Matrizes III

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Curso de linguagem matemática Curso de linguagem matemática Curso de linguagem matemática Curso de linguagem matemática –––– Professor Renato Tião Professor Renato Tião Professor Renato Tião Professor Renato Tião 
 
Matrizes 
 Uma matriz Am×n é uma maneira de apresentar informações numéricas ou algébricas dispostas como numa tabela 
com m linhas e n colunas cercada por parêntesis ( ), colchetes [ ] ou barras verticais duplas ∥ ∥. 
 
 As matrizes costumam ser nomeadas com letras maiúsculas acrescidas de um índice m×n que indica o formato 
ou o tipo da matriz. Os elementos de uma matriz costumam ser representados pela mesma letra usada para nomear a 
matriz só que minúscula e acrescida de um índice composto por dois números inteiros positivos. Este índice designa 
a posição do elemento na matriz. 
 Assim, aij representa o elemento que se posiciona na linha i e na coluna j da matriz Am×n com m, n, i e j inteiros 
positivos tais que i ≤≤≤≤ m e j ≤≤≤≤ n. Podemos classificá-las da seguinte maneira: 
 
Matriz LINHA 
m = 1 
Matriz COLUNA 
n = 1 
Matriz RETANGULAR 
m ≠ n 
Matriz QUADRADA 
m = n 
 A1×3 = ( )11 12 13a a a B4×1 = 
11
12
13
14
b
b
b
b
 
 
 
 
 
 
 C4×2 = 
11 12
21 22
31 32
41 42
c c
c c
c c
c c
 
 
 
 
 
 
 D3×3 = D3 =
11 12 13
21 22 23
31 32 33
d d d
d d d
d d d
 
 
  
 
 
 As matrizes que apresentam apenas uma linha ou uma coluna, como as matrizes A e B dos exemplos acima, 
caracterizam seqüências finitas. Matrizes deste tipo podem ser chamadas de vetores e representadas por letras 
minúsculas. 
 
Lei de formação de uma matriz 
 Toda matriz pode ser declarada através de uma lei de formação para seus elementos que consiste numa função 
ordinal de duas variáveis. Estas variáveis assumem os valores dos índices que designam a posição (linha e coluna) 
de cada elemento da matriz. Assim, obtemos o valor de um elemento aij de uma matriz Am×n calculando a imagem da 
função no ponto (i, j), ou seja, aij = f( i , j ). 
 A sentença que declara uma matriz de forma condensada usando as funções ordinais pode parecer assustadora, 
por isso vamos observá-la com calma: 
A = (a ) tal que a = f( i , j )×m nij ij 
 Primeiro lemos a letra que designa o nome da matriz: A. Depois, entre os parênteses a letra a que designa cada 
um dos os elementos da matriz. Esta última vem acompanhada de dois índices algébricos i e j que indicam 
respectivamente a linha e a coluna de um elemento específico. Do lado de fora do parêntese, há um outro índice 
composto por dois números m e n que indicam o formato da matriz. Desta forma devemos tomar i e j como 
variáveis ordinais cujos valores máximos são respectivamente m e n. 
 Isso tudo serve para definir o formato da matriz, ou seja, quantas são suas linhas e suas colunas, além de 
apresentar as letras que indicarão as posições específicas de cada elemento, neste caso i e j, pois elas serão tomadas 
como variáveis na função f (lei de formação) que expressa cada elemento da matriz em função dos números que 
representam a linha e a coluna em que este elemento se situa. 
 Sendo I o conjunto dos números naturais de 1 até m e J o conjunto dos naturais de 1 até n temos que o domínio 
da função f é o produto cartesiano I××××J, ou seja, o conjunto de todos os pares ordenados de números naturais cuja 
abscsissa varia de 1 a m e a ordenada varia de 1 a n. Finalmente, a matriz A consiste numa apresentação organizada 
da imagem da função f na forma de uma tabela. 
 
