Gabarito Aplicações da Matemática: Administração, Economia e Ciências Contábeis

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CAPÍTULO 1
DemAnDA
ExErcícios E problEmas propostos
1. a) y = - 5x + 60 e) y = - 1
8
x + 300
b) y = - 3x + 125 f) y = - 5,20x + 66
c) y = - 25x + 1 300 g) y = - 9x + 48
d) y = - 4x + 26
2. E
3. B
4. a) y = - 2x + 14 100
b) 
2 000 4 000 6 000
5 000
10 000
0 x
y
14 100
7 050
c) R$ 14 100,00
d) R$ 14 098,00
e) Aumentará 2 reais.
5. A
7 × 3 = 21b
a
% ÖÏ +S 8 84
±
½
¼
b ¼ SÏ
% ½Ö
8
7 × 3 = 21
8 ¼
½+
Sb+ %
¼S
7
5
6
2
7 × 3 = 21 3
Gabarito
2 Aplicações da matemática
6. a) y = -2,5 · 10–4 x + 10
b) R$ 10,00
c) y = - 5 · 10–4 x + 18,75
d) 
5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000 40 000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 x
y
7.
a) –4
b) I
c) R$ 89,00; será igual a zero.
d) Na situação 1, o consumidor é mais sensível às variações do preço unitário, mas 
paga um preço máximo menor.
8. D
OferTA
ExErcícios E problEmas propostos
1. 
a) y = 3,5x + 110 e) y = 7x + 56
b) y = 1
10x
 + 120 f) y = 90x + 340
c) y = 50x + 1 175 g) y = 5x + 40
d) y = 4,3x + 70
2. C
3. A, B e D
4. Em I, os preços dos televisores convencionais aumentaram devido aos custos 
de peças e à baixa oferta.
 Em II, os preços dos televisores mais modernos subirão pelo aumento de custos de 
fretes e pelo aumento rápido da demanda devido à substituição dos aparelhos antigos 
pelos mais modernos.
 Gabarito 3
5. 
a) R$ 1,20
b) y = 10–3x + 1,20
c) R$ 4,20
d) 
500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000
1
2
3
4
5
x
y
0
1,20
4,20
2,80
1 600
6. 
a) R$ 300,00
b) y = 3x + 200
c) 
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
50
100
150
200
250
300
350
400
0 x
y
320
d) 200 unidades
e) R$ 200,00
7. C; neste caso, o preço da soja caiu devido à perspectiva de um menor consumo do 
farelo de soja, por causa da gripe aviária.
4 Aplicações da matemática
8.
a) 55 25103 6y x
-= × +
b) Crescente, m > 0
c) @ R$ 4,17
d) 35 000 carros
POnTO De eqUiLÍbriO De merCADO
ExErcícios E problEmas propostos
1. D
2. A
3. B
4.
a) = + =- +20; 100225 25
x xy y
b) 
500 1 000 1 500 2 000 2 500
20
40
60
80
100
y
0 x1 800
28
PE
c) R$ 28,00
5. 
a) y = - 0,2x + 56,90
b) y = 0,1x + 15,80
c) PE (137; 29,50)
 Gabarito 5
 
50 100 150 200 250 300
20
40
60
x
PE
0
y
137
29,50
15,80
56,90
284,50
6. 
a) y = 
5
x + 4
b) y = -
5
x + 9
c) R$ 4,00; R$ 9,00.
d) PE (12,5; 6,5)
e) Excesso de oferta; 5 kg
f) Os dados referem-se a períodos de demandas muito distintas: o período de férias 
escolares (mercado desaquecido) e o período letivo (maior demanda).
g) 
5 10 15 20 25 30 35 40 45
1
2
3
4
5
6
7
8
9
PE
x
y
0 12,5
6,50
6 Aplicações da matemática
AnáLises qUe envOLvem O POnTO De eqUiLÍbriO De merCADO
ExErcícios E problEmas propostos
1. Variáveis: demanda por imóveis, preço dos terrenos, custo de construção de aparta-
mentos, custo de construção de casas, migração, área dos apartamentos, renda, finan-
ciamento imobiliário.
2. D, O, A, N, O, A, N, O, D, O
3. A, B e C
4. A
5.
a) Acima, pois há excesso de oferta.
b) y = - 5 · 10–3 x + 100; y = 5 · 10–3 x + 25
c) yMÍN = 25; yMÁX = 100
d) yo = 55; yd = 70; yo < yd ; excesso de demanda
e) PE (7 500; 62,50)
f) 
2 
00
0
4 
00
0
6 
00
0
8 
00
0
10
 0
00
12
 0
00
14
 0
00
16
 0
00
18
 0
00
20
 0
00
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
y
x0
PE
o
d
62,50
7 
50
0
25
0 £ x < 7 500: excesso de demanda; 
x = 7 500: PE; 
7 500 < x £ 20 000: excesso de oferta.
6. 
a) y = 5 · 10–4 x + 8; y = -5 · 10–4 x + 14 
b) R$ 8,00; R$ 14,00
c) PE (6 000, 11)
d) Excesso de oferta
 Gabarito 7
e) 
2 
00
0
4 
00
0
6 
00
0
8 
00
0
10
 0
00
12
 0
00
14
 0
00
16
 0
00
18
 0
00
20
 0
00
22
 0
00
24
 0
00
26
 0
00
28
 0
00
2
4
6
8
10
12
14
16
y
x0
PE
o
d
11
7. 
a) yMÍN = 30; yMÁX = 48
b) y = - 0,0048 x + 48
c) y = 1600x + 30
d) PE (2 783,51; 34,64)
8. C e D
9. 
a) F; R$ 280,34 é o preço máximo da demanda
b) V; 31 505 6 30
y
x
D -=- =
D
,
,
c) V
d) V; 56,068 é a demanda potencial
e) F; a esse preço haverá um excesso de oferta porque R$ 210,84 > yE
10. 
a) y = 1
50x
 + 30
b) y = - 125x
 + 48
c) PE (300, 36)
d) 0 £ x < 300: excesso de demanda;
 x = 300: PE;
 300 < x £ 1 200: excesso de oferta.
11. 
a) y = 0,02 x + 135 c) PE (10 725; 349,50)
b) y = - 0,01 x + 456,75 d) R$ 400,00; xo = 13 250 e xd = 5 675
8 Aplicações da matemática
e) 
20 000 40 000
40
80
120
160
200
240
280
320
360
400
440
0
y
x
PE
o
d
349,50
10 725
135
456,75
45 675
12. 
a) y = 6x + 100
b) y = - 9x + 400
c) 292 > yE
d) PE (20, 220)
e) 
10 20 30 40
50
100
150
200
250
300
350
400
PE
o
d
x
y
0
220
44,44
13. a) F b) V c) V d) F e) F
14. a) y = 1
10x
 + 15,80
 b) y = - 1
5x
 + 56,90
 Gabarito 9
c) 
50 100 150 200 250
20
40
137
29,50
15,80
0 284,50
56,90
y
PE
o
d
x
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. 
a) y = 5x + 58; y = -3x + 120
b) y = 112,80
c) y = 90
d) PE (7,75; 96,75)
e) 
5 10 15
excesso de oferta
excesso de
demanda
o
d
20 25 30 35 40
50
100
0
y
x7,75
96,75 PE
58,00
120
112,80
90
10 Aplicações da matemática
2. a) y = -50x + 1 222
b) y = 60x + 980
c) PE (2,2; 1 112)
d) 
10 20
500
1 000
980
1 222
y
x24,440 2,2
1 112 PE
o
d
1 202
3. B e E
4. a) F b) V c) F d) V e) V
5. E
6. 
a) y = 3,5x + 230,49
b) y = -4,5x+ 484,49
c) PE (31,75; 341,62)
d) 
20 40 60 80 100
200
400
0 x107,66
230,49
484,49
341,62
PE
o
d
31,75
y
7. o: y = 1,1x + 212 e d: y = -3,1x + 657,20
A. (2) B. (4) C. (1) D. (5) E. (3)
 Gabarito 11
8. a) y = 0,03x + 49,57 b) y = -0,005x + 67,71 c) (518,29; 65,12)
d) 
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000
10
0
20
30
40
50
60
70
80
90
x
y o
d
e) 
518,29
excesso de oferta
excesso de demanda
65,20
65,12
64,99
o
PE
d
9. a) y = -9x + 325 b) y = 6x + 100 c) (15, 190)
d) 
10 12 20 30
100
200
300
170
325
172
excesso de
demanda
o
x
y
d
12 Aplicações da matemática
10. a) y = 5x + 256 c) (24, 376)
b) y = -8x + 568 d) xd - xo = 24,70
e)
 
20 24 40 60
100
200
300
400
500
600
568
376
0 x
y
d
o
PE
(38,80; 450)
256
xo – xd = 24,05
xd – xo = 24,70
718,8 33,5
11. a) 
r r
D ¶
D ¶
 ou ,x x . O significado gráfico é a inclinação (ou declividade) da curva de 
demanda.
b) Esta medida de variação é altamente dependente das unidades de medida adotadas 
para quantidades e preços, quando gostaríamos de uma medida mais geral, per-
mitindo comparações entre as variações da quantidade demandada de diferentes 
bens, cujas medidas de quantidades e preços são muito diferentes.
CAPÍTULO 2
fUnções reCeiTA, CUsTO e LUCrO: COnCeiTOs
reCeiTA TOTAL
ExErcícios E problEmas propostos
1. RT(x) = 56,25x
2. C
3. a) +2,6%
b) -7,4%
 Gabarito 13
CUsTO TOTAL
ExErcícios E problEmas propostos
1. CT(x) = 12x + 15 800
 
10
0
20
0
30
0
40
0
50
0
60
0
70
0
80
0
90
0
1 
00
0
1 
10
0
1 
20
0
1 
30
0
1 
40
0
1 
50
0
1 
60
0
1 
70
0
1 
80
0
1 
90
0
2 
00
0
10 000
20 000
30 000
40 000
15 800
27 800
CT
x0
2. 71,4 < t £ 140
3. B
4. E
5. A
6. A
LUCrO TOTAL
ExErcícios E problEmas propostos
1. a) LT f) CT
b) CT g) RT
c) ND h) ND
d) RT i) LT
e) ND j) CT
2. cl - coeficiente linear; ca - coeficiente angular.
a) cl = -10 000 (prejuízo na produção zero); ca = 5 (yv - c)
b) cl = 125 637 (custo fixo); ca = 2 (custo variável unitário)
c) ND 
d) cl = 0; ca = 8 000 (preço unitário de venda)
e) ND
f) cl = + 3 500 (custo fixo); ca = 26 (custo variável unitário)
g) cl = 0; ca = 1 (preço unitário de venda)
14 Aplicações da matemática
h) ND
i) cl = - 50 000 (prejuízo na produção zero); ca = 125 (yv - c)
j) cl = 8 679 (custo fixo); ca = 30 (custo variável unitário)
3. a) y = −2x + 200 
b) R$ 130,00
4. IV, III, I, II
5. 6 000
6. A
7. C
8. C
POnTO De rUPTUrA (breAk even POinT - beP)
ExErcíciosE problEmas propostos
1. C
2. C
3. E
4. D
5. R$ 9,00
6. 
a) (500, 5 000)
b) (i) 600 (ii) 13333
 (iii) 1 000
c) 600
7. D
8. D
9. D
mArGem De COnTribUiçãO e mArGem De seGUrAnçA
mArGem De COnTribUiçãO
ExErcícios E problEmas propostos
1. a) LT(x) = 7x - 15 238
b) 50%
c) CT(x) = 57,60x + 30 000
d) LT(x) = 40x - 40 000
2. E
 Gabarito 15
3. a) 20 000 livros
b) 22 000 livros
c) 16 000 livros
4. C
5. (1) (c) (d); (2) (a); (3) (b) (c) (d); (4) (e); (5) (a) (b) (c) (d)
6. A
7. C
8. C
9. A
10. D
11. C
12. B
13. A
mArGem De seGUrAnçA
ExErcícios E problEmas propostos
1. E
2. A
3. D
4. 0 - 1 000 - prejuízo do custo fixo na produção zero; 
50 - 80 - margem de segurança da produção 80; 
segmento vertical - lucro na produção 80; 
ponto de abscissa x = 50 - BEP.
5. ; ou E
CFx L Mgx CF L Mg MSMg= = - = ×
6. B
7. a) R$ 4 000,00
b) 240 gravatas
c) 66%
d) R$ 23,00; R$ 3 200,00
e) 8,75%
16 Aplicações da matemática
f) 
30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450
2000
4000
6000
8000
10 000
12 000
14 000
16 000
18 000
20 000
22 000
24 000
0 x
BEP
RT, CT
8. 
a) R$ 10 825,00
b) 2 serviços
c) 50%
d) R$ 32 475,00
e) RT(x) = 15 000 x; CT(x) = 4 175x + 21 650
f) 
2 4 6
5 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
35 000
40 000
45 000
50 000
55 000
60 000
65 000
70 000
75 000
80 000
0 x
RT, CT
BEP
9. a) CT(x) = 6x + 2 000
b) RT(x) = 10x
c) LT(x) = 4x - 2 000
10. a) (500, 5 000); F
b) 100%; GH
c) R$ 2 000,00; IJ
d) R$ 3 000,00; BC
 Gabarito 17
11. Não, porque o lucro será reduzido de R$ 2 640,00 para R$ 2 196,00.
12. a) F 
 O custo médio unitário de um artigo pode ser calculado pela soma ,CFc x+ sendo 
c o custo variável unitário de produção desse artigo e CF, o Custo Fixo. 
b) V
 A receita média devida a um artigo é igual ao preço unitário desse produto. 
c) F 
 A margem de contribuição, considerando-se valores totais, pode ser calculada por 
RT - CV, sendo RT a receita total e CV o custo variável total. 
d) F 
 O lucro total pode ser calculado considerando-se a margem de contribuição unitá-
ria do artigo, a quantidade vendida e o custo fixo. 
e) V 
 Em termos monetários, a margem de segurança corresponde ao quanto de receita 
a empresa pode perder até a receita crítica. 
13. a) 750 unidades
b) 80%
c) R$ 5 625,00
d) RT(x) = 30x; CT(x) = 17,50x + 9 375
14. a) 1 160 unidades
b) R$ 65,34
c) Aumentando a produção para x = 1 206
15. a) 500 unidades
b) 212%
c) R$ 13 200,00
d) RT(x) = 80x; CT(x) = 36x + 22 000
16. a) Produto B; Produto A: Mg = 6 588; Produto B: Mg = 7 650; 
 Produto C: Mg = 4 887
b) Produto A; Produto A: Mg(%) = 33%; Produto B: Mg(%)= 31%; 
 Produto C: Mg(%) = 28%
c) R$ 99 760,00
d) R$ 45 900,00
e) (25, 431 250); 
 0 £ x < 25: LT(x) < 0 (prejuízo);
 x = 25: LT(x) = 0 (BEP);
 x > 25: LT(x) > 0 (lucro efetivo)
17. a) RT(x) = 10x, CT(x) = 5x + 2 500, LT(x) = 5x - 2 500
b) BEP (500, 5 000)
 0 £ x < 500: LT(x) < 0 (prejuízo);
 x = 500: LT(x) = 0 (BEP);
 x > 500: LT(x) > 0 (lucro efetivo)
18 Aplicações da matemática
c) 
250 500 750 1000
500
1 000
1 500
2 000
2 500
3 000
3 500
4 000
4 500
5 000
5 500
6 000
6 500
0 x
RT, CT
BEP
 
