Aula 1 FEM_Fundamentos_Metodo_Elementos_Finitos

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Introduction to the 
Finite Element Method -
FEM
•Um homem poderá ser temido e respeitado no 
planeta em razão dos títulos que venha a adquirir 
pela convenção humana, mas se não progrediu nas 
suas ideias, aperfeiçoando-se no trabalho 
comunitário, guarda consigo a mente restrita e 
enfermiça das mentes extraviadas, que na morte 
lutam com ideias fixas, que se situam entre a 
ignorância e o primitivismo, entre a amnésia e o 
desespero do bem perdido, gastando muito tempo 
para se reajustar, e rebaixado pelas próprias ações, 
perdendo a noção da beleza que santifica, entrega-se 
a lastimáveis rebaixamento, em que os gritos da 
inconsciência são frequentes.
Conteúdo do Curso
➢ Fundamentos da Mecânica dos Sólidos – Tensão e Deformação
➢ Calculo Variacional
Equação de Euler-Lagrange
Método de Rayleigh-Ritz
➢ Método dos Residuos Ponderados
Método de Galerkin
➢ Método dos Elementos Finitos
Principio de Hamilton
Dinâmica de Sistemas Discretos -Equação de Lagrange
Elemento de Viga
Euler-Bernoulli
Timoshenko
Análise Modal e Dinâmica e Análise não-linear
➢ Método dos Elementos de Contorno
Solução Numérica da Equação de Laplace
➢ Métodos Numéricos
Método de Newmark
➢ Bathe K.-J. and Wilson E. L. Numerical Methods in Finite Element Analysis. – Prentice-Hall, Inc., 1976. 
➢ Sigerlind L. J. Applied Finite Element Analysis. – John Wiley and Sons, Inc., 1976. . 
➢ Rao S. S. The Finite Element Method in Engineering. – Pergamon Press, 1989. 
➢ Ritz W. Über eine Neue Metode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der Matematischen Physik // J. 
Reine Angew. Math., 1909, Vol. 135, P. 1-61. 
➢ Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations // Bulletin of the 
American Mathematical Society, 1943, Vol. 49, P. 1-23. 
➢ Clough R. W. The finite element method in plane stress analysis. // Proc. American Society of Civil 
Engineers (2nd Conference on Electronic Computation, Pitsburg, Pennsylvania), 1960, Vol. 23, P. 345-378. 
➢ Argyris J. H. Energy theorems and structural analysis // Aircraft Engineering, 1954, Vol. 26, Part 1 (Oct. –
Nov.), 1955, Vol. 27, Part 2 (Feb. – May). 
➢ Turner M. J., Clough R. W., Martin H. C. and Topp L. J. Stiffness and deflection analysis of complex 
structures // Journal of Aeronautical Science, 1956, Vol. 23, No. 9, P. 805-824. 
➢ Hrennikov A. Solution of problems in elasticity by the frame work method // Journal of Applied Mechanics, 
1941, Vol. 8, P. 169-175. 
➢ Zienkiewicz O. C. and Cheung Y. K. The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics. –
McGraw-Hill: London, 1967. 
➢ Método dos Elementos Finitos: Primeiros Passos, 1999, Assan, A. E., Editora da Unicamp, 1ª Edição, 
Campinas.
Literature
Principais Referências
FEA 01 – What is FEA?
CAD, CAE E CAM: Qual a diferença entre eles?
How do I differentiate between FEM, FEA, Simulation, CAE, Structural, Thermal, and CFD and so on?
➢ FEM - Finite Element Method. This is a numerical technique applied to solve complex problems. In Mechanical stream,
mainly it is used to find the stress, strain and deformation values on complex 3D objects. This is considered to be the
easiest method for stress-strain evaluation and so implemented in much software like ANSYS, NASTRAN, etc.
➢ FEA - Finite Element Analysis. This is same as before. An analysis performed using FEM is called as FEA.
➢ Simulation - Simulation is an imitation of a situation. For example: First person view simulation in driving games,
Cockpit simulation for finding what went wrong during an airplane technical faults, Flow simulation for finding drag
force in race cars, etc.
➢ CFD - Computational Fluid Dynamics. CFD is a branch of fluid dynamics. It is considered to be an advanced course in
Universities. Solving Fluid flow problems using numerical analysis and data structures is called as CFD. Carrying out a
flow simulation requires knowledge of basic CFD like Navier Strokes, Euler’s, etc…
➢ CAD - Computer Aided Designing. Employing Computer software’s to design and object. Such object can be a part of a
mechanical system. Two or more part combined is said to be an assembly and a finished assembly which has a
mechanical function is said to be a product. You can design and develop a product through CAD software. One of the best
easy UI CAD software is Solid works. Many industries in India use Catia or AutoCad.
➢ CAE - Computer Aided Engineering. Employing computer software’s to aid in the engineering analysis is called as CAE.
After designing a product, it undergoes an analysis in the CAE software like ANSYS/NASTRAN. Here during the
analysis, the FEM method is used. Either Structural or thermal based on the requirement. In structural analysis, you give
your input conditions like Force applied, or fixed support and in turn as the output, the software gives you the maximum
stress, strain and deformation that the product could experience in that given input conditions. You compare the
maximum stress calculated by the software with the Ultimate Stress of that material to know whether the product fails at
given conditions.
➢ CAM - Computer Aided Manufacturing. Employing computer software to perform engineering operations like lathe
machine works is called as CAM. Usually you run this software with the help of G-Codes or M-codes. After going
through the first two phase’s i.e. CAD & CAE, your machine your product from raw materials using machines like Lathe
machine, Milling machine, Grinding machine, etc. Modern day machines like CNC (Computer Numerical Control) lathe
machine, through G&M code commands; you operate the machine and shape your product according to the concerned
dimensions.
➢ Reverse Engineering - Now, this is interesting. A complex component which consumes a lot of time and requires lot of 
