2020115_204013_Ap 6 - Equações Diferenciais

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FADECH - FACULDADE DE DESENVOLVIMENTO DAS CIÊNCIAS E HUMNIDADES
Credenciada pela Portaria nº 424, de 03/09/2019 - DOU: 04/09/2019
	Curso: Engenharia de Produção/Engenharia Civil
	Tipo de atividade: Exercícios
	Disciplina: Cálculo Numérico
	Professor: Maria Auxiliadora Lage
	Período/turma: 4ºperíodo
	Data: 
	Aluno(a):
	
	
Assunto: Equações Diferenciais
Considere a equação diferencial ordinária: com condição inicial 
A solução da equação diferencial acima é uma função do tipo , conforme ilustrada abaixo:
 																																																																																																																																																											
Com a solução numérica de uma equação diferencial, obtém-se uma aproximação para os valores , ou seja:
	X
	
	
	
	.........
	
	Y
	
	
	
	.........
	
 
Considera-se que a notação indica a solução exata da EDO nos pontos , e indica a solução aproximada obtida por método numérico.
Na solução numérica não se determina a expressão literal da função , mas aproximações para pontos da função . Com os valores aproximados obtidos, pode-se plotar a curva. Em aplicações da engenharia, normalmente estuda-se o comportamento dinâmico de determinadas variáveis, portanto necessita-se a evolução das variáveis em função da variável independente. Com a curva plotada, pode-se estudar esta evolução.
Método da fórmula de Taylor
Sendo fácil o cálculo das cinco primeiras derivadas sucessivas até a quinta ordem na condição inicial P(x1, y1).
Calculam-se as derivadas date a 5ª ordem;
Substituem-se nas derivadas os valores da condição inicial;
Representam-se a função pelo polinômio de Taylor
.
Usando o h dado e o polinômio obtido, completa-se a tabela. O erro de arredondamento deve ser da mesma ordem do dado inicial, a imagem y1.
Participe da Resolução
1. Resolva a equação diferencial com y(1)=2,00 e h=0,1; 
2. Seja o PVI, y’=x – y e y(0) =2. Obter aproximações para y(x1 ), na malha [-0,2; 0,4] com h = 0,2 usando o método de Taylor de quarta ordem. Tem-se x0=0 e y0=2 . 
3. Resolva o PVI, usando o método da fórmula de Taylor de grau 4: 
Use o VCN - Utilitários para tabelar função, para obter a tabela desejada.
4. Resolva o PVI, usando o polinômio de Taylor de grau 4:
Use o VCN (tabelar função) para calcular os valores procurados.
Método de Runge-Kutta
Sendo trabalhosa a obtenção das derivadas, usa-se o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, que consiste em:
Calculam-se os valores de K1, K2, K3 e K4 pela fórmula:
Substituir os valores obtidos na fórmula abaixo para calcular a nova imagem:
Nota: para calcular a imagens anteriores à condição inicial, basta substituir h por –h.
Participe da Resolução
1. Resolva a equação diferencial com y(1,2) =1,354 e h=0,1; 
2. Resolva a equação diferencial com y(1) =1 e h=0,1; 
 
	X
	y
	1
	1
	1,1
	
	1,2
	1,5527
 
FADECH - FACULDADE DE DESENVOLVIMENTO DAS CIÊNCIAS E HUMNIDADES
Credenciada pela Portaria nº 424, de 03/09/2019 - DOU: 04/09/2019
	Curso: Engenharia de Produção/Engenharia Civil
	Trabalho 6 – Valor 10 pontos 
	Disciplina: Cálculo Numérico 
	Professor: Maria Auxiliadora Lage 
	Período/turma: 4º
	Data: 
	Aluno(a): 
	
	
ORIENTAÇÕES GERAIS:
1. Monte um arquivo com as questões propostas para o trabalho, imprima com espaço para a resolução das questões;
2. Resolva as questões utilizando caneta azul ou preta de forma organizada e legível, 
3. Utilize o aplicativo CamScanner para escanear a resolução das questões. Salve em PDF em um único arquivo. Conforme orientação do vídeo CamScanner: Como usar? Rápido e fácil, disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=3CY57vh-MOI
4. Envie para o e-mail: mauxiliadora.lage@funcesi.br.
5. Só serão avaliadas as questões cujo raciocínio ou cálculo for apresentado, sendo as mesmas abertas ou fechadas.
6. Com o método clássico de Runge-Kutta de 4ª ordem resolva o seguinte problema de valor inicial no intervalo de x=0 a x=1 com , donde y(0)=1.
1. Resolva o PVI, usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem:
2. Resolva a equação diferencial com y(1)=2,00 e h=0,1; , pelo de Runge-Kutta de 4ª ordem
3. Achar aproximação para a solução do PVI , no com h =0,15 usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem.
4. Resolva a equação diferencial com y(0)=4 e h=0,5; , pelo de Runge-Kutta de 4ª ordem.
5. Resolva o PVI, usando o método da fórmula de Taylor de grau 4: 
6. Resolva o PVI, usando o polinômio de Taylor de grau 3:
X 
x0 
X 
x1 
X 
X 
X 
x2 x3 
.... 
xn 
y(x0) 
y(x1) 
y(x2) 
y(x3) 
y(xn) 
y (x) 
x