250 500 750 1000
−2 500
−2 000
−1 500
−1 000
−500
500
1 000
1 500
2 000
2 500
0 x
LT
BEP
d) MS(%) = 60% e Mg(%) = 50%
e) R$ 1 500,00
f) O xE aumenta em 100 unidades e MS = 200 unidades
g) 10% ou 1 real
h) Mg = R$ 6,00
18. 
a) A: xE = 2 000; B: xE = 2 000; C: xE = 2 500
b) Mg(%) = 62,5%
c) MS(%) = 160%
d) R$ 144 000,00
e) Empresa C: yv = R$ 69,00 ou c = R$ 15,00
f) Mg = R$ 45,00
 Gabarito 19
g) 
500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000
30 000
60 000
90 000
120 000
0 x
RT, CT
BEP
84 000
 
500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4 000
−30 000
30 000
0 x
LT
BEP
h) 0 £ x < 2 000: LT(x) < 0 (prejuízo);
 x = 2 000: LT(x) = 0 (BEP);
 x > 2 000: LT(x) > 0 (lucro efetivo)
19. a) RT(x) = 15,50x d) R$ 440 510,00
b) CT(x) = 8,50x + 49 490 e) R$ 24 745,00
c) LT(x) = 7x - 49 490
20. a) RT(x) = 42x
b) CT(x) = 35,70x + 28 381,50
c) R$ 6,30
d) (4 505, 189 210)
e) 263%
f) R$ 74 812,50
20 Aplicações da matemática
g) 
1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000
50 000
100 000
150 000
200 000
250 000
0 x
RT, CT
BEP
189 210
28 381,50
4 505
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. a) Mg(%) = 25%
b) CF = R$ 15 764,40
c) (604; 63 057,60)
d) 40%
e) LT(2 416) = R$ 47 293,20
f) 
100 200 300 400 500 700 800 900 1 000 1 100 1 200 1 300 1 400 x
−10 000
10 000
20 000
30 000
40 000
50 000
60 000
70 000
80 000
90 000
100 000
110 000
120 000
130 000
140 000
604
63 057,60
RT
CT
0
BEP
 Gabarito 21
2. a) RT(x) = 0,26x d) (39 775; 10 341,50)
b) CT(x) = 0,18x + 3 182 e) 151%
c) R$ 0,08 f) R$ 4 818,00
g) 
15 000 30 000 45 000 60 000
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
14 000
16 000
0 x
RT, CT
10 341,50
39 775
BEP
3. a) RT(x) = 0,70x
b) Mg = R$ 0,30
c) (6 667; 4 666,67)
d) CT(x) = 0,40x + 2 000
e) R$ 4 000,00
f) 
4 
00
0
8 
00
0
12
 0
00
16
 0
00
20
 0
00
24
 0
00
28
 0
00
2 000
4 000
6 000
8 000
10 000
12 000
14 000
0 x
RT, CT
BEP4 666,67
6 
66
7
4. a) RT(x) = 80x
b) CT(x) = 59,04x + 8 100
c) 26,2%
d) (387, 30 960)
e) 61%
22 Aplicações da matemática
f) 
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700
10 000
20 000
30 000
40 000
0
RT, CT
x387
30 960
8 100
BEP
5. a) RT(32 000) = R$ 32 000,00
b) 20 000
c) 60%
d) R$ 2 400,00
e) 
5 000 10 000 15 000 20 000 25 000 30 000 35 000
5 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
35 000
40 000
0
RT, CT
BEP
x
4 000
6. a) (269,50; 161 700)
b) 500 toneladas
c) 50%
d) R$ 40 425,00
 Gabarito 23
e) 
50 100 150 200 250 300 350 400 450
50 000
100 000
150 000
200 000
x0
RT, CT
161 700
26
9,
50
80 850
BEP
7. a) R$ 9 670,00
b) 48,35%
c) (2, 40 000)
d) R$ 38 680,00
e) 
1 2 3 4 5 6
−15 000
15 000
0 x
LT
BEP
–19 340
8. a) R$ 8,00
b) 15%
c) R$ 3 382,80
d) 33,3%
24 Aplicações da matemática
e) 
5 000 10 000 15 000
−9 000
−6 000
−3 000
3 000
6 000
9 000
0 x
BEP
LT
–10 148,40
8 457
9. a) R$ 5 170,00
b) (25, 375 000)
c) 20%
d) R$ 387 750,00
e) R$ 11 122,50
f) 
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
50 000
100 000
150 000
200 000
250 000
300 000
350 000
400 000
450 000
500 000
550 000
600 000
x0
BEP
375 000
129 250
RT, CT
10. a) R$ 0,12
b) (435 758; 65 363,70)
c) R$ 0,08
d) 129%
e) R$ 52 290,96
 Gabarito 25
f) 
10
0 
00
0
20
0 
00
0
30
0 
00
0
40
0 
00
0
50
0 
00
0
60
0 
00
0
70
0 
00
0
−50 000
−40 000
−30 000
−20 000
−10 000
10 000
20 000
30 000
40 000
50 000
60 000
70 000
0 x
BEP
43
5 
75
8
LT
–52 290,96
11. a) R$ 1 122,00
b) (30, 60 000)
c) R$ 1 719,50
d) 33,3%
e) R$ 50 490,00
f) 
10 20 30 40 50
−30 000
−20 000
−10 000
10 000
20 000
30 000
40 000
50 000
60 000
70 000
x
BEP
0
-33 660
LT
12. a) Devido à queda nos custos da principal matéria-prima, a reta representativa dos 
custos totais teve sua inclinação reduzida. Mantendo as demais características 
constantes (preço, custos fixos etc.), temos uma redução da quantidade necessária 
para custear a produção e também do faturamento necessário para arcar com esses 
custos menores. O BEP deslocou-se para baixo e para a esquerda - quantidade de 
equilíbrio menor e receita ou custo de equilíbrio também menores.
26 Aplicações da matemática
 0 x
BEP 1
RT, CT
BEP 2
b) 4 600 unidades 
c) R$ 24 900,00 
d) 552%; 160%
e) Um excesso de oferta e consequente queda de preço do produto.
13. a) o: y = 24,90; d: y = 24,90
 
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
10
20
0 x
y
24,90
o
d
b) RT(h) = h, h é o número de horas de conexão por mês
c) R$ 373 500,00
d) Considerando 12 000 internautas temos R$ 360 000,00 na forma de cobrança ante-
rior contra R$ 298 800,00 pela forma atual de cobrança; portanto, não foi vantajo-
so. Mas se considerarmos que essa alteração pode ter contribuído para conquistaros atuais 15 000 internautas que geram receita total de R$ 373 500,00, do ponto de 
vista da receita, foi vantajoso.
 Gabarito 27
e) xE = 14 000 clientes
f) R$ 7 470,00
g) 7%
14. a) o: y = 7; d: y = 7
 