accuracy to design in CAD software can be reverse engineering. That is through sensors, Computer generates the shape 
of real world 3D product in your software with good accuracy. Google this topic to know more.
➢ Apologize for my grammatical mistakes if any. Would welcome anyone to correct my grammatical mistakes
In 1909 Ritz developed an effective method [5] for the approximate solution of problems in the mechanics of
deformable solids. It includes an approximation of energy functional by the known functions with unknown
coefficients. Minimization of functional in relation to each unknown leads to the system of equations from
which the unknown coefficients may be determined. One from the main restrictions in the Ritz method is that
functions used should satisfy to the boundary conditions of the problem.
In 1943 Courant considerably increased possibilities of the Ritz method by introduction of the special linear
functions defined over triangular regions and applied the method for the solution of torsion problems [6]. As
unknowns, the values of functions in the node points of triangular regions were chosen. Thus, the main
restriction of the Ritz functions – a satisfaction to the boundary conditions was eliminated. The Ritz method
together with the Courant modification is similar with FEM proposed independently by Clough many years
later introducing for the first time in 1960 the term “finite element” in the paper “The finite element method in
plane stress analysis” [7]. The main reason of wide spreading of FEM in 1960 is the possibility to use
computers for the big volume of computations required by FEM. However, Courant did not have such
possibility in 1943.
Historical background 
An important contribution was brought into FEM development by the papers of Argyris [8], Turner [9], Martin
[9], Hrennikov [10] and many others. The first book on FEM, which can be examined as textbook, was
published in 1967 by Zienkiewicz and Cheung [11] and called “The finite element method in structural and
continuum mechanics”. This book presents the broad interpretation of the method and its applicability to any
general fieldproblems. Although the method has been extensively used previously in the field of structural
mechanics, it has been successfully applied now for the solution of several other types of engineering problems
like heat conduction, fluid dynamics, electric and magnetic fields, and others.
Ref.: Evgeny Barkanov, INTRODUCTION TO THE FINITE ELEMENT METHOD, Institute of Materials and 
Structures Faculty of Civil Engineering Riga Technical University, Riga (Latvia), 2001. 
Historical background 
FEA 02 – What could go wrong?
Finite 
Elements 
Methods
Introdução ao Método dos Elementos Finitos
http://www.leapsecond.com/notes/cartoons.htm
Método dos Elementos Finitos
Ementa
• Objetivos: Apresentar as técnicas de cálculos por elementos finitos em estruturas
complexas.
• Ementa: Modelagem estrutural de componentes aeronáuticos utilizando o método
de elementos finitos.
• Análise linear elástica de problemas planos, de sólidos de revolução,
tridimensionais e de placas à flexão.
• Análise de instabilidade e de vibrações livres.
• Análise de estruturas com comportamento não linear do material.
Objetivo do curso
➢ Entender os conceitos físicos do Método de Elementos Finitos, bem como as técnicas de modelagem e
análise estrutural de componentes, utilizando-se softwares comerciais.
➢ Em sua primeira parte, o curso pretende abordar os conceitos básicos para o cálculo de estruturas
treliçadas simples, de forma a exemplificar o funcionamento do método e demonstrar o significado físico
dos parâmetros calculados.
➢ Na segunda parte, pretende-se mostrar as técnicas de modelamento e os parâmetros utilizados para
garantir a qualidade da malha gerada.
➢ Finalmente pretende-se mostrar alguns exemplos de análises lineares estáticas, análises de instabilidade,
análises de vibrações livres e análises considerando comportamento não linear de material. Para cada tipo
de análise, pretende-se apresentar um resumo teórico dos conceitos físicos envolvidos, seguido da execução
de problemas utilizando-se algumas ferramentas comerciais de análise.
➢ Não está no escopo do curso, um aprofundamento teórico dos diversos assuntos abordados, dada a
complexidade dos mesmos.
http://www.leapsecond.com/notes/cartoons.htm
Avaliação
PROVA P1: 00/00/201x (XXXXX-feira)
PROVA P2: 00/00/201x (XXXXX-feira)
PROVA P3 : 00/00/201x (XXXXX-feira)
Avaliação
31 2
2
 . 
2 3
Obs: . é a nota final
N PP P
N N F
N F
++
=  =
Provas? SIM;
Trabalhos? NÃO;
Listas? Sim e/ou Não.
Avaliação
Fluxo de processamento de um código MEF.
THE FEM ANALYSIS PROCESS
Figure - The Mathematical FEM. The mathematical model (top) is the source of the simulation
process. Discrete model and solution follow from it. The ideal physical system (should one go to the
trouble of exhibiting it) is inessential.
The Mathematical FEM
Figure - The Physical FEM. The physical system (left) is the source of the simulation process. The ideal 
mathematical model (should one go to the trouble of constructing it) is inessential.
The Physical FEM
Figure – Model updating process in the Physical FEM.
Physical Interpretation
Figure -The idealization process for a simple structure. The physical system, here a roof truss, is directly
idealized by the mathematical model: a pin-jointed bar assembly. For this particular structure, the
idealization coalesces with the discrete model.
Modelagem
Os apoios de uma reticulada
podem ser frequentemente
modelados como engastes, como
apoio A da figura, articulações,
como o apoio D, e apoios móveis.
➢ Elasticidade
5 constantes elásticas 
coef. de expansão 
térmica
➢ Plasticidade
modo de encruamento
dependente da história de deformação
dependente da temperatura, velocidade
isotrópico
cinemático
anisotrópico
T
EEE
xz
z
zx
y
y
yx
x
x
x +

