocidade média de 
15km por hora, teria feito o mesmo 
percurso em quanto tempo? 
a) 1h 16min 
b) 1h 26min 
c) 1h 36min 
d) 1h 46min 
 
11. Quinze teares trabalhando 6 horas 
por dia, durante 20 dias, produzem 600m 
de pano. Quantos teares são necessários 
para fazer 1200m do mesmo pano, em 
30 dias, com 8 horas de trabalho por 
dia? 
a) 15 
b) 16 
c) 18 
d) 20 
 
12. No Banco Dimdim, em dias normais, 
na agência central, 10 caixas atendem 
900 pessoas trabalhando 6 horas diárias. 
Em uma segunda-feira chuvosa dois 
caixas faltaram por conta de uma virose 
e o gerente quer uma previsão de 
quantas pessoas poderão ser atendidas 
nas 2 horas iniciais desse dia atípico, 
quando o nível de dificuldade é duas 
vezes maior. Podemos afirmar que o 
número de pessoas atendidas nesse 
intervalo é de aproximadamente: 
a) 240 
b) 150 
c) 120 
d) 90 
 
 
 
ANOTAÇÕES: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 68 
GABARITO 
01. A 02. C 03. C 04. B 05. D 
06. E 07. D 08. B 09. A 10. C 
11. A 12. C 
 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 69 
 
CAPÍTULO 04 
 
PORCENTAGEM 
 
INTRODUÇÃO 
 
A expressão por cento vem do latim per centum e quer dizer por um cento. 
Assim, quando você lê ou escuta uma afirmação como "Grande liquidação: 20 
por cento de desconto em todos os artigos", significa que você terá 20 reais de 
desconto para cada 100 reais do preço do artigo que comprar. 
Estabelecemos, então, a 
razão 
100
20
 e podemos 
afirmar que: 
 
 
 
 
 
Assim, 
100
20
 é o mesmo que 20 por cento. A expressão por cento pode ser 
substituída pelo símbolo %. Dessa forma, temos: 
100
20
 = 20 % 
 
Veja os exemplos: 
 8 pessoas em um grupo de 10 correspondem a 
10
8
ou 
100
80
ou 80% do grupo. 
 Num total de R$ 300,00, a quantia de R$ 21,00 equivale a 
300
21
ou 
100
7
ou 7% do 
total. 
EXEMPLO: 
OBSERVAÇÃO: 
Toda razão a/b na qual b = 100, chama-se taxa de porcentagem. 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 70 
Se uma barra de chocolate é dividida em 5 pedaços e uma pessoa come 3 deles, 
ela terá comido 3/5 do total, mas se tivesse dividido em 100 partes ela teria 
comido 60 partes, o que na verdade representa a mesma coisa. Veja a ilustração. 
 
 
 
 
 
 
 
 
FRAÇÃO x PORCENTAGEM 
 
 
 
 
 
 
%60
100
60
10
6
5
3
 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 71 
 
AUMENTOS E DESCONTOS 
 
AUMENTO DE 20% 
 Valor inicial  x 
 Valor do aumento  20% de x 
 Valor após o aumento  120% de x 
 
DESCONTO DE 20% 
 Valor inicial  x 
 Valor do desconto  20% de x 
 Valor após o desconto  80% de x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para ganhar tempo (o que é fundamental em concursos) lembre-se que se um capital x aumenta 
20%, ele irá para 120% de x. Dessa forma não é necessário fazer o desenvolvimento: 
 
x + 20%x = 100%x + 20%x = 120%x = 1,20x 
 
Observe os aumentos e descontos a seguir: 
LINK: 
x 
+20% 
120%x 
x 
+50% 
150%x 
x 
+84% 
184%x 
x 
+136% 
236%x 
x 
20% 
80%x 
x 
50% 
50%x 
x 
84% 
16%x 
x 
+100% 
200%x 
x 
+100% 
2x = 200%x 
x 
+200% 
3x = 300%x 
 x 
+400% 
5x = 500%x 
x 
+800% 
9x = 900%x 
 
R – Reais 
I – 
Irracionais 
Q – 
Racionais 
Z – Inteiros 
N – 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 72 
 