 Exemplo: A = (aij)3××××4 tal que aij = i
2
 −−−− j 
 Primeiro, devemos perceber que i∈{1, 2, 3} e que j∈{1, 2, 3, 4} para depois tomar o produto cartesiano destes 
conjuntos como domínio da função f( i , j ) = i2 − j. Depois disso calculamos, um por um, os doze elementos da 
matriz: 
 a11 = 1
2 − 1 = 0 a12 = 1
2 − 2 = −1 a13 = 1
2 − 3 = −2 a14 = 1
2 − 4 = −3 
a21 = 2
2 − 1 = 1 a22 = 2
2 − 2 = 2 a23 = 2
2 − 3 = 1 a24 = 2
2 − 4 = 0 
a31 = 3
2 − 1 = 8 a32 = 3
2 − 2 = 7 a33 = 3
2 − 3 = 6 a34 = 3
2 − 4 = 5 
 
 Finalmente organizamos os resultados obtidos numa tabela com 3 linhas e 4 colunas: A = 
0 1 2 3
1 2 1 0
8 7 6 5
− − − 
 
  
 
. 
 
 
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Geografia da matriz quadrada de ordem n 
 Os elementos ai j da matriz An tais que i = j situam-se na sua diagonal principal. 
 
 Os elementos ai j tais que i < j situam-se acima da diagonal principal. 
 
 Os elementos ai j tais que i > j situam-se abaixo da diagonal principal. 
 
 Os elementos ai j tais que i + j = n + 1 situam-se na sua diagonal secundária. 
 
 Chamamos de matrizes TRIANGULARES às matrizes quadradas cujos elementos situados acima ou abaixo da 
diagonal principal são todos nulos. 
 
 
MATRIZ NULA é o nome dado a toda matriz cujos 
elementos são todos nulos. 
 Exemplos: O2 = 
0 0
0 0
 
 
 
 O3×4 = 
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 
 
  
 
 
 MATRIZ IDENTIDADE é o nome dado a toda 
matriz quadrada cujos elementos da diagonal 
principal são unitários e todos os outros são nulos. 
 Exemplos: I2 = 
1 0
0 1
 
 
 
 I3 = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 
 
 
 
 
Igualdade de matrizes 
 São iguais duas matrizes de mesmo formato que apresentam os mesmos elementos nas mesmas posições. 
B = A ⇔⇔⇔⇔ bi j = aj i 
 
x x 1 3 x 1 z 3
 = 
y w 2 4 y 2 w 4
= =
⇔
= =
    
   
    
 
 
Transposta de uma matriz 
 Sendo A e B duas matrizes de formatos m×n e n×m, dizemos que a matriz B é a transposta da matriz A quando 
as linhas da matriz B são as colunas da matriz A na mesma ordem. 
B = A
T
 ⇔⇔⇔⇔ bi j = aj i 
T
1 4
1 2 3
A = B = A = 2 5 
4 5 6
3 6
⇔
 
   
      
 
 
 É importante observar que a transposição de matrizes é uma transformação dual, ou seja, se B é a matriz 
transposta da matriz A então A é a matriz transposta da matriz B. Assim, temos que (AT )T = A para toda matriz A. 
 Chamamos de matriz simétrica a toda matriz quadrada que é igual a sua transposta, ou seja, se A = AT, então A é 
matriz simétrica. 
 
Adição de matrizes 
 Executamos a adição das matrizes apenas quando elas têm mesmo formato, e neste caso obtemos uma nova 
matriz C com o mesmo formato das matrizes A e B somando os elementos que estão nas mesmas posições em A e 
B, ou seja: 
C = A + B ⇔⇔⇔⇔ ci j = bi j + ai j 
 Exemplo: 
1 2 0 5 1 3
3 4 1 4 4 8
5 6 2 3 7 9
− −     
     + =
          
     
 
 
 
 A adição de matrizes é operação associativa e comutativa. Além disso, as matrizes nulas são elementos neutros 
desta operação. Então, sendo A, B, C e O, matrizes de mesmo formato, temos que: 
 
(A+B)+C = A+(B+C) “Associativa” A+B = B+A “Comutativa” A+O = A “Elemento neutro” 
 
 A matriz transposta da soma é igual à soma das matrizes transpostas, ou seja: (A + B)T = AT + BT. 
 
