Resumo Fórmulas

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RESUMO DE FÓRMULAS – MAT 2214 
 
Estatística descritiva para dados não agrupados: 
 
Média aritmética: 
n
xf
X
k
i
ii


 1 , 


k
i
ifn
1
 
 if é a frequência absoluta (simples) 
 
Média geométrica: n
k
i
fi
ig xm 


1
, 0ix 
 
Média harmônica: 


 k
i i
i
h
x
f
nm
1
, 0ix 
 
 
Mediana: Med = 
 
   












 par én se , 
2
) x (x
 
 ímpar én se , x
12
n
2
n
2
1n
 
 
   x é a amostra ordenada 
 
Moda: Mo é o elemento na amostra com maior freqüência simples 
 Se todas frequências forem iguais diremos que não há moda 
 
Amplitude: minmax xxh  
 
Variância: 
1
2
1
2
2














n
Xnxf
S
k
i
ii
 , Desvio padrão: S = 2S 
 
Coeficiente de variação: CV = 0%;100 


X
X
S 
 
 
 
 
 
2
2
Índice de concentração de Gini (ICG): 
 
 




 


 n
i
i
n
i
n
ij
ji
Xn
XX
ICG
1
1
1 1
)1(
 
 
Estatística descritiva para dados agrupados por intervalos: 
 
Nas fórmulas para a média e variância use 




 

2
ii
i
Ll
x , onde il é o extremo inferior 
do intervalo e iL o extremo superior. 
 
Mediana: para localizar a classe mediana procuramos na coluna das frequências 
acumuladas a 1ª iF tal que 2
nFi  . Após localizar a classe mediana aplicamos 
 a seguinte fórmula: Med = 











 


m
m
mm f
Fn
hl
12 , onde 
 ml é o limite inferior da classe mediana 
 mh é a amplitude da classe mediana 
 mf é a frequência simples da classe mediana 
 1mF é a frequência acumulada da classe anterior à mediana 
 
Moda: a classe modal é a classe com maior frequência simples 
 
 Mo = 









11
1
mm
m
mm ff
f
hl , onde 
 
ml é o limite inferior da classe modal 
 mh é a amplitude da classe modal 
 1mf é a frequência simples da classe posterior à modal 
1mf é a frequência simples da classe anterior à modal 
 
 
 
 
 
 
 
3
3
Propriedades da média e variância 
 
Seja uma amostra onde foi observada a variável : 
(i) , e 
(ii) , e 
(iii) , , e 
(iv) S
Xxy ii


 0

Y e 12 YS 
 
 
Números-Índice 
 
 
 
Índices de Laspeyres 
 








i
i
t
p
t iqip
iqip
L
)()(
)()(
00
0
,0 índice de preços 
 








i
i
t
q
t iqip
iqip
L
)()(
)()(
00
0
,0 índice de quantidades 
 








i
i
tt
v
t iqip
iqip
L
)()(
)()(
00
,0 índice de valores 
 
 
Índices de Paasche: 
 








i
t
i
tt
p
t iqip
iqip
P
)()(
)()(
0
,0 índice de preços 
 








i
t
i
tt
q
t iqip
iqip
P
)()(
)()(
0
,0 índice de quantidades 
},,,{ 21 nxxx  X
cxy ii  Rc  cXY 

22
XY SS 
ii cxy  0c 

 XcY 222 XY ScS 
bcxy ii  0c Rb  bXcY 

222
XY ScS 

 
 
4
4








i
i
tt
v
t iqip
iqip
P
)()(
)()(
00
,0 índice de valores 
 
 
Resultados de Cálculo: 
 
Propriedades do valor absoluto: axaax || 
 axax || ou ax  
 
;0)( c
dx
d c constante real 
 
1)(  nn nxx
dx
d ; 2
11
xxdx
d





 ;   axax aee
dx
d
 ;   )ln(bbb
dx
d xx  
 
 
x
x
dx
d 1)ln(  ;   )(log1)(log e
x
x
dx
d
bb  ;   )cos()( xxsendx
d
 ;   )()cos( xsenx
dx
d
 
 
derivada do produto de funções:      )()()()()()( xg
dx
dxfxgxf
dx
dxgxf
dx
d
 
 
regra da cadeia: 
dx
dg
dg
df
dx
df
 ; ))(( xgf 
 
ponto crítico de uma função: 0)( 
dx
xdf 
 
ponto de máximo de uma função: 0)(2
2

xd
xfd 
 
ponto de mínimo de uma função: 0)(2
2

xd
xfd 
ponto de inflexão: 0)(2
2

xd
xfd 
 
função crescente: 0)( 
dx
xdf ; função decrescente: 0)( 
dx
xdf 
 
Teorema fundamental do cálculo:  
b
a
aFbFdxxf )()()( ; 
dx
xdFxf )()(  
 
 
5
5
ckxkdx  ; cn
xdxx
n
n 



 1
1
, 1n 
cxdx
x
 )ln(
1 , c
a
edxe
ax
ax  
 
cax
a
dx
ax
 )ln(
11 ; c
a
axaxsen 
)cos()( ; c
a
axsenax 
)()cos( 
 
Integral imprópria: 


  )(lim)(lim)( xFxFdxxf xx 
 
 
Métodos de enumeração: 
 
Fatorial de um número inteiro não negativo: 1)2()1(!  nnnn 
 Por convenção: 0!=1 
 
Nn  
 
Arranjos: 
)!(
!
nN
NAnN 
 
 
Permutações: !1.....)1( NNNANN  
 
Combinações: 
!)!(
!
! nnN
N
n
A
C
n
Nn
N 
 
 
Arranjos com elementos que aparecem mais de uma vez: nN 
 
 
Probabilidade 
 
Operações com eventos:  ccc BABA   ;    ccc BABA  ; 
   BABBAc  
Propriedades: 
 