 
 
LINK: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 73 
 
PORCENTAGEM DE CABEÇA 
 
O segredo para calcular porcentagem de cabeça é perceber como é fácil 
calcular 10% e 1%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para fazer porcentagem de cabeça, basta entender a relação de todas as 
porcentagens com 10%. 
 10% de 120 = 12 (1/10 de 120 = 120/10 = 12) 
 20% de 120 = 24 (20% = 10% + 10%, ou seja 12 + 12 = 24) 
 30% de 120 = 36 (30% = 10% + 10% + 10%, ou seja 12 + 12 + 12 = 3.12 = 
36) 
 5% de 120 = 6 (5% é a metade de 10%, logo a metade de 12 é 6) 
 1% de 120 = 1,20 (1/100 de 120 = 120/100 = 1,20) 
 21% de 120 = 25,2 (21% = 10% + 10% + 1%, ou seja 12 + 12 + 1,2 = 25,2) 
 35% de 120 = 42 (35% = 10% + 10% + 10% + 5%, ou seja 12 + 12 + 12 + 6 
= 42) 
 52% de 120 = 62,4 (52% = 50% (metade) + 1% + 1%, ou seja 60 + 1,2 + 1,2 = 
62,4) 
 90% de 120 = 108 (90% = 100% (o todo) – 10%, ou seja 120 – 12 = 108) 
 95% de 120 = 114 (95% = 100% (o todo) – 5%, ou seja 120 – 6 = 114) 
LINK: LINK: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 74 
 99% de 120 = 118,8 (99% = 100% (o todo) – 1%, ou seja 120 – 1,2 = 118,8) 
 125% de 120 = 150 (125% = 100% (o todo) + 25% (um quarto), ou seja 120 + 30 
= 150) 
 151% de 120 = 181,2 (151% = 100% (o todo) + 50% (metade) + 1%, ou seja 
120 + 60 + 1,2 = 181,2) 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 75 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01. Em uma sala com 50 alunos, sendo 38 mulheres, qualo percentual de homens? 
 
SOLUÇÃO: 
Lembre-se que porcentagem é fração, mas uma fração cujo denominador é 100. 
Então, para calcular o percentual que os 12 homens representam diante dos 50 
alunos, basta escrever a fração que isso representa, procurando a fração 
equivalente cujo denominador seja 100. Observe: 
 
 
02. Em uma viagem de 200km, já foram percorridos 126km, qual o percentual já 
percorridos? 
 
SOLUÇÃO: 
A fração do que já foi percorrido, em relação ao total da viagem, pode ser escrito 
da seguinte forma: 
 
 
03. Se João gastou 18/25 do seu salário, qual o percentual que ainda resta? 
 
SOLUÇÃO: 
Quem gasta 18 partes de 25 é por que ainda restam 7 partes de 25, logo essa 
fração equivale a: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 76 
 
 
04. Sabendo que 7/20 dos vereadores de um município votaram contra uma 
determinada obra, qual o percentual que votou a favor? 
 
SOLUÇÃO: 
Se 7 entre 20 vereadores votaram contra é por que os 13 restantes entre 20 
votaram a favor, logo: 
 
 
05. Após uma prova, de cada 8 recursos, 5 foram indeferidos. Qual o percentual de 
deferidos? 
 
SOLUÇÃO: 
Se foram indeferidos 5 dentre 8 recursos, então foram deferidos 3 dentre 8. 
Nesse caso, multiplicaremos o numerador e o denominador por 100, para em 
seguida dividir tudo por 8, pois dessa forma surge o denominador 100. Observe: 
 
 
06. Em uma festa, o DJ tocou 8 músicas nacionais para cada 11 estrangeiras. Qual 
o percentual de nacionais nesse repertório? 
 
SOLUÇÃO: 
 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 77 
07. Dois aumentos sucessivos de 30% e 20% são equivalentes a um único aumento 
de quanto? 
 