A4 = 
 
i < j 
 
i > j 
a11 a12 a13 a14 
 
a21 a22 a23 a24 
 
a31 a32 a33 a34 
 
a41 a42 a43 a44 
 
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Produto entre matriz e número real 
 Sendo A uma matriz qualquer e k um número real qualquer então, obteremos a matriz B igual o produto entre k e 
A, multiplicando todos os elementos de A pelo número real k. 
B = k⋅⋅⋅⋅A ⇔⇔⇔⇔ bi j = k⋅⋅⋅⋅ai j 
Exemplo: 
 
0 1 2 0 2 42
5 4 3 10 8 6
− −
−
− − −
   
=   
   
 
 
 Para k = −1 temos B = −1⋅A ou simplesmente B = −A, e neste caso dizemos que A e B são matrizes opostas uma 
da outra. Então, sendo A e B duas matrizes opostas temos que sua soma resulta numa matriz nula, ou seja: A+B = O. 
 Além disso, podemos representar a soma de matrizes iguais como o produto desta matriz pelo número natural que 
representa a quantidade de parcelas dessa soma. Assim, temos que M+M = 2M e M+M+M = 3M para toda matriz M. 
 
Produto interno ou produto escalar de seqüências finitas 
 Dadas duas seqüências finitas a = (a1, a2, a3, ... , an ) e b = (b1, b2, b3, ... , bn ), chamamos de produto interno, ou 
produto escalar , a b , à soma dos produtos dos elementos de mesmos índices de cada seqüência. Assim, temos 
que: 
 1 1 2 2 3 3 n n = a b a b a b ... a b⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅a , b 
 
Multiplicação de matrizes 
 A multiplicação entre duas matrizes está definido apenas quando o número de colunas de uma for igual ao 
número de linhas da outra. Assim, sendo A uma matriz de formato m×n e B uma matriz de formato p×q, temos duas 
possibilidades para efetuar a multiplicação das matrizes A e B: 
• Se n = p então existe o produto A⋅B que resulta numa matriz C de formato m×q. 
• Se m = q então existe o produto B⋅A que resulta numa matriz D de formato q×m. 
 É importante observar que a matriz D não é necessariamente igual à matriz C. Veja o esquema a seguir: 
 
 
n = p ⇒ 
× × ×
⋅ =
 m n p q m q
A B C q = m ⇒ 
× × ×
⋅ =
 p q m n p n
B A D 
 
 
 Cada elemento cij da matriz C = A⋅⋅⋅⋅B é igual ao produto interno entre as seqüências determinadas pela linha i da 
matriz A e a coluna j da matriz B: 
 
 
 
 i 1 1 j i 2 2 j i 3 3 j i n n j da matriz A , da matriz B = a b a b a b ... a b⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅=i jc linha i coluna j 
 
 Procedemos desta maneira até encontrarmos, um por um, todos os elementos da matriz C = A⋅⋅⋅⋅B. Veja o exemplo 
a seguir que destaca o cálculo do elemento c21 do produto entre as matrizes A e B: 
 Sendo A3×4 = 
1 2 3 4
3 0 2 5
2 3 0 2
 
 
 
 
 e B4×2 = 
5 3
4 1
3 2
2 0
−
 
 
 
 
 
, então existe uma matriz C3×2 que resulta do produto A⋅B. 
 3 4
1 2 3 4
2 3 0 2
×
 
 
 
 
3 0 2 5 ⋅
 4 2
3
1
2
0
×
−
 
 
 
 
 
5
4
3
2
= 
 3 2
30 1
5
23 9
×
− 
 
 
 
31 
11
12
22
 
 c = 1 5 + 2 4 + 3 3 + 4 2 = 30
c = 1 3 + 2 1 + 3 ( 2) + 4 0 = 1
 = + + + = 
 c = 3 3 + 0 1 + 2 ( 2) + 5 0 = 
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
21
 
c 3 5 0 4 2 3 5 2 31
31
32
5
 c = 2 5 + 3 4 + 0 3 + 2 2 = 26
 c = 2 3 + 3 1 + 0 ( 2) + 2 0 = 9






 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
 
 
 Note, por este exemplo, que a multiplicação de matrizes não é uma operação comutativa, pois o produto B⋅A é 
inexistente uma vez que o número de colunas da matriz B não é igual ao número de linhas da matriz A. 
 
