Lab de fisica 1 - pratica1

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO - 
UNESP INSTITUTO DE QUÍMICA DE ARARAQUARA 
CURSO: ENGENHARIA QUÍMICA 
LABORATÓRIO DE FÍSICA I 
RELATÓRIO PRÁTICA 1: TEORIA DOS ERROS 
DOCENTE RESPONSÁVEL: THIERS MASSAMI UEHARA 
ALUNOS: 
ANDRESSA MARQUES PEREIRA - RA: 201140322 
ENZO ALVES MUNHOZ - RA: ​201140683 
GABRIELA FONTOLAN - RA: 201140331 
GEAN DE SOUZA LIMA - RA: 201141396 
 
ARARAQUARA, NOVEMBRO 2020 
 
 
RESUMO 
Neste trabalho, associado à prática um da disciplina de Laboratório de Física I, está 
contida a Teoria dos Erros, com aplicações e teoria. A sua importância para a física 
associado às grandezas físicas é destacada. Assim foram realizados cálculos e pesquisas 
para o emprego da Teoria dos Erros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
SUMÁRIO 
INTRODUÇÃO........................................................................................................... 4 
OBJETIVOS............................................................................................................... 5 
METODOLOGIA......................................................................................................... 5 
RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................................ 
CONCLUSÃO ........................................................................................................... 
REFERÊNCIAS....................................................................................................... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
INTRODUÇÃO 
As grandezas físicas são de extrema importância e para as obtermos é necessário 
por meio de experimentos realizarmos medidas. Medir é comparar uma característica de um 
sistema com referências tidas como padrões.Um sistema de referência amplamente 
conhecido é o Sistema Internacional de Unidade, universalmente conhecido como SI. O 
valor de uma medida é normalmente adquirido através de um equipamento que possui 
certas características que geram uma incerteza. Desta forma, se repetirmos a medição da 
mesma maneira e com os mesmos procedimentos a medida não será em geral idêntica[1]. 
Quando medimos várias vezes uma grandeza física nos deparamos com um número 
que é capaz de caracterizá-la, assim é importante saber qual a confiança do valor obtido e 
se representa a grandeza física. A incerteza de uma medida então deve ser expressada 
para maior compreensão, já que sempre estará presente na medição, utilizando uma 
linguagem universal[1]. 
Desta forma, A Teoria dos Erros aparece então para tratar os dados 
experimentais para estimar com a maior precisão possível o valor da grandeza 
medida e o seu erro[1]. 
a) Algarismos Significativos: Número de algarismos que compõem o 
valor de uma grandeza excluindo eventuais zeros à esquerda[1]. 
b) Arredondamentos: Diminuímos o número para a quantidade de algarismos 
significativos utilizando em geral duas alternativas. Quando o algarismo anterior é menor 
que 5 o número posterior desejado permanece igual, se for maior que 5 adicionamos um ao 
número desejado[1]. 
É importante distinguir erros e incertezas, por mais que pareçam sinônimos 
representam conceitos completamente diferentes.A diferença é observada já que o cálculo 
do erro só pode ser realizado se for conhecido o valor verdadeiro do objeto em estudo 
enquanto a incerteza não apresenta essa restrição[2]. 
c) Incertezas: A incerteza de uma medida reside no dígito duvidoso ou na fração 
avaliada de menor divisão.Podem ser classificadas em dois tipos: absoluta( amplitude de 
incertezas fixado pelo experimentador acompanhando o sinal + ou -) e relativa ( quociente 
entre a incerteza absoluta e a grandeza).Quanto maior for a incerteza haverá menos 
confiabilidade[2]. 
d) Erros: A imperfeição na medição da origem a erros de três tipos: aleatório (origem 
em efeitos aleatórios, não pode ser compensado, apenas reduzido com mais observações) , 
4 
 
 
sistemático( não pode ser evitado apenas reduzido, caso seja encontrado deve ser 
eliminado) e grosseiros ( associados à má condução do experimento)[2]. 
 
OBJETIVOS 
 
Os objetivos da prática um são compreender e aplicar a Teoria dos Erros. 
 