SOLUÇÃO: 
Podemos empregar nessa questão um artifício aritmético que costumo chamar de 
“truque do 100”. 
A idéia consiste em escrever o número 100 e seguir os comandos, ou seja, 
aumentar 30% em cimas dos 100 e em seguida aplicar mais 20% em cima do novo 
valor, no caso 130. Isso de forma cumulativa, observe: 
 
Dessa forma, como iniciamos com 100 e terminamos com 156, percebe-se 
facilmente que houve aumento de 56 partes pra cada 100 que colocamos no 
início, ou seja, aumento de 56 por 100, ou ainda aumento de 56%. 
 
Um fato interessante é que a ordem dos aumentos não altera o resultado final, 
observe: 
 
Isso ocorre pois quando aumentamos 20% estamos multiplicando por 1,20 e 
quando aumentamos 30% basta multiplicar por 30%, portanto 
 x.1,20.1,30 = x.1,30.1,20 = x.1,56 = 156%.x (aumento de 56%). 
 
08. Descontos sucessivos de 30% e 20% são equivalentes a um único desconto de 
quanto? 
 
SOLUÇÃO: 
Da mesma forma que na questão anterior podemos aplicar o “truque dos 100”, 
veja: 
 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 78 
Portanto, redução de 44 para cada 100, ou seja, diminuição de 44%. 
 
09. Uma loja, realizando uma promoção, oferece um desconto de 20% nos preços 
dos seus produtos. Pra voltar aos preços iniciais, os preços promocionais devem 
sofrer um acréscimo de A%. Determine o valor A. 
 
SOLUÇÃO: 
Observe que para cada 100 aplicado desconta-se 20, mas na voltar ao original 
deve aumentar 20 em relação a 80, ou seja, 1/4 de 80, ou ainda, aumento de 25%. 
 
 
Observe: 
 
Portanto, para retornar aos preços iniciais, os preços promocionais devem sofrer 
acréscimo de 25%. 
 
10. Após um desconto de 30%, Maria pagou por um sofá o valor de R$350,00. 
Quanto era o valor original do sofá, sem o desconto de 30%? 
 
SOLUÇÃO: 
Do enunciado, temos: 
 
Dessa forma, podemos afirmar que os 350 reais correspondem a 70% do valor 
original do sofá, ou seja 
 70%.x = 350 
Logo 
70/100.x = 350 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 79 
Portanto 
 x = 500 
 
 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 80 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. Na loja de Bosco, os produtos são 
anunciados por 80% a mais que seu 
custo. Quando vendidos a vista, ele dá 
um desconto de 20% sobre o valor 
marcado na etiqueta. Dessa forma, após 
o desconto, qual o percentual de lucro 
que ele obtém sobre o custo? 
a) 20% 
b) 24% 
c) 36% 
d) 44% 
e) 60% 
 
02. Um comerciante resolve aumentar 
em 40% o preço de todos os produtos de 
sua loja, para em seguida, anunciar uma 
liquidação com desconto de 40% em 
todos eles. Podemos afirmar que, após o 
desconto, o valor do produto: 
a) aumentou 16% em relação ao valor 
antes do aumento. 
b) reduziu 16% em relação ao valor antes 
do aumento. 
c) não pode ser definido, pois depende 
do valor marcado na etiqueta. 
d) não sofreu alteração em relação ao 
valor antes do aumento. 
 
03. No semestre passado, sabe-se que 
30% dos alunos matriculados no curso de 
idiomas “Spanglish” estudavam espanhol 
e os outros 70% estudavam inglês, mas 
ANOTAÇÕES: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 81 
nenhum deles estava matriculado nos dois idiomas. No semestre seguinte, a turma 
de espanhol teve aumento de 50% no número de matrículas, enquanto que a 
turma de inglês reduziu em 10% o número de alunos matriculados. Com base 
nessas informações, podemos afirmar que, em relação ao número de alunos do 
semestre passado, o total de alunos matriculados no semestre: 
a) aumentou 8% 
b) diminuiu 8% 
c) aumentou 18% 
d) diminuiu 18% 
 