 
= = 
 
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Propriedades do produto de matrizes 
 A multiplicação de matrizes é uma operação ASSOCIATIVA, ou seja, quando existem os produtos A⋅⋅⋅⋅B e B⋅⋅⋅⋅C 
podemos também garantir que existem e são iguais os produtos (A⋅B)⋅C e A⋅(B⋅C). 
 
( A ⋅⋅⋅⋅ B ) ⋅⋅⋅⋅ C = A ⋅⋅⋅⋅ ( B ⋅⋅⋅⋅ C )
 Embora a multiplicação de matrizes não seja uma operação comutativa, há certos casos onde os produtos A⋅⋅⋅⋅B e 
B⋅⋅⋅⋅A de duas matrizes quadradas de mesma ordem é o mesmo. Nestes casos, dizemos que a matriz A comuta com a 
matriz B ou ainda, que as matrizes A e B são comutativas entre si. Veja o exemplo das matrizes P, Q, R e S: 
 
 As matrizes P = ( )2 11 4 e Q = ( )1 32 0 não comutam entre si, pois o produto P⋅Q = ( )2 11 4 ⋅ ( )1 32 0 = ( )4 69 3 não é igual 
ao produto Q⋅P = ( )1 32 0 ⋅ ( )2 11 4 = ( )5 134 2 . 
 A matriz R = ( )0 12 3 comuta com a matriz S = ( )3 24 9 , pois o produto R⋅S = ( )0 12 3 ⋅ ( )3 24 9 = ( )4 918 31 é igual ao 
produto S⋅R = ( )3 24 9 ⋅ ( )0 12 3 = ( )4 918 31 . 
 
 As matrizes identidades são os elementos neutros da multiplicação de matrizes desde que seus formatos sejam 
adequados. Assim, sendo A uma matriz retangular de formato m×n temos que A⋅In = A e Im⋅A = A. 
 Além disso, uma matriz identidade de ordem n comuta com todas as matrizes quadradas de mesma ordem n. 
Assim, sendo A uma matriz quadrada de ordem n e I a matriz identidade de ordem n temos que: A⋅⋅⋅⋅I = I⋅⋅⋅⋅A = A. 
 
Matriz inversa 
 Notamos por A−−−−1 a matriz que chamamos de inversa da matriz quadrada A se, e somente se, qualquer um dos 
produtos entre elas resultar numa matriz identidade. 
 Não é sempre que uma matriz A possui inversa, mas quando possui, dizemos que a matriz A é invesível ou 
invertível e temos que: A⋅⋅⋅⋅A−−−− 1 = A−−−−1⋅⋅⋅⋅A = I. Além disso, se existe a matriz A é inversível temos também que (A−1)−1 = 
A. 
 Como não existe divisão de matrizes nem divisão de número real por matriz, não devemos tomar o número −1 
como expoente da matriz A na notação de sua inversa e sim como um indicador qualitativo como no caso da letra T 
que aparece na notação da matriz transposta. Assim, sendo A uma matriz inversível, para resolver uma equação 
matricial da forma A⋅X = B devemos multiplicar os dois membros da equação pela matriz inversa de A tomando o 
cuidado de fazer isso pela esquerda, pois o produto de matrizes não é comutativo. No caso de uma equação da forma 
X⋅A = B, devemos multiplicar os membros da equação por A−1 só que pela direita. Veja: 
 
 A⋅X = B 
A
−−−−1⋅A⋅X = A−−−−1⋅B 
 I ⋅ X = A−1⋅B 
 X = A−1⋅B. 
X⋅A = B 
 X⋅A⋅A−−−−1 = B⋅A−−−−1 
 X ⋅ I = B⋅A−1 
 X = B⋅A−1. 
 
