AE1_P1_2020

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Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
0 
 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL 1 
 
INTRODUÇÃO 
 
À 
 
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
 
O conteúdo desta nota de aula foi elaborado utilizando as 
seguintes referências bibliográficas: 
 
- Curso de Análise Estrutural 
Volume 1 – Estruturas Isostáticas 
José Carlos Süssekind 
Editora Globo 
 
- Estática das Estruturas 
Humberto de Lima Soriano 
Editora Ciência Moderna 
 
 
Parte1: 
1 - Viga simples 
2 - Viga sob cargas especiais: cargas triangulares 
 cargas trapezoidais 
3 - Viga Gerber 
4 - Viga inclinada 
 
 
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1 
ou ou 
R1 
R1 
R1 
R1 
R1 
R1 
R1 
R1 
R1 
ou 
ou 
R1 
R1 
R1 
R2 
R2 
R1 
R2 
R2 
R1 
R2 
R1 
R2 
R1 
R2 
M 
R2 
R1 
M 
OBS: 
M  a reação de momento do 
apoio deve ser sempre indicada 
com a convexidade voltada para 
o apoio. Ex: 
 
1 - Viga simples 
1.1 - Tipos de apoios ou vínculos estruturais 
 Denominamos vínculos ou apoios os elementos de construção que impedem os 
movimentos de uma estrutura. 
 Nas estruturas planas, os apoios são classificados em 3 tipos. 
 
a) Apoio do 1º gênero ou Vínculo Simples ou Apoio Móvel ou Rolete 
 Este tipo de vínculo impede o movimento de translação na direção normal ao 
plano de apoio, fornecendo uma única reação na direção normal ao plano de apoio. 
Representação gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Apoio do 2º gênero ou Vínculo Duplo ou Apoio Fixo ou Pino 
 Este tipo de vínculo impede o movimento de translação em duas direções, na 
primeira na direção normal ao plano e na direção paralela ao plano de apoio, 
fornecendo duas reações, uma reação em cada direção já mencionada. 
 
Representação gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Apoio do 3º gênero ou Engastamento ou Engaste 
 Este tipo de vínculo impede a translação em duas direções bem como a rotação, 
fornecendo três reações, uma reação em cada direção mais a reação de momento do 
apoio. 
 
Representação gráfica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2 
 
1.2 - Estaticidade de vigas simples 
a) Viga simples Isostática: o número de reações de apoio (N. R. A.) é igual ao 
número de equações de equilíbrio (N. E. E.) e os apoios garantem que a estrutura seja 
estável = estática = não desloca. As equações de equilíbrio são: Fx =0; Fy =0; M =0 
Ex.1: HA A B Ex.2: HA A B 
 
 MA 
 
 VA VB VA 
N. R. A. = 3 = N. E. E. N. R. A. = 3 = N. E. E. 
 A estrutura não desloca; A estrutura não desloca; 
 Viga simples isostática Viga simples isostática 
 
b) Viga simples Hipostática: quando o número de apoios da estrutura não é suficiente 
para garantir que a estrutura seja estável = estática = não desloca. As equações de 
equilíbrio são: Fx = 0; Fy = 0; M = 0 
 
Ex.1: A B Ex.2: A B C 
 
 
 
 VA VB VA VB VC 
N. R. A. = 2 < N. E. E. = 3 N. R. A. = 3 = N. E. E. 
 A estrutura desloca para a direita; A estrutura desloca para a esquerda; 
 Viga simples hipostática Viga simples hipostática 
 
 
Ex.3: A B C D Ex.4: HA A B HB 
 
 
 
 VA VB VC VD VA 
N. R. A. = 4 > N. E. E. = 3 N. R. A. = 3 = N. E. E. 
 A estrutura desloca para a direita; A estrutura desloca para baixo; 
 Viga simples hipostática Viga simples hipostática 
 
 
c) Viga simples Hiperestática: o número de reações de apoio (N. R. A.) é maior que o 
número de equações de equilíbrio (N. E. E.) e os apoios garantem que a estrutura seja 
estável = estática = não desloca. As equações de equilíbrio são: 
Fx = 0; Fy = 0; M = 0 
 
Ex.1:HA A B Ex.2: A B C 
 
 MA HB 
 
 VA VB VA VB VC 
 N. R. A. = 4 > N. E. E. = 3 N. R. A. = 4 > N. E. E. =3 
 A estrutura não desloca; A estrutura não desloca; 
 Viga simples hiperestática Viga simples hiperestática 
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3 
 
 
Ex.3:HA A B Ex.4: A B C 
 HAMA HB MA HB 
 
 VA VB VA VB VC 
 N. R. A. = 5 > N. E. E. = 3 N. R. A. = 6 > N. E. E. = 3 
 A estrutura não desloca; A estrutura não desloca; 
 Viga simples hiperestática Viga simples hiperestática 
 
 
Nota  Esta disciplina estudará apenas exemplos de viga 
isostática. 
 
 
1.3 - Classificação de Vigas simples Isostáticas: 
As vigas simples isostáticas são classificadas em três tipos básicos: vigas biapoiadas, 
vigas biapoiadas com balanço e vigas engastadas e livres. 
 
Vigas biapoiadas 
 
 
 
 
Vigas biapoiadas com balanço 
 
 
 
 
Vigas engastadas e livres 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.4 - Esforços internos em Vigas simples isostáticas 
 Devido à ação das forças externa, surge em cada seção transversal das vigas, 
barras, eixos esforços internos simples; 
 
- Tipos de esforços internos simples: 
 
a) Esforço Normal (N): 
Convenção normalmente adotada 
 
N (+)  traciona (“sai”) a seção da estrutura; 
N (-)  comprime (“entra”) a seção da estrutura; 
 
 
 s 
 Análise da Esquerdadireita Análise da esquerda Direita 
 
 N (+) N (+) 
 s 
 Ns (+): tração Ns (+): tração 
 
 N (-) N (-) 
 s 
 Ns (-): compressão Ns (-): compressão 
 
 
 
b) Esforço Cortante (V): 
Convenção normalmente adotada 
 
V (+)  corta a seção e tende a provocar um giro da seção no sentido horário; 
V (-)  corta a seção e tende a provocar um giro da seção no sentido anti-horário; 
 
 
 s 
 Análise da Esquerdadireita Análise da Direita esquerda 
 
 V (+) V (+) 
 
 
 
 
 
 V (-) V (-) 
 s 
 - - 
 
 
 
 
 
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c) Momento Fletor (M): 
Convenção normalmente adotada 
 
M (+)  Momento fletor traciona as fibras inferiores (t.f.i); 
M (-)  Momento fletor traciona as fibras superiores (t.f.s); 
 
 
 s 
 Análise da Esquerdadireita Análise da Direita esquerda 
 M (+) M (+) 
 
 s 
 traciona (estica) fibras inferiores 
 
 M (-) M (-) 
 
 s 
 traciona (estica) fibras superiores 
 
 M + (positivo) = traciona fibra inferior (t. f. i.); 
  M - (negativo) = traciona fibra superior (t. f. s.); 
 
DIAGRAMA  Esta nota de aula adota o seguinte procedimento: 
O diagrama é traçado sempre no lado tracionado com os valores absolutos, ou 
seja, sem o uso de sinais ( + ou - ); 
 
 M + (positivo) = traciona fibra inferior (t. f. i.); 
DIAGRAMA NA PARTE INFERIOR DA VIGA SEM SINAL; 
 
 M - (negativo) = traciona fibra superior (t. f. s.); 
DIAGRAMA NA PARTE SUPERIOR DA VIGA SEM SINAL; 
 
Este procedimento de traçado de diagramas EVITA ERROS de execução das 
peças (vigas, pilares, lajes, etc.) de concreto armado, pois o concreto não resiste bem 
aos esforços de tração. Assim ao indicar o valor do momento e lado (as fibras) da peça 
que está sobre tração informa-se automaticamente o local onde deve ser posicionada a 
armadura principal (barras de aço). 
 
