densidade e fluxo de massa

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DENSIDADE E FLUXO DE MASSA 
 
A densidade (também chamada de “massa específica”), usualmente denotada pela 
letra grega ρ , é um campo escalar que representa uma razão local entre massa e volume. 
No Sistema Internacional, a densidade ρ é expressa em kg/m3 . 
Mais precisamente, o campo de densidades é, para cada instante de tempo, uma 
função da posição cuja integral sobre uma dada região R fornece a massa contida em R 
naquele instante. Em outras palavras, 
 
R R
M dVρ= ∫ 
 
onde M
R
 é a massa contida em R no instante de tempo t e ρ é uma função da posição e 
do tempo. 
 A densidade média de um corpo contínuo ocupando a região R é dada por 
 
_
RR
R
R
dV M
VdV
ρ
ρ = =∫
∫
 
 
onde RV é o volume da regiãoR . 
 
Exemplo 1: O campo de densidades num certo movimento é dado por 
 
0 exp( )
x y
t
L
ρ ρ α+= − 
 
onde 0ρ é uma constante. Calcule a massa contida na região Ω dada por (cubo) 
 
{ }( , , ) tais que 0 , 0 e 0x y z x L y L z LΩ ≡ < < < < < < 
 
num instante de tempo t qualquer. 
 
Solução: a massa contida no cubo é dada pela integral tripla da densidade sobre a região 
definida pelo cubo. Em outras palavras, 
 
00 0 0
exp( )
L L L
CUBO
x y
M t dx dy dz
L
ρ α+= −∫ ∫ ∫ 
 
Uma vez que x e y são não-negativos e que o tempo é independente da posição, a 
expressão acima se reduz a 
 
 2 
0 0 0 0
exp( )
L L L
CUBO
x y
M t dx dy dz
L
ρ α + = −  
 
∫ ∫ ∫ 
 
o que fornece o seguinte resultado: 
 
3
0 exp( )CUBOM t Lρ α= − 
 
 
O fluxo de massa representa a quantidade de massa cruzando uma certa superfície, 
por unidade de tempo. Denotado aqui por m
•
 (note que m
•
 não é uma derivada de m ), o 
fluxo de massa através de uma superfície S , fixa no espaço, é dado por 
 
S
m dSρ
•
= ∫ v ni 
 
onde n é o vetor normal unitário definido sobre a superfície S , exterior à região para a 
qual se está calculando a taxa de saída de massa. Para calcular a taxa de entrada de massa 
(denotada em geral por Em
•
), basta trocar o sinal de m
•
 ( m
•
= Sm
•
=taxa de saída de massa). 
No Sistema Internacional, o fluxo de massa é dado em kg/s. 
Definindo a velocidade média normal 
_
v como 
 
_
S
S
d S
v
d S
= ∫
∫
v ni
 
 
teremos, quando a densidade não depender da posição, o fluxo de massa dado por 
_
m v A Vρ ρ
• •
= = (onde A é a área da superfície S ). 
 
 
Exemplo 2: Calcule o fluxo de massa cruzando a face z L= + para o escoamento lento 
através da região Ω fixa no espaço dada por 
 
 
2
2 2( , , ) tais que e 0 
4
d
x y z x y z L
 
Ω ≡ + < < < 
 
 
 
(tubo de diâmetro d , com eixo de simetria paralelo ao eixo z ), cujo campo de velocidades 
(regime permanente) é dado por 
 
2 2 2
2 2
max 2
1 4 para e todo 
4
x y d
U x y z
d
  += − + ≤  
  
v k 
 
 3 
onde maxU é a velocidade na linha de centro. Calcule também a velocidade média normal 
para esta seção. 
 
Solução: O fenômeno em estudo é esquematizado na figura abaixo 
 
O fluxo de massa é dado a partir da integral de superfície 
 
S
m dSρ
•
= ∫ v ni 
 
onde o vetor normal unitário exterior é exatamente o vetor k . No caso da tubulação em 
questão, é representada (no sistema cartesiano retangular) por 
 
2 2
2 2
2 2/ 2 / 4
max 2/ 2 / 4
1 4
d d y
d d y
x y
m U dxdy
d
ρ
• −
− − −
  += −  
  
∫ ∫ k ki 
 
ou seja, 
 
2 2
2 2
2 2/ 2 / 4
max 2/ 2 / 4
1 4
d d y
d d y
x y
m U dxdy
d
ρ
• −
− − −
  += −  
  
∫ ∫ 
 
É mais fácil resolver esta integral no sistema polar de coordenadas. Assim, representemos o 
fluxo de massa cruzando a superfície z L= + como 
 
2
2
max 20 0
1
R r
m U rdrd
R
π
ρ θ
•  
= − 
 
∫ ∫ 
 
o que nos fornece (facilmente) o seguinte resultado: 
 
2 2
max max
1 1
2 8
m R U d Uπ ρ π ρ
•
= = 
 
 4 
A velocidade média normal é, então, a metade de maxU . 
 
 A vazão através de uma superfície S , denotada por V
•
, é usualmente definida por 
 
S
V dS
•
= ∫ v ni 
 
sendo, no Sistema Internacional, dada em m3/s. 
 Quando a superfície S envolver completamente a região R ela será denotada por 
R∂ ( R∂ significa “fronteira deR ”). Nestes casos, vale o Teorema da Divergência e, 
conseqüentemente, 
 
( )
R R
R R
m dS div dV
V dS div dV
ρ ρ
•
∂
•
∂
= =
= =
∫ ∫
∫ ∫
v n v
v n v
i
i
 
 
 No caso de regiões e superfícies que variem com o tempo, o fluxo de massa e a 
vazão serão dados por 
 
( )
( )
t
t
SS
SS
m dS
V dS
ρ
•
•
= −
= −
∫
∫
v v n
v v n
i
i
 
 
onde Sv denota a velocidade local da superfície. 
 
Exemplo 3: Um fluido com densidade constante ρ escoa com o seguinte campo de 
velocidades 
( )x yα= −v i j 
 
Calcule o fluxo de massa através a) da superfície esférica de raio R centrada na origem e 
b) da fronteira do cubo 0 , 0 e 0x L y L z L≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ . 
 
Solução: uma vez que ambas as superfícies são fechadas (envolvem um domínio 3-D), 
vamos aplicar o teorema da divergência para os dois itens acima. O fluxo de massa é dado 
por 
 
S
m dSρ
•
= ∫ v ni 
 
 5 
o que equivale a (teorema da divergência) 
 
( )m dS div dVρ ρ
•
∂Ω Ω
= =∫ ∫v n vi 
 
onde Ω é a região cuja fronteira é ∂Ω (quando a superfície em questão envolve 
completamente uma região Ω 3-D, ela é denotada pelo símbolo ∂Ω ). Calculando o 
divergente acima, teremos que 
 
( ) ( )1 1 0div ρ αρ= = − =v v 
 
Desta forma, o fluxo de massa é nulo para os itens a) e b). 
 
 
Exemplo 4: Um corpo contínuo tem o campo de densidades dado por 0 exp( )tρ ρ α= − e o 
de velocidades dado por ( )x y zα= − +v i j k . Calcule o fluxo de massa através da face 
z L= + do cubo do problema anterior no instante 0t t= . 
 
Solução: o vetor normal unitário exterior definido sobre a face z L= + do cubo é o vetor k 
(aponta para “fora” do cubo). Assim, 
 
 sobre a face z L z Lα α= = ⇒ = = +v n v k v ni i i 
 
O fluxo de massa será, então, dado por 
 
0 00 0
exp( )
L L
S
m dS L t dxdyρ α ρ α
•
= = −∫ ∫ ∫v ni 
 
ou seja, 
 
3
0 0 0 00 0
exp( ) exp( )
L L
m L t dxdy L tα ρ α α ρ α
•
= − = −∫ ∫ 
 
 
Exemplo 5: Repita o exemplo 2, supondo que o fluido é um gás ideal (cuja constante R é 
conhecida) e que os campos de pressões, de velocidades e de temperaturas são 
 
2 2 2
2 2
max 2
2
2 2
2
2 2
1 4 para e todo 
4
( ) para e todo , ( ) 0
4
( ) para e todo , ( ) 0,
4
x y d
U x y z
d
d
T g z x y z g z
d
p f z x y z f z
  += − + ≤  
  
= + ≤ >
= + ≤ >
v k
 
 6 
 
onde ( ) e ( ) f z g z são funções conhecidas e positivas para todo z . 
 
Solução: o fluxo de massa é dado a partir da integral de superfície abaixo: 
 
S
m dSρ
•
= ∫ v ni 
 
onde o vetor normal unitário exterior é exatamente o vetor k . No caso da tubulação em 
questão, é representada (no sistema cartesiano retangular) por 
 
2 2
2 2
2 2
/ 2 / 4
max 2/ 2 / 4
1
d d y
d d y
x y
m U dxdy
R
ρ
• −
− − −
 += − 
 
∫ ∫ k ki 
 
 Uma vez que (gás ideal) Rp Tρ= , teremos que, sobre a face z L= + , 
 
( ) ( )
R R ( ) R ( )
p f z f L
T g z g L
ρ = = = 
 
 Logo, a densidade será constante sobre a região de integração. Assim, 
 
2 2
2 2
2 2/ 2 / 4
max 2/ 2 / 4
( )
1
R ( )
d d y
d d y
f L x y
m U dxdy
g L R
• −
− − −
   += −  
   
∫ ∫ 
 
o que nos fornece o seguinte resultado 
 
2
max
1 ( )
8 R ( )
f L
m d U
g L
π
•  
=  
 
 
 
A velocidade média é, novamente, a metade de maxU .