−

−

=ε
Material
➢ Cargas são aplicadas nos nós
➢ Seguidor de cargas (não linear) – pressão sempre normal
➢ Axissimetria de carregamento
→→= 0A 
A
F
Cargas
➢ Grande fonte de equívocos
➢ Graus de liberdade para simular as restrições: 
➢ ex. bi-apoiado x engastado
➢ Condições de contato : com ou sem deslizamento?
➢ atrito? Qual o coeficiente de atrito? Coulomb?
Condições de Contorno
Elementos finitos
➢Tipos de análises
▪ Estáticas
• Linear, não linear
▪ Modal
▪ Dinâmica transiente
▪ Flambagem
▪ Térmica permanente
▪ Térmica transiente
BOAS PRÁTICAS DE 
MODELAGEM
Pontos principais
➢Saber o comportamento de cada tipo de elemento
▪ Tria3 e Quad4 : deslocamentos lineares, deformação e 
tensão constantes.
▪ Tria6 e Quad8 : deslocamentos quadráticos, 
deformação e tensão lineares.
➢Escolher o melhor tipo de elemento 
▪ Elementos de ordem maior geralmente possuem 
melhores resultados (menor erro), porém exigem 
maior esforço computacional
Pontos principais
➢Evitar elementos mal condicionados
▪ Razão de aspecto (Aspect ratio) = Lmax /Lmin
➢Conectar os elementos apropriadamente
▪ Certificar que TODOS os nós entre dois elementos 
adjacentes estejam conectados.
Gerar modelo CAD
➢Gerar modelo em software CAD ( Computed Aided 
Design)
▪ Retirar furos
▪ Remover chanfros e raios
▪ Corrigir Superficies 
Exportar para software CAE
Exportar modelo para software CAE ( Computed Aided Engineering)
➢ Tratamento refinado da geometria
▪ juncao de arestas, 
▪ criacao de superficie nao importada
▪ Eliminacao de componentes nao relevantes a analise
Criação da malha
➢Criação da malha
▪ Utilizando-se dois nós - Elementos Lineares ( mola, barra, trelica,…)
▪ Utilizando-se superficies – Elementos 2D ( placa e casca)
▪ Utilizando-se elementos sólidos– Elementos 3D ( tetraedro e hexaedro)
Verificação da malha
➢ Verificacao da malha
▪ Elementos Duplicados
▪ Nos nao vinculados a elementos
▪ Elementos não conectados
▪ Elementos com aspecto geometrico
inapropriado
Criação das condições de contorno
➢ Criação das condições de contorno
▪ Restrição Global de um ponto ( Tx, Ty, Tz, Rx, Ry, Rz)
▪ Restrição local – componente solidário a outro ( utilização de RBE2 ou união 
de malha)
▪ Utilização de contato entre malhas por meio de GAP ( não linear) ou contato 
iterativo (linear)
Aplicação dos carregamentos
➢Aplicacao de carregamento
▪ Força ou Momento- Direto no nó ou distribuído por RBE3
▪ Pressão – face do elemento
▪ Temperatura – No ou Elemento
▪ Deslocamento prescrito
Criação dos casos de carga
▪ Vincular condições de contorno com os carregamentos 
aplicados
Element Geometry is Defined by Node Locations
Element Geometry is Defined by Node Locations
Continuum Elements
Special Elements
Examples of Structural Models: Machine Component (Mech. Engrg) 
Examples of Structural Models: Dam under Ground Morion
(Mech. Engrg) 
Examples of Structural Models: Rocket Nozzle
(Aerospace Engrg) 
Examples of Structural Models: Super Tanker (Marine Engrg) 
Multilevel FEM Substructures were Invented in the Norwegian Supertanker Industry in the mid-60s
Análise de um tanque esférico
http://www.csiberkeley.com/
Contato pneu-pavimento
http://www.manufacturingcenter.com/dfx/
Trem de pouso
http://www.abaqus.com/
http://www.abaqus.com/
Fuselagem
Cargas e apoios Configuração pós-flambagem
Fuselagem
Análise Estrutural de uma Torre de Energia Eólica para Operação