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
y
0 x
o
d
b) RT(x) = 12x, x é o número de clientes/mês
c) R$ 180 000,00
d) 4 000 clientes
e) 
4 000 8 000 12 000
−20 000
−16 000
−12 000
−8 000
−4 000
4 000
8 000
12 000
16 000
20 000
0 x
LT
BEP
f) 375%
15. R$ 1 050,00
16. R$ 26 000,00
17. A
28 Aplicações da matemática
18. a) 63,4%
b) (25; 72 974,25)
c) 5 900%
d) R$ 184 980,00
e) 
25 50 75 100 125 150 175 200 225
−30 000
30 000
60 000
90 000
120 000
150 000
180 000
x
BEP
0
– 46 245
LT
19. a) R$ 5,30
b) (679,25; 9 509,43)
c) 47%
d) R$ 14 400,10
e) 
200 400 600 800 1000
5 000
10 000
15 000
x
BEP
RT, CT
0
3 600
9 509,43
679,25
20. a) MS(%) = 65%
b) (700; 18 900)
c) Mg = R$ 9,30
d) LT (2 800) = R$ 19 607,19
 Gabarito 29
e) 
200 400 600 800 1 000
5 000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
35 000
x
BEP
RT, CT
0
6 432,81
18 900
700
21. a) yV = 9,99
b) MS(%) = 100%
c) (250; 2 497,50)
d) x = 1 250 e MS(%) = 400%
e) 
100 200 300250
1 250
2 497,50
400 x
1 000
2 000
3 000
4 000
BEP
RT
CT
0
22. a) yV = R$ 77,00
b) MS(%) = 290%
c) LT(88 000) = R$ 123 200,00
d) −2 187 815 ou 61%
30 Aplicações da matemática
e) 
10 000 20 000 30 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000 110 000
1 500 000
3 000 000
4 500 000
6 000 000
RT, CT
6 160 000
BEP
x0
1 232 000
23. a) LT(80 000) = R$ 24 000,00
b) BEP (32 000, 64 000)
c) MS(%) = 150%
d) LT(8 000) = R$ 12 000,00
e)
−10 000 10 0000 20 000 32 000 40 000 50 000 60 000 70 000 80 000 90 000 100 000 110 000 120 000 130 000 140 000 150 000 160 000 170 000 180 000 190 000 200 000
10 000
20 000
16 000
30 000
40 000
50 000
60 000
64 000
70 000
80 000
90 000
100 000
110 000
x
RT, CT
BEP
24. a) CF = R$ 31 674 720,00
b) MS(%) = 27,5%
c) LT(17 600) = R$ 3 167 472,00
d) yV = R$ 6 218,96
 Gabarito 31
e)
5 000 10 000 15 000 20 000 25 0000 30 000 35 000 40 000 45 000
20 000 000
40 000 000
60 000 000
80 000 000
100 000 000
120 000 000
140 000 000
160 000 000
180 000 000
200 000 000
220 000 000
240 000 000
x
RT, CT
BEP
CAPÍTULO 3
CAPiTALizAçãO simPLes
ExErcícios E problEmas propostos 
1. 
C (r$) i n m (r$) J (r$)
a) 2 000,00 1% a.m. 12 meses 2 240,00 240,00
b) 3 500,00 10% a.a. 1 ano 3 850,00 350,00
c) 22 000,00 1,5% a.m. 12 meses 25 960,00 3 960,00
d) 45 454,55 2% a.m. 5 meses 50 000,00 4 545,45
e) 10 000,00 26,25% a.m. 8 meses 31 000,00 21 000,00
f) 6 000,00 12% a.a. 2,78 meses 8 000,00 2 000,00
g) 32 258,06 60% a.a. 42 meses 100 000,00 67 741,94
2. 
mês Capital Juros ao final do período montante acumulado ao
 final de cada período
1 R$1 000,00 R$ 20,00 R$ 1 020,00 
2 R$1 000,00 R$ 20,00 R$ 1 040,00 
3 R$1 000,00 R$ 20,00 R$ 1 060,00 
4 R$1 000,00 R$ 20,00 R$ 1 080,00 
5 R$1 000,00 R$ 20,00 R$ 1 100,00 
6 R$1 000,00 R$ 20,00 R$ 1 120,00 
32 Aplicações da matemática
3. D
4. 
C (r$) i n m (r$) J (r$)
a) 3 000 1% a.m. 12 meses 3 360 360
3 000 2% a.m. 1 ano 3 720 720
 Note que a taxa dobrou e os juros dobraram.
b) 25 000 1,7% a.m. 6 meses 27 550 2 550
25 000 1,7% a.m. 12 meses 30 100 5 100
 Note que o período dobrou e os juros dobraram.
c) 15 500 12% a.a. 5 meses 16 275 775
31 000 12% a.a. 5 meses 32 550 1 550
 Note que o capital dobrou, os juros e o montante dobraram.
d) 10 000 5% a.m. 1 ano 16 000 6 000
5 000 10% a.m. 1 ano 11 000 6 000
 Note que o capital caiu pela metade e a taxa dobrou; os juros se mantiveram.
5. a) C = R$ 5 000,00; i = 8% a.m.
b) R$ 5 400,00; R$ 5 800,00; R$ 6 200,00; R$ 6 600,00
c) 
1 2 3 4
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
M
n0
5 400
5 800
6 200
6 600
6. D
7. E
 Gabarito 33
8. E
9. C
10. B
11. D
CAPiTALizAçãO COmPOsTA
ExErcícios E problEmas propostos
1. 
mês Capital Juros ao final do período montante acumulado ao 
final de cada período
1 R$1 000,00 R$ 20,00 R$ 1 020,00 
2 R$1 020,00 R$ 20,40 R$ 1 040,40 
3 R$1 040,40 R$ 20,81 R$ 1 061,21 
4 R$1 061,21 R$ 21,22 R$ 1 082,43 
5 R$1 082,43 R$ 21,65 R$ 1 104,08 
6 R$1 104,08 R$ 22,08 R$ 1 126,16 
2. Os juros são incorporados ao capital mês a mês para o cálculo de cada montante.
3. C (r$) i n m (r$) J (r$)
a) 2 000,00 1% a.m. 12 meses 2 253,65 253,65
b) 3 500,00 10% a.a. 1 ano 3 850,00 350,00
c) 22 000,00 1,5% a.m. 12 meses 26 303,60 4 303,60
d) 45 286,54 2% a.m. 5 meses 50 000,00 4 713,46
e) 10 000,00 15,19% a.m. 8 meses 31 000,00 21 000,00
f) 6 000,00 12% a.a. 2,54 anos 8 000,00 2 000,00
g) 19 301,01 60% a.a. 42 meses 100 000,00 80 698,99
4. O montante e os juros são superiores no regime de capitalização composta.
5. D
6. a) C = R$ 5 000,00; i = 8% a.m.
b) R$ 5 400,00; R$ 5 832,00; R$ 6 298,56; R$ 6 802,44
34 Aplicações da matemática
c) 
1 2 3 4
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
M
n0
5 400
5 832
6 298,56
6 802,44
d) 
1 2 3 4
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
M
n0
5 400
5 800
6 200
6 600
7. A
8. D
9. C (r$) i n m (r$) J (r$)
a) 3 000 1% a.m. 12 meses 3 380,48 380,48
3 000 2% a.m. 1 ano 3 804,73 804,73
Note que a taxa dobrou, mas os juros não dobraram.
b) 25 000 1,7% a.m. 6 meses 27 660,86 2 660,86
25 000 1,7% a.m. 12 meses 30 604,93 5 604,93
Note que o período dobrou, mas os juros não dobraram.
c) 15 500 12% a.a. 5 meses 16 249,47 749,47
31 000 12% a.a. 5 meses 32 498,94 1 498,94
Note que o capital dobrou, os juros e o montante dobraram.
 Gabarito 35
d) 10 000 5% a.m. 1 ano 17 958,56 7 958,56
5 000 10% a.m. 1 ano 15 692,14 10 692,14
Note que o capital caiu pela metade, a taxa dobrou, os juros e o montante sofreram 
alterações, mas não dobraram ou caíram pela metade, nem se mantiveram.
10. O montante e os juros são superiores no regime de capitalização composta.
11. D
12. A
13. a) 12% b) 10,7%
14. Aproximadamente 67 meses, ou seja, 5,5 anos.
15. Por mais 24 meses, aproximadamente, ou seja, por volta de 2 anos.
16. E
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. a) dobra; b) é multiplicado por 1 3
1
n
i
i
æ ö+ ÷ç ÷ç ÷÷ç +è ø
; c) é multiplicado por 
1
(1 )ni+
2. 
C i n m
 R$ 5 000,00 0,08 1,00 R$ 5 400,00 
 R$ 10 000,00 0,08 1,00 R$ 10 800,00 
 R$ 5 000,00 0,24 1,00 R$ 6 200,00 
 R$ 5 000,00 0,08 0,50 R$ 5 196,15 
3. A
4. C
5. A
6. E
7. E
8. D
36 Aplicações da matemática
fATOr De CAPiTALizAçãO
ExErcícios E problEmas propostos
1. i n (1 + i )n
a) 1% a.m. 12 meses 1,126825
b) 10% a.a. 1 ano 1,1
c) 1,5% a.m. 5 meses 1,077284
d) 2% a.m. 1 semestre 1,1261624
e) 60% a.a. 42 meses 5,1810757
f) 20% a.m. 8 meses 4,299817
g) 4% a.m. 9 meses 1,4233118
h) 12% a.a. 1 trimestre 1,0287373
2. alfa
3. 2,6% a.m.
4. O Plano III tem o menor fator de capitalização: 1,21.
5. 19,56%
6. 9,95%
7. 0,74%
CAPiTALizAçãO COnTÍnUA e O númerO e
TECNOLOGIA 
Planilha eletrônica
C i n m
 R$ 100,00 100,000000% 1 R$ 200,00 
 R$ 100,00 50,000000% 2 R$ 225,00 
 R$ 100,00 25,000000% 4 R$ 244,14 
 R$ 100,00 16,666667% 6 R$ 252,16 
 R$ 100,00 8,333333% 12 R$ 261,30 
 R$ 100,00 1,923077% 52 R$ 269,26 
 R$ 100,00 0,277778% 360 R$ 271,45 
 R$ 100,00 0,138889% 720 R$ 271,64 
 R$ 100,00 0,069444% 1 440 R$ 271,73 
 R$ 100,00 0,034722% 2 880 R$ 271,78 
 R$ 100,00 0,010000% 10 000 R$ 271,81 
 R$ 100,00 0,001000% 100 000 R$ 271,83 
 Gabarito 37
CAPÍTULO 4
TAxA De vAriAçãO méDiA
ExErcícios E problEmas propostos
1. 
a) 0
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0
−1
1
2
x0
y
d) 30
−2,0 −1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0
1 000
2 000
3 000
4 000
y
0 x
b) 0
5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0
−300
−200
−100
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1 000
1 100
1 200
1 300
x0
y
e) −30
−2,0 −1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,08,0 9,0 10,0 11,0 12,0 13,0 14,0 15,0 16,0 17,0 18,0 19,0
1 000
2 000
3 000
y
0 x
1 380
1 200
c) 0
−5,0 −4,0 −3,0 −2,0 −1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0
−9 000
−6 000
−3 000
3 000
x0
y
–8 200
f) 0
−19−18−17−16−15−14−13−12−11−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
−500
−400
−300
−200
−100
100
200
300
400
500
600
700
800
900
y
0 x
38 Aplicações da matemática
g) 1
−4 −3 −2 −1
1 2 3 4
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x0
y
j) 7
−3 −2 −1 1 2 3
5
10
15
20
25
0 x
y
h) 7
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−4
−2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
0 x
y
k) 3 2−
−3 −2 −1 1 2 3
−4
−2
2
4
6
8
10
0 x
y
i) 35
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
0 x
y
l) 20
−10 −5 5 10 15 20 25
−400
−300
−200
−100
x0
y
2. 
a) 1 c) 5 e) −3
b) 3 d) −5 f) −1
 Gabarito 39
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
2
4
6
8
10
12
0
y
x
3. 
a) −1 c) −5 e) 3
b) −3 d) 5 f) 1
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
0 x
y
4. Demonstração
5. C
40 Aplicações da matemática
reCeiTA TOTAL De 2O GrAU 
vAriAçãO DA vAriAçãO (OU vAriAçãO seGUnDA)
TECNOLOGIA 
Planilha eletrônica
x f (x) = x Df 
Dx 
0 0 –
1 1 1
2 2 1
3 3 1
4 4 1
5 5 1
6 6 1
x f (x) = x 2
Df 
Dx 
D2f 
Dx 2 
0 0 – –
1 1 1 –
2 4 3 2
3 9 5 2
4 16 7 2
5 25 9 2
6 36 11 2
x f (x) = x 3
Df 
Dx 
D2f 
Dx2 
D3f 
Dx 3 
0 0 – – –
1 1 1 – –
2 8 7 6 –
3 27 19 12 6
4 64 37 18 6
5 125 61 24 6
6 216 91 30 6
 Gabarito 41
x f (x) = x 4
Df 
Dx 
D2f 
Dx2 
D3f 
Dx 3 
D4f 
Dx 4 
0 0 – – – –
1 1 1 – – –
2 16 15 14 – –
3 81 65 50 36 –
4 256 175 110 60 24
5 625 369 194 84 24
6 1 296 671 302 108 24
ExErcícios E problEmas propostos
1.
a) Sim.
b) 
 1 2 4 8 16 32 64
 +1 +2 +4 +8 +16 +32
1 2 3 2 5
+0,4142 +0,3178 +0,2679 +0,2361
c) Que as variações, embora positivas indicando que ambas as sequências são cres-
centes, mostram que crescem de modos diferentes.
d)
1 2 4 8 16 32 64
+1
1 2 3 2 5
+0,4142 +0,3178 +0,2679 +0,2361
 −0,0964 −0,0499 −0,0318
e) Que o sinal da variação segunda (variação da variação) indica se se trata de um cres-
cimento cada vez mais rápido (acelerado) ou cada vez mais lento (desacelerado).
2.
a) y = −25x + 1 375
b) (27,5; 18 906,25)
c) 687,50
+2 +4 +8 +16 +32
+2 +4 +8+1 +16
42 Aplicações da matemática
d) 
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55
5 000
10 000
15 000
RT
x0 27,5
18 906,25
3. a) y = -5,6x + 124,32; RT(x) = -5,6x2 + 124,32x
b) (11,1; 689,98) 
4. D
5. R$ 6,00
OUTrAs fUnções
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. 
a) 1
−4 −3 −2 −1
1 2 3 4
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
12
14
16
x
y
0
b) 4
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
12
14
16
x
y
0
 Gabarito 43
c) 16
−4 −3 −2 −1
1 2 3 4
−16
16
32
48
64
x
y
0
e) 3,75
−2 −1 1 2 3 4 5
2
4
6
8
10
12
14
16
18
x
y
0
d) 0,5
−2 −1 1 2 3 4 5
2
4
x
y
0
f) −0,1892
−2 −1 1 2 3 4 5
−1
1
x0
–0,7568
y
2. a) 7 d) 7
b) 1 e) 19
c) 1 f) 37
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
x
y
0
44 Aplicações da matemática
3. 1
−1 1
−1
1
2
y = x3
y = x
y = x2
y = 2x
x
y
0
y = Ö x
4. a) a, b, c ou d; para todas essas funções f (0) = 0 e f (1) = 1
b) e, porque f (0) = 1 e f (1) = 2
c) 1y
x
∆
=
∆
d) Não, porque as taxas de variação média coincidem embora saibamos que no inte-
rior do intervalo os gráficos têm aspectos distintos: reta, parábola etc.
5. a) -65 c) −1 e) 15
b) −15 d) 1 f) 65
6. 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
20
40
60
80
y
x0
 Gabarito 45
7. a) 12; 12 b) 
27 93 3 1; 18 18
-
8. a) 0,5;−0,5 b) 1
18
; 118- c) 
1 1; 54 54-
9. a) −0,63662 c) −0,63662
b) 0,63662 d) 0,63662
CAPÍTULO 5
COnCeiTO De DerivADA
LimiTe DA rAzãO inCremenTAL
ExErcícios E problEmas propostos
1. a) f ¢(x) = 0 g) f ¢(x) = 2x - 20
b) f ¢(x) = 1 h) f ¢(x) = 1 - 2x
c) f ¢(x) = 1 i) f ¢(x) = 3x2
d) f ¢(x) = 2x j) f ¢(x) = 3x2 - 2x
e) f ¢(x) = 2x + 3 k) f ¢(x) = 3x2 + 3
f) f ¢(x) = 2x + 7 l) f ¢(x) = 6x2 + 20
2. O grau da função derivada é uma unidade menor que o grau da função.
3. D
4. a) 
2
2
x
- c) 2
1
5x
- e) 3
2
x
- g) 4
3
x
-
 b) 2
5
x
 d) 2
1
( 2)x
-
+
 f) 3
2
x h) - 2
1
( 3)x
5. a) 
1
2 2x + b) 
1
2x x
- c) 
1
2x x d) 3 2
1
3 x
6. D
7. a) 0 c) 0 e) 12 g) 1
3-
 i) 1
4
 k) 1
2 2
 b) 1 d) 0 f) 12 h) 14- j) não existe f ¢(−3)
8. A inclinação da reta tangente à curva que é gráfico de cada função no ponto indicado.
9. f ¢(x) = 4x3 - 3x2
10. Verificação
46 Aplicações da matemática
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. a) 
4
3 5df
dx x
= + c) 
2 2
2 3
( 3 )
df x
dx x x
+=
+
 e) 
2
1
2 ( 1)
df
dx x x
=
−
b) 
2 2
2
( 8)
df x
dx x
= −
+
 d) 
2
3 2
6
( 3)
df x
dx x
= −
+
2. a) 
[1,2]
2 1
5( ) 2 ; 0,5; 3
x
f dff x
x dxx =
∆′ = − = − = −
∆
b) 2 [1,2] 1
3( ) 1 ; 2,5; 4
x
f dff x
x dxx =
∆′ = + = =
∆
c) 
2 [1,2] 1
10( ) 1 ; 4; 9
x
f dff x
x dxx =
∆′ = − + = =
∆
d) 3 [1,2] 1
10 11( ) 1 ; ; 9
4 x
f dff x
x dxx =
∆′ = − = − = −
∆ 
e) 3 [2,3] 2
2( ) 3 ; 3,14; 3,25
x
f dff x
x dxx =
∆′ = + ≅ =
∆
f) [1,2]3 1
20( ) 2 ; 9,5; 22
x
f dff x
x dxx =
∆′ = − − = − = −
∆
g) 3 [1,2] 1
4( ) 5 ; 6,5; 9
x
f dff x
x dxx =
∆′ = + = =
∆
3. a) 2
10( ) 3f x
x
′ = − − e) 2
1( )
( 1)
f x
x
′ = −
+ i) 2 2
2 1( )
( 1)
xf x
x x
+′ =
+
b) 2
5( ) 1f x
x
′ = − − f) 
2
3 2
3( )
( 1)
xf x
x
′ =
+ j) 
2
2
2( )
( 1)
x xf x
x
−′ =
−
c) 2
9( ) 1f x
x
′ = − g) 4
3( )f x
x
′ = − 
d) 2
3( )
( 3)
f x
x
′ =
− h) 2 2
2( )
( 1)
xf x
x
′ = −
+
 Gabarito 47
CAPÍTULO 6
fUnções POLinOmiAis
reGrAs De DerivAçãO
ExErcícios E problEmas propostos
1. a) f ¢(x) = 0 h) 221( ) 5f x x
¢ = -
b) g ¢(x) = 6x5 i) A ¢(r) = C (r) = 2pr
c) h ¢(x) = 15x14 j) V ¢(r) = A (r) = 4pr2
d) y ¢ = 1 + 6x k) s ¢(t) = v(t) = v0 + at
e) f ¢(x) = 5x4 - 1 l) f ¢(x) = -8x7 + 8x3 + 9x2 - 300
f) f ¢(x) = -45x4 + 28x3 - 6x m) f ¢(x) = -5x4 + 8x3 + 9x2 - 600x
g) f ¢(x) = -7,8x5 + 10x4 + 7,2x2 n) f ¢(x) = -10x4 + 16x3 + 18x2 -1 200x
2. C
3. a) 2
25( )f x
x
¢ = - c) 2
1( )
4
f x
x
¢ = - e) ¢ = - 3
2( )f x
x
b) 2
7( )f x
x
¢ = d) 4
3( )f x
x
¢ = - f) 6
5( )f x
x
¢ = -
4. a) ¢ = -
5 4
4( )
5
f x
x x
 c) 3
2( )
3
f x
x
¢ = -
b) 1( )
2
f x
x x
¢ = d) 3 25( ) 1 3g x x
¢ = +
5. a) 3
2
3
y
x
¢ = e) 4 24
3 7( ) 12 2H x x x xx
¢ = - + +
b) 
3
3 2
2 3( )
3
g x
x x
¢ = - f) 2
1( ) 3 8
2
g x ,
x
¢ = -
c) 1( )
2
f x
x
¢ = g) 3 25
4 5( ) 3V x xx
¢ = - +
d) 5 4 2
10 9 6( ) 4f x
x x x
¢ = - - - + h) 2 3
9 6( ) 3M x
x x
¢ = - -
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. a) 2( ) 2 2 3 6f x x x′ = − + c) 36 8( ) 7 3
f x x x′ = −
b) 5 3
3( )
5
g x
x x
′ = − d) f ¢(x) = 2 + 18x5
48 Aplicações da matemática
e) 3 62 5
1 1( ) 1g x
x x
′ = + + g) 3 62 5
1 1( )g x
x x
′ = +
f) 5 64 5
1 1( )g x
x x
′ = + h) f ¢(x) = 3,9x2 + x + 1
PrODUTO
ExErcícios E problEmas propostos 
1. a) g ¢(x) = 5(6x5 - 4x3 + 2x) d) f ¢(x) = 5x4 - 4x3 + 9x2 - 6x + 2
b) g ¢(x) = 12x3 - 18x2 + 14x - 14 e) f ¢(x) = 5x4 + 4x3 - 3x2 - 1
c) f ¢(x) = 3x2 - 2x - 1 f) 3( ) 2 5
2
xf x x x x¢ = - - +
2. a) g ¢(x) = 3x2
b) h¢(x) = 3x2
c) 3( )
2
f x x′ =
3. Verificação
qUOCienTe
ExErcícios E problEmas propostos
1. B
2. a) 2
5( )
(2 3)
g x
x
-¢ =
-
 e) 
2
2
2 3( )
( 1)
x xf x
x
- -¢ =
-
b) 2
4( )
( 2)
f x
x
-¢ =
-
 f) - -¢ =
+ -
4 3 2
2 2 2
4 6( )
( 1) ( 2)
x x xh x
x x
c) 3
2( )
( 1)
f x
x
-¢ =
+
 g) 22
2 7( )
( 7 12)
xf x
x x
−′ = −
− +
d) ¢ = -
- 2
1( )
( 2)
f x
x
 h) 
2
'( ) ( )'( )Me
CT x x CT xC x
x
⋅ −=
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. a) 2
16( )
( 11)
h x
x
′ =
+
 d) 2
1( )
( 19)
f x
x
′ = −
−
b) 2
16( )
( 5)
f x
x
′ =
+
 e) g ¢(x) = 1
c) 2
18( )
( 3)
f x
x
′ =
+
 f) 2
1( )
( 18)
g x
x
′ = −
−
 Gabarito 49
g)2
2
8 48( )
( 4)
x xf x
x
− −′ =
−
 l) 
2
2 2
4 12( )
( 4 4)
x xg x
x x
− − +′ =
− +
h) 
2
2
2 3( )
( 1)
x xh x
x
+ −′ =
+
 m) 2 2
2( )
( 3)
xg x
x
′ = −
+
i) 
2
2
4 24 64( )
( 3)
x xh x
x
+ −′ =
+
 n) 
3 2
2
2 3 3 1( )
( 3)
x xf x
x
− −′ =
−
j) 
2
15( )
( 11)
h x
x
′ =
+
 o) 
3 2
2
2 3 3 1( )
( 3)
x xf x
x
+ −′ =
+
k) 2
13( )
( 8)
f x
x
′ =
+
reGrA DA CADeiA
ExErcícios E problEmas propostos
1. A
2. E
3. Demonstração
4. a) 1 1
2 1 2 1
y
x x
¢ = +
- +
 h) f ¢(x) = 3(4x - 3)(3x - 9)2
b) y¢ = 4x(3x - 4)(3x - 2) i) y¢ = 2(7x + 18)(x + 3)5(x + 2)7 
c) g¢ (x) = 60 (x + 1)2 j) 2 2 2
1 1( ) 6 (3 1) 21 ( 1)
f x x x x xx x
æ ö é ù÷ç¢ = - + - ê + ú÷ç ÷÷ç + ê úè ø +ë û
d) g¢ (x) = 108(9x - 4)3 k) 
2
3( ) 8 12s t t
t
′ = − −
e) 2 3
2 3
xy x
x
¢ = + +
+
 l) 2
1( )
( 3)
f x
x
¢ = -
-
f) f ¢ (x) = x2(x - 4)(5x - 12) m) 2 56
2
x xy x
x
′ = − + +
g) ¢ = -
+ +3
1( )
(3 2) (3 2)
g x
x x
 n) 
2
3
3 3
1 1( )
( 3 6) 3 6
xg x
x x x x
−′ = −
− − − −
5. A
6. Nas respostas a este exercício consideramos a escrita dada e as regras mais complexas; 
outras regras mais elementares também serão necessárias, como a regra do tombo, a re-
gra da soma, a regra da multiplicação por constante, entre outras. Se a escrita da função 
for alterada, as regras ou a “ordem” em que serão utilizadas podem ser modificadas.
50 Aplicações da matemática
a) Regra do quociente; regra da cadeia g) Regra do quociente; regra da cadeia
b) Regra do quociente; regra da cadeia h) Regra da cadeia
c) Regra do quociente i) Regra do quociente; regra da cadeia
d) Regra da cadeia; regra do quociente j) Regra da cadeia; regra do quociente
e) Regra da cadeia k) Regra da cadeia
f) Regra do quociente l) Regra da cadeia; regra do quociente
7. a) -¢ =
+
2
2 2
1 3( )
2 ( 1)
xg x
x x
 i) 1( )
2( 3) ( 3)
g x
x x
¢ = -
- -
 b) 2
1( )
2 (1 )
g x
x x
¢ =
-
 j) 
- - + -
¢ =
-
2 2 2 3
2
12 (2 1) (1 ) (2 1)
( )
(1 )
x x x x
f x
x
 c) 4
3( )
2 (1 )
f x
x x
¢ =
-
 k) 1( )
2( 5) ( 5)
h x
x x
¢ = -
- -
 d) 4
1( )
( 4 3) 4 3
g x
x x
¢ =
- + - +
 l) 2 3
2(2 3)
( )
( 3 )
x
g x
x x
-
¢ = -
-
 e) -¢ =
- -
2
33 3
3( )
( 1) 1
xg x
x x
 m) 2 4
3(4 1)
( )
2(2 )
x
g x
x x
+
¢ = -
+
 f) 
- +
¢ =
+ +32 2
4(4 1)
( )
3(2 ) 2
x
F x
x x x x
 n) 
2
3 3
2( )
5
xg x
x
¢ =
+
 g) -¢ = -
- + - +22
2 3( )
2( 3 4) 3 4
xs x
x x x x
 o) 4
3( )
( 2)
f x
x
¢ = -
+
 h) 2 2
2 (2 1)
( )
4( 1)
x
g x
x x
+
¢ = -
+ +
 p) 2
1( )
( 3)
f x
x
¢ = -
-
8. I. F; a derivada de um quociente não é igual ao quociente das derivadas
 II. F; a regra da cadeia é f ¢(g(x)) × g ¢ (x) e não f ¢(g ¢ (x)) 
III. F; não basta derivar o denominador
9. a)
3(3 2 ) 3 (3 2 )
 ( ) ( )
7 7
6 9 12( ) ( )
7 7
x x x
f x g x
xf x g x
− − − −
= =
− +′ ′= =
 b) = =
- -
¢ ¢= - = -
- -
2
2 3
1 1( ) ( )( 1) ( 1)
1 2( ) ( )
( 1) ( 1)
h x f xx x
h x f x
x x
 Gabarito 51
 c) = =
- - +
-¢ ¢= - = -
- - +
3 6 3
2 32
3 2 6 3 3
3 3( ) ( )
3 12 9
3 (3 18)9( ) ( )
( 3) ( 12 9)
u x v x
x x x
x xxu x v x
x x x
 d) g¢(x) = 4(x - 2)(x - 3)( x - 4)
 f ¢(x) = 4(x - 2)(x + 4)(x + 1)
 h¢(x) = 6(x - 2)2(x + 4)2(x + 1) 
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. a) 2
8( )
(2 1)
f x
x
¢ = -
-
 d) ¢ = -
+ +
3
44 4
( )
( 16) 16
xg x
x x
b) 2
2( )
(2 1)
f x
x
-¢ =
-
 e) f ¢(x) = 0
c) 
2
33 3
( )
( 8) 8
xg x
x x
¢ = -
+ +
 f) 1( )
4( 3) 3
h x
x x
¢ = -
+ +
2. 
 i) f ¢(x) = 1000 (x9 + x6 + 1)999 (9x8 + 6x5)
 ii) f ¢(x) = 2430x(x2 - 4)4
 iii) f ¢(x) = 3x2 (x5 + x3 + 1)2 (5x2 + 3)
 iv) f ¢(x) = 4x(x2 - 9)
 v) 
2
3( )
( 2)
g x
x
′ = −
−
 vi) h¢(x) = x2(x + 1)(5x + 3)
 vii) 
2
( )
9
xf x
x
′ =
−
 viii) f ¢(x) = 6x(x2 - 16)2
 ix) 
2
( )
25
xf x
x
′ =
−
 