Ex: Momento tracionando fibras inferiores 
 
 
 
 
 
 Momento tracionando fibras superiores 
 
 
 
 
armadura 
 armadura 
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1.5 - Análise de Vigas Isostáticas: 
Esta análise tem o objetivo de determinar as reações de apoio e os diagramas 
de esforços solicitantes: Diagrama de esforço Normal (DN); Diagrama de esforço 
Cortante (DV); Diagrama de Momento fletor (DM); 
Para realizar esta análise deve-se utilizar o seguinte procedimento: 
 
 
 
 
 
 
I - Identificar as seções fundamentais para análise: 
 
. seções sobre os apoios: 
. seções sob cargas concentradas: 
. seções sob cargas momento: 
. seções no início e final de cargas distribuídas: 
. seções sobre as extremidades das vigas: 
 
II - Substituir carga distribuída de cada trecho por sua resultante: 
 
 R1 = q . Lef 
 R2 = q . Lfg 
 
 
 
III - Substituir carga inclinada por suas componentes em x e y: 
 
 F1x = P2 . cos  
 F1y = P2 . sen  
 
 
 
IV - Identificar as reações de apoio e arbitrar um sentido: 
 
 Apoio em c: apoio do 1º gênero; 
 Vc 
 
Apoio em g: apoio do 2º gênero; 
 Vg e Hg 
 
 
V - Calcular as reações de apoio por meio das equações de equilíbrio da estática: 
Fx = 0; Fy = 0; M = 0 
 
VI - Traçaros diagramas de esforços internos (Normal; Cortante; Momento fletor): 
 
Obtido calculando o valor dos esforços internos em cada seção fundamental 
utilizando o MÉTODO DAS SEÇÕES, sendo este método, descrito a seguir nesta nota 
de aula. 
P1 P2 
q 
M
1 
P3 

f c b g d e a
h 
i e 
P1 P2 
q 
M
1 
P3 

f c b g d e a
h 
i e 
P1 P2 
M
1 
P3 
 R1 R2 
f c b g d e a
h 
i e 
P1 
M
1 
P3 
 R1 R2 

P2 
F1x 
F1y F1x 
F1y 
f c b g d e a
h 
i e 
P1 
M
1 
P3 
 R1 R2 
F1x 
F1y 
Vc Vg 
Hg 
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OBS: 
Somatório do Momento em uma seção qualquer (s) da viga: 
Ms = 0  esta equação estabelece que o somatório do momento em qualquer seção 
 SEMPRE SERÁ ZERO; 
 
Valor do Momento em uma seção qualquer (s) da viga: 
Ms = PODE SER ZERO OU NÃO; 
 
 
 
O momento fletor nas extremidades de vigas: É SEMPRE NULO, desde que não 
exista um momento aplicado na extremidade da viga; 
 
A seguir são apresentados alguns exemplos que ilustram este conceito. 
 
O SENTIDO DO GIRO DA SETA DO MOMENTO INDICA O LADO TRACIONADO: 
 Tracionando as fibras inferiores  t. f. i. 
 Tracionando as fibras superiores  t. f. s. 
 
EX1: 
Mc = 0; Mb = 4 kN.m (t. f. i.); 
 
 
 OU 
 
 
 
 OU 
 
 
 
EX2: 
Mc = 1 kN.m (t.f.i.); Mc = 5 kN.m (t.f.s.); 
 
 
 
 OU OU 
 
 
 
 OU OU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c 
M= 4 kN.m 
b a c 
b a c 
M= 4 kN.m 
b a c 
M= 4 kN.m 
M= 5 kN.m 
M= 5 kN.m 
M= 5 kN.m 
b a 
b a c 
b a c 
M= 1 kN.m 
M= 1 kN.m 
M= 1 kN.m 
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OBS: 
O método das seções consiste analisar o valor do esforço interno (Normal; 
Cortante; Momento fleto) imediatamente antes e depois de cada seção conforme 
ilustrado a seguir. 
 
 O valor dos esforços (N, Q, M) em cada seção é determinada por meio do 
 MÉTODO DAS SEÇÕES: cada seção será analisada: 
 
 Á ESQUERDA imediatamente antes (décimos de milímetro à esquerda) 
 E 
 Á DIREITA  imediatamente após (décimos de milímetro à direita) 
 
Exemplo: uma seção qualquer S 
 
 
 Utilizando um ZOOM DE 1.000.000,0 VEZES: 
 
 
A análise pode ser feita da esquerda - para direita 
 
 ou 
 
A análise pode ser feita da direita – para esquerda 
 
 
Exemplo: Analisando a Seção S a esquerda  Se 
 
Nse = ? 
Vse = ? 
Mse = ? 
 
Analisando da esquerda para a direta os valores obtidos são; 
 
esquerda para a direita  NSe = 5,26 kN ; QSe = - 6,78 kN ; MSe = 8,40 kN.m 
 
Caso a análise seja realizada da direita para a esquerda os resultados tem ser os 
mesmos, podendo haver uma diferença a partir da segunda casa decimal depois da 
vírgula; 
 
Direita para a esquerda  NSe = 5,28 kN ; QSe = - 6,75 kN ; MSe = 8,43 kN.m 
 Ok! Ok! Ok! 
 
Direita para a esquerda  NSe = 5,38 kN ; QSe = - 6,85 kN ; MSe = 8,33 kN.m 
 Não Ok! Não Ok! Não Ok! 
 