 Devemos estar cientes do fato de que a matriz X obtida na primeira das equações acima não é necessariamente 
igual à matriz X obtida na segunda equação, veja o seguinte exemplo: 
 Sendo A = 2 1
1 1
 
 
 
 temos que A−1 = 1 1
1 2
−
−
 
 
 
 pois 2 1
1 1
 
 
 
⋅ 1 1
1 2
−
−
 
 
 
= 1 0
0 1
 
 
 
. Assim, sendo B = 1 3
2 4
 
 
 
 temos que na 
primeira equação X = 1 1
1 2
−
−
 
 
 
⋅ 1 3
2 4
 
 
 
 = 1 1
3 5
− −
−
 
 
 
, e na segunda equação X = 1 3
2 4
 
 
 
⋅ 1 1
1 2
−
−
 
 
 
 = 2 5
2 6
−
−
 
 
 
. 
 Existe uma regra prática para encontrar a inversa de uma matriz quadrada de segunda ordem, mas ela não deve 
ser aplicada às matrizes de ordem superior: 
 
Sendo M = 
 
 
 
x y
z w
 com x⋅⋅⋅⋅w ≠ y⋅⋅⋅⋅z podemos afirmar que −
 
= ⋅  
 
1 1
d
w -y
M 
-z x
 em que d = x⋅⋅⋅⋅w −−−− y⋅⋅⋅⋅z. 
 
 
 
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Outras propriedades do produto de matrizes 
 Quando existir o produto entre uma matriz A e uma matriz nula O, o resultado deste produto será a matriz nula 
de formato satisfatório. Ou seja: Am × n⋅⋅⋅⋅On × p = Om × p e Op × m⋅⋅⋅⋅ Am × n = Op × n. 
 
 Devemos também estar atentos à existência de matrizes A e B cujo produto é uma matriz nula mesmo quando 
nenhuma destas matrizes é nula. Ou seja: 
∃A ≠ O e ∃B ≠ O tais que A⋅B = O. Exemplo: ( ) ( ) ( )8 4 1 1 0 06 3 2 2 0 0− −⋅ = .
 A matriz transposta do produto A⋅B é igual ao produto das matrizes transpostas de A e B, só que em ordem 
contrária, o mesmo acontece com a matriz inversa do produto A⋅B. 
 
 Assim, sendo A e B duas matrizes cujos formatos permitem o produto A⋅B temos que: (A B) B A⋅ = ⋅T T T . 
 
 E, sendo A e B duas matrizes quadradas inversíveise de mesma ordem temos que: (A B) B A− − −⋅ = ⋅1 1 1 . 
 
 Além disso, podemos afirmar que sendo A uma matriz inversível temos que: (A ) (A )− −=T 1 1 T . 
 
 Em relação ao produto misto entre matrizes e números, temos que: A⋅(k⋅B) = (k⋅A)⋅B = k⋅(A⋅B) com k real 
desde que os formatos das matrizes A e B sejam adequados ao produto A⋅B. 
 
 As matrizes quadradas são as únicas que admitem potências ordinais. Assim sendo M uma matriz quadrada e n 
um inteiro positivo temos que Mn equivale ao produto de n matrizes iguais a M. Ou seja, M2 = M⋅M, M3 = M⋅M⋅M, 
etc. 
 A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição é válida desde que mantida a ordem do produto 
entre as matrizes, por isso esta propriedade deve ser separada em dois casos: a distributiva pela esquerda e a 
distributiva pela direita Sendo A e B duas matrizes de mesmo formato, C uma matriz com formato adequado ao 
produto C⋅A e D uma matriz com formato adequado ao produto A⋅C temos que C⋅(A+B) = C⋅A + C⋅B e (A+B)⋅D = 
A⋅D + B⋅D. 
 Assim, sendo A e B de duas matrizes quadradas e de mesma ordem, o quadrado da soma destas matrizes deve ser 
efetuado de acordo com a seguinte lei: 
(A + B)
2
 = A
2
 + A⋅⋅⋅⋅B + B⋅⋅⋅⋅A + B2
 