 x) h¢(x) = x2(x2 + 1)(7x2 + 3)
 xi) h¢(x) = 3x2(x + 1)2 (2x + 1)
 xii) f ¢(x) = 16x(4x2 - 1)
 xiii) 
2
4( )
( 2)
g x
x
′ = −
−
 xiv) 
2
( )
16
xf x
x
′ =
−
 
52 Aplicações da matemática
 xv) 
2 3 4
1 6 6( )h x
x x x
′ = − + −
 xvi) 
2
2 2
4( 1)( )
( 1)
xf x
x
− +′ =
−
 xvii) 2 2
2 1( )
( )
xf x
x x
+′ = −
+
 xviii) f ¢(x) = (x + 2)9(11x + 32) 
 xix) 
3
3 2 2 23
1 2 2( )
3 ( 4) 3( 2) ( 2)
xg x
x x x
+′ = −
− − −
 xx) f ¢(x) = 72x(9x2 - 1)3
 xxi) 2
18'( )
( 13)
f x
x
=
+
 xxii) f ¢(x) = 20x3(x4 - 4)4
 xxiii) 
3
4 4 3
( )
(1 )
xg x
x
−′ =
−
 xxiv) 
2
3 3 2
8( )
(1 8 )
xg x
x
−′ =
−
 