 
METODOLOGIA 
 
Utilizamos para a realização da prática o Google para buscar dados e o computador. 
 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO 
Exercício 1 
O sistema CGS (centímetro-grama-segundo) é um sistema de unidades de medidas 
físicas que antecedeu o Sistema Internacional de Unidades (SI), sendo posteriormente 
substituído por ele. 
A Tabela 1 relaciona as grandezas físicas de base (comprimento, massa, tempo e 
carga elétrica) a sua respectiva unidade no sistema CGS. 
Tabela 1: Unidade de base : 
(Tabela adaptada do site)​ ​https://infi.ufms.br/files/2018/07/Aula-2-UNIDADE-I-MEDIDAS.pdf 
“A Tabela 2 (Tabela 9) apresenta as unidades relacionadas às antigas unidades do 
sistema CGS (centímetro, grama, segundo) e contém as unidades elétricas CGS. No 
campo da mecânica, o sistema de unidades CGS foi criado com base em três grandezas e 
suas unidades de base correspondentes: o centímetro, o grama e o segundo. As unidades 
elétricas CGS continuam a ser obtidas a partir destas três unidades de base, usando 
equações diferentes daquelas utilizadas no SI. Como isto pode ser feito de diversas 
maneiras foram estabelecidos vários sistemas diferentes: o sistema CGS-UEE 
5 
 
Grandeza Nome Símbolo 
Comprimento centímetro cm 
Massa grama g 
Tempo segundo s 
Carga Elétrica statcoulomb sC 
https://infi.ufms.br/files/2018/07/Aula-2-UNIDADE-I-MEDIDAS.pdf
https://infi.ufms.br/files/2018/07/Aula-2-UNIDADE-I-MEDIDAS.pdf
 
(eletrostático), o sistema CGS-UEM (eletromagnético) e o sistema de unidades gaussianas 
- CGS. Particularmente, sempre foi reconhecido que o sistema gaussiano CGS apresenta 
vantagens em certas áreas da física, como a eletrodinâmica clássica e relativística (9ª 
CGPM; 1948, Resolução 6). A tabela 9 menciona as relações entre as unidades do CGS e 
do SI, bem como a lista das unidades CGS que receberam nomes especiais. Assim como 
para as unidades da tabela 8, os prefixos SI também são utilizados com várias dessas 
unidades (por exemplo: milidina, símbolo mdyn; miligauss, símbolo mG, etc)[3]”. 
Tabela 2: Conversão de Unidades CGS para SI 
 
“INMETRO. SISTEMA Internacional de Unidades - SI. 8. ed. Rio de Janeiro, 2003. 116 p.” 
 
Um sistema de unidades é um conjunto de unidades de medida que contém um 
conjunto de unidades de base, o fundamentais, das quais se derivam todas as outras 
unidades contidas no sistema. Atualmente, a forma moderna de sistema métrico é o 
Sistema Internacional de Unidades (SI). O SI é um sistema de unidades de medida 
6 
 
 
concebido em torno de sete unidades básicas, o metro (m), quilograma (kg), mol (mol), 
candela (cd), segundo (s), kelvin (K) e ampere (A), e da conveniência do número dez. É o 
sistema de medição mais usado do mundo, tanto no comércio todos os dias e na ciência. 
Exercício 2 
a) ​Uma constante física é uma grandeza física que acredita-se ser tanto geral na natureza 
quanto constante no tempo. Pode ser comparada com uma constante matemática, no 
entanto, as constantes matemáticas são valores numéricos fixos, exatos ou aproximados, 
que não envolvem, diretamente, qualquer medida física. 
Existem muitas constantesfísicas na ciência, algumas das mais reconhecidas são a 
velocidade da luz no vácuo ​c​, a constante gravitacional ​G​, a constante de Planck ​h e a 
carga elementar ​e​. Constantes físicas podem tomar diversas formas dimensionais, podendo 
ser dimensionais, como a velocidade da luz, ou adimensionais, como a relação entra e a 
massa do próton e massa do elétron. 
7 
 
 
 
HALLIDAY, D., RESNICK, R. Fundamentos de Física. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos (1991), v.3-4. 
 