 
 
 
 
 
 
 
Produtos fundamentais dos elementos de uma matriz quadrada 
 Dada uma matriz quadrada A de ordem n, definimos os produtos fundamentais dos elementos desta matriz 
como sendo os resultados das multiplicações de exatamente n elementos dessa matriz tais que não haja dois desses 
elementos numa mesma linha, ou numa mesma coluna da matriz A. 
 Uma matriz quadrada de ordem n admite exatamente n! (n fatorial) produtos fundamentais. Assim, uma matriz 
quadrada de quarta ordem admite 4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24 produtos fundamentais: 
 
a b c d
x y z w
A =
r s t u
m n p q
 
 
 
 
 
 
 
 ⇒⇒⇒⇒ 
e
, , , , , ,
, , , , , ,
, , , , , ,
, , , , .
aytq ayup azsq azun awsp awtn 
bxtq bxup bzrq bzum bwrp bwtm 
cxsq cxun cyrq cyum cwrn cwsm 
dxsp dxtn dyrp dytm dzrn dzsm 
 
 
 
 
 
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Número de trocas e paridade de um produto fundamental 
 No exemplo anterior, note que em cada produto fundamental há exatamente um fator de cada linha e um fator 
de cada coluna da matriz A. Uma vez escolhida a ordem dos fatores que compõem um produto fundamental, 
considere as seqüências das linhas (ααααL) e das colunas (ααααC) que estes fatores ocupam na matriz A. 
 Desta forma, dispomos de um parâmetro t igual ao número mínimo de trocas necessárias que devem ser feitas 
entre dois termos vizinhos da seqüência ααααL,a fim de se obter a sequência ααααC. 
 No produto fundamental bxtq , temos ααααL = (1, 2,3, 4) , pois os elementos b, x, t e q estão respectivamente na 
primeira, segunda, terceira e quarta linhas da matriz A, e ααααC = (2,1,3, 4) , pois esses mesmos elementos estão 
respectivamente na segunda, primeira, terceira e quarta colunas da matriz A. Neste caso, temos finalmente que: t = 
1, pois com apenas uma troca de posição entre dois elementos vizinhos da seqüência (1, 2,3, 4) é possível se obter 
a sequência ( , ,3, 4)2 1 . 
 A paridade de um produto fundamental depende apenas número de trocas associado a ele, ou seja, cada produto 
fundamental será chamado de par ou ímpar de acordo com o número t de trocas entre as seqüências ααααL e ααααC 
associadas aos fatores que compõem o produto fundamental. 
 A tabela apresenta, em ordem crescente de trocas, cada um dos seis produtos fundamentais entre elementos de 
uma matriz genérica de terceira ordem. Além das seqüências ααααL e ααααC associadas, o número de trocas entre os 
termos destas seqüências: 
 
a b c
M = x y z
r s t
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
Determinante 
 O determinante de uma matriz quadrada de ordem n é igual à soma de todos os produtos fundamentais que são 
pares, menos a soma de todos os que são ímpares. 
 Uma vez que (−1)PAR = +1 e (−1)ÍMPAR = −1, é possível definir a função determinante por: 
n
n!
( 1)
k 1
det(M ) prodouto fundamental( )−
=
⋅=∑ kt
 
 Da definição, temos que o determinante de uma matriz quadrada de primeira ordem é igual ao seu único 
elemento, e que o determinante de uma matriz de segunda ordem é igual ao produto dos elementos da diagonal 
principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. 
 
 11 11A a det(A) a  = ⇒ = 
 
 11 12 11 12
21 22 21 22
11 12
11 22 12 21
21 22
 
   
= ⋅ − ⋅   
  
= ⇒ = =
b b b b
b b b b
b b b b
b b
B det(B) det
b b
 
 
 
 Note que as matrizes são cercadas por colchetes ou parêntese, ao passo que os determinantes podem ser indicados 
tanto pela sigla det junto à matriz, como por barras horizontais no lugar do parêntese. Deve-se evitar o uso das 
barras horizontais no caso das matrizes de primeira ordem, pois esta notação pode ser confundida com o símbolo do 
módulo. 
 