3. 
a) 0
b) Demonstração
fUnções exPOnenCiAL e LOGArÍTmiCA
fUnções TriGOnOméTriCAs
ExErcícios E problEmas propostos
1. a) 5x ln 5 b) +5
log
5
x lnx
x xln
 c) 3x2 cos x3
2. Demonstração
3. D
 Gabarito 53
CAPÍTULO 7
vAriAçãO De UmA fUnçãO e POnTOs CrÍTiCOs
ExErcícios E problEmas propostos
1. –2 e -1 
2. D
3. D
4. Ver tabela p. 512 e 513.
5. B
6. A
7. I. D II. B III. E
8. 
a) 
−0,10 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,10
−1,0
−0,5
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
f (x)
x0
b) Terça-feira e quinta-feira.
c) 5,5 e 3,5
infOrmAções DA DerivADA PrimeirA
DerivADAs De OrDem sUPeriOr
ExErcícios E problEmas propostos
1. a) São os mesmos intervalos.
 b) Não há relação entre esses intervalos.
54 Aplicações da matemática
a)
b)
c)
d)
e)
f)
in
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co
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 O
y
(0
, 3
6)
(0
, 3
2)
(0
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20
)
(0
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)
(0
, -
35
)
(0
, 0
)
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, 0
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(4
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 (8
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)
(2
, 0
) e
 (1
0,
 0
)
(0
, 0
)
(5
, 0
)
(
4
3,
 0
), 
(0
, 0
) e
 (4
3,
 0
)
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 Gabarito 55
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56 Aplicações da matemática
2. B
3. a) f ¢(x) = 0, f ²(x) = 0 h) 3 3
2 2( ) , ( )
3 9
f x f x
x x x
¢ ¢¢= = -
 b) f ¢(x) = 5, f ²(x) = 0 i) 2 3
1 2( ) , ( )f x f x
x x
¢ ¢¢= - =
 c) f ¢(x) = 2x + 4, f ²(x) = 2 j) f ¢(x) = 3x ln 3, f ²(x) = 3x ln2 3 
 d) f ¢(x) = -2x + 50, f ²(x) = -2 k) 2
1 1( ) , ( )
10 10
f x f x
xln x ln
¢ ¢¢= = -
 e) f ¢(x) = 3x2, f ²(x) = 6x l) f ¢(x) = -sen x, f ²(x) = -cos x 
 f) f ¢(x) = 7x6 + 15x4, f ²(x) = 42x5 + 60x3 m) f ¢(x) = sec2 x, f ²(x) = 2sec2x × tg x
 g) 1 1( ) , ( )
2 4
f x f x
x x x
¢ ¢¢= = - n) 2
1 1( ) , ( )f x f xx x
¢ ¢¢= = -
4. a) 3 4
20 60( ) ; ( )
( 1) ( 1)
f x f x
x x
¢ ¢¢= - =
- -
 b) 3 4
4 12( ) ; ( )
( 1) ( 1)
g x g x
x x
¢ ¢¢= = -
+ +
 c) 2 3
128 256( ) 2 ; ( )f x f x
x x
¢ ¢¢= - =
 d) 2 3
75 150( ) 3 ; ( )v x v x
x x
¢ ¢¢= - + = -
5. 
a) s¢(x) = -6t + 10; s²(x) = -6; sn = 0, n ³ 3 
 b) y ¢ = 3x2 + 8x + 6; y² = 6x + 8; y ¢¢¢ = 6; yn = 0, n ³ 4
6. D
7. A
8. D
 Gabarito 57
COnCAviDADe e POnTOs De infLexãO
ExErcícios E problEmas propostos
1. 
a) f (x) = x2 - 5x + 6
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
3
5
2
4 5–1/4
–1
–2
x
y
Ponto de mínimo global
1 2
b) f (x) = x3
−3 −2 −1
 1 2 3
−8 
−7 
−6 
−5 
−4 
−3 
−2 
−1 
1
2
3
4
5
6
7
8
0 x
y 
ponto de inflexão 
58 Aplicações da matemática
c) f (x) = (x - 5)3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
0 x
y
Ponto de inflexão
d) f (x) = x3 - 64x
−9 −8 −7 −6 −5 −4
−4,62
4,62
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−197
−150
−100
−50
50
100
150
197
0
y
x
Ponto de máximo local
Ponto de mínimo local
Ponto de in�exão
 Gabarito 59
e) f (x) = x3 - x2
−1.0 −0.5 0.5 1.0 1.5
−1.0 
−0.5 
0.5 
1.0 
0,67
−0,14
0
y 
x 
Ponto de máximo local 
Ponto de mínimo local 
0,33
−0,074
Ponto de inflexão 
f) f (x) = x4 - x3
1 2
−1 
1 
2 
Ponto de mínimo global
Pontos de in�exão 0,75
−0,11 x 
y 
−0,0625 
0,5
60 Aplicações da matemática
g) f (x) = x3 - 6x2 + 11x - 6
1 2 3 4 5 6
−8 
−7 
−6 
−5 
−4 
−3 
−2 
−1 
1 
2 
3 
−0,38 2,581,42
0,38 
Ponto de 
mínimo local
Ponto de in�exão
Ponto de
máximo local
h) f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 10
−1 1 2 3 4 5
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
0 x
y
Ponto de mínimo 
local
Ponto de
inflexão
Ponto de máximo 
local
 Gabarito 61
i) f (x) = x3 - 12x2 + 36x + 10
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
0 x
y
Ponto de mínimo local
Ponto de inflexão
Ponto de máximo local
j) f (x) = x3 - 30x2 + 300x - 400
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
−400
−300
−200
−100
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1 000
1 100
0
x
y
Ponto de inflexão
62 Aplicações da matemática
k) f (x) = x3 - 9x2 + 24x + 1, para x ³ 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
10 
20 
30 
40 
50 
y
Ponto de máximo local 
Ponto de mínimo local 
Ponto de mínimo global 
Ponto de in�exão 
x
 
17 
19 
21 
1 
0 
l) f (x) = 2x3 - 21x2 + 72x + 18, para x > 0
−0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 
−10 
10 
20 
30 
40 
50 
60 
70 
80 
90 
100 
110 
120 
y 
Ponto de máximo local
 
Ponto de mínimo local
 
Ponto de in�exão
 
x
0
 Gabarito 63
m) f (x) = x4 - 2x2 + 40
−4.0 −3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 
10 
20 
30 
40 
50 
y
x
Ponto de mínimo global
 
Ponto de mínimo global 
Ponto de máximo local
 
−0,58 0,58 
39,44 
39
Pontos de in�exão
 
n) f (x) = -3x5 + 5x3
Ponto de mínimo local
 
Ponto de máximo local
 
Ponto de in�exão Ponto de in�exão
Ponto de in�exão
−3 −2 −1 1 2 3
−4 
−3 
−2 
−1 
1 
2 
3 
4
0
 
–0,71
0,71
–1,25
 
1,25 
 
y
 
x 
2. E
64 Aplicações da matemática
LimiTes
ExErcícios E problEmas propostos
1. C
2. A
3. C
esTUDO COmPLeTO De UmA fUnçãO
TesTe DA DerivADA seGUnDA
ExErcícios E problEmas propostos
1. a) f (x) = x4
 
−2 −1 1 2
−5
5
10
15
20
25
y
x0
Ponto de mínimo global
b) 2
1( )f x
x
=
 
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
5
10
15
x0
y
 Gabarito 65
c) y x=
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
x0
y
Ponto de mínimo global
d) 3 2y x=
 
Ponto de mínimo global
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
–1
1
2
3
4
0
66 Aplicações da matemática
e) 
1
2( ) 3f x x x= -
 
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x0
y
Ponto de máximo local
Ponto de mínimo global
f) 
1
3( ) 3f x x x= -
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x0
y
Ponto de in�exão
Ponto de mínimo local
Ponto de máximo local
−1−2−3−4−5−6−7−8−9
 Gabarito 67
g) f (x) = x4 - 3x3 + 3x2 - x, observando que 1 04f
æ ö÷ç¢ =÷ç ÷÷çè ø
(1) = 0 e 1 04f
æ ö÷ç¢ =÷ç ÷÷çè ø
 
−1.0 −0.5
0.5
 1.0 1.5 2.0 2.5 
−0.5 
0.5 
1.0 
y
x
0 
0,25 
−0,1 
Ponto de mínimo global
 
Pontos de in�exão
 
−0,0625 
h) 2
6( )
3
f x
x
=
+
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
x0
y
Ponto de máximo global
Ponto de in�exãoPonto de in�exão
68 Aplicações da matemática
i) ( )f x x x= -
 
−1 1 2 3 4 5
1
2
x0
y
Ponto de mínimo global
0,25
-0,25
Ponto de
máximo
local
j) CT (x) = x3 - 30x2 + 375x + 3 000, x ³ 0
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 000
2 000
3 000
4 000
5 000
6 000
7 000
8 000
9 000
CT
Ponto de in�exão
0 x
Ponto de mínimo global
4 750
 Gabarito 69
k) LT (x) = - x3 - 5x2 + 3 000x - 8 000, x ³ 0
 
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
−20 000
20 000
40 000
LT
0 x
Ponto de mínimo local– 8 000
Ponto de máximo global
50 500
l) CT (x) = x3 - 25x2 + 400x + 2 750, sendo D = Â+
 
208,33 40 60 80 100
40000
20000
4925,27
2750
60000
80000
100000
120000
140000
CT
Ponto de in�exão
x
Ponto de mínimo global
70 Aplicações da matemática
m) 1( )f x x x= +
 
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−10
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
0
y
x0
Ponto de mínimo local
Ponto de máximo local
n) 2
1( )
1
f x
x
=
+
 
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 
−0.2 
−0.1 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
0.6 
0.7 
0.8 
0.9 
1.0 
1.1
y
0 x 
Ponto de máximo global 
Ponto de in�exão Ponto de in�exão 
−0,57 0,57 
0,75 
 Gabarito 71
2. 
−5 −4 −3 −2 −1
1 2 3 4
−20
−15
−10
−5
5
10
15
y =
 x
3
y 
=
 x
3 +
 2
y =
 x
3 – 
1
y 
=
 (x
 +
 2
)3
y 
=
 (x
 –
 1
)3
0
y
x
0
3. Máximo absoluto: 3( 4, 16);- mínimo absoluto: (0, 0) e máximo relativo: 3(3, 9)
4. D
5. C
6. Verificação.
7. B
8. a) 2
10( )
( 1)
f x
x
=
-
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
y
x
x = 1
0
72 Aplicações da matemática
b) 2
2( )
( 1)
f x
x
-=
+
 
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−5
−4
−3
−2
−9
−8
−7
−6
−1
1
y
x
x = – 1
0
c) 128( ) 2f x x
x
= +
 
−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12 14 
−100 
−80 
−60 
−40 
−20 
20 
40 
60 
80 
y 
x
0 
32 
–32
Ponto de mínimo local 
Ponto de máximo local 
 Gabarito 73
 d) 75( ) 3f x x
x
= − −
 
−35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 5 10 15 20 25 30 35 40 
−100 
−90 
−80 
−70 
−60 
−50 
−40 
−30 
−20 
−10 
10 
20 
30 
40 
50 
60
70 
80 
90 
Ponto de mínimo local 
Ponto de máximo local 
x
y 
 e) 1( ) 100f x x x= +
 
−0,90 −0,80 −0,70−0,60 −0,50 −0,40 −0,30 −0,20 −0,10
0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90
−100
−80
−60
−40
−20
20
40
60
80
100
y
0 x
Ponto de mínimo local
Ponto de máximo local
74 Aplicações da matemática
9. Verificação.
10. a) D = {x Î Â / x ¹ 0}; Não há pontos de intersecção com os eixos.
b) Crescimento: ] -∞, -16 [e] 16, + ∞ [; Decrescimento:] -16, 0 [e] 0, 16 [ .
c) (–16, -0,125): máximo local e (16, 0,125): mínimo local.
d) Concavidade para baixo em: ] −∞, 0 [; Concavidade para cima em:] 0, + ∞ [; Não 
há ponto de inflexão (seria no (0, 0)).
e) 
−20 −15 −10 −5
5 10 15 20
−1
1
0 x
Ponto de máximo local
y
Ponto de mínimo local
0,125
– 0,125
11. D
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. E
2. C
3. C
4. 
a) 
2 x0–2
b) lim ( )
x
f x
®-¥
= -¥ ; lim ( )
x
f x
®+¥
= -¥
c) x = -2 é ponto de máximo local; x = 0 é ponto de mínimo local; x = 2 é ponto de 
máximo local.
d) x = -1 e x = 1 são pontos de inflexão de f.
 Gabarito 75
e) 
–2 –1 0
–2
–1
1 2
1
2
y
x
5. a) 
−2,0 −1,5 −1,0 −0,5 0,5 1,0 1,5 2,0
−1
1
y = (x – 1)(–1 + x2)
y
0 x
 g e h são idênticas e f = - g
76 Aplicações da matemática
b) 
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5
−3
−2
−1
1
2
3
y = x
y = 1 
y
0 x
1
2
1
2x
y = -1 1
2x
 g = - h
c) 
 