no Estado do Ceará.
➢ Análise de uma torre de energia eólica pelo Método dos Elementos
Finitos.
➢ Foi utilizado o programa ABAQUS para modelar torres com diferentes
secções.
➢ Análise preliminar utilizando o FTOOL e o ABAQUS para que
pudessem ser feitas algumas verificações para validar o modelo.
➢ Perfil circular cônico, com 45 m de altura, diâmetro de base 3,00 m e
no topo diâmetro aproximado de 1,42 m.
➢ Material aço, com módulo de elasticidade (E) de 205 GPa e coeficiente
de Poison (υ) 0,3.
➢ Variação da espessura da parede ao longo da altura.
Modelo de Elementos Finitos
➢ Malha para os valores de 0.6, 0.4, 0.3e 0.2 m.
➢ Engastado na base.
➢ Carga distribuída no topo da torre de 50 kN
(Peso da hélice + gerador).
➢ Carga de vento estática (NBR 6123).
Carregamentos
atuantes
Malha
➢ Modelo seccionado em sete partes: a 5, 10, 15,
20, 30 e 40 m.
Tensões Máximas Principais
Estabilidade de Placas Laminadas. (Artigo - Cilamce 2008)
Placa laminada Esquema de laminação
➢ Estudar o comportamento de placas laminadas quando submetidas a carregamentos no plano;
➢ Calcular as cargas críticas utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF).
➢ Compara a solução numérica obtida pelo MEF com solução de problemas clássicos.
Modelo de elementos finitos
Restrições
Condição de
Apoio:
Simplesmente
apoiada
Placa com laminação simétrica cross-ply (0/90)s
1º Modo de flambagem da placa para o carregamento uniaxial:
Breve abordagem dos fundamentos do Método dos Elementos Finitos aplicados na análise
de problemas de engenharia, numa perspectiva de utilização consciente e criteriosa
➢ Exemplos de formulação de elementos finitos básicos (barra, viga 2D)
➢ Equações de equilíbrio para análise de deformações e tensões em estruturas
➢ Erros
➢ Seleção de elementos com formulações matemáticas adequadas aos problemas a analisar
➢ Referencia aos Programas comerciais e integração com sistemas CAD/CAE
Linear spring as finite element :
Figure
(a) Linear spring element with nodes, nodal displacements, and nodal forces.
(b) Load-deflection curve.
Assuming that both the nodal displacments zre zero when the spring is um-deformed, the net spring deformation is
given by
2 1u u = −
And the resultant axial force in the spring is
( )2 1f k k u u= = −
as is depicted in figure b.
1.1
1.2
For equilibrium, f1+f2=0 or f1= - f2, and we can rewrite Equation 1.2 in terms of the applied nodal forces as
    ek u f=
where
( )1 2 1f k u u= − −
Spring element 
stiffness matrix
( )2 2 1f k u u= −
1.3a
1.3b
which can be expressed in matrix form
1 1
2 2
u fk k
u fk k
−     
=    
−     
1.4
or
1.5
 e
k k
k
k k
− 
=  
− 
1.6
Exemplo 1
Dado o sistema de molas em paralelo abaixo, calcular a rigidez equivalente:
xkF eq =FF
K1
K2
F
X 21 KKkeq +=
F
K1 = 250 daN/mm
K2 = 200 daN/mm
mmdaNkeq /450=
Exemplo 2
Dado o sistema de molas em série abaixo, calcular a rigidez equivalente:
xkF eq =
FF
K1 = 250 daN/mm
K1 K2
F
X
2
1
1
11
KKkeq
+=
K2 = 200 daN/mm
F
mmdaNk
k
eq
eq
/1.111
009.0
1
009.0004.0005.0
250
1
200
11
==
=+=+=
Exemplo 3
Dado o sistema de molas em série abaixo, calcular a rigidez equivalente:
xkF eq =
FF
K1 = 250 daN/mm
K1 K2
F
X
2
1
1
11
KKkeq
+=
K2 = 1000 daN/mm
F
mmdaNk
k
eq
eq
/200
005.0
1
005.0001.0004.0
1000
1
250
11
==
=+=+=
Matriz de Rigidez de Sistemas de Molas
Dada a mola abaixo:
  