b) ​A acurácia (ou exatidão) e a precisão (número de algarismos significativos do valor 
medido) de um certo dado medido estarão sempre limitadas tanto pela sofisticação do 
equipamento utilizado, pela habilidade do sujeito que realiza a medida, pelos princípios 
8 
 
 
físicos básicos tanto do instrumento de medida, quanto do fenômeno que gerou o 
experimento e o conhecimento que se tem sobre o valor "verdadeiro" da grandeza física. 
(MEDIÇÃO DE DADOS EXPERIMENTAIS, INCERTEZA E PROPAGAÇÃO DE ERRO) 
A exatidão (ou acurácia) de uma medida é a distância entre o valor medido e o valor real, 
ou seja, ela indica o quão próximo do valor estabelecido como real está o valor encontrado. 
Geralmente é expressa como um desvio percentual, ou desvio, do valor estabelecido e, 
quanto menor for esse desvio, mais exata é a medida. 
A exatidão de uma medida estará sempre limitada por fatores como a formação, 
experiência e habilidades da pessoa que realizará essas medições, do número de 
medições, bem como seus erros e incertezas, da escolha do instrumento e do local a ser 
realizada, da precisão do instrumento, que poderá ser afetada pela idade desse 
instrumento, sua calibragem e manutenção, por fatores ambientais, como temperatura, 
umidade, pressão e campo magnético que atuam de maneiras diferentes dependendo da 
composição do material a ser medido. 
c) ​A calibração de um equipamento é um ​conjunto de operações que estabelece, sob 
condições especificadas, a relação entre os valores indicados por um ​equipamento e as 
incertezas de medição fornecidas por padrões; numa segunda etapa, utiliza esta 
informação para estabelecer uma relação visando a obtenção dum resultado de medição a 
partir de uma indicação. Em resumo, estabelece o erro de medição e a incerteza de 
medição associada de um instrumento, ao compará-lo a um padrão. ​Ela permite identificar 
se os instrumentos de medição estão aptos para o processo e que os valores apresentados 
por eles não vão interferir na qualidade final do produto. 
C​ompreende uma operação mais detalhada, onde os valores são verificados, e 
também são identificados erros e incertezas. Quando constatado um erro durante a 
Calibração, faz-se necessário identificar as causas, fazer a manutenção do Sistema de 
Medição e o Ajuste, para que o equipamento mostre o valor exato que está sendo medido. 
A calibração deve ser realizada periodicamente e é uma condição necessária para 
que os resultados de medição sejam confiáveis. 
Exercício 3 
9 
 
 
Utilizamos a Teoria dos Erros para elaborar a tabela destacando a quantidade de 
algarismos significativos. É possível perceber que os zeros à esquerda não são 
classificados como algarismos significativos. Podemos perceber que a carga do elétron 
apresenta maior precisam, já que possui a maior quantidade de algarismos significativos 
enquanto o número 0,002 apresenta a menor precisão por possuir apenas um algarismo 
significativo. 
 
Exercício 4 
A manipulação de algarismos significativos é necessária para manter a precisão do 
número já apresentado.Já que por exemplo o exercício a deve conter a mesma precisão do 
número com a menor quantidade de algarismos significativos para não alterar a certeza do 
dado . 
 
a) 45,56 + 1,2 =47 
b) 23,1 - 1,23 = 21,9 
c) 2 - 1,09 =0,9 
d) 3,2 x 3,0 = 9,6 
e) 1,2 x 4,5678 = 5,5 
f) 32,1 / 1,7 =19 
g) log (7,32 x 10-17) =-16,1 
10 
 
Número Quantidade de Algarismos Significativos Observação 
78,1 3 - 
-1,6021773 x 10-19 8 Carga do elétron, em 
Coulomb 
 
9,109390 x 10-28 7 Massa do elétron, em g 
4.000 1 à 4 - 
0,0002 1 - 
8.848 4 Altura do Everest, em metros 
 
384.405 6 Distância entre a Terra e a 
Lua, em km 
 
1,00002 6 
- 
2,0000 1 à 5 
 
- 
 
h) log (2,1 x 10^3) = 3,3 
i) 3,6 + 7,4455 =11 
j) 79,2 - 12,1 =67,1 
k) 45,2 / 3,1 = 14 
l) 23,32 - 12,1 =11,2 
m) 56,7 x 45,321 = 257x10 
n) log (23,1) = 1,36 
o) log (45,67 x 10^5) =6,660 
 
 
 
 
 
 
Exercício 5 - Calcule: 
a.)​ ​A massa específica de um objeto de massa (3,4 +-0,5) g e volume (1,2 +-0,2) mL. 
 