−4 −3 −2 −1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−3
−2
−1
1
2
3
y
0 x
x = 2
 f = g
6. A
7. E
8. A
9. A
 Gabarito 77
10. a) 
−2 −1 1 2
−2
−1
1
2
y
x0
Ponto de mínimo local
Ponto de máximo local
Ponto de in�exão
32
27
16
27
-1
3
1
3
b) 
−2 −1 1 2
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
0,33
−1,18
Ponto de máximo local
Ponto de mínimo local
−0,33
-0,59
Ponto de in�exão
78 Aplicações da matemática
c) 
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
y
x0
Ponto de mínimo global
d) 
−5,0 −4,5 −4,0 −3,5 −3,0 −2,5 −2,0 −1,5 −1,0 −0,5 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
y
x0
Ponto de mínimo global
 Gabarito 79
e) 
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
y
x0
Ponto de mínimo global
f) 
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
100
200
300
400
500
600
700
y
x0
Ponto de mínimo global
80 Aplicações da matemática
g) 
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.100
0,125
y
x0-1,63
1,63
0,09375
Ponto de máximo global
Ponto de in�exão Ponto de in�exão
h) 
−4 −3 −2 −1
11,14
0,45
0,67
2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
0
Pontos de in�exão
 Gabarito 81
i) 
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
0,44
–1,5
Ponto de mínimo local
j) 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Ponto de mínimo local
82 Aplicações da matemática
k) 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−10
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
y
0 x-0,5
Ponto de mínimo local
l) 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 x
y
Ponto de mínimo local
Ponto de máximo local
 Gabarito 83
m) 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
6561
y
x0
Ponto de mínimo global Ponto de mínimo global
Ponto de máximo local
–1,13
3557,68
1,13
Ponto de in�exãoPonto de in�exão
n) 
−140 −120 −100 −80 −60 −40 −20 20 40 60 80 100 120 140
−900
−600
−300
300
600
900
Ponto de mínimo local
x
y
Ponto de máximo local
29
76
-40
-29
84 Aplicações da matemática
o) 
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−180
−150
−120
−90
−60
−64
−30
30
60
90
120
150
180
y
x
Ponto de mínimo global–125
Ponto de in�exãoPonto de in�exão
2,23–2,23
Ponto de in�exãoPonto de in�exão
11. a) f(x) = x4 - 4x3
 g(x) = x4 - 4x3 + 2 (considere x @ 0,9 e x @ 4 como os zeros ou raízes de g).
−3 −2 −1 1 2 3 4
−30
−20
−10
10
20
Ponto de mínimo global
Ponto de in�exão
Ponto de in�exão
-25
2
-14
x
y
-16
-27
 O gráfico de g pode ser obtido transladando o gráfico de f em 2 unidades no sentido 
positivo do eixo Oy.
 Gabarito 85
b) 4 21 7( ) 6
4 2
f x x x x= − + (considere 0 e -4,4 como as únicas raízes reais de f e −3, 
1 e 2 como as raízes de f ¢).
 4 21 7( ) 6
4 2
g x x x x= − + − (considere 0 e -4,4 como as únicas raízes reais de f e −3, 
1 e 2 como as raízes de f ¢).
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−30
−20
−10
10
20
30
2,75
2
-29,25
-1,53
-16
1,53
2,35
Ponto de mínimo global
Ponto de in�exão
Ponto de in�exão
Ponto de mínimo local
Ponto de máximo local
16
−2
−2,35
−2,75
29,25
y
x
Ponto de máximo global
Ponto de máximo local
Ponto de in�exão
Ponto de mínimo local
Ponto de in�exão
 O gráfico de g pode ser obtido refletindo o gráfico de f em relação ao eixo Ox.
86 Aplicações da matemática
c) 9( )
9( )
f x x
x
g x x
x
= +
= − −
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−50
−10
10
20
30
40
-6
6
Ponto de mínimo local
Ponto de máximo local
x
y
0
Ponto de máximo local
Ponto de mínimo local
−30
−20
−40
 O gráfico de g pode ser obtido refletindo o gráfico de f em relação ao eixo Ox.
d) 
2
2
24( )
16
24( )
16
f x
x
g x
x
=
−
= −
−
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ponto de mínimo local
Ponto de máximo local
 O gráfico de g pode ser obtido refletindo o gráfico de f em relação ao eixo Ox.
 Gabarito 87
e) ( )
3
( )
3
xf x
x
xg x
x
=
−
= −
−
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x
y
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 O gráfico de g pode ser obtido refletindo o gráfico de f em relação ao eixo Ox.
12. a)
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−250
−200
−150
−100
−50
50
100
150
200
x
y
–171
171
Ponto de máximo local
Ponto de mínimo local
Ponto de inflexão
0
88 Aplicações da matemática
b) 
−3 −2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
5
6
7
-1,58
-0,25
1,58
Ponto de máximo local
y
Ponto de mínimo globalPonto de mínimo global
-0,91
2,55
0,91
Ponto de inflexão Ponto de inflexão
x
c) 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−40
−20
20
40
60
80
100
120
140
Ponto de máximo global
Ponto de máximo local
Ponto de mínimo local
Ponto de inflexão
Ponto de inflexão
x
y
-11
-8
63,49
-1,52
1,52
-9,47
 Gabarito 89
d) 
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−250
−200
−150
−100
−50
-198
Ponto de mínimo local
18
Ponto de máximo local
y
x
-90
Ponto de inflexão
e) 
−1.50 −1.00 −0.50 0.50 1.00 1.50
−80
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
0,33
y
Ponto de inflexão
x
90 Aplicações da matemática
f) 
−2.0 −1.0 1.0 2.0
−40.0
−30.0
−20.0
−10.0
10.0
20.0
30.0
40.0
0 0,33 x
y
Ponto de inflexão
g) 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−20
−10
10
20
30
40
Ponto de máximo global
Ponto de inflexão
Ponto de inflexão Ponto de inflexão
Ponto de inflexão
y
x
0
27
-1,41 1,41-0,63 0,63
31,12
35
 Gabarito 91
h) 
−1 1 2 3 4 5 6
−30
−27
−24
−21
−18
−15
−12
−9
−6
−3
3
6
9
Ponto de mínimo global
Ponto de inflexão
Ponto de inflexão
x0
y
-16
i) 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
Ponto de máximo global
Ponto de inflexão Ponto de inflexão
x
y
92 Aplicações da matemática
j) 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−100
−50
50
100
150
200
250
Ponto de mínimo local
Ponto de máximo local
Ponto de inflexão
Ponto de inflexão
Ponto de inflexão
y
x2,4
268,74
0,93
112.72
3,87
144,73
k) 
−15 −10 −5 5 10 15
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
x0
Ponto de mínimo global
 Gabarito 93
l) 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−40
−30
−20
−10
10
x
y
Ponto de inflexão
−35
−8
m) 
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
Ponto de mínimo
global
94 Aplicações da matemática
n) 
−25.0 −20.0 −15.0 −10.0 −5.0−8.0 5.0
0
8.0 10.0 15.0 20.0 25.0 x
y
−20.0
−10.0
−0,875
10.0
x = − 8
o) 
−25.0 −20.0 −15.0 −10.0 −5.0 5.0
0
10.0 15.0 20.025.0
−20.0
−10.0
10.0
x
x = –11
y
11
 Gabarito 95
CAPÍTULO 8
inCLinAçãO DA reTA TAnGenTe A UmA CUrvA
ExErcícios E problEmas propostos
1. a) y = 5x - 6 e) y = -15x - 14
 b) y = 1 f) 1 8
6 6y x= +
 c) y = 7x + 6 g) 1 13
40 40y x= - +
 d) y = 5x - 18
2. a) y = 4x - 4 e) y = -32x - 48
 b) y = -2x - 1 f) 1 14y x= +
 c) y = 12x + 16 g) 1 2
25 5y x= - +
 d) y = 3x - 10
3. 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
2
3
4
y
x0
4. 2,025
5. a) 68 anos b) 75 anos
6. D
7. a) F - A derivada de uma função f é a inclinação da reta tangente à curva que é gráfico 
de f. 
b) F - A derivada de uma função f é a taxa de variação instantânea dessa função em 
um dado ponto. 
c) F - A derivada de um quociente não é igual ao quociente das derivadas do nume-
rador e do denominador.
96 Aplicações da matemática
d) F - Se a derivada de uma função é negativa em um intervalo [aberto] então a fun-
ção é decrescente nesse intervalo. 
e) F - A regra da cadeia é f ¢(g(x)) × g ¢(x) e não f ¢ (g ¢(x))
8. C
9. D
exisTênCiA DA DerivADA
ExErcícios E problEmas propostos
1. Demonstração
reCeiTA TOTAL, méDiA e mArGinAL
ExErcícios E problEmas propostos
1. a) R$ 465,00
b) R$ 460,45
c) 
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
10 000
20 000
30 000
0 x
RT
31
17 110,45
16 650
t
2. E
3. B
4. A
5. Verificação
CUsTO TOTAL, méDiO e mArGinAL
ExErcícios E problEmas propostos
1. D
 Gabarito 97
quantidade
 x
Custo total 
CT(x)
C(x) - C(x–1) Cmg (x) Cme = CT(x)x
40 15 246,00  – 361,00 381,15
41 15 605,67 359,67 –  380,63
55 20 764,00 –  321,25 377,53
56 21 084,00 320,00  – 376,50
140 63 434,00  – 550,00 453,10
141 63 963,00 529,00  – 453,64
2. B
3. D
4. a) f ¢(x) = 15x4 - 3x2 + 6x - 4 d) p = -7x + 16 g) CMg(10) = +400
 b) ¢ = 1( )
2
g x
x
 e) CMe(4) = 1 567 h) 
1( 2) 4f
¢ - =
 c) 
1300
( ) 20MeC x x= + f) CF = 1 754
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. É a derivada da função lucro ou é o lucro obtido com a venda de mais uma unidade. 
LT ¢ (x) = RT¢ (x) - CT¢ (x)
2. C
3. A
4. B
5. Gráfico I
 
30 31
CT
x
CT(30)
CT(31) CMg(30) = 60,10
57
t
0
98 Aplicações da matemática
CAPÍTULO 9
COnDições PArA reCeiTA TOTAL máximA
ExErcícios E problEmas propostos
1. a) RT(x) = -10x2 + 1 000x
b) RMg(70) = -400
c) RT(71) - RT(70) = -410; erro = R$ 10,00 
d) Não reduzir o preço unitário, pois a receita está decrescendo.
2. D
3. a) y = -50x + 1 222
b) RT(x) = -50x2 + 1 222x
c) R$ 611,00
d) RMe(12,22) = 611,00 e RMg(12,22) = 0
4. 15 unidades e R$ 50,00
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
100
200
300
400
500
600
RT(x)
x0
ponto de máximo global
demanda potencial
5. A
6. a) A empresa deve reduzir seu preço porque a receita ainda é crescente nesse intervalo 
de vendas.
b) –0,002 (dois milésimos da moeda)
c) R$ 62,50
7. E
 Gabarito 99
8. a) x = 639; RTmáxima = 408 321; yótimo = 639
b) 
10
0
20
0
30
0
40
0
50
0
60
0
70
0
80
0
90
0
1 
00
0
1 
10
0
1 
20
0
1 
30
0
100 000
200 000
300 000
400 000
0
1 
27
8 x
63
9
408 321
RT(x)
 