 ERRO NO CÁLCULO DAS REAÇÕES OU NO CÁCULO DOS ESFORÇOS; 
 
 
 
 
S 
Sdireita Sesquerda 
S 
0,0001 m = 0,1 mm 
Se Sd 
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Exemplo 1: determine as reações de apoio, os diagramas de esforços solicitantes, o 
esforço cortante máximo e os momentos máximos (inferior e superior); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1x = 4 . cos 300 = 3,46 kN 
 F1y = 4 . sen 300 = 2,0 kN 
 
 
1 - calcular as reações de apoio: 
 +  Fx = 0  + 5 - F1x - 2,6 + Hd + 4,8 = 0  Hd = - 3,74  Hd = 3,74 kN 
 
 +  Fy = 0  Va + Vd + 8 - 4,5 - F1y - 6 + 20 - 16 = 0  Va + Vd = + 0,5 kN 
 
 Md = 0 +  
 - 4,5 - 8 . 7,5 - Va . 7,5 + 4,5 . 6,75 + F1y . 6,0 + 6 . 5,0 - 9 - 20 . 2,0 - 3 = 0 
 
  7,5 Va = - 44,125  Va = - 5,88  Va = 5,88 kN 
 
*** ponto crucial para evitar erros: 
toda vez que o sentido da reação for corrigida, não esquecer de corrigir o sentido desta 
reação na equação escrita anteriormente, antes de inserir o valor corrigido. 
 
 corrigir  Fy: Va + Vd = + 0,5 kN 
 Na verdade o correto: - Va + Vd = + 0,5 kN 
 
 - 5,88 + Vd = + 0,5 
 
  Vd = 6,38 kN 
 
 
 
 
 9 kN.m 
 4,0 m 2,0 m 1,5 m 
a b 
d 
Vd 
Hd 
Va 
 4,5 kN.m 
 3 kN.m 
 16 kN 
 F1x 
 4,8 kN 5 kN 
 2,6 kN 
c 
 9 kN.m 
4,0 m 2,0 m 1,5 m 
 4,5 kN.m 
 3 kN.m 
 16 kN 4 kN 
 4,8 kN 5 kN 2,6 kN 
 300 
 3 kN/m 
 5 kN/m 
 F1y 
 4 kN 
 300 
 R1 = 4,5 kN R2 = 6 kN R3 = 20 kN 
 F1y 
 F1x 
 8 kN 
 8 kN 
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10Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1x = 4 . cos 300 = 3,46 kN 
 F1y = 4 . sen 300 = 2,0 kN 
 
2 - calcular o esforço normal: 
Nad = - 5 kN // Nbe = - 5 kN // Nbd = - 5 + F1x = - 1,54 kN 
Nce = - 1,54 kN // Ncd = - 1,54 + 2,60 = + 1,06 kN // Nde = + 1,06 kN 
Obs: análise p/direita: por exemplo: Nde = + 4,8 - Hd = + 1,06 kN 
 
3 - calcular o esforço cortante: 
Análise p/esquerda 
Vad =+8 - 5,88 = +2,12 kN // Vbe = + 2,12 - 4,5 = - 2,38 kN // Vbd = - 2,38 - F1y = - 4,38 kN 
Vce = - 4,38 - 6 = - 10,38 kN // Vcd = - 10,38 kN // Vde = - 10,30 + 20 = + 9,62 kN 
Obs: análise p/direita: por exemplo: Vde = + 16 - Vd = + 9,62 kN 
 
4 - calcular o momento fletor: LEMBRETE: t. f. i.  M + (POSITIVO) 
Análise p/esquerda t. f. s.  M - (NEGATIVO) 
Mad = + 4,5 kN.m = 4,5 kN.m (t.f.i) 
Mbe = Mbd = Mb 
Mb = + 4,5 + 8 . 1,5 - Va . 1,5 - R1 . 0,75 = + 4,31 kN.m = 4,31 kN.m (t.f.i) 
OBS: Seção qualquer s; 
 Sem momento aplicado  Mse = Msd = Ms 
 
 
 
 Com momento aplicado  Mse ≠ Msd 
 
 
 
Mce = + 4,5 + 8 . 3,5 - Va . 3,5 - R1 . 2,75 - F1y . 2,0 - R2 . 1,0 
 = -10,46 kN.m = 10,46 kN.m (t.f.s) 
 
Mcd = - 10,46 + 9,0 = - 1,46 kN.m = 1,46 kN.m (t.f.s) 
Mde = - 3,0 kN.m = 3,0 kN.m (t.f.s) 
 
OBS: Seção na extremidade: 
 sem momento aplicado  Momento na seção = 0; 
 com momento aplicado  Momento na seção = é o próprio momento aplicado; 
 
 
 
S 
Msd Mse 
Msd Mse 
4 kN.m S 
 9 kN.m 
 4,0 m 2,0 m 1,5 m 
a b 
d 
Vd = 6,38 kN 
Hd = 3,74 kN 
Va = 5,88 kN 
 4,5 kN.m 
 3 kN.m 
 16 kN 
 F1x 
 4,8 kN 5 kN 
 2,6 kN 
c 
 F1y 
 4 kN 
 300 
 R1 = 4,5 kN R2 = 6 kN R3 = 20 kN 
 F1y 
 F1x 
 8 kN 
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13 
 
 
 
A dedução do parâmetro (qL2/8) e do processo gráfico utilizado para traçar o 
diagrama de momento fletor no trecho com carga distribuída retangular uniforme 
é apresentada no tópico 1.6; 
 
 
 
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14 
 
Determinação do momento máximo inferior: 
 
Ocorre em um ponto x entre o trecho ab, conforme o diagrama de momento; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x/2 
 
 
 x 
 
 
Equação do momento para o trecho ab: 
 
Mx = + 4,5 + 8 . x - Va . x - R . x/2 LEMBRETE: t. f. i.  M + (POSITIVO) 
 t. f. s.  M - (NEGATIVO) 
Mx = + 4,5 + 8 . x - 5,88. x - 3 . x . x/2 
 
Mx = + 4,5 + 8 x - 5,88 x - 1,5x2 
 
O momento máximo ocorre na seção cuja a derivada primeira da equação do momento 
é igual a zero: 
 
DMx / dx = 0  8 - 5,88 - 2 . (1,5 x) = 0 
 
 2,12 - 3,0 x = 0 
 
 x = 2,12 / 3 = 0,71 m 
 
O momento positivo máximo ocorre a 0,71 m a direita do ponto a, substituindo este 
valor de x na equação do momento para o trecho ab: 
Mx = + 4,5 + 8 x - 5,88 x - 1,5x2 = + 4,5 + 8 . 0,71 - 5,88 . 0,712 
 
Mx = + 5,24 kN. m = 5,24 kN. m (t. f . i)  Momento máximo inferior 
 9 kN.m 
4,0 m 2,0 m 1,5 m 
 4,5 kN.m 
 3 kN.m 
 16 kN 4 kN 
 4,8 kN 5 kN 2,6 kN 
 300 
 3 kN/m 
 5 kN/m 
 8 kN 
a b 
Va = 5,88 kN 
 9 kN.m 
4,0 m 2,0 m 
 4,5 kN.m 
 3 kN.m 
 16 kN 4 kN 
 4,8 kN 5 kN 2,6 kN 
 300 
 3 kN/m 
 5 kN/m 
 8 kN 
a b 
Va = 5,88 kN 
 R = 3 . X 
Sempre a partir da 
extremidade da viga: 
(trecho _ab) 
 
 a : extremidade 
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Determinação do momento máximo superior: 
 
Ocorre em um ponto x entre o trecho cd, conforme o diagrama de momento; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x/2 
 
 
 x 
 
Equação do momento para o trecho cd: 
 