04. Dona Menina investiu 20% de suas economias comprando Euro e o restante 
comprando Dólar. Sabendo que o Euro valorizou 10% em 6 meses e o Dólar caiu 
20% ao final do mesmo período, determine o que aconteceu com o investimento 
que ela fez. 
a) rendeu 10% 
b) reduziu 10% 
c) rendeu 14% 
d) reduziu 14% 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 82 
 
05. A massa crua com que é fabricado 
um certo tipo de pão é composta de 
40% de água, 58% de farinha e 2% de sal 
e fermento. Enquanto é assada, 75% da 
água contida na massa crua evapora, 
sendo esta a única substância perdida 
nesse processo. Nessas condições, 
calcule a massa crua de pão necessária 
para obter-se um pão assado de 42g. 
a) 65g 
b) 60g 
c) 55g 
d) 50g 
 
06. Que número deve ser somado ao 
numerador e ao denominador da fração 
23 para que ela tenha um aumento de 
20%? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
07. (FUNRIO) A rede “Lojas BBB”, numa 
promoção relâmpago, estava 
oferecendo um desconto de 20% em 
todas as suas mercadorias. Maria se 
interessou por um sofá e pagou pelo 
mesmo o valor de R$400,00. O valor 
original do sofá, sem o desconto de 20%, 
era de 
a) R$480,00 
b) R$500,00 
c) R$520,00 
d) R$540,00 
ANOTAÇÕES: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 83 
e) R$560,00 
 
08. (FUNRIO) Um reservatório para água tem a seguinte propriedade: quando está 
40% vazio, o volume da água excede em 40 litros o volume do reservatório quando 
este está 40% cheio. Dessa forma, podemos concluir que a capacidade do 
reservatório é 
a) 240 litros 
b) 220 litros 
c) 200 litros 
d) 180 litros 
e) 160 litros 
 
09. Uma sala de aula, com 50 alunos, tem 60% de mulheres e o restante de 
homens. Entram mais N mulheres e o percentual de homens passa a ser de 25%. 
Determine o valor de N. 
a) 15 
b) 20 
c) 25 
d) 30 
 
10. Uma pessoa gasta 15% do seu salário com aluguel. Se o aluguel aumenta 26% e 
o salário 5%, que percentagem do salário esta pessoa passará a gastar com 
aluguel? 
a) 15% 
b) 16% 
c) 18% 
d) 20% 
 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 84 
 
11. Dois aumentos sucessivos de 40% e 
10% são equivalentes a um único 
aumento de: 
a) 58% 
b) 54% 
c) 50% 
d) 44% 
 
12. Descontos sucessivos de 30% e 10% 
são equivalentes a um único desconto 
de: 
a) 40% 
b) 37% 
c) 33% 
d) 20% 
 
13. Um produto alimentício sofreu dois 
aumentos mensais seguidos de 20% e 
30% e no terceiro mês sofreu uma 
redução de 50% em seu valor. Podemos 
então afirmar que, ao final desses 3 
meses, o valor do produto, em relação 
ao valor inicial, sofreu: 
a) aumento de 10% 
b) redução de 22% 
c) redução de 15% 
d) nem aumento, nem redução 
 
14. Uma loja, realizando uma promoção, 
oferece um desconto de 50% nos preços 
dos seusprodutos. Pra voltar aos preços 
iniciais, os preços promocionais devem 
ANOTAÇÕES: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 85 
sofrer um acréscimo de A%. Determine o valor A. 
a) 25 
b) 50 
c) 80 
d) 100 
 
15. (CESGRANRIO) Um aparelho de som pode ser comprado em 4 prestações de 
R$ 150,00 ou à vista com 10% de desconto. Quanto será pago, em reais, se a 
compra for feita à vista? 
a) 480,00 
b) 500,00 
c) 520,00 
d) 540,00 
e) 560,00 
 
16. Um refrigerador sofre dois aumentos anuais sucessivos: o primeiro de 25% em um 
ano e outro de 35% no ano seguinte. Se ele custava R$1.200,00, determine quanto 
passou a custar depois desses aumentos. 
a) R$ 1.250,00 
b) R$ 2.025,00 
c) R$ 1.750,00 
d) R$ 2.250,00 
 
