Aula 03 Método dos Elementos Finitos (MEF)

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Métodos Numéricos - 3a aula - Prof Cristiane Mota
Método dos Elementos Finitos (MEF)
Nesse método numérico é feita a divisão da estrutura para calcular os deslocamentos de certos pontos, conhecendo as forças aplicadas nesses pontos e sabendo a rigidez da estrutura.
As soluções são formuladas para cada parte e depois são combinadas para se obter a solução para toda a estrutura.
Cada parte é chamada de elemento finito. As extremidades de cada elemento finito são pontos chamados de nós. 
Ex: Quando a estrutura é uma treliça, cada barra será um elemento finito e os pontos onde elas se tocam serão os nós. 
Na figura abaixo, os nós são os pontos A, B, C, D, E e F.
Há forças aplicadas nos nós B, C e D.
Elemento finito é uma mola
A lei de Hooke relaciona a força aplicada com o deslocamento da mola.
Lei de Hooke F = k x
F - força aplicada 
k - constante elasticidade / coeficiente de rigidez
x - deformação da mola
Na mola, tanto as forças aplicadas (tração ou compressão) como os deslocamentos são axiais e elas são sempre aplicadas nos nós. 
As forças e os deslocamentos são positivos se estiverem no sentido positivo do eixo x e negativos, caso contrário.
Suponha que o coeficiente de rigidez k é conhecido.
Caso 1) Quando apenas um nó é móvel medimos o deslocamento do nó 1 calculando:
F1 = k d1
F1 - força no nó 1,
d1 - deslocamento do nó 1.
Caso 2) Quando os dois nós são móveis medimos o deslocamento do nó 1 e do nó 2 calculando:
Vetor de forças Vetor de deslocamentos
 Matriz de rigidez 
F1 - força no nó 1, 
F2 - força no nó 2,
d1 - deslocamento do nó 1,
d2 - deslocamento do nó 2.
Sistema de equações:
 F1 = k d1 - k d2
 F2 = -k d1 + k d2
Através do sistema podemos relacionar as forças aplicadas com os deslocamentos, sendo conhecida a rigidez da estrutura.
Se a estrutura tiver mais de uma mola temos que escrever a matriz de rigidez de cada uma delas e depois combiná-las para escrever a matriz de rigidez da estrutura.
Se a estrutura tiver m elementos, então haverá m matrizes de rigidez, uma para cada elemento. 
Se a estrutura tiver n nós, a ordem da matriz de rigidez da estrutura é n x n. 
Us
e
 a seguinte nomenclatura:
(i)
 
representa
 o elemento finito i
i
 
representa
 o nó i
Fi
 representa a força no nó i
k
i
 
representa
 o coeficiente de rigidez do elemento finito 
(
i
).Ex: Considere uma estrutura com duas molas como na figura abaixo: 
A extremidade esquerda está fixa. 
Uma força de 10kgf/mm é aplicada na extremidade direita. 
Uma força de -4kgf /mm é aplicada no ponto intermediário que conecta as duas molas. 
Use valores com pelo menos 4 casas decimais e arredondamento, se precisar.
a) Monte a matriz de rigidez de cada elemento.
b) Monte a matriz de rigidez da estrutura.
c) Monte o sistema F = K.d em que K é a matriz de rigidez da estrutura, F é o vetor de forças e d é o vetor de deslocamentos.
d) Escreva o sistema de equações.
e) Supondo que k1 = k2 = 1 kgf/mm, resolva o sistema.
f) Escreva o vetor de deslocamentos.
g) Encontre a força de reação.
h) Escreva o vetor de forças.
i) Quanto cada nó da estrutura deslocou? 
Ex: Três molas tem as constantes elásticas apresentadas na figura abaixo. Só há força aplicada no nó 2 e vale 450N. Os nós 1 e 4 estão fixos.
 
Use valores com pelo menos 4 casas decimais e arredondamento, se precisar.
a) Monte a matriz de rigidez de cada elemento.
b) Monte a matriz de rigidez da estrutura.
c) Monte o sistema F = K.d em que K é a matriz de rigidez da estrutura, F é o vetor de forças e d é o vetor de deslocamentos.
d) Escreva o sistema de equações.
e) Resolva o sistema. 
f) Escreva o vetor de deslocamentos.
g) Encontre as forças de reação.
h) Escreva o vetor de forças.
i) Quanto cada nó da estrutura deslocou? 
Algumas respostas:
e) d2 = 0,027 m e d3 = 0,018 m
g) F1 = -270 N e F4 = - 180 N.
Para Casa
1) Ler o Capítulo 1 - Introdução (páginas 1 a 7) do livro FISH, BELYTSCHKO. Um primeiro curso em Elementos Finitos, LTC, 2007.
2) Assistir os videos de entrevistas com o professor Avelino Alves Filho – UNESP que estão disponíveis pelo link http://www.nce.com.br/servicos/
3) Ex: Três molas tem as constantes elásticas apresentadas na figura abaixo. Só há força aplicada no nó 2 e vale 450N. Os nós 1 e 4 estão fixos.
 
Use valores com pelo menos 4 casas decimais e arredondamento, se precisar.
a) Monte a matriz de rigidez de cada elemento.
b) Monte a matriz de rigidez da estrutura.
c) Monte o sistema F = K.d em que K é a matriz de rigidez da estrutura, F é o vetor de forças e d é o vetor de deslocamentos.
d) Escreva o sistema de equações.
e) Resolva o sistema. 
f) Escreva o vetor de deslocamentos.
g) Encontre as forças de reação.
h) Escreva o vetor de forças.
i) Quanto cada nó da estrutura deslocou? 
Algumas respostas:
e) d2 = 0,018 m e d3 = 0,009 m
g) F1 = -360 N e F4 = - 90 N.