−
−
=
11
11
KK
KK
K
K1
Sua matriz de rigidez aparece como se segue 
(ref.: Megson, Cap 12.2):
K1
K2
No sistema de molas em paralelo mostrado abaixo, os dois elementos 
compartilham os mesmos nós:
     
  





+−−
−−+
=
+=
2121
2121
21
KKKK
KKKK
K
KKK
G
G
Matriz de Rigidez de Sistemas de Molas
Considerando este sistema de molas em paralelo submetido a forças 
externas, temos:
     












+−−
−−+
=







=
2
1
2
1
2121
2121
x
x
KKKK
KKKK
F
F
xKF
K1
K2
Nó 1 Nó 2
F1 F2
Matriz de Rigidez de Sistemas de Molas
Dada a mola abaixo:
  





−
−
=
11
11
KK
KK
K
K1
Sua matriz de rigidez aparece 
como se segue:
No sistema de molas em série mostrado abaixo, os dois elementos 
compartilham apenas um nó (ref.: Megson, Cap 12.3):
 










−
−+−
−
=










−
−+










−
−
=
220
2211
011
220
220
000
000
011
011
KK
KKKK
KK
KK
KKKK
KK
K G
K2K1      21 KKK G +=
Nó 1 Nó 2 Nó 3
Exemplo 4
Dada a mola abaixo:
  





−
−
=
11
11
1
KK
KK
K
K1
Sua matriz de rigidez aparece 
como se segue:
No sistema de molas em paralelo mostrado abaixo, os dois elementos 
compartilham apenas um nó:
 










−
−−
−
=










−
−+










−
−
=
2002000
200300100
0100100
2002000
2002000
000
000
0100100
0100100
GK
K1 = 100 daN/mm
     21 KKK G +=
Nó 1 Nó 2 Nó 3
K2 = 200 daN/mm
mmdaN /
Matriz de Rigidez de Sistemas de Molas
Considerando este sistema de molas em série submetido a forças externas, 
temos:
     





















−
−+−
−
=











=
3
2
1
3
2
1
220
2211
011
x
x
x
KK
KKKK
KK
F
F
F
xKF
K2K1Nó 1 Nó 2 Nó 3
F1 F2 F3
Como o sistema acima possui 3 graus de liberdade, um deslocamento 
possível para cada nó – a matriz de rigidez do sistema tem o formato 3 X 3.
Matriz de Rigidez de Sistemas de Molas
Aplicando condições de contorno no nó 1, temos:
K2K1Nó 1 Nó 2 Nó 3
F2 F3





