200 400 600 800 1 000 1 200
−1200
−1000
−800
−600
−400
−200
200
400
600
800
1000
1200
R
Me
(x)
R
Mg
(x)
0 x
1 278
1 
27
8
63
9
9. a) x = 200; yótimo = 10; RTmáxima (200) = 2 000
b) RMg (219) = - 3,16; RT(220) - RT(219) = - 3,26 
100 Aplicações da matemática
c) 
100 200 300
200
400
600
800
1 000
1 200
1 400
1 600
1 800
2 000
RT(x)
x0
10. 64
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. a) F porque 250( )MgR x x
=
b) V porque RMg (3 000) = 4,5643
c) V porque RT(3 001) - RT(3 000) = 4,5639 
d) V porque a receita em 3 000 está com tendência de aumento (variação marginal 
positiva)
e) V porque 500( ) 500RT x x y x x
x
= × = × =
2. 
x rT (x) rmg (x)
0 a) 0 52 500
150 b) 14 625 000 c) 120 000
151 d)14 744 999 119 997
350 e) 30 625 000 f ) 0
g) A 
h) 350
i) ótimo 
j) não podemos 
k) receita 
l) 151a 
m) podemos 
n) R$ 119 999,00
 Gabarito 101
o) R$ 30 625 000,00
p) < 
q) negativo
r) ótima
s) R$ 87 500,00
3. C
4. a) 9 b) 55 c) 495 d) 4
COnDições PArA CUsTO méDiO mÍnimO
ExErcícios E problEmas propostos
1. a) x = 38; CMe mín (38) = R$ 784,00 e CTót (38) = R$ 29 792,00
b) Verificação
2. a) x = 25; CMe mín (25) = R$ 650,00 e CTót (25) = R$ 16 250,00
b) Demonstração
3. 
100 200 300 400 500
10
20
30
40
50
8,04
0 x
f
g
CMe
 C
Me
 (x) = f(x) + g(x) e seu gráfico está “encaixado” entre os gráficos de f e g: está acima 
de f e acima de g. 
4. a) CMg (x) = 3x
2 - 12x + 14 
b) 2
2000
( ) 6 14MeC x x x x= - + +
c) CT(51) - CT(50) = 7 059; CMg (50) = 6 914
d) CMe (50) = 2 254,00 < CMg (50); a produção em que o custo médio é mínimo é me-
nor do que 50. A 51a unidade contribuirá para aumentar o custo médio unitário.
102 Aplicações da matemática
5. a) CMg (x) = 2x + 1000; = + +
 765 625( ) 1000MeC x x x
b) x = 875; CMe mín (875) = R$ 2 750,00 e CTót (875) = R$ 2 406 250,00
c) Verificação
6. a) derivando 
b) custo médio
c) é nula
d) os custos fixos
e) mínimo
7. D
8. Demonstração
9. CMg(x1) = CMe(x1); 
 para 0 < x < x1 : CMg(x) < CMe(x); o gráfico do custo marginal fica abaixo do gráfico do 
custo médio; 
 para x > x1 : CMg(x) > CMe(x); o gráfico do custo marginal fica acima do gráfico do 
custo médio.
10. a) CT(0) ³ 0
b) CT ¢ (Q) > 0
c) CT ² (Q) < 0 para 0 £ Q < Q ¢ e CT ² (x) > 0 para Q > Q ¢
11. 
x Cme (x) Cmg (x) CT (x)
0 – 500 a) 47 900
10 b)10 080,00 c) 10 080 d) 100 800
19 e)12 122,05 18 702 230 319
20 f )12 475,00 19 660 249 500
g) 10 
h) 0 
i) custo médio 
j) R$ 10 080,00
k) R$ 18 702,00
l) 10
m) R$ 19 181,00
n) não é vantajoso 
o) R$ 47 900,00
p) menor 
q) cima 
r) < 
s) sempre
t) 10
 Gabarito 103
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. 
x Cme (x) Cmg (x) CT (x)
0 – 18 a) 841
29 b) 76 c) 76 d) 2 204
30 e) 76,03 78 2 281
31 f ) 76,13 80 2 360
g) 29 
h) 0 
i) custo médio 
j) R$ 76,00
k) R$ 78,00
l) 29
m) R$ 77,00 
n) é vantajoso 
o) R$ 841,00
p) maior 
q) cima 
r) 29
2. 
x Cme (x) Cmg (x) CT (x)
40 192 100 7 680
41 190 150 7 790
50 180 175 9 000
51 177 177 9 027
a) redução
b) R$ 7 680,00
c) R$ 100,00
d) R$ 180,00
e) 51
f) 51
g) ótimo
h) R$ 110,00
i) cima
j) aumento
104 Aplicações da matemática
3.
x Cme (x) Cmg (x) CT (x)
0 – 8 a) 361
12 b) 50,08 32 601
13 c) 48,77 34 634
19 d) 46 e) 46 f ) 874
g) R$ 33,00
h) R$ 46,00
i) 0
j) custo médio
k) R$ 32,00 
l) 19
m) 19
n) R$ 361,00
o) 19
p) cima 
4. 
x Cme (x) Cmg (x) CT (x)
0 a) - 0,0400 b) 800,00
1 000 1,0400 0,4400 c) 1 040,00
1 001 1,0394 0,4404 d) 1 040,44
2 000 0,8400 e) 0,84 f ) 1 680
g) mínimo 
h) 2 000
i) podemos
j) 0,44
k) custo médio
l) 1001a
m) R$ 1 680,00
n) R$ 0,44 
o) R$ 1 040,00
p) para cima
q) ótimo
r) 1001a
 Gabarito 105
5. a) x = 1,05
b) 
1 2 3 4 5
−2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0
C
Me
x1,05
3,10
COnDições PArA LUCrO TOTAL máximO
ExErcícios E problEmas propostos
1. 
Pontos A (0, CF)
b (0, 0) Receita total nula para venda nula (x = 0).
C BEP Lucro zero ou RT = CT
D Ponto de inflexão do custo total ou CMg mínimo
e Ponto de máximo da receita total
f BEP Lucro zero ou RT = CT
G Receita total nula para preço nulo (y = 0).
segmento Lucro total máximo
2. a) R$ 15,00
b) R$ 24,00
3. a) x = 27,5
b) yótimo = 875
c) Sim. Do ponto de vista da receita total, temos receita crescente em x = 16; do ponto 
de vista de lucro máximo, também vale a pena se dirigir ao ponto de máximo do lucro 
que ocorre em x = 20. Do ponto de vista do custo médio unitário, ele é mínimo para 
x = 19,11, então também é interessante produzir mais uma unidade além das 16.
d) CMg (16) = 183; CT (17) - CT (16) = 5 618 - 5 416 = 202; CMe (16) = 338,50 e 
CMe (17) = 330,47
106 Aplicações da matemática
4. a) LT(x) = -2x2 + 256x - 5 600
b) 28 < x < 100
c) R$ 64,00
d) R$ 2 592,00 e 72 cartuchos
5. a) 800
b) 637,50
6. D
7. a) R$ 20 250,00
b) R$ 2 850,00
8. B
9. C
10. D
11. LT(x) = -20x2 + 250x - 100
12. C
13. a) x = 58,75
b) LTmáximo (30) = 50 500
c)Sim. Do ponto de vista da receita total, temos receita crescente em x = 10; do ponto 
de vista de lucro máximo, também vale a pena se dirigir ao ponto de máximo do 
lucro que ocorre em x = 30. Do ponto de vista do custo médio unitário, ele é míni-
mo para x = 21,31, então também é interessante produzir mais uma unidade além 
das 10.
d) CMg (10) = 325 ; CT (11) - CT (10) = 12 081 - 11 750 = 331; CMe (10) = 1 175,00 
e CMe (11) = 1 098 ,27
14. B
15. D
16. C
17. C
18. a) yótimo = 900
b) (20, 15 250)
c) Não. Do ponto de vista da receita total, temos receita máxima em x = 30; do ponto 
de vista de lucro máximo, também não vale a pena, pois já passamos do ponto de 
máximo do lucro que ocorre em x = 20. Do ponto de vista do custo médio unitá-
rio, ele é mínimo para x = 17,17, então também não é interessante produzir mais 
uma unidade além das 30.
d) CMg (30) = 1 600; CT (31) - CT (30) = 20 916 - 19 250 = 1 666; CMe (30) = 641,67 
e CMe (31) = 674,71
19. 
a) V b) F c) V d) V e) F f) V g) V
 Gabarito 107
20.
x rmg (x) Cmg (x) Lmg (x)
0 4 000 1 000 3 000
24 a)2 320 b)1 288 1 032
25 2 250 c)1 375 875
30 d)1 900 e) 1 900 f ) 0 
g) R$ 1 375,00
h) Lucro total
i) – R$ 8 000,00
j) R$ 8 000,00
k) R$ 1 032,00
l) 30
m) 57
n) 26a
o) R$ 954,00
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. a) F; RMg(1 000) > CMg(1 000)
b) F; RMg(3 000) < CMg(3 000)
c) F; RMg(2 000) = CMg(2 000)
2. a) d = −10p + 280
b) l(p) = −10p2 + 300p - 1 250
c) p = R$ 15,00
3. 
x LT (x) Lmg (x)
0 a) −10 0
6 b) 278,00 48
7 c) 304,42 d) 0
8 e) 267,33 f ) -80
g) 10 
h) ótimo 
i) 7 
j) −10
k) máximo
l) 9a 
m) 7 
n) 7
o) R$ 304,42
p) R$ 48,00
q) R$ 26,42
108 Aplicações da matemática
4. 
x LT (x) Lmg (x)
0 a) -8 000 3 000
30 b) 50 500 c) 0
40 d) 40 000 – 2 200
41 e) 37 674 f ) -2 453
g) – 2 200 j) R$ 3 000,00
h) ótimo k) 2 326,00
i) 42a 
5. 
x LT (x) Lmg (x)
0 a) −100 0
6 b) 188 48
7 c) 214,42 d) 0
8 e) 177,33 f ) -80
g) 100 l) LT
h) 7 m) 7
i) (0, −100) n) R$ 214,42
j) LMg o) local
k) 7a 
6. a) 3
b) R$ 30,50
c) R$ 43,25
d) – R$ 7,67
e) 2,8
f) 16,05 R$/unidade
g) R$ 44,94
h) CMg(3) = 17 R$/unidade
i) CT(4) - CT(3) = 20,17 R$/unidade
j) CMe(2) = 16,54 R$/unidade
 CMg(2) = 14 R$/unidade
 CMg(2) < CMe(2)
 Sim, deve produzir.
7. a) F; em B temos o lucro total igual a zero
b) F; em E temos um ponto de mínimo local
c) F; o custo fixo dessa empresa é igual ao módulo da ordenada do ponto A
d) F; em D o lucro é máximo
e) V
 Gabarito 109
f) V
g) F; nada se pode afirmar
h) F; após o ponto D temos LMg < 0
i) V
8. a) Receita total
b) custo fixo ; R$ 8 000,00
c) x = 30
d) 50 500
e) (10, 16 000)
f) R$ 4 000,00
g) CMe(x) = x
2 - 30x + 1 000 + 8000
x
h) CMg(x) = 3x
2 - 60x + 1 000
i) positivos
j) x = 30 
k) negativo
l) 10
m) R$ 88 500,00
n) R$ 700,00
o) R$ 2 565,00
p) CMg(20) = 1 000 e CMe(20) = 1 200; sim, deve ser recomendada, pois CMg(20) < CMe(20).
q) A abscissa do ponto de mínimo do custo médio é maior do que 20, pois em 20 o 
custo médio está decrescendo.
r) y = −35x + 4 000
s) Sim, pois CF = 8 000 e CV(x) = x3 - 30x2 + 1 000x = x(x2 - 30x + 1 000)
9. a) Não, pois o gráfico apresenta pontos inferiores à ordenada de A. A é mínimo local.
b) Prejuízo igual ao montante do custo fixo.
c) Não, C é um BEP.
d) Negativo.
10. D
11. C
12. a) x = 200
b) yótimo = 192 100 e LTMÀX (200) = 19 112 100
c) LT(100) - LT(99) = 96 279
d) x = 10
e) CMe mínimo (10) = 10 080; CTótimo (10) = 100 800
f) CMg (50) = 48 400 
g) CT(51) - CT(50) = 48 879 > CMg (50); concavidade para cima
h) CMg (50) > CMe (50) = 25 408; não deve produzir mais uma unidade
13. D
110 Aplicações da matemática
14.
x rmg (x) Cmg (x) Lmg (x)
10 261 150 a) 111
11 252 163 b) 89
12 200 200 0
13 215 230 c) −15
d) aumento i) não é
e) R$ 89,00 j) redução
f) R$ 111,00 k) desaceleração
g) decrescente l) 14a
h) 12
15. E
16. a) F; RMg (200) = CMg (200) é uma condição necessária para obter um ponto de máxi-
mo, mas não suficiente; nos pontos de mínimo ou de inflexão da função lucro essa 
igualdade também pode se verificar.
b) F; quando essa relação se verifica o lucro está crescendo - LMg(200) > 0 - e, então, 
ainda não atingiu seu máximo.
c) V; antes de x = 320 estimamos (CMg) que a próxima unidade custará menos do 
que vem sendo gasto em média com as unidades já produzidas (CMe). Sendo assim, 
o custo médio deve ser decrescente antes de 320. Após x = 320 estimamos (CMg) 
que a próxima unidade custará mais do que vem sendo gasto em média com as 
unidades já produzidas (CMe). Sendo assim, o custo médio deve ser crescente após 
x = 320. Então, em x = 320 temos um ponto de mínimo do CMe.
d) F; se CMg (350) > CMe (350), a 351a unidade deve elevar o custo médio e não reduzi-lo. 
e) F; o custo marginal calculado em 35 permite determinar uma estimativa do custo 
de produção da 36a unidade.
f) F; antes de x = x0 estimamos que a próxima unidade trará menos faturamento (RMg) 
do que custará para ser produzida (CMg). Sendo assim, o lucro deve ser decrescente 
antes de x0. Após x = x0 estimamos que a próxima unidade trará mais faturamento 
(RMg) do que será gasto para produzi-la (CMg). Sendo assim, o lucro deve ser crescen-
te após x = x0. Então em x = x0, temos um ponto de mínimo do lucro.
g) F; esta sentença seria V não fosse o conectivo ou; para que o lucro seja máximo 
precisamos das três condições ocorrendo simultaneamente - conectivo e.
h) V; a estimativa de lucro com a 101a unidade é negativa, assim o lucro diminuirá 
com a produção e venda da 101a unidade.
i) V; a estimativa de lucro com a 30a unidade é positiva, assim o lucro aumentará com 
a produção e venda da 30a unidade.
j) F; aqui se compara a estimativa do custo da 51a unidade com o custo exato dessa 
unidade; como a estimativa foi menor do que o custo exato, da elaboração da es-
timativa à efetiva produção da unidade, os custos cresceram mais rapidamente do 
que o previsto, atingindo valores mais elevados. A estimativa é composta pressu-
pondo que o ritmo se mantenha - pela reta tangente à curva - e o valor exato é o 
que se passa de fato - com a curva de custos totais. Desse modo só podemos ter a 
reta tangente abaixo da curva e, consequentemente, concavidade para cima.
 Gabarito 111
50 51
t
CT
x
 
