Geometria espacial de posição

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Geometria Espacial 
● Volumes
● Áreas
● Sólidos 3D
 
Geometria de posição Geometria métrica
 Estuda as figuras 
geométricas quanto à 
sua forma e à sua 
posição
Estuda as figuras 
geométricas em 
relação
às suas medidas.
 
Os conceitos ou entes primitivos da Geometria são estabelecidos 
sem definição. Adotamos como verdade a partir do conhecimento 
intuitivo decorrente da experiência e observação.
Reta, semirreta e 
segmento de reta
 
 
 Postulados e Conceitos primitivos 
Postulado da 
existência
Numa reta (plano), bem como fora dela(e) há infinitos 
pontos.
Postulado da 
determinaçao
Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa 
por eles.
Três pontos não colineares determinam um único plano 
que passa por eles.
 
Espaço
 
Ponto Dimensão 0 
Reta Dimensão 1 (Espaço unidimensional) - Comprimento
Plano Dimensão 2 (Espaço bidimensional) – Comprimento e 
largura
Sólido Dimensão 3 – Comprimento, largura e profundidade.
Dimensão
Cada uma das direções em que é possível realizar 
medidas em um espaço é chamada de dimensão. Se 
não existe possibilidade de tomar outra medida além 
do comprimento de um objeto, por exemplo, dizemos 
que esse objeto possui apenas uma dimensão.
 
 É comum encontrarmos mesas com 4 
pernas que, mesmo apoiadas em um piso 
plano, balançam e nos obrigam a colocar 
um calço em uma das pernas para que 
fiquem firmes. 
Por que isso não acontece
Com cadeiras de 3 pernas?
 
Postulado da 
inclusão
Se uma reta possui dois pontos distintos contidos no plano, 
então essa reta está contida no plano.
 
Retas concorrentes
Duas retas são concorrentes se, e somente se, 
possuem um único ponto comum.
Retas paralelas
Duas retas são paralelas se, e 
somente se, ou são coplanares e 
não têm ponto comum ou são 
coincidentes.
Retas reversas
Duas retas são reversas se, e 
somente se, não existe plano que 
as contenha.
 
Determinação (existência e unicidade) de 
um plano
Por uma reta e um 
ponto fora dela
Por duas retas 
paralelas distintas
Por duas retas 
concorrentes
 
Resumindo:
 
 
Algumas relações estudadas no plano terão um enfoque diferente quando estudadas no 
espaço, como no exemplo seguinte.
Dadas as retas distintas a, b e c:
• No plano: se a é perpendicular a b, e c é perpendicular a b, então 
a é paralela a c.
 
No espaço: se a é perpendicular a b, e c é perpendicular a b, então 
a pode ser paralela a c ou não.
 
Essa reta comum é a 
intersecção dos dois planos. 
 têm todos os pontos 
comuns
 
Obs.: Estamos considerando duas retas coincidentes como retas paralelas iguais, e dois planos 
coincidentes como planos paralelos iguais. Devemos por isso ficar atentos a afirmações que 
envolvem retas ou planos paralelos. 
Por exemplo:
• a afirmação “ se α e β são planos paralelos, então α∩β = ø” é falsa;
• a afirmação “se α e β são planos paralelos e distintos, então α∩β = ø” é verdade
 
 
Uma reta e um plano podem ter três posições relativas.
1ª
 
2ª
 
3ª
Uma reta r está contida em um plano α se, e somente se, todos os pontos 
de r pertencem ao plano α.
 
Resumindo:
 
 
Vimos que:
Atenção!!!!
1º) Podemos ter, em dois planos 
paralelos, retas que não sejam paralelas.
 
2º) Podemos ter retas paralelas contidas em dois planos que não 
sejam paralelos.
 
Retas Perpendiculares
Duas retas concorrentes no espaço são ditas perpendiculares quando se encontram 
formando quatro angulos iguais; cada um deles e chamado de angulo reto.
 
Retas Ortogonais
Considere agora a e b retas reversas e c uma reta paralela à reta a e 
concorrente com b.
 
 
 
Perpendicularismo entre reta e planoPerpendicularismo entre reta e plano
 
 
Teorema FundamentalTeorema Fundamental
 
 
 
Dois planos serão perpendiculares se um deles contiver 
uma reta que seja perpendicular ao outro plano.
 
DISTÂNCIAS
Distância entre ponto e reta
Se A e B coincidem, a distância entre eles é nula .
Se A e B são distintos, a distância entre eles é o segmento AB.
 
Distância entre ponto e reta: É a distância entre esse ponto e o 
pé da perpendicular à reta conduzida pelo ponto.
Obs: Não confundir distância entre ponto P e reta r, com distância entre 
ponto P e um ponto da reta r.
 
Distância entre duas retas paralelas: É a distância entre um 
ponto qualquer de uma delas e a outra reta.
 
Distância entre ponto e plano: É a distância entre esse ponto e 
o pé da perpendicular ao plano conduzida pelo ponto.
De todos os segmentos com uma extremidade em P e a outra em α, PP’ é o 
menor.
 
Distância entre reta e plano paralelos: É a distância entre um 
ponto qualquer da reta e o plano.
 
Distância entre dois planos paralelos: É a distância entre um 
ponto qualquer de um deles e o outro plano.
 
Distância entre duas retas reversas: É a distância entre um 
ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é 
paralelo à primeira.
 
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