−
−+−
−
=











3
2
1
3
2
1
220
2211
011
x
x
x
KK
KKKK
KK
F
F
F












−
−+
=







3
2
3
2
22
221
x
x
KK
KKK
F
F
Definir a matriz de rigidez local de cada elemento:
  





−
−
=
11
11
1
KK
KK
K
K1
A matriz de rigidez do elemento 1 
aparece como se segue:
Método de Elementos Finitos
1º Passo: Matriz de Rigidez Local dos Elementos
K2K1Nó 1 Nó 2 Nó 3
F1 F2 F3
Nó 1 Nó 2 Nó 3
1º Passo: Matriz de Rigidez Local dos Elementos
Definir a matriz de rigidez local de cada elemento:
Considerando-se a posição de cada elemento e levando-se em consideração 
que a matriz de rigidez do sistema tem o formato 3 X 3, suas respectivas 
matrizes de rigidez ficam como mostrado abaixo:
A matriz de rigidez global do sistema será igual à soma das matrizes de rigidez 
globais de cada elemento:
 










−
−+−
−
=










−
−+










−
−
=
220
2211
011
220
220
000
000
011
011
KK
KKKK
KK
KK
KKKK
KK
K G
2º Passo: Matriz de Rigidez Global do Sistema
Calcular a matriz de rigidez global do sistema:
Considerando este sistema de molas submetido a forças externas, temos:
     





















−
−+−
−
=











=
3
2
1
3
2
1
220
2211
011
x
x
x
KK
KKKK
KK
F
F
F
xKF
K2K1Nó 1 Nó 2 Nó 3
F1 F2 F3
3º Passo: Montar a Equação Matricial do Sistema
Aplicando condições de contorno no nó 1, temos:
K2K1Nó 1 Nó 2 Nó 3
F2 F3





















−
−+−
−
=











3
2
1
3
2
1
220
2211
011
x
x
x
KK
KKKK
KK
F
F
F
4º Passo: Aplicar Condições de Contorno
Aplicando condições de contorno no nó 1, temos:
K2K1Nó 1 Nó 2 Nó 3
F2 F3





















−
−+−
−
=











3
2
1
3
2
1
220
2211
011
x
x
x
KK
KKKK
KK
F
F
F












−
−+
=







3
2
3
2
22
221
x
x
KK
KKK
F
F
5º Passo: Resolver o Sistema Linear Resultante
Sistema Linear de Equações Resultante:
K2K1Nó 1 Nó 2 Nó 3
F2 F3
 








−=
3
2
1
0
011
x
xKKR
6º Passo: Calcular as Reações nos Apoios



















−
−+−
−
=











3
2
3
2
1 0
220
2211
011
x
x
KK
KKKK
KK
F
F
R
Definir a matriz de rigidez local de cada elemento:
  21 /
100100
100100
mmdaNK 





−
−
=
A matriz de rigidez do elemento 1 no formato 2 x 
2 aparece como se segue:
Exemplo 5
1º Passo: Matriz de Rigidez Local dos Elementos
K2K1
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F1 F2 F3
DADOS: 
• K1 = 100 daN/mm
• K2 = 200 daN/mm
• F2 = 500 daN
• F3 = 1000 daN
Definir amatriz de rigidez local de cada elemento:
  22 /
200200
200200
mmdaNK 





−
−
=
A matriz de rigidez do elemento 2 no formato 2 x 
2 aparece como se segue:
Exemplo 5
1º Passo: Matriz de Rigidez Local dos Elementos
K2K1
Nó 1 Nó 2 Nó 3
F1 F2 F3
DADOS: 
• K1 = 100 daN/mm
• K2 = 200 daN/mm
• F2 = 500 daN
• F3 = 1000 daN
Considerando-se a posição de cada elemento e levando-se em consideração 
que a matriz de rigidez do sistema tem o formato 3 X 3, suas respectivas 
matrizes de rigidez ficam como mostrado abaixo:
Exemplo 5
1º Passo: Matriz de Rigidez Local dos Elementos
Definir a matriz de rigidez local de cada elemento:
Nó 1 Nó 2 Nó 3
K2K1
Considerando-se a posição de cada elemento e levando-se em consideração
que a matriz de rigidez do sistema tem o formato 3 X 3, suas respectivas
matrizes de rigidez ficam como mostrado abaixo:
Exemplo 5
1º Passo: Matriz de Rigidez Local dos Elementos
Definir a matriz de rigidez local de cada elemento:
Nó 1 Nó 2 Nó 3
K2K1
  21 /
000
0100100
0100100
mmdaNK