CT(50) 
CT(51) 
CMg(50) 
k) V; se o item j é F, este só pode ser V.
l) F; f não pode representar custo total, pois f(0) = −3 000 = CF < 0 ??.
m) V; f pode representar uma função custo total, pois f(0) = 2750 = CF > 0; f é sem-
pre crescente - calcule a derivada primeira para verificar - cresce lentamente até 
certa produção e rapidamente após ela - calcule a derivada segunda verificando 
concavidade para baixo até certo x e para cima após ele). Toda função custo deve 
ter ao menos essas 3 características.
n) F; esse é o custo exato da 56a unidade; o custo exato da 55a unidade é CT(55) - CT(54).
o) F; o custo exato da 48a unidade é CT(48) - CT(47); o CMg(47) é uma estimativa do 
custo da 48a unidade.
p) V; RMg(x) = −3x
2 + 2x + 1; RMg(x) = 0 para x = 1 e para x = –1/3 - valor negativo 
que desprezamos. Como RMg (x) > 0 para 0 < x < 1 e RMg (x) < 0 para x > 1, temos em 
x = 1, um ponto de máximo da receita total. Como RT(x) = xy = x(–x2 + x + 1), 
temos y = -x2 + x + 1, para a função demanda ou função preço. Assim, para x = 
1, yótimo = -1
2 + 1 + 1 = 1.
q) F; RMg(x) = -60x + 1800; RMg(x) = 0 para x = 30. Como RMg (x) > 0 para 0 < x < 30 
e RMg (x) < 0 para x > 30, temos em x = 30, um ponto de máximo da receita total. 
Como RT(x) = xy = x(–30x + 1800), temos y = -30x + 1 800, como a função 
demanda ou função preço. Assim, para x = 30, yótimo = -30 · 30 + 1 800 = 900.
r) F; basta determinar LT(x) = RT(x) - CT(x) ou seja, LT(x) = −x2 + 980x - 4000 
e LMg(x) = −2x + 980. A derivada se anula para x = 490. Como LMg (x) > 0 para 
0 < x < 490 e LMg (x) < 0 para x > 490, temos em x = 490, um ponto de máximo 
do lucro total. x = 4 e x = 976 são valores que se obtêm zerando a função lucro - 
BEPs portanto - e não a derivada.
s) V; verjustificativa do item r.
112 Aplicações da matemática
CAPÍTULO 10
COnCeiTO De inTeGrAL: AnTiDerivADA
inTeGrAçãO De fUnções POLinOmiAis
ExErcícios E problEmas propostos
1. a) 5x + k, k Î Â h) 1 , k kx Â- + Î
 b) 
3
23 , 3
xx x k k Â- + + Î i) 4 33
1 4 , 33
x k k
x
Â- + + Î
 c) 23 5 , 2x x k k Â+ + Î
 j) Â- + Î
2
22 , 5 2
xx x k k
 d) 2x + x3 - 2x4 + k, k Î Â k) 2 2 , 3x x x k k Â- + Î
 e) 53 , 5x k k Â+ Î l) 
3 23 , 5x x k k Â+ Î
 f) 6 41 1 , 2 2x x k k Â- + Î m) 
22 2 , 5 3x x x x k k Â+ + Î
 g) x4 - x3 + 3x2 - x + k, k Î Â n) x2 t + k, x, k Î Â
2. C
3. 6 5 4 3 23 7 20 13 1200 , 2 5 3 2x x x x x x k k Â- + - + + + Î
4. 
4
3 27 107( ) 2 214 2 4
xg x x x x= + + + -
5. D
6. F(x) = x2 + 2x + 3
7. 
2
0 0 0 0( ) , a2
ats t s v t s ,v , Â= + + ∈
inTeGrAL DAs fUnções reCeiTA mArGinAL, CUsTO mArGinAL e LUCrO 
mArGinAL
ExErcícios E problEmas propostos
1. RT (x) = -5x2 + 15x
2. RT (x) = -10x2 + 1 000x
3. CT (x) = x3 - 6x2 + 14x + 8 000
4. CT (x) = 1 875 + 500x + 3x2
 Gabarito 113
5. LT (x) = -2x2 + 256x - 5 600
6. ( ) 100 2500LT x x x= - -
7. ( ) 500RT x x=
8. CT (x) = 1 444 + 708x + x2
9. y = -15x + 1 500
10. = + + = + + 2765 625( ) 1000 ; ( ) 1000 765 625MeC x x CT x x xx
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. Sendo k Î Â:
a) 2 32 3 2x x x k− + + i) 5 4
1 k
x
+
b) –1,3x6 + 2x5 + 2,4x3 + k j) 1 k
x
+
c) 
2
31,3
2
xx x k+ + + k) 3 2
4
1 x x k
x
+ +
d) pr2 + k l) 
4 3
5 3 6 4
2
x k
xx x
+ + + +
e) 34
3
r kp + m) 
2
9 33x k
x x
+ + +
f) 25 k
x
+ n) 1x kx
+ +
g) 1
4
k
x
+ o) ex + k
h) 
3
1 k
x
+ p) –cos x + k
2. B
3. LT(x) = -x3 - 5x2 + 3 000x - 8 000
4. (I) (c); (II) (a); (III) (b); (IV) (d)
5. RT(x) = -50x2 + 1 222x
6. a) determinar CT(x) por integral e dividir por x;
b) derivar CT(x);
c) dividir RT(x) por x;
d) subtrair o CT(x) da RT(x);
114 Aplicações da matemática
e) integrar RMg(x);
f) integrar RMg¢ (x) e integrar RMg(x);
g) subtrair CMg(x) da RMg(x);
h) multiplicar CMe(x) por x;
i) integrar LMg(x) e subtrair o CF;
j) subtrair o CMg(x) da RMg(x), integrar e subtrair CF do resultado;
k) integrar LMg(x) e substituir x0 para determinar a constante;
l) integrar RMe¢ (x) e multiplicar RMe(x) por x;
m) p = RMe(x);
n) integrar a RMg(x) e dividir por x;
o) dividir CT(x) por x e derivar o CMe(x).
7. (I) (b); (II) (a); (III) (c)
8. (a) (II); (b) (III); (c) (I)
9. RT(x) = -15x2 + 1 500x
10. 
4 3
245( ) 1 985 000 1 900 000
2 3 2
x xCT x x x= − − − +
CAPÍTULO 11
inTeGrAçãO POr sUbsTiTUiçãO
ExErcícios E problEmas propostos
1. k Î ℜ
 a) 
2 2(5 10) 
20
x k+ + g) 
4( 9)
4
x k− +
 b) 
3 2( 5)
6
x k+ + h) 
3 2( 1) 
2
x x k+ + +
 c) 
3 2(5 5)
6
x k+ + i) 
4 3 2( 2 4 )
4
x x x k+ − +
 d) 
2 2(7 14 )
28
x x k+ + j) 
235 51 
5 2 4
xx k
 
+ + 
 
 e) 
2 2( 2 6)
4
x x k− + + k) 
3 4( )
2
x x k− +
 f) 
6( 1)
2
x k+ + l) 
3 4( )
4
x x k− +
 Gabarito 115
2. C
3. 
6( 5)( ) 286
xF x -= -
4. k Î ℜ
 a) 5
5
x
k
ln
+ c) 
2sen 
2
x k+ e) 
2tg 
2
x k+
 b) 25 ln x + k d) sen x + k f) 
4sen 
2
x k+
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. k Î ℜ
 a) 535
4
x x k+ i) 3 32 ( 1) 1
3
x x k+ + +
 b) 1 (2 1) 2 1
3
x x k- - + j) 2 21 ( 1) 1
3
x x k- - +
 c) 31 ( 3 8) 3 8
4
x x k- - + - + + k) 
3
2 233 4 ( 2 )
8
x x k+ +
 d) 231 (3 2)
2
x k+ + l) 
3 2( )
2
x x
k
+
+
 e) 2 233 ( 1) ( 1)
8
x x k+ + + m) 32 23 ( 1) 1
4
x x k- - +
 f) 2 22 ( 3 2) 3 2
3
x x x x k+ + + + + n) 3 2ln x x x k+ + +
 g) 61 ( 9)
6
x k- + o) 1ln x k- +
 h) 3 4ln x k- + p) ln|x| + k
inTeGrAçãO POr PArTes
ExErcícios E problEmas propostos
1. k Î ℜ
 a) 
22
2 4
x xln x k- + c) 3 1
3 3
x
x k
ln ln
æ ö÷ç - +÷ç ÷÷çè ø
 b) –xsen x - cos x + k d) sen x - xcos x + k
116 Aplicações da matemática
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. k Î Â
a) (x9 + x6 + 1)1000 + k
b) (3x - 6)5(x + 2)5 + k
c) (x5 + x3 + 1)3 + k
d) 2 9x k− +
e) (2x - 1)2 (2x + 1)2 + k
f) 1( 1)
k
x x
+
+
g) (x + 2)9(x2 + 5x + 6) + k
h) 21 ln(1 )
2
x k+ +
i) 21cos
2
x k− +
j) 2
1
2( 1)
k
x
− +
−
k) 1 1 sen 2
2 4
x x k+ +
l) (3x + 2) sen x + 3 cos x + k
CAPÍTULO 12
inTeGrAL DefiniDA
ExErcícios E problEmas propostos
1. a) 3 f) 165 k) 1
6
 
 b) 16 g) 16 l) 18
 c) 12 h) 
1
2 m) 
33 2
2
 d) 23 i) 
14
3 n) 0
 e) 0 j) – 1
6
 o) –2
2. a) 3 b) 16 c) 12 d) 16
 Gabarito 117
áreA De reGiões LimiTADAs POr CUrvAs
ExErcícios E problEmas propostos
1. B
2. 193
3. 415
 
5x + y – 3 = 0
y = x + 1
y = –x + 1
A B
C
D
x
y
3
5
1
2
3
1
0
4. A
5. D 
6. A 
7. a) 3
 
−1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
y
x0
118 Aplicações da matemática
 b) 16
 
−1 1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
x0
 c) 12
 
−1 1
1
2
y
x
0
 Gabarito 119
 d) 23
 
−1 1
1
2
y
x0
 e) 12
 
−1
1
−1
1
y
x0
120 Aplicações da matemática
 f) 165
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3
−30
30
60
90
120
150
180
210
240
y
x0
 g) 16
 
−3 −2 −1 1 2 3
−2
2
4
6
8
y
x0
 Gabarito 121
 h) 12
 
−3 −2 −1 1 2 3
−2
2
4
6
8
y
x0
 i) 143
 
−1 1 2 3
−2
2
4
6
8
y
x0
3
122 Aplicações da matemática
 j) 1
6
 
−1 1 2 3 4 5
−2
2
4
6
8
y
x0
 k) 1
6
 
−1 1 2 3 4 5
−2
y
x0
 Gabarito 123
 l) 18
 
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
1
2
3
4
5
y
x0
 m) 
33 2
2
 
1 2 3
1
2
y
x0
124 Aplicações da matemática
 n) 2
 
1
2 3
−1
1
2
y
x0
 o) 2
 
1 2 3
4 5
−1
1
2
y
x0
 Gabarito 125
8. a) 112
 
1
1
x0
y
 b) 12
 
−1 1 2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y
x0
126 Aplicações da matemática
 c) 18
 
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
1
2
3
4
5
6
y
x0
 d) 168
 
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
20
30
40
y
x0
 Gabarito 127
 e) 10
 
−1 1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x0
y
 f) 
2048
3
 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
−70
−60
−50
−40
−30
−20
−10
10
20
30
40
50
60
70
y
x0
128 Aplicações da matemática
 g) 23
 
−2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
y
x0
 h) ln 2
 
−2 −1 1 2 3 4
−2
−1
1
2
3
4
5
y
x0
 Gabarito 129
 i) 120
 
−1 1 2 3
1
y
x0
 j) 
æ ö÷ç- ÷ç ÷÷çè ø
209 15162 4ln
 
−15 −10 −5
5 10 15
−20
−10
10
20
y
x0
4
130 Aplicações da matemática
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. E
2. a) 110
 
1 2
1
x
0
y
 b) 13
 
1 2
1
x0
y
 Gabarito 131
 c) 643
 −2 −1 1 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x0
y
 d) 31
6
 
−2 −1 1 2
−1
1
2
3
4
5
6
x0
y
132 Aplicações da matemática
 e) 54
 
−2 −1 1 2
−1
1
2
3
4
5
6
x0
y
 f) 18910
 
−2 −1 1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
x0
y
 Gabarito 133
 g) 2 1-
 
−2 −1 1 2 3
−1
1
0 x
y
3. a) 12 b) 
9
10 c) 
99
100 d) 
999
1000
4. Respostas pessoais
5. D
APLiCAções DA inTeGrAL DefiniDA
ExErcícios E problEmas propostos
1. LTMÁX (20) = 11 000
2. LTMÁX (220) = 1 048 666,67
3. LT(xMÁX) + CF
4. LTMÁX (20) = 3 250
134 Aplicações da matemática
5. 
a) 1 800; 1 200
 
10 20 30 40
100
200
300
400
x
y
0
o
d
220
PE
 b) 1 876,90; 938,45
 
50 100 150 200 250
10
20
30
40
50
60
y
o
PE
0 x
d
137
29,5
15,80
56,90
 Gabarito 135
 c) 90,09; 150,16
 
5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
d
o
PE
y
0 x7,75
96,75
58
 d) 0,77; 1,33
 
1 2 3 4
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0 x
y
PE
o
d
136 Aplicações da matemática
 e) 1,00; 2,67
 1 2 3 4 5 6 7−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0 x
y
PE
o
d
ExErcícios E problEmas complEmEntarEs
1. a) PE (300, 36)
b) 900,00
c) 1 800,00
d) O “benefício maior” foi do consumidor ao comprar pelo preço de equilíbrio, por-
que 1 800,00 > 900,00.
2. a) PE (7 500; 62,50)
b) 140 625
c) 140 625
d) Os resultados são iguais.
3. E
4. 0,5708
5. D