Mx = + Vd . x + R . x/2 - 3,0 - 16. x LEMBRETE: t. f. i.  M + (POSITIVO) 
 t. f. s.  M - (NEGATIVO) 
Mx = + 6,38 . x + 5. x . x/2 - 3,0 - 16. x 
 
Mx = + 6,38 x + 2,5 x2 - 3,0 - 16 x 
 
O momento máximo ocorre na seção cuja a derivadaprimeira da equação do momento 
é igual a zero: 
 
d Mx / dx = 0  + 6,38 + 2 . (2,5 x) - 16 = 0 
 
 5,0 x - 9,62 = 0 
 
 x = 9,62 / 5 = 1,92 m 
 
O momento positivo máximo ocorre a 1,92 m à esquerda do ponto d, substituindo este 
valor de x na equação do momento para o trecho cd: 
Mx = + 6,38 x + 2,5 x2 - 3,0 - 16 x = + 6,38 . 1,92 + 2,5 1,922 - 3,0 - 16 . 1,92 
 
Mx = - 12,25 kN. m = 12,25 kN. m (t. f .s)  Momento máximo superior 
 9 kN.m 
4,0 m 2,0 m 1,5 m 
 4,5 kN.m 
 3 kN.m 
 16 kN 4 kN 
 4,8 kN 5 kN 2,6 kN 
 300 
 3 kN/m 
 5 kN/m 
 8 kN 
c 
d 
Vd = 6,38 kN 
 9 kN.m 
 2,0 m 
 4,5 kN.m 
 3 kN.m 
 16 kN 4 kN 
 4,8 kN 
 5 kN 2,6 kN 
 300 
 8 kN 
d 
Va = 5,88 kN 
 R = 5 . X 
Hd = 3,74 kN 
Vd = 6,38 kN 
Hd = 3,74 kN 
Sempre a partir da 
extremidade da viga: 
(trecho _cd) 
 
 d : extremidade 
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16 
 
OBS: 
A derivada primeira da equação do momento do trecho em relação a x representa a 
equação do esforço cortante do trecho; 
 
dMx/ dx = Vx 
 
Para dMx/ dx = 0  determina-se o ponto onde ocorre o momento fletor máximo DO 
TRECHO, ou seja, na seção DO TRECHO de esforço cortante nulo (gráfico corta o eixo 
da viga) ocorre o momento fletor máximo DO TRECHO, o que pode ser verificado 
graficamente, conforme ilustrado a seguir. 
 
 
OBS: 
Nem sempre o momento máximo do trecho é o momento máximo da Viga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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17 
 
Exemplo 2: determine as reações de apoio, os diagramas de esforços solicitantes, o 
esforço cortante máximo e os momentos máximos (inferior e superior); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1x = 5 . cos 750 = 1,29 kN 
 F1y = 5 . sen 750 = 4,83 kN 
 
 
1 - calcular as reações de apoio: 
 +  Fx = 0  + Ha - F1x + 4,0 = 0  Ha = - 2,71  Ha = 2,71 kN 
 
 +  Fy = 0  Va - 5,0 - F1y - 3,75 + 1,5 = 0  Va = + 12,08 kN 
 
 Ma = 0 +  
 + 1,5 . 3,5 + 4,0 - 3,75 . 2,75 - F1y . 2,0 - 5,0 - 5,0 . 1,0 - Ma = 0 
 
  Ma = - 20,72  Ma = 20,72 kN . m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a b 
 F1x 
c 
 5 kN.m 
1,5 m 2,0 m 
 4 kN.m 
 1,5 kN 5 kN 
 4,0 kN 
 750 
 F1y 
 5 kN 
 750 
 R1 = 5,0 kN R2 = 3,75 kN 
 F1y 
 F1x 
 2,5 kN/m 
 5 kN.m 
1,5 m 2,0 m 
 4 kN.m 
 1,5 kN 
 4,0 kN 
 Ma 
 Va 
 Ha 
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18 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F1x = 5 . cos 750 = 1,29 kN 
 F1y = 5 . sen 750 = 4,83 kN 
 
 
2 - calcular o esforço normal: 
Nad = + 2,71 kN // Nbe = + 2,71 kN // Nbd = + 2,71 + F1x = + 4,0 kN 
Nce = + 4,0 kN // 
 
3 - calcular o esforço cortante: 
Análise p/esquerda 
Vad = + 12,08 kN // Vbe = + 12,08 - 5,0 = + 7,08 kN // Vbd = + 7,08 - F1y = + 2,25 kN 
Vce = + 2,25 - 3,75 = - 1,5 kN // 
 
4 - calcular o momento fletor: LEMBRETE: t. f. i.  M + (POSITIVO) 
Análise p/esquerda t. f. s.  M - (NEGATIVO) 
Mad = - 20,72 kN.m = 20,72 kN.m (t.f.s) 
Mbe = - 20,72 + 12,08 . 2,0 - 5,0 . 1,0 = - 1,56 kN.m = 1,56 kN.m (t.f.s) 
Mbd = - 1,56 + 5,0 = + 3,44 kN.m = 3,44 kN.m (t.f.i) 
Mce = + 4,0 kN.m = 4,0 kN.m (t.f.i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a b 
 F1x 
c 
 F1y 
 5 kN 
 750 
 R1 = 5,0 kN R2 = 3,75 kN 
 F1y 
 F1x 
 5 kN.m 
1,5 m 2,0 m 
 4 kN.m 
 1,5 kN 
 4,0 kN 
 Ma = 20,72 kN.m 
 Va = 12,08 kN 
 Ha = 2,71 kN 
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19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção de cortante nulo 
(gráfico corta o eixo da viga), 
Ocorre momento máximo 
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21 
 
 
 
A dedução da equação e do processo gráfico utilizado para traçar o diagrama de 
momento fletor no trecho com carga distribuída retangular uniforme é 
apresentada no tópico 1.6; 
 
 
 
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22Determinação do momento máximo inferior: 
 
Ocorre em um ponto x entre o trecho bc, conforme o diagrama de momento; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x/2 
 
 
 x 
 
Equação do momento para o trecho bc: 
 
Mx = + 1,5 . x + 4,0 - R . x/2 LEMBRETE: t. f. i.  M + (POSITIVO) 
 t. f. s.  M - (NEGATIVO) 
Mx = + 1,5 x + 4,0 - 2,5 x . x/2 
 
Mx = + 1,5x + 4,0 - 1,25x2 
 
O momento máximo ocorre na seção cuja a derivada primeira da equação do momento 
é igual a zero: 
 
d Mx / dx = 0  1,5 - 2 (1,25 x) = 0 
 
 1,5 - 2,5 x = 0 
 
 x = 1,5 / 2,5 = 0,60 m 
 
O momento positivo máximo ocorre a 0,60 m do ponto c, substituindo este valor de x na 
equação do momento para o trecho bc: 
Mx = + 1,5x + 4,0 - 1,25x2 = + 1,5 . 0,6 + 4,0 - 1,25 . 0,602 
 
Mx = + 4,45 kN. m = 4,45 kN. m (t. f . i)  Momento máximo inferior 
a b 
 5 kN.m 
1,5 m 2,0 m 
 4 kN.m 
 1,5 kN 5 kN 
 4,0 kN 
 750 
 2,5 kN/m 
c 
a b 
 5 kN.m 
 2,0 m 
 4 kN.m 
 1,5 kN 
 4,0 kN 
 2,5 kN/m 
c 
 R = 2,5 . X 
Sempre a partir da 
extremidade da viga: 
(trecho _bc) 
 
 b : extremidade 
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23 
 
OBS: 
A derivada primeira da equação do momento do trecho em relação a x representa a 
equação do esforço cortante do trecho; 
 
dMx/ dx = Vx 
 
Para dMx/ dx = 0  determina-se o ponto onde ocorre o momento fletor máximo DO 
TRECHO, ou seja, na seção DO TRECHO de esforço cortante nulo (gráfico corta o eixo 
da viga) ocorre o momento fletor máximo DO TRECHO, o que pode ser verificado 
graficamente, conforme ilustrado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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24 
 
OBS1: Determinação da equação do momento fletor de um trecho visando a 
obtenção do valor do momento fletor máximo. 
 
