Matemática nos Anos Iniciais

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SUMÁRIO 
 
UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO ............................ ......................................................... 2 
UNIDADE 2 – BREVE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA .......... ..................................... 5 
UNIDADE 3 – RECURSOS DIDÁTICOS E AVALIAÇÃO ........ ................................ 10 
UNIDADE 4 – OS JOGOS MATEMÁTICOS................... .......................................... 20 
UNIDADE 5 – A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS .............. ..................................... 25 
UNIDADE 6 – A GEOMETRIA PELOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS E PELO 
TANGRAN ........................................... ..................................................................... 35 
6.1 OS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS ................................................................................. 35 
6.2 EMPIRISMO, APRIORISMO, CONSTRUTIVISMO ......................................................... 38 
6.3 O TANGRAN ....................................................................................................... 43 
UNIDADE 7 – O MATERIAL DOURADO .................... ............................................. 47 
UNIDADE 8 – INTRODUZINDO A FRAÇÃO ................. ........................................... 53 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 59 
 
 
 
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UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO 
 
A matemática faz parte do nosso cotidiano desde os primórdios da 
humanidade e desde nossa infância. A criança muitas vezes começa a “contar” os 
números bem antes de entrar na escola, mas quando ali chega, parece que surge 
um bloqueio imediato para alguns deles e para outros a disciplina já é apresentada 
como “difícil”, mas será essa a verdade? Será a matemática a disciplina mais difícil 
para domínio? Se sim, como resolver esse problema? Se não, como desconstruir 
esse mito? 
Um ponto de partida para nossas análises e discussões é o entendimento que 
uma das maiores dificuldades dos professores na abordagem dos conteúdos 
matemáticos em sala de aula decorre da sua falta de compreensão desses 
conteúdos. Acreditamos que o professor precise, muitas vezes, reconstruir seu 
conhecimento matemático, ampliar sua compreensão desse conhecimento, ou seja, 
conhecer bem os conteúdos e as metodologias de ensino para estabelecer a relação 
entre o saber teórico e o saber prático na ação docente. 
Segundo Oliveira e Morey (2008), compreender a natureza dos conteúdos 
matemáticos, a partir do conhecimento da História da Matemática possibilita a 
compreensão do presente por meio do entendimento do passado. Assim, o 
professor terá condições de desmistificar a sua visão quanto ao conhecimento 
matemático, sua forma de ensinar e o modo como o aluno aprende. 
Compreender que teoria e prática sempre se renovam também é um 
elemento essencial para a formação do professor e nesse sentido, o professor 
precisa sempre investigar o ensino que pratica e, por outro lado, praticar o ensino 
que teoriza. 
De qualquer modo, o objetivo das aulas ministradas por um professor é de 
levar o aluno a compreender a importância da disciplina, nesta situação específica, a 
matemática, o que passa pela compreensão das dimensões lógica e histórica e 
chega à dimensão prática. 
Segundo Sad (2008, p. 4), particularmente, nas investigações e nos diálogos 
a respeito de noções matemáticas presentes no ensino, a história tem sido útil para: 
• Introduzir um conteúdo matemático, ou exemplificar; 
• Compreender as dificuldades de alguns conceitos; 
 