Considerando a equação da massa específica (Atkins e Jones, 2001): 
 
 
E substituindo os valores de m e V (​3,4 +-0,5 g e ​1,2 +-0,2 mL​, respectivamente), ao 
mesmo tempo que se convertem os valores para kg e m³ (S.I.), temos: 
 
 
 
Assim, usando os conceitos de propagação de incertezas, deve-se tratar as médias e as 
incertezas separadas. Nesse caso, ​Δd é dependente de Δm e ΔV. 
 
11 
 
 
[1] 
 
 ​Desenvolvendo​ Δd pela propagação de incertezas​, tem-se: 
 
 Executando as derivadas parciais, obtém-se: 
 
 
 ​Substituindo os valores de V, ​ΔV, m e Δm: 
 
 
 ​Desenvolvendo a equação, tem-se o valor de ​Δd: 
12 
 
 
 
 
 
 
 Substituindo esse valor na equação​ [1]​, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 ​Assim, efetuando a divisão das médias, chega-se ao resultado aproximado de: 
 
 
 
b.)​ ​A área de um quadrilátero com lado (9,3 +-0,6) m. 
 
Considerando o quadrilátero como um quadrado, sabe-se que a área pode ser 
definida por: 
 
13 
 
 
 
 
 Substituindo o valor de L na primeira equação: 
 
 
 
 ​Realizando os cálculos, obtém-se: 
[1] 
 
 
 Agora, calculando ​ΔA separadamente: 
 
 
 Operando a derivada parcial (a partir da equação ​A = L​2​): 
 
 
 Substituindo os valores de L e ​ΔL: 
14 
 
 
 
 
 ​Desenvolvendo e extraindo a raiz: 
 
 
 ​Substituindo e fazendo a multiplicação na equação ​[1]​, obtém-se o resultado: 
 
 
c.)​ ​A velocidade média de um carro que percorreu (34,1 +-0,2) m em (2,2 +-0,1) s. 
 
 
Sabendo que a velocidade média de uma partícula pode ser definida por (Sears & 
Zemansky, 2008): 
15 
 
 
em que S é o espaço percorrido e t o tempo. 
 
 
 
 
Substituindo os valores dados de espaço e tempo, tem-se: 
 
 
 
 E, portanto: 
 
 
[1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Desenvolvendo ​Δ​Vm separadamente: 
 
obs.: nesse caso, ​ΔS e Δt se referem às incertezas relativas à S e t, e não a diferença 
X final - X inicial​ habitual na física. 
 
16 
 
 
 
 
 
 ​Operando a derivada parcial, tem-se: 
 
 
 
 Substituindo os valores dados de S, ΔS, t e Δt, obtém-se: 
 
 
 
 Desenvolvendo os cálculos e extraindo a raiz, define-se ΔVm como: 
 
 
 
 
 Substituindo o valor na equação​ [1]​ e realizando o quociente, tem-se o resultado: 
 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d.) ​Imagine que três medições de comprimento (em centímetros) utilizando uma régua 
(com menor divisão de 0,1 cm) foram 3,10; 3,09 e 3,11. Calcule a média e o desvio padrão 
da média. Como seria a forma correta de apresentar o resultado, utilizando o desvio padrão 
ou o erro do instrumento? 
 
 
 
 
 
 Para esse caso, a média pode ser calculada por: 
 
 
 
 
Substituindo os valores de a, b e c: 
18 
 
 
 
 
 
Realizando os cálculos: 
 
 
 
Agora, aplicando na fórmula do desvio padrão: 
 
 Desenvolvendo: 
 
 Portanto, tem-se que o valor do desvio padrão é: 
19 
 
 
 
 
 
Comoo desvio padrão apresenta um grau de precisão maior em relação ao erro do 
instrumento, a forma correta de apresentar esse conjunto de dados é utilizar o desvio 
padrão ao invés do erro do instrumento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6 
 
 
a.)​ ​Desvio do volume de um paralelepípedo. 
 