17. O salário de Rafaela sofreu um aumento de 32% e passou a valer R$ 2.640,00. 
Quanto era seu salário antes desse aumento? 
a) R$ 2.000,00 
b) R$ 2.100,00 
c) R$ 2.200,00 
d) R$ 2.400,00 
 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 86 
 
18. Em uma sala de aula de 80 alunos, o 
número de mulheres é o triplo do número 
de homens. A seguir, aponte a única 
alternativa ERRADA. 
a) as mulheres representam mais 70% da 
sala. 
b) os homens representam 25% do total 
de alunos. 
c) o número de mulheres é 200% maior 
que o número de homens. 
d) o número de homens é 300% do 
número de mulheres. 
 
19. João recebeu um aumento salarial de 
15% no início do mês de março e, no 
último dia do mesmo mês, recebeu um 
outro aumento de 20% sobre seu novo 
salário. Qual o percentual total de 
aumento que João recebeu em março? 
a) 32% 
b) 35% 
c) 38 % 
d) 135% 
 
20. Joãozinho gastou a metade do 
dinheiro que tinha com um presente que 
comprou para a sua mãe. Em seguida, 
gastou 30% do que lhe restou, na 
compra de um jogo, e ainda ficou com 
R$ 63,00. Quantos reais tinha Joãozinho 
antes das compras? 
a) 120 
b) 150 
c) 180 
ANOTAÇÕES: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 87 
d) 200 
e) 420 
 
21. Um produto custava, em certa loja, R$ 200,00. Após dois aumentos consecutivos 
de 10%, foi colocado em promoção com 20% de desconto. Qual o novo preço do 
produto (em R$)? 
a) 176,00 
b) 192,00 
c) 193,60 
d) 200,00 
 
22. Sérgio vendeu um relógio por 150% a mais do que lhe custou. Determine o 
percentual de lucro que ele obteve em relação ao preço de venda. 
a) 40% 
b) 50% 
c) 60% 
d) 75% 
 
23. Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o 
preço de venda (margem de lucro). Dessa forma, qual seria o percentual de lucro 
em relação ao preço de custo? 
a) 50% 
b) 75% 
c) 100% 
d) 150% 
 
24. Um comerciante obtém lucro de 75% sobre o preço de venda. Determine o 
percentual do lucro calculado sobre o preço de custo. 
a) 25% 
b) 100% 
c) 300% 
d) 400% 
 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 88 
25. O preço de certo produto alimentício 
dobrou três vezes seguidas, ou seja, 
durante o período da entressafra, que 
durou três meses, o produto dobrava de 
preço em relação ao mês passado. Esses 
aumentos consecutivos podem ser 
representados por um único aumento 
trimestral de: 
a) 300% 
b) 500% 
c) 600% 
d) 700% 
e) 800% 
 
26. (CESGRANRIO) Três aumentos mensais 
sucessivos de 30%, correspondem a um 
único aumento trimestral de: 
a) 0,9% 
b) 90% 
c) 190% 
d) 219,7% 
e) 119,7% 
 
27. (FUNRIO) Constatou-se num vilarejo 
que, em determinado ano, 120 pessoas 
foram vitimadas pela dengue. No ano 
seguinte, esse número caiu para 90 
pessoas. Podemos dizer, então, que 
houve uma redução no número de 
vitimados da ordem de 
a) 20% 
b) 25% 
c) 30% 
d) 35% 
ANOTAÇÕES: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 89 
e) 40 % 
 
28. (FUNRIO) Luís investiu uma determinada quantia comprando ações de uma 
indústria. No final do primeiro ano ele verificou que as ações tinham valorizado 
25%. No final do ano seguinte, ele afirmou: “puxa, eu tenho hoje o dobro do 
dinheiro que investi”. Dessa forma, a valorização das ações no segundo ano foi de 
a) 45% 
b) 50% 
c) 55% 
d) 60% 
e) 65% 
 
29. (FUNRIO) Uma jarra tem 800 ml de refresco, em que 60% dessa quantidade 
corresponde a água e 40% corresponde ao concentrado de suco de uva. Para 
que o concentrado corresponda a 25% da mistura final, a quantidade de água 
que deve ser acrescido ao refresco é de 
a) 320 ml 
b) 400 ml 
c) 480 ml 
d) 560 ml 
e) 640 ml 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 90 
 