−
−
=
Definir a matriz de rigidez local de cada elemento:
Considerando-se a posição de cada elemento e levando-se em consideração 
que a matriz de rigidez do sistema tem o formato 3 X 3, suas respectivas 
matrizes de rigidez ficam como mostrado abaixo:
Exemplo 5
1º Passo: Matriz de Rigidez Local dos Elementos
Nó 1 Nó 2 Nó 3
K2K1
  22 /
2002000
2002000
000
mmdaNK










−
−=
A matriz de rigidez global do sistema será igual à soma das matrizes de rigidez 
globais de cada elemento:
 










−
−+−
−
=










−
−+










−
−
=
220
2211
011
220
220
000
000
011
011
KK
KKKK
KK
KK
KKKK
KK
K G
Exemplo 5
2º Passo: Matriz de Rigidez Global do Sistema
Calcular a matriz de rigidez global do sistema:
A matriz de rigidez global do sistema será igual à soma das matrizes de 
rigidez globais de cada elemento:
 










−
−+−
−
=










−
−+










−
−
=
220
2211
011
220
220
000
000
011
011
KK
KKKK
KK
KK
KKKK
KK
K G
Exemplo 5
2º Passo: Matriz de Rigidez Global do Sistema
 










−
−−
−
=










−
−+










−
−
=
2002000
200300100
0100100
2002000
2002000
000
000
0100100
0100100
GK
2/ mmdaN
Considerando este sistema de molas submetido a forças externas, temos:
     





















−
−+−
−
=











=
3
2
1
3
2
1
220
2211
011
x
x
x
KK
KKKK
KK
F
F
F
xKF
K2K1Nó 1 Nó 2 Nó 3
F1 F2 F3
Exemplo 5
3º Passo: Montar a Equação Matricial do Sistema
Considerando este sistema de molas submetido a forças externas, temos:
     





















−
−−
−
=











=
3
2
1
3
2
1
2002000
200300100
0100100
x
x
x
F
F
F
xKF
K2K1Nó 1 Nó 2 Nó 3
F1 F2 F3
Exemplo 5
3º Passo: Montar a Equação Matricial do Sistema
Aplicando condições de contorno no nó 1, temos:
K2K1Nó 1 Nó 2 Nó 3
F2 F3





















−
−+−
−
=











3
2
1
3
2
1
220
2211
011
x
x
x
KK
KKKK
KK
F
F
F
Exemplo 5
4º Passo: Aplicar Condições de Contorno
Considerando este sistema de molas submetido a forças externas, temos:
     





















−
−−
−
=











=
3
2
1
3
2
1
2002000
200300100
0100100
x
x
x
F
F
F
xKF
K2K1Nó 1 Nó 2 Nó 3
F1 F2 F3
Exemplo 5
3º Passo: Montar a Equação Matricial do Sistema
Aplicando condições de contorno no nó 1, temos:
K2K1Nó 1 Nó 2 Nó 3
F2 F3












−
−
=







3
2
3
2
200200
200300
x
x
F
F
Exemplo 5
5º Passo: Resolver o Sistema Linear Resultante
Sistema Linear de Equações Resultante:





















−
−−
−
=











3
2
1
3
2
1
2002000
200300100
0100100
x
x
x
F
F
F












−
−
=







3
2
3
2
200200
200300
x
x
F
F
Exemplo 5
5º Passo: Resolver o Sistema Linear Resultante
Sistema Linear de Equações Resultante:
Mas, F2 = 500 daN e F3 = 1000 daN












−
−
=







3
2
200200
200300
1000
500
x
x



=+−
=−

1000200200
500200300
32
32
xx
xx
Exemplo 5
5º Passo: Resolver o Sistema Linear Resultante



=+−
=−
1000200200
500200300
32
32
xx
xx 1
2
1 2Somando –se + , obtém-se uma nova equação:
( ) 1000500200200200300 332 +=+−− xxx
1500100 2 = x 3 mmx 152 =
Substituindo-se x2 em , temos:2 ( ) 100020015200 3 =+− x
( )
mmx 20
200
152001000
3 =
+
=
K2K1Nó 1 Nó 2 Nó 3
F2 F3
 