1º ponto: a determinação da equação é realizada sempre a partir de uma das 
extremidades da viga; 
 
2º ponto: marcar uma seção de corte ss distante x sempre a partir de uma das 
extremidade do trecho em questão que exija a análise de um menor número de 
trechos; 
 
3º ponto: a determinação da equação é realizada de forma simplificada a partir da 
extremidade da viga que exija a análise de um menor número de trechos; 
 
A seguir é apresentado exemplo que auxilia o entendimento deste pontos; 
 
 
Ex: determinar a equação do momento do trecho bc 
 ss 
 
 
 x 
 
 
Considerando x  de b para c: neste caso devem ser considerados dois trechos, 
 trecho ab + trecho bx 
 
 ss 
 
 
 x 
 
 
 
Considerando x  de c para b: neste caso devem ser considerados três trechos, 
 trecho ed + trecho dc + trecho cx 
 
 ss 
 
 
 x 
 
 
 
Portanto, para obter de forma mais fácil a equação do momento fletor deve ser 
realizada considerando x  de b para c; 
 
 
 
 
 
a b c d 
e 
a b 
c d 
e 
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25 
 
OBS2: Situações em que a determinação da equação do momento fletor não é 
necessária para a obtenção do valor do momento fletor máximo. 
 
 
Nos casos em que o ponto de partida e o ponto de chegada da parábola possuam o 
mesmo valor, o momento máximo é determinado de forma direta. 
 
 
A seguir são apresentados exemplos que auxiliam o entendimento deste ponto; 
 
 
 
 
Ex1: DM (kN.m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Momento máximo = 5 + 2 = 7 kN.m (t.f.i) 
 
 
 
 
 
 
Ex2: DM (kN.m) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Momento máximo = 8,4 - 2 = 6,4 kN.m (t.f.i) 
 
 
 
5,0
b 
c d 
qL2/8 = 2 kN.m 
5,0
b 
2,0
b 
b c 
qL2/8 = 8,4 kN.m 
2,0
b 
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26 
 
OBS3: Situações em que a falta de escala do diagrama de momento fletor gera 
dúvidas sobre a necessidade da determinação da equação do momento fletor 
para a obtenção do valor do momento fletor máximo. 
 
Na maioria das vezes para traçar os diagramas de uma forma mais rápida não 
utilizamos um escalímetro ou muito menos uma régua. 
 
Fazemos o diagrama no “olho” buscando apenas preservar a proporção, o que muitas 
vezes não é conseguido. 
 
Por conta deste fato, surge a seguinte pergunta: 
Como verificar em um diagrama com valores sem proporção a necessidade da 
determinação da equação do momento fletor para a obtenção do valor do momento 
fletor máximo? 
 
O exemplo a seguir ilustram bem o procedimento. 
Ex1: Mad = 0 kN.m 
 Mbe = Mbd = 5 kN.m 
 Mce = Mcd = 3 kN.m 
 Mde = 2 kN.m 
 q 
 
 
 
 
DM 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1ª situação: se a após marcar duas vezes o valor de qL2/8, caso este segundo ponto 
ultrapasse o nível 5 kN.m  determinar o momento máximo pela equação; 
 Ex: qL2/8 = 0,8 kN.m  0,8 x 2 = 1,6 > Y/2 Mmáx  Equação; 
 qL2/8 = 1,0 kN.m  1,0 x 2 = 2,0 > Y/2  Mmáx  Equação; 
 
 
2ª situação: se a após marcar duas vezes o valor de qL2/8, caso este segundo ponto 
NÃO ultrapasse o nível 5 kN.m  neste caso momento máximo = 5 kN.m; 
 Ex: qL2/8 = 0,4 kN.m  0,4 x 2 = 0,8 < Y/2  Mmáx  5 kN.m; 
 qL2/8 = 0,5 kN.m  0,5 x 2 = 1,0 = Y/2  Mmáx  5 kN.m; 
 qL2/8 = 0,6 kN.m  0,6 x 2 = 1,2 > Y/2  Mmáx  Equação 
a b c d 
a b c 
d 
5 
3 
Y = 5 – 3 = 2 
Y/2 = 1 
Marcar duas vezes 
a partir deste ponto 
o valor de  qL2/8 
Diagrama com os 
valores marcados de 
“olho” , perdendo assim 
a proporção 
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27 
 
1.6 - Carga distribuída retangular: Dedução das equações dos esforços que são 
utilizadas para traçar os diagramas com uma excelente precisão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações do Momento fletor e do esforço cortante numa seção genérica S no trecho 
ab: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 X/2 
 
 x 
 
Vx = Va – R = Va – q . x 
 
Vx = Va – q . x 
 
 Onde: Va = q . L 
 2 
 
 
Mx = Va . x – R . x = Va . x – q . x . x 
 2 2 
 
Mx = Va . x – q . x2 
 2 
Onde: Va = q . L 
 2 
 
 
 
a b 
 q 
 L 
Va Vb 
Ha 
a b 
 q 
 L 
Va = q. L/2 Vb = q.L/2 
Ha =0 
R = q. L 
a b 
 q 
 L 
Va = q. L/2 Vb = q.L/2 
Ha =0 
R = q . x 
 S 
 S 
 L/2 
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28 
 
A equação do momento é uma parábola do 20 grau, que atinge o seu valor máximo na 
seção cujo a derivada primeira é nula. 
d Mx = 0 
 dx 
 
Mx = Va . x – q . x2 
 2 
Onde: Va = q . L  Então: Mx = q . L . x – q . x2 
 2 2 2 
 
Mx = q . L . x – q . x2 
 2 2 
 d Mx = q . L – q . x = 0  x = L 
 dx 2 2 
Analisando a derivada primeira 
da equação do momento fletor d Mx = Vx = q . L – q . x 
observa-se que é igual a d x 2 
equação do cortante. 
 