(1ª) 1)(0  AP , para A evento no espaço amostral  
(2ª) 1)( P 
(3ª) 0Ø)( P 
(4ª)   
n
i i
n
i i
APAP
11
)()( , para Ø ji AA , ji  
 
 
6
6
(5ª) )(1)( APAP c  
(6ª) )()( BPAPBA  
(7ª)  BA )()()( APBPABP  
(8ª) )()()( BAPBPABP  ; )()()( BAPAPBAP  
 
Regra da adição:    )()()( BAPBPAPBAP  para BA, eventos quaisquer 
 
Regra do produto:  )()()( BPAPBAP  se A e B forem independentes 
 
Probabilidade condicional: 
)(
)(
)|(
BP
BAP
BAP  , se 0)( BP 
 
 )|()()( ABPAPBAP  
 
     BACPABPAPCBAP |)|()()(  
 
Partição do espaço amostral: nAAA ,....,, 21 é uma partição do espaço amostral  se: 
 
(1) Ø ji AA , ji  
(2) 
n
iA
1
 
 
Teorema da probabilidade total: para nAAA ,....,, 21 partição do espaço amostral  e B 
evento qualquer em  , tem-se que   )|()(
1



n
i
ii ABPAPBP 
 
Fórmula de Bayes: para nAAA ,....,, 21 partição do espaço amostral  , 
 
  
)|()(
)|()(
|
1


 n
i
ii
kk
k
ABPAP
ABPAPBAP , nk ,,2,1  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7
7
Variáveis aleatórias discretas 
 
função massa de probabilidade (fmp): para X v.a. )()( xXPxf  
 1)(0  xf 
  x xf 1)( 
 
Esperança: 
x
xxfXE )()( 
Variância:  222 )()(  





 
x
xfxXVar 
Desvio padrão: 2  
 
Coeficiente de variação: %100. 

VC , 0 
 
Modelo Uniforme discreto: }{NU 
 
 },,2,1{;1)( Nx
N
xf  
 
 
2
1 NEX  ; 
12
1)(
2 

NXVar 
 
Modelo binomial: ),( pnBinomial , xnxxn qpCxf
)( , q=1-p,  nx ,...,1,0 
 npEX  , npqXVar )( 
 
Modelo de Poisson: );( tPoisson  , 0t 
 
!
)()(
x
texf
x
t  ,  ,....1,0x ; 7118281828,2e 
 tXVarEX  )( 
 
 
Modelo hipergeométrico: ),,( rnNH 
 
 ,)( n
N
xn
rN
x
r
C
CCxf

 )},min(,....,1,0{ rnx 
 npXE )( , 








1
)1()(
N
nNpnpXVar , 
N
rp  
 
 
 
 
8
8
Variáveis Aleatórias contínuas 
 
Função densidade de probabilidade (fdp): 0)( xf e a área sob a curva é 1 
 
Função acumulada: F é tal que )()()( xXPxXPxF  , Rx 
 
)(1)()( xFxXPxXP )()()()()()( aFbFbXaPbXaPbXaPbXaP  
 
Modelo uniforme contínuo: ],[ baU 
 
 








bxa
ab
bax
xf
,1
),(,0
)( , 












bx
bxa
ab
ax
ax
xF
,1
,
,0
)( 
 
 
2
)( baEX  , 
12
)()(
2abXVar  
 
Modelo exponencial: )(lExponencia , 0 
 
 






 0,
0,0
)(
xe
x
xf x
, 






 0,1
0,0
)(
xe
x
xF x 
 
 

1
EX , 2
1)(

XVar 
 
Modelo Gaussiano (normal): 
 
),( N 
 
 EX , 2)( XVar 
 



XZ é normal padrão ( 0 e 1 ) 
 





 




 



 aaZPaXP )( , 




 




 



 aaZPaXP 11)( 





 




 




 









 abbZaPbXaP )( , 
 
 
9
9
sendo  a função de distribuição acumulada da normal padrão . 
 
Observação: para obter z tal que pzZP  )( utilize a função inversa )(1 z da 
normal padrão, na tabela da normal padrão inversa. 
 
 
Análise Bidimensional 
 
 
Função massa de probabilidade conjunta: 
 
  ,),(  yYxXPyxf  Xx  e Yy  
 
 1),(0  yxf , yx, 
    x y xy yxfyxf 1),(),( 
 
 
Função massa de probabilidade marginal 
 
   
y
X yxfxXPxf ),()( , Xx  
  
x
Y yxfyYPyf ),()( , Yy  
 
Função massa de probabilidade condicional 
 
 
   
)(
),(
)(
|)|(
yf
yxf
yYP
yYxXP
yYxXPyxf
Y



  , 0)( yfY 
 
   
)(
),(
)(
|)|(
xf
yxf
xXP
yYxXP
xXyYPxyf
X



  , 0)( xf X 
 
 
Variáveis aleatórias independentes 
 
)()(),( yfxfyxf YX  , para quaisquer ),( yx 
 
 
10
10
 
 
Covariância de duas variáveis aleatórias 
 
   )()()()(),( YEXEXYEEYYEXXEYXCov  
 
   
x y
yxfxyXYE ),( 
   
x
X xfxXE )( ,    
y
Y yfyYE )( 
 22 )()( EXxfxXVar
x






  ,  22 )()( EYyfyYVar
y






  
 
 
Coeficiente de correlação linear de Pearson 
 
 
)()(
)()()(
)()(
),(),(
YVarXVar
YEXEXYE
YVarXVar
YXCovYX