 
 
 
 
k Produto fundamental(k) αLinhas αColunas Trocas Paridade 
1 a ⋅⋅⋅⋅ y ⋅⋅⋅⋅ t (1,2,3) (1,2,3) t = 0 PAR 
2 a ⋅⋅⋅⋅ z ⋅⋅⋅⋅ s (1,2,3) (1,3,2) t = 1 ÍMPAR 
3 b ⋅⋅⋅⋅ x ⋅⋅⋅⋅ t (1,2,3) (2,1,3) t = 1 ÍMPAR 
4 b ⋅⋅⋅⋅ z ⋅⋅⋅⋅ r (1,2,3) (2,3,1) t = 2 PAR 
5 c ⋅⋅⋅⋅ x ⋅⋅⋅⋅ s (1,2,3) (3,1,2) t = 2 PAR 
6 c ⋅⋅⋅⋅ y ⋅⋅⋅⋅ r (1,2,3) (3,2,1) t = 3 ÍMPAR 
 
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Cofatores e os teoremas de Laplace e Cauchy. 
 Eliminando-se a linha i e da coluna j de uma matriz quadrada A, de ordem n ≥≥≥≥ 2, obtemos uma tabela com todos 
os fatores dos produtos fundamentais que apresentam o elemento aij da matriz A. 
 Esta tabela, que é necessariamente uma matriz de ordem n−−−−1, será chamada de matriz menor complementar do 
elemento aij, e seu determinante será indicado por Dij. Exemplos: 
 
 

  
 
  

⇒
11
12
21
22
 D = w
D = zx y
A =
 D = yz w
 D = x
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ 3 1
 2 3 
D =
 5 6 
 1 2 3 
A = 4 5 6 
 7 8 9 
 
 
 O cofator do elemento aij de uma matriz quadrada A, de ordem maior n ≥≥≥≥ 2, é definido por: 
 
 Aij = (−−−−1)
i+j
 ⋅⋅⋅⋅ Dij ou ainda: Aij = 
se for par
se for ímpar
+ 
 


−
ij
ij
D i + j
D i + j
 
 
 O teorema de Laplace diz que o determinante de uma matriz quadrada, de ordem superior a um, é igual ao 
produto interno entre duas seqüências finitas (ver aulas 33 e 34), sendo uma delas a seqüência formada pelos 
elementos de uma fila qualquer da matriz, e a outra é seqüência dos cofatores dos elementos desta fila. 
 Assim, dada uma matriz A de ordem n > 2, e escolhida uma fila qualquer desta matriz (linha i ou coluna j), as 
expressões que fornecem o seu determinante, pela aplicação do teorema de Laplace à linha escolhida ou à coluna 
escolhida, são respectivamente: 
 
n 1 1 2 2j j n ndet(A ) = a A = a A + a A + ... + a A ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ i i i i i i i i 
j 1=
n
 
 
 n 1 1 2 2i i n ndet(A ) = a A = a A + a A + ... + a A ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑
i 1
 j j j j j j j j
=
n
 
 
 Para calcular determinantes pelo teorema de Laplace recomenda-se escolher a fila da matriz que apresentar a 
maior quantidade de elementos nulos. Pois, uma vez que: 
 
⋅
i j
0 A = 0 , eliminamos a necessidade de calcular os 
cofatores desses elementos nulos. 
 
 Escolhidas duas filas paralelas de uma mesma matriz quadrada de ordem n ≥≥≥≥ 2, o teorema de Cauchy diz que o 
produto interno entre uma destas filas e a sequência dos cofatores da outra é igual a zero. Exemplo: 
 
 1 1 2 2 n na A + a A + ...+ a A = 0⋅ ⋅ ⋅1 2 1 2 1 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Propriedades dos determinantes 
 Para o estudo das propriedades enunciadas a seguir, considere uma matriz quadrada A de ordem n. 
 