Portanto, o momento fletor máximo de um determinado trecho da viga ocorre na seção 
transversal deste trecho que possui ESFORÇO CORTANTE NULO; 
 
Momento máximo  Seção de ESFORÇO CORTANTE NULO  x = L 
 2 
Inserindo na equação do Momento: 
Mx = q . L . x – q . x2 = q . L . L – q . L2 
 2 2 2 2 2 4 
 
Mx = qL2 – q L2 = 2q L2 – qL2 = q.L2 
 4 8 8 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Momento: 
 
 
 
 
 
 
 
Obs 1: No trecho sob carga distribuída retangular uniforme  A seção que apresenta 
esforço cortante nulo  V = 0  o momento fletor É MÁXIMO; 
 Seção: Cortante = nulo  A seção está no meio do vão: x = L/2 
 Momento = máximo = qL2/8 
a b 
 qL/2 
 qL/2 
L/2 
x=L/2 
a b 
 M=qL2/8 L/2 
x=L/2 
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29 
 
- Processo gráfico SIMPLIFICADO: 
 No trecho sob carga distribuída retangular uniforme, o diagrama de momento fletor é 
parabólico (parábola do 20 grau). Neste trecho do diagrama pode traçado utilizado um 
processo gráfico para sua construção, o qual é descrito a seguir. 
 
PASSO1 PASSO2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO3 PASSO4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Liga-se o ponto G aos 
momentos das extremidades 
G 
A parábola sai tangente de A, 
passa tangenciando B e chega 
tangente em C. 
Liga-se os momentos das 
extremidades por uma linha 
auxiliar 
linha auxiliar 
Traça-se uma linha 
vertical no meio do 
trecho, a partir do 
encontro com a linha 
auxiliar marca-se duas 2 
vezes o valor (q. L2 )/8 
( q.L2)/8 
L/2 
d b 
 8,0 kN.m 
 20,3 kN.m 
L 
(q. L2)/8 
L/2 
L 
A parábola tangencia 
sempre o ponto uma vez 
(q.L2) / 8 
G G 
Liga-se os pontos: A, B, C 
L/2 
d b 
 8,0 kN.m 
 20,3 kN.m 
A 
G 
L 
(q. L2)/8 
d b 
 8,0 kN.m 
 20,3 kN.m 
L/2 
d b 
 8,0 kN.m 
 20,3 kN.m 
L 
(q. L2)/8 
B 
C 
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30 
 
- Processo gráfico COM MAIOR PRECISÃO: 
OBS: A precisão do processo gráfico pode ser melhorada definindo 3 pontos de 
tangencia internos da parábola, conforme é descrito a seguir. 
 
PASSO1 PASSO2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASSO3 PASSO4d b 
 8,0 kN.m 
 20,3kN.m 
L/2 
d b 
 8,0 kN.m 
20,3 kN.m 
L 
(q. L2)/8 
Liga-se o ponto G aos 
momentos das extremidades 
G 
Marca-se o ponto médio de 
cada trecho JJ 
 
A parábola tangencia estes 
pontos 
1 
2 
3 
1 
2 
3 
Liga-se os momentos das 
extremidades por uma linha 
auxiliar 
linha auxiliar 
1 
2 
3 
1 
2 
3 
Traça-se uma linha 
vertical no meio do 
trecho, a partir do 
encontro com a linha 
auxiliar marca-se duas 
2 vezes o valor (q. l2 )/8 
( q.L2)/8 
L/2 
d b 
 8,0 kN.m 
20,3 kNm 
L 
(q. L2)/8 
L/2 
L 
Divide cada trecho G1 e G2 
em 4 partes iguais 
G1 
G G 
Liga-se os pontos: 1,3 2,2 3,1 
G2 
L/2 
L 
(q. L2)/8 
d b 
 8,0 kN.m 
20,3 kN.m 
JJ 
JJ 
JJ 
Obs: a parábola sempre 
tangencia o ponto abaixo da 
linha auxiliar 1 vez o valor 
(q.L2)/ 8 
G 
OBS: quando o valor de (q.L2)/8 é muito 
pequeno não é possível definir estes pontos de 
Tangencia internos pois estas linhas auxiliares 
ficam emboladas;  Neste caso ADOTAR: 
PROCESSO GRÁFICO SIMPLIFICADO 
 
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31 
 
1 Lista de exercícios: determine as reações de apoio, os diagramas de esforços 
solicitantes, o esforço cortante máximo e os momentos máximos (inferior e superior): 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 3,5 kN.m 
 2,0 m 2,0 m 4,0 m 
 450 
 6 kN 
2 kN/m 
 1 kN 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 600 
 3 kN 
 600 
 4 kN 
 2 kN/m 
 4 kN /m 
 2 kN.m 
 4 kN/m 
 4 kN.m 
 6 kN.m 
 5 kN 
 2 kN/m 
 1 kN 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 3 kN/m 
 4 kN.m 
 3 kN 5 kN 
 8 kN.m 
 4 kN 
 3,0 m 4,0 m 4,0 m 
 2 kN/m 
 4 kN.m 
 2 kN/m 5 kN 
 3,0 kN 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 3,5 kN 
 4 kN.m 
 3,5 kN.m 
 2 kN.m 
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32 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
 
 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) 
 
 
 
 
 
 
 
 1 kN/m 
 2 kN.m 
 2,5 kN 
 4,0 m 2,0 m 
 3 kN/m 
 3,0 m 2,0 m 
 3 kN 
 3 kN/m 
 4 kN 
 5 kN.m 
 3 kN 5 kN 
 8 kN.m 
 4 kN 
 3,0 m 4,0 m 4,0 m 
 600 
 4 kN 
 3 kN/m 
 3 kN 
 1,5 m 1,5 m 4,0 m 
 2 kN/m 
 3 kN.m 
 2 kN.m 
 4 kN/m 
 5 kN 
 3,5 kN 
 2,0 m 3,0 m 3,0 m 
 5 kN.m 
 2 kN.m 
 3 kN.m 
 2,5 kN 
 2 kN.m 
 3 kN 4 kN 
 3 kN/m 
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33 
 
2 - Viga sob cargas especiais: 
CARGAS TRIANGULARES; 
CARGAS TRAPEZOIDAIS; 
 
O cálculo das reações de apoio de vigas sob este tipo de carregamento é 
realizado conforme os exemplos anteriores; 
 
A diferença está na elaboração dos diagramas, que neste caso é mais 
trabalhoso. Por conta disto, a elaboração dos diagramas de vigas sob este tipo 
de carregamento será cobrado apenas NO TRABALHO. 
 NÃO SERÁ COBRADO NAS AVALIAÇÕES; 
 
Entretanto, o cálculo das reações de apoio de vigas sob este tipo de 
carregamento SERÁ COBRADO NAS AVALIAÇÕES. 
 