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• Agregar elementos às concepções de uma matemática elaborada por seres 
humanos, e, portanto, sujeita às condições socioculturais de produção, falível, 
sujeita a críticas; 
• Questionar a hegemonia dos estudos da história da matemática sob o ponto 
de vista somente de culturas dominantes (como a europeia), incentivando os 
estudos e investigações das produções matemáticas de outras culturas, como 
a nossa; 
• Articular a matemática com outras ciências; 
• Relacionar e unificar os ramos da matemática; 
• Mostrar a importância da notação simbólica (linguagem) na constituição das 
formas e estruturas matemáticas, no processo histórico de construção dos 
objetos matemáticos por diferentes culturas; 
• Saber situar a matemática cronologicamente: em relação aos produtores e à 
sua própria constituição, para poder compreender as condições de sua 
produção. 
Partindo das premissas acima, pretendemos mostrar que conhecer a história 
da matemática permite colocar em evidência, situações didáticas mais pertinentes 
para que o aluno consiga aprender sobre a formação do pensamento matemático, 
que fios condutores conduziram a sua constituição e como se deu a disseminação 
deste pensamento em diferentes contextos culturais, tornando sua prática 
pedagógica mais proveitosa e efetiva. 
É preciso conhecer a história da matemática para compreender os 
conhecimentos atuais e mediar com segurança o processo de ensino-aprendizagem. 
Vamos recordar a história da matemática; mostrar que a matemática tem 
relações e influencia outras ciências e todas as sociedades e vamos dimensionar 
sua importância para a formação do professor, isto porque o professor de 
matemática precisa ensinar seu aluno a pensar de forma superior, ou seja, 
combinando o pensamento crítico (raciocínio e julgamento) com o pensamento 
criativo que envolve habilidade, talento e também um julgamento criativo. 
Logo, ao utilizar a história da matemática na sala de aula, como recurso 
pedagógico, tendo como objetivo uma ação problematizadora e não somente de 
forma narrativa, descritiva ou biográfica, o professor estará contribuindo com o 
 
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desenvolvimento do pensamento crítico e criativo do seu aluno e frisamos, para que 
isso seja possível, ele precisa conhecer a matemática do passado, o que irá 
melhorar sua compreensão para poder ensinar com segurança. 
Além de uma breve mas clara exposição da história da matemática, veremos 
alguns recursos didáticos e a avaliação matemática; os jogos; a resolução de 
problemas; a utilização dos sólidos geométricos e da Tangran no ensino da 
geometria; o material dourado e a introdução da fração nas séries iniciais do Ensino 
Fundamental. 
Esperamos que apreciem o material e busquem nas referências anotadas ao 
final da apostila subsídios para sanar possíveis lacunas que venha surgir ao longo 
dos estudos. 
Ressaltamos que embora a escrita acadêmica tenha como premissa ser 
científica, baseadaem normas e padrões da academia, fugiremos um pouco às 
regras para nos aproximarmos de vocês e para que os temas abordados cheguem 
de maneira clara e objetiva, mas não menos científicos. Em segundo lugar, 
deixamos claro que este módulo é uma compilação das ideias de vários autores, 
incluindo aqueles que consideramos clássicos, não se tratando, portanto, de uma 
redação original. 
 
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UNIDADE 2 – BREVE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA 
 
Viajar através da história nos leva a entender a evolução da matemática, dos 
seus primórdios até os conhecimentos atuais e porque se ensina este ou aquele 
assunto, nesta ou naquela série ou ciclo. 
Nosso ponto de partida situa-se no Egito, quando a matemática era 
essencialmente prática. Esse período foi considerado de baixo nível intelectual, 
científico e matemático. Na Mesopotâmia, a matemática desenvolveu-se graças aos 
sacerdotes, tendo um nível um pouco mais elevado de conhecimento do que os 
egípcios. Na Grécia antiga, os matemáticos começaram a trabalhar com o princípio 
da indução lógica que foi o início da axiomática. Dos conhecimentos rústicos e 
práticos, a matemática evoluiu igual e juntamente com as sociedades antigas. 
Segundo Ohse (2008), nos séculos XV e XVI a invenção da imprensa de tipos 
móveis1 acelerou a difusão dos conhecimentos matemáticos, pois até então os 
conceitos matemáticos centrados na Itália, em cidades mercantis e portuárias, 
puderam ser disseminados pelo mundo. Já nos séculos XVII e XVIII, cresce a 
pesquisa matemática. 
A astronomia, a navegação, o comércio, a engenharia e a guerra fizeram com 
que as demandas por cálculos rápidos e precisos crescessem rapidamente. Quatro 
invenções contribuíram muito para este progresso: notação indo-arábica, frações 
decimais, logaritmos e modernos computadores (OHSE, 2008, p. 10). 
Existem várias relações e influências da matemática sobre outras ciências e 
sobre a sociedade, o que podemos observar por meio dos estudos de Mafra e 
Mendes (2002). 
A história tem um papel significativo nos processos cognitivos das crianças 
que estão nas séries iniciais, pois contribui para o desenvolvimento do raciocínio a 
partir da resolução de problemas e da prática investigativa. Por isso, ao se utilizar 
problemas históricos para desenvolver conteúdos matemáticos são propiciados 
momentos de reflexões e análise acerca dos pensamentos utilizados pelos 
 