−=
3
2
1
0
011
x
xKKR
Exemplo 5
6º Passo: Calcular as Reações nos Apoios



















−
−+−
−
=











3
2
3
2
1 0
220
2211
011
x
x
KK
KKKK
KK
F
F
R
K2K1Nó 1 Nó 2 Nó 3
F2 F3
 








−=
20
15
0
01001001R
Exemplo 5
6º Passo: Calcular as Reações nos Apoios



















−
−+−
−
=











3
2
3
2
1 0
220
2211
011
x
x
KK
KKKK
KK
F
F
R
daNR 1500151001 −=−=
Exemplo 6
1 1 1 1
1 1 2 2 2 2
2 2 3 3 2 3
3 3 2 4
0 0
2 2 0
0 2 2
0 0
k k U F
k k k k U F
k k k k U F
k k U F
−     
     
− + −       =   
 − + −    
     −     
Figure 3.4 Example four spring elements
Equação de equilíbrio do sistema:
Seleção dos elementos/modelos matemáticos para a discretização do meio contínuo
Programas comerciais de Elementos Finitos:
ABAGUS
Programas comerciais de Elementos Finitos integrados com sistema CAD:
Programas comerciais de Elementos Finitos
Programas comerciais de Elementos Finitos
Programas comerciais de Elementos Finitos
Programas comerciais de Elementos Finitos
Programas comerciais de Elementos Finitos
Programas comerciais de Elementos Finitos
Exemplo tipo:
Resolução de um problema estático através de um programa comercial de análise por elementos finitos
1. Definição da geometria tridimensional do componente à analisar (software CAD integrado)
2. Definição das condições de fronteira do problema
3. Definição das forças/pressões externas aplicadas
4. Definição das propriedades materiais do componente estrutural de forma global ou para cada elemento
Yield strengh – força de escoamento
143
Ponte de Tacoma Narrows - Vibração induzida por vórtices
144
145
146
147
148
Obtenção dos resultados e interpretação
Obtenção dos resultados e interpretação
Obtenção dos resultados e interpretação
Obtenção dos resultados e interpretação
Obtenção dos resultados e interpretação
OUTROS EXEMPLOS
Diversos modelos utilizando 
elementos finitos na indústria 
automotiva
Carroceria
Carroceria
Teste de Impacto
Análise Dinâmica Explicita
Where finer meshes should be used
Avoid 2D/3D Elements of Bad Aspect Ratio
Elements Must not cross interfaces
Node by node (NbN) Distributed Load Lumping
Element by Element (EbE) Distributed Load Lumping
Minimum Support Conditions to Suppress Rigid Body Motions in 2D
Minimum Support Conditions to Suppress Rigid Body Motions in 3D
Visializing Symmetry and Antisymmetry Conditions in 2D
Example of Application of Symmetry BCs
Referências
• MEGSON, T. H. G., “Aircraft structures for engineering students”, 3a. 
ed., London, Ed Arnold, 1999, cap. 12.
• J.N. Reddy, “An Introduction to the Finite Element Method” 3rd ed., 
McGrawHill, ISBN 007-124473-5
• D.V. Hutton, “Fundamentals of Finite Element Analysis” 1st ed., 
McGraw Hill, ISBN 007-121857-2 
• K. Bathe, “Finite Element Procedures,” Prentice Hall, 1996. (in library)
• T. Hughes, “The finite Element Method: Linear Static and Dynamic 
Finite Element analysis,” Dover Publications, 2000. (in library)
• C. A. Felippa, “Introduction to Finite Element Methods”, University of 
Colorado, 2001
• C. A. Felippa, “Advanced Finite Elements Methods”, University of 
Colorado, 2001.
Referências
➢ Cook, Robert D. , Malkus , David S. “Concepts and applications 
of finite element analysis” John Wiley & Sons 4ª edição
➢ Liu , Yiung “Lecture Notes: Introduction to Finite Element 
Method” , 1998 University of Cincinatti
➢ Bathe, Klaus J. “Finite element procedures” Prentice Hall, 2ª 
edição
➢ Kang, HongTae “Applications of FEM in automotive sctructure
design” 
➢ Fukushima, T. , Shimonishi , H. “Vehicle turn simulation using
FE tire model” Japan Research Institute