• Se todos os elementos de uma fila de A forem nulos então: det(A) = 0. 
• Se duas filas paralelas de A forem iguais ou proporcionais então: det(A) = 0. 
• Se uma fila de A for combinação linear de filas paralelas, então: det(A) = 0. 
 
1 2
3 4 0
5 6
=
 
 
  
 
0
det 0
0
 0
5 6 0
=
 
 
  
 
2 4 6
det 1 2 3 
1 3
2 4 0
3 5
=
 
 
  
 
7
det 10
13
 
 No primeiro dos exemplos acima, os elementos da segunda coluna da matriz são todos nulos, no segundo, a 
primeira linha da matriz é igual ao dobro da segunda, e neste caso, dizemos que há filas paralelas proporcionais. Já 
no terceiro exemplo, a última coluna da matriz é igual à soma da primeira com o dobro da segunda, o que 
caracteriza uma combinação linear. Todos estes motivos são suficientes para concluirmos, mesmo sem calculá-los, 
que os determinantes destas matrizes são iguais a zero, 
 
• O determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua matriz transposta: 
 
det(At) = det(A) 
 Esta propriedade nos permite executar a regra de Sarrus repetindo as duas primeiras linhas da matriz abaixo da 
terceira. 
 
• Se A for uma matriz triangular, então o determinante de A será igual ao produto dos elementos de sua 
diagonal principal. Exemplo: 
 
2 3 4
5 6 2 5 7 = 70
7
= ⋅ ⋅
 
 
  
 
det 0
0 0
 
 Sendo assim, podemos concluir o determinante de uma matriz identidade é unitário: det( I ) = 1 
 
• Se trocarmos as posições de duas filas paralelas de A, mudamos o sinal de seu determinante. 
 
 
( ) ( ) ( )
a b c x
 x y z 1 1 1 a 
r s t r s t r
= − ⋅ = − ⋅ − ⋅
x y z z y
a b c c b
t s
 
 
 
• Se multiplicarmos os elementos de uma fila de A por um mesmo número k, obtemos uma matriz cujo 
determinante será igual k⋅⋅⋅⋅det(A). Isto permite colocar em evidência um fator que seja comum a todos os 
elementos de uma mesma fila de A quando estivermos calculando seu determinante. Exemplos: 
 
2 4 2 4
0 6 3 0 6
0 7 0 7
= ⋅
   
   
      
   
3 1
det 9 det 3
6 2
 
a b c a b c
x y z x y z 
r s t r s t
= ⋅
k k k
k 
 
 A diferença entre multiplicar uma matriz e um determinante por um número k é que, no caso das matrizes, 
todos os elementos ficam multiplicados por k e no caso dos determinantes, multiplicamos os elementos de uma 
única fila por esse número k. Assim, para toda matriz quadrada de ordem n temos que: 
 
det( k⋅A ) = kn ⋅ det( A )
 
 
 
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Teorema de Binet 
 O determinante do produto de matrizes quadradas de mesma ordem é igual ao produto dos determinantes de 
cada uma das matrizes: 
 
det(A⋅B) = det(A) ⋅ det(B) 
 
 Desta forma, sendo 1A− a matriz inversa de uma matriz quadrada A, do teorema de Binet, deduz-se que o 
determinante de 1A− é igual ao inverso do determinante de A: 
 
1 1det(A )
det(A)
− = 
 
 Sendo assim, quando det A = 0, temos que a matriz A não admite inversa. 
 
A é invertível ⇔ det(A) ≠ 0 
 
Teorema de Jacobi 
 Substituindo qualquer fila de uma matriz quadrada pela soma desta fila com qualquer combinação linear de suas 
filas paralelas, não alteramos o valor do determinante da matriz. 
 
1 2 1 2 3 1 2 3
4 5 6 = 4 5 6 = 4 5 6
7 8 9 8 10 12 0 0 0
3
 = 0
     
     
          
     
det det det 
 Usamos o teorema de Jacobi para gerar a maior quantidade possível de elementos nulos numa mesma fila, 
facilitando então o cálculo de seu determinante através do teorema de Laplace. 
 ×( 1 ) 
 ×( −−−−2 )