1 Tipo , na área da tipografia, refere-se aos tipos móveis das prensas mecânicas para impressão de 
textos. Podem ser feitos de dois materiais: os tipos de metal (ou tipos fundidos) e de madeira. Tipo é, 
também, o termo referente aos caracteres das letras. 
 
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estudiosos, naquele período histórico, como também reforçando o elemento 
motivador que surge na ação cognitiva da busca de solução do problema proposto. 
Segundo Oliveira e Morey (2008, p. 5), a inclusão de textos históricos que 
abordam temáticas diferenciadas, como por exemplos: a participação da mulher na 
construção do conhecimento matemático; a vida e obra de matemáticos da história; 
a origem e significado de termos matemáticos; curiosidades e recreações 
matemáticas, entre outros, parecem muito relevantes, tendo em vista o despertar do 
interesse do aluno em estudar a matemática, mas é preciso ressaltar que não 
devem aparecer somente como ornamentação, é preciso ser contextualizado, 
utilizado como fonte de investigação e reconstrução dos conhecimentos 
historicamente produzidos. 
Mendes (2001, p. 32) explica muito bem a utilização da história da 
matemática como recurso de ensino ao ressaltar que o professor poderá usá-la 
como fonte de enriquecimento pedagógico e conduzir suas atividades num caminhar 
crescente, em que o aluno investigue, discuta, sintetize e reconstrua as noções 
matemáticas anteriormente vistas como definitivas sem que o aspecto histórico 
tivesse sido usado para despertar o interesse de quem as aprende. 
Para Oliveira e Morey (2008), as ideias de Mendes (2001), sobre o uso da 
história da matemática em sala de aula, consideram que os aspectos históricos 
aliados às atividades de ensino e a aprendizagem reforçam um caráter construtivo e 
favorável à compreensão dos conteúdos matemáticos, fazendo com que os alunos 
entendam o caráter investigativo presente na origem, organização e disseminação 
desses conteúdos ao longo do seu percurso histórico. 
As mesmas autoras acreditam que a história pode se incorporar no dia-a-dia 
da sala de aula, na medida em que possibilita a explicação de diversos porquês que 
os alunos costumeiramente fazem acerca dos conteúdos matemáticos, como 
também para reforçar a importância do elemento histórico na redescoberta de 
símbolos e conceitos matemáticos. 
Isso quer dizer que por meio do conhecimento histórico o aluno é capaz de 
pensar e compreender as leis matemáticas a partir de certas propriedades e 
artifícios usados hoje e que foram difíceis de descobrir em períodos anteriores ao 
que vivemos. Ele deve participar da construção do próprio conhecimento de forma 
 
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mais ativa e crítica possível, relacionando cada saber construído com as 
necessidades históricas e sociais nele existentes (MENDES, 2001, p. 57 apud 
OLIVEIRA E MOREY, 2008, p. 7). 
Sobre as relações com outras ciências e a sociedade, 
 
a história serve para situar a matemática como uma manifestação cultural 
de todos os povos em todos os tempos, como a linguagem, os costumes, os 
valores, as crenças e os hábitos