Sabendo que o volume de um paralelepípedo é dado multiplicando uma aresta de 
comprimento, uma de largura e uma de altura, da seguinte forma: 
 
 
20 
 
 
 
 O desvio do volume para quaisquer a, b e c (e suas incertezas ​Δa, Δb e Δc) é dado por: 
 
 
 
 
 Operando a derivada parcial, obtém-se: 
 
 
 
 
 
b.)​ ​Desvio do volume de um cilindro. *(Utilize a fórmula utilizando o diâmetro) 
 
Considerando que o volume de um cilindro é definido por ​área da base x altura​, sabendo 
que a base é circular e também que o raio da base é metade do diâmetro: 
 
 
 Aplicando o desvio, para quaisquer h e b (e suas incertezas ​Δh e Δb): 
 
 
 
 Operando a derivada parcial: 
21 
 
 
 
 
 
 Desenvolvendo: 
 
 
 
 
 Realizando o MMC e juntando as frações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Extraindo a raiz quadrada dos termos: 
 
 
 
22 
 
 
 
 E, por fim, colocando em evidência, tem-se o resultado como: 
 
 
 
 
 
 
 
c.)​ ​Desvio do volume de um cubo. 
 
 
 Sabendo que o volume de um cubo é dado por: 
 
 
 
 
 
 Aplicando a fórmula do desvio, sendo ​Δl o desvio de l: 
23 
 
 
 
 
 
 
 Operando a derivada parcial: 
 
 
 
 
 Desenvolvendo: 
 
 
 
 Extraindo a raiz quadrada, tem-se o resultado: 
24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
CONCLUSÃO 
 
Com a realização do relatório referente à prática 1, conclui-se que a Teoria dos Erros 
é muito importante para análise de dados, pois ela destaca a precisão ou a imprecisão das 
medidas realizadas com instrumentos que por natureza geram incertezas. Desta forma, as 
grandezas físicas passam a serem mais confiáveis a partir da noção da Teoria dos Erros. 
 
REFERÊNCIAS 
[1] MALVEZZI, ANDRÉ. ​Teoria dos Erros. Disponível em 
<​http://wwwp.fc.unesp.br/~malvezzi/downloads/Ensino/Disciplinas/LabFisI_Eng/ApostilaTeo
riaDosErros.pdf​> Acesso em: 11 nov. 2020. 
 
[2] TABACNIKS, MANFREDO H. ​Conceitos Básicos da Teoria de Erros. Disponível 
em:<​http://macbeth.if.usp.br/~gusev/ApostilaErros.pdf​> Acesso em: 11 nov. 2020. 
 
[3] ​“INMETRO. SISTEMA Internacional de Unidades - SI. 8. ed. Rio de Janeiro, 2003. 116 p.” 
[4] Precisão, Exatidão, e a Terminologia das Medições 
(​http://wwwp.fc.unesp.br/~jhdsilva/Precisao_e_Terminologia_de_Medicoes.pdf​) 
[5] Em metrologia, a ciência da medição, o Lima Junior, P. et al. O laboratório de mecânica. 
Porto Alegre: IF-UFRGS, 2012. 3​ (​http://www.if.ufrgs.br/fis1258/index_arquivos/TXT_01.pdf​) 
26 
 
http://wwwp.fc.unesp.br/~malvezzi/downloads/Ensino/Disciplinas/LabFisI_Eng/ApostilaTeoriaDosErros.pdf
http://wwwp.fc.unesp.br/~malvezzi/downloads/Ensino/Disciplinas/LabFisI_Eng/ApostilaTeoriaDosErros.pdf
http://macbeth.if.usp.br/~gusev/ApostilaErros.pdf
http://wwwp.fc.unesp.br/~jhdsilva/Precisao_e_Terminologia_de_Medicoes.pdf
http://www.if.ufrgs.br/fis1258/index_arquivos/TXT_01.pdf