30. (FCC) O preço de um aparelho é P 
reais. Como eu só possuo X reais, que 
correspondem a 70% de P, mesmo que 
me fosse concedido um abatimento de 
12% no preço, ainda faltariam R$ 54,00 
reais para que eu pudesse comprar esse 
aparelho. Nessas condições, a quantia 
que possuo: 
a) 210,00 
b) 230,00 
c) 250,00 
d) 270,00 
 
GABARITO 
01. D 02. B 03. A 04. D 05. B 
06. B 07. B 08. C 09. D 10. C 
11. B 12. B 13. B 14. D 15. D 
16. B 17. A 18. D 19. C 20. C 
21. C 22. C 23. C 24. C 25. D 
26. E 27. B 28. D 29. C 30. A 
ANOTAÇÕES: 
Matemática 
Prof. Pedro Evaristo 91 
 
CAPÍTULO 05 
 
JUROS SIMPLES 
 
INTRODUÇÃO 
 
 A matemática financeira está presente em nosso cotidiano de forma direta 
ou indireta. Quanto mais dominarmos esse assunto, maiores serão os benefícios 
que teremos, tanto para ganhar dinheiro como 
para evitar perde-lo. Como por exemplo, na 
escolha do melhor financiamento de um bem ou 
onde fazer aplicações financeiras. 
 O estudo da Matemática Financeira é todo 
feito em função do crescimento do capital (C) 
aplicado com o tempo. Definiremos capital como 
qualquer quantidade de moeda ou dinheiro. 
 O montante (M), ou seja, o valor final do 
capital aplicado é dado pela soma do capital inicial e uma segunda parcela, que 
é uma fração do capital inicial, à qual damos o nome de juro. Juro (J) é, portanto, 
a compensação financeira conseguida por um aplicador durante um certo tempo 
ou ainda o aluguel pago por uma pessoa que, durante algum tempo, usa o 
capital de outra. 
 O juro é cobrado em função de um coeficiente, chamado taxa de 
juro (i), que é dado geralmente em percentagem e sempre se refere a um 
intervalo de tempo (ano, semestre, mês, etc), tomado como unidade, 
denominado período financeiro ou, abreviadamente período (t ou n). 
 
Existem duas formas de serem calculados os juros a cada período: calculando 
sobre o capital inicial ou sobre o montante acumulado. Entenda que no primeiro 
caso esse crescimento se comporta como um progressão aritmética (P.A.) e no 
segundo caso o montante aumenta segundo uma progressão geometrica (P.G.). 
 
Matemática 
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 De outra forma temos: 
 Quando os juros são acrescentados, ao capital inicialmente aplicado, 
somente após o término da aplicação, podemos dizer que estamos 
calculando juros simples. 
 Quando os juros são incorporados ao capital após cada período 
de tempo, criando assim um novo capital a cada período, dizemos 
que estamos fazendo uma capitalização ou calculando juros 
compostos. 
 
Observe que na figura a seguir, a pilha de moedas da 
esquerda cresce linearmente, ou seja, aumenta a mesma quantidade de moedas 
por vez (juros simples), enquanto que a da direita cresce muito mais rápido, pois 
seu aumento é exponencial (juros compostos). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPITAL (C): Aplicação, investimento, saldo 
inicial, valor inicial, valor atual, valor presente 
e principal. 
MONTANTE (M): Resgate, valor amontoado, 
saldo devedor, saldo credor, valor futuro e 
capital futuro. 
JUROS (J): Ganho, rendimento, excedente e 
compessação financeira. 
TAXA (i): Taxa de juros, indice da taxa de 
juros e percentual de juros. 
TEMPO (t): Prazo, período, número de 
períodos e unidades de tempo. 
Matemática 
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JUROS SIMPLES 
 
 Na capitalização simples, o juro produzido em vários períodos financeiros é 
constante em cada período e proporcional ao capital aplicado, sendo este 
coeficiente de proporcionalidade