 
AVISOS: 
- Valor do trabalho 1,0 ponto; 
- Capa do trabalho fornecida na página 43 desta nota de aula(obrigatório); 
- Entrega do trabalho no dia da prova (P2)Não haverá tolerância no prazo; 
- A nota obtida no trabalho será incorporada à nota da PS quando: 
Média = ( PS + maior nota entre P1 e P2 ) / 2 < 6 pontos; 
Assim, neste caso: Média = [ (PS + trabalho) + maior nota entre P1 e P2 ] / 2 
PS  valor: 10 pontos; 
- A simples entrega do trabalho não garantirá 1,0 ponto, ou seja, o trabalho será 
devidamente corrigido pelo professor; 
- O valor do trabalho será distribuído entre a memória de cálculo e os diagramas. 
- O trabalho deve ser feito de próprio punho, de forma organizada e com letra 
legível, conforme o padrão apresentado no exemplo3 a seguir. 
- A confecção dos diagramas deve seguir o padrão apresentado no exemplo3 a 
seguir; 
- A nota do trabalho será fornecida no dia da entrega e vista da P2; 
 
 
A análise de vigas sob cargas distribuídas triangulares e trapezoidais é semelhante a 
análise realizada nos exemplos anteriores. A diferença está na fase de traçar os 
diagramas de esforços nos trechos sob estas cargas especiais (triangular e 
trapezoidal): 
 
- CORTANTE; 
- MOMENTO; 
 
Para traçar os diagramas de esforços nos trechos da viga sob o efeito destas 
cargas especiais é necessário estabelecer as equações que traduzem a variação dos 
esforços nestes trechos devido a ação destas cargas especiais. 
 
A seguir são apresentadas as equações que serão utilizadas para traçar os 
diagramas de esforços com boa precisão. 
 
A dedução destas equações é apresentada nos tópicos 2.1 e 2.2; 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
34 
 
Carga distribuída triangular: 
 
 
 
 
 
 
 Vx = Vsd – q’x2 Vx = Vse + q’x2 
 2L 2L 
 
 Equação Mx válida para ambos os casos; 
 Mx = q’ . x . L – q’ . x3 
 6 6L 
 
Para uma boa precisão do diagrama neste trecho calcular para 3 pontos no mínimo. 
SUGESTÃO DE PONTOS: X = 1/4 L; X = 2/4 L; X = 3/4 L; 
 
 
 
 
 
Carga distribuída trapezoidal: princípio da superposição dos efeitos: 
 
 
 
 
 
 
 = = 
 
 ++ 
 
 
 
 
 
Vx = Vsd – q’. x2 – q . x Vx = Vse + q’. x2 + q . x 
 2L 2L 
 
Equação Mx válida para ambos os casos; 
 
 
 
Mx = q . L . x – q . x2 + q’ . x . L – q’ . x3 
 2 2 6 6L 
 
Para uma boa precisão do diagrama neste trecho calcular para 3 pontos no mínimo. 
SUGESTÃO DE PONTOS: X = 1/4 L; X = 2/4 L; X = 3/4 L; 
 
A dedução destas equações pode ser observada nos tópicos 2.1 e 2.2; 
 q’ = Q - q 
 q 
 Q 
 q 
 q' 
 X 
 L 
 X 
 L 
 q' 
Inseridos no diagrama a 
partir do eixo da viga 
 s s 
 Q 
 q 
 X X 
 s s 
 q’ = Q - q 
 q 
Inseridos no diagrama a 
partir da linha tracejada 
 
Inseridos no diagrama a 
partir do eixo da viga 
Inseridos no diagrama a 
partir da linha tracejada 
 Vsd Vse 
 Vsd Vse 
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 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
35 
 
Exemplo 3: determine as reações de apoio, os diagramas de esforços solicitantes; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 - calcular as reações de apoio: 
 +  Fx = 0  + Hd = 0 
 
 +  Fy = 0  Va + Vd + 4 - 3,75 - 1 - 1 - 3 - 3 = 0  Va + Vd = + 7,75 kN 
 
 Md = 0 +  
 
- 2,25 - 4 . 7,5 - Va . 7,5 + 3,75 . 6,75 + 1. 6 + 1 . 5,33 + 3 . 5,0 - 4 + 3 . 2,67 - 1,5 = 0 
 
  7,5 Va = 21,9025  Va = 2,92 kN  Vd = 4,83 kN 
 
*** ponto crucial para evitar erros: 
toda vez que o sentido da reação for corrigida, não esquecer de corrigir o sentido desta 
reação na equação escrita anteriormente, antes de inserir o valor corrigido. 
 
Neste caso não houve necessidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 kN.m 
 4,0 m 2,0 m 1,5 m 
a b 
d 
Vd 
Hd 
Va 
 2,25 kN.m 
 1,5 kN.m 
c 
 4 kN.m 
4,0 m 2,0 m 1,5 m 
 2.25 kN.m 
1,5 kN.m 
 1,0 kN 
 2,5 kN/m 
 1,5 kN/m 
 1,0 kN 
 R1 = 2,5 . 1,5 
 R1 = 3,75 kN 
R3 = 1,5 . 2 
R3 = 3 kN 
R4 = 1,5. 4/2 
R4 = 3 kN 
 4 kN 
 4 kN 
0,75 
0,67 
 
 1,0 
1,33 
R2 = 1 . 2/2 
R2 = 1 kN 
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 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
36 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - calcular o esforço normal: 
Não existe esforço Normal sobre a viga 
 
 
3 - calcular o esforço cortante: 
Análise p/esquerda 
Vad = 4 + 2,92 = + 6,92 kN // Vbe = + 6,92 - 3,75 = + 3,17 kN // 
Vbd = + 3,17 - 1,0 = + 2,17 kN 
Vce = + 2,17 - 1 - 3 = - 1,83 kN // Vcd = - 1,83 kN // Vde = - 1,83 - 3 = - 4,83 kN 
Obs: análise p/direita: por exemplo: Vde = - Vd = - 4,83 kN 
 
 
Traçando o diagrama de cortante: marcar os pontos e ligar os pontos dos trechos 
que não estão sob carga distribuída triangular ou trapezoidal, os pontos dos trechos 
com carga distribuída triangular ou trapezoidal são obtidos pelas equações conforme 
apresentado a seguir; 
 
 
4 - calcular o momento fletor: LEMBRETE: t. f. i.  M + (POSITIVO) 
Análise p/esquerda t. f. s.  M - (NEGATIVO) 
Mad = + 2,25 kN.m = 2,25 kN.m (t.f.i) 
Mbe = Mbd = Mb 
Mb = + 2,25 + 4 . 1,5 + Va . 1,5 - R1 . 0,75 = + 9,82 kN.m = 9,82 kN.m (t.f.i) 
Mce = + 2,25 + 4 . 3,5 + Va . 3,5 - R1 . 2,75 - F1y . 2,0 - R2 . 1,33 - R3 . 1,0 
 = + 9,83 kN.m = 9,83 kN.m (t.f.i) 
 
Mcd = + 9,83 + 4,0 = 13,83 kN.m = 13,83 kN.m (t.f.i) 
Mde = - 1,5 kN.m = 1,5 kN.m (t.f.s) 
 
 
Traçando o diagrama de momento: marcar os pontos e ligar os pontos com uma 
linha contínua, os trechos com qualquer tipo de carga distribuída devem ser ligados 
com linha tracejada. 
 
 
 
 
 
 4 kN.m 
 4,0 m 2,0 m 1,5 m 
a b 
d 
Vd = 4,83 kN 
Hd = 0 
Va = 2,92 kN 
 2,25 kN.m 
 1,5 kN.m 
c 
 1,0 kN 
 R1 = 3,75 kN 
R3 = 3 kN R4 = 3 kN 4 kN 
0,75 
0,67 
 
 1,0 
1,33 
R2 = 1 kN 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valores marcados no diagrama, 
sempre a partir do eixo da viga; 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Valores marcados no diagrama, sempre a partir da linha tracejada: 
 
 Carga distribuída para baixo  marcar para baixo da linha tracejada; 
 
 Carga distribuída para cima  marcar para cima da linha tracejada; 
 
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 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
39 
 
2.1 - Carga distribuída triangular: Dedução das equações utilizadas para traçar os 
diagramas com boa precisão. 
Equação do cortante numa seção genérica X: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 X X  (sempre a partir do vértice do triângulo) 
 
 
 
 
 
 
 
 x/3 
 
 x 
 
Vx = Va – R = Va – q’ . x2 
 2L 
 
 Onde: Va = q’ . L 
 6 
Esta equação é válida para a carga triangular inserida no início da viga. Esta equação 
pode ser escrita de uma forma geral de modo a atender os casos de carga triangular 
inserida em qualquer lugar sobre a viga, sendo esta forma geraldada por: 
 
 
 
 
 
 
Vx = Vsd – q’ . x2 
 2L 
 
 
 
 
 
 
Vx = Vse + q’ . x2 
 2L 
Para uma boa precisão do diagrama neste trecho calcular para 3 pontos no mínimo. 
SUGESTÃO DE PONTOS: X = 1/4 L; X = 2/4 L; X = 3/4 L; 
a b 
 q' 
 L 
Va = q’. L/6 Vb = q’.L/3 
Ha =0 
R = q’. L/2 
a b 
 q 
 L 
Va = q’. L/6 Vb = q.L/2 
Ha =0 
R = qx . (x/2) = q’ . x/L . (x/2) = q’ . x2/2L 
 X 
 X 
 L/3 
 qx = ? 
qx = ? 
 
utilizando a proporção de triângulos: 
 
q’/ L = qx/ x 
 
qx = q’ . x / L 
 
 
 q_x = ? 
 q 
 x 
 L 
 q' 
 S 
 x 
 L 
 S x 
 L 
R = qx . (x/2) 
 q' 
Lembrete: 
V  + (HORÁRIO) 
 - (ANTI-HORÁRIO) 
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40 
 
Equação do Momento fletor numa seção genérica X: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 X ( X  SEMPRE A PARTIR DO VÉRTICE) 
 
 
 
 
 
 
 
 x/3 
 
 x 
Vx = Va – R = 
 
Mx = Va . x – R . x/3 
 
 Onde: Va = q’ . L/6 R = q’ . x2/2L 
 Então: 
 
Mx = (q’ . L/6) . x – (q’ . x2/2L) . (x/3) 
 
Mx = q’ . x . L – q’ . x3 
 6 6L 
O diagrama de momento fletor no trecho sob a carga distribuída triangular é traçado 
pendurando na vertical a partir da linha auxiliar tracejada que une o momento no início 
ao momento no final da carga distribuída triangular os valores obtidos com a equação 
do momento Mx. 
 
 
 
 x x 
 L L 
 
 1/4L 2/4L 3/4L 3/4L 2/4L 1/4L 
DM 
 
 
 
 
Para uma boa precisão do diagrama neste trecho calcular para 3 pontos no mínimo. 
SUGESTÃO DE PONTOS: X = 1/4 L; X = 2/4 L; X = 3/4 L; 
 q' 
a b 
 q' 
 L 
Va = q’ . L/6 Vb = q’ . L/3 
Ha =0 
R = q’ . L/2 
a b 
 q 
 L 
Va = q’ . L/6 Vb = q.L/2 
Ha =0 
 X 
 X 
 L/3 
 qx = q’ . x / L 
 R = qx . (x/2) = q . x/L . (x/2) = q’.x2/2L 
 q' 
Mx Mx 
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 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
41 
 
2.2 - Carga distribuída trapezoidal: Dedução das equações utilizadas para traçar os 
diagramas com boa precisão. 
 
 
 
 
 
 
Equação do cortante numa seção genérica X válida para a carga trapezoidal inserida 
em qualquer lugar sobre a viga, sendo esta dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 + 
 
 
 
Vx = Vsd – q’ . x2 – q . x 
 2L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 + 
 
 
 
Vx = Vse + q’ . x2 + q . x 
 2L 
 
Para uma boa precisão do diagrama neste trecho calcular para 3 pontos no mínimo. 
SUGESTÃO DE PONTOS: X = 1/4 L; X = 2/4 L; X = 3/4 L; 
 
 S x 
 L 
Q 
 q 
Q 
 q 
 q’= Q - q 
 q 
 S x 
 L 
 q’= Q - q 
 q 
 q 
 Q 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
42 
 
Equação do Momento fletor numa seção genérica X válida para a carga trapezoidal 
inserida em qualquer lugar sobre a viga é definida por: 
 
Carga distribuída retangular: 
Mx = q . L . x – q . x2  conforme apresentado no item 1.6 
 2 2 
 
Carga distribuída triangular: 
Mx = q’ . x . L – q’ . x3  conforme apresentado no item 2.1 
 6 6L 
 
 
Carga distribuída trapezoidal  princípio da superposição de efeitos: 
 
Mx = q . L . x – q . x2 + q’ . x . L – q’ . x3 
 2 2 6 6L 
 
 
Válida para as duas posições da carga trapezoidal, porém considerando sempre x a 
partir altura menor do trapézio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O diagrama de momento fletor no trecho sob a carga distribuída trapezoidal é traçado 
pendurando na vertical a partir da linha auxiliar tracejada que une o momento no início 
ao momento no final da carga distribuída trapezoidal os valores obtidos com a equação 
do momento Mx 
 
 
 
 
 
 
 
 S x 
 L 
 q 
 Q 
 S x 
 L 
 q 
 Q 
 Curso: Engenharia Civil; Prof: Marcos Vinicios 
 Disciplina: Análise Estrutural 1_revisão 01 
 
43 
 
TRABALHO_VALOR 1,0 
 
Nome:________________________________________________________________ 
 
Número da Matrícula:____________________________ 
Determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes; 
OBS: leia os Avisos apresentados na página 33 desta nota de aula; 
i – último número da matrícula; 
j – penúltimo número da matrícula; 
Exemplos: i = 3; j = 6;  3,i kN/m = 3,3 kN/m; 4,j kN = 4,6 kN 
 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
Dica: utilize uma escala de modo que o comprimento da viga utilize boa parte da 
largura da folha para que os diagramas não fiquem embolados, ou seja, conforme 
o apresentado no exemplo 3 
 2,i kN 
 3,j kN.m 1 kN/m 
 3,0 m 2,0 m 1,0 m 
 3,j kN/m 
 2 kN/m 
 4,i kN/m 
 1,6 m 1,5 m 2,0 m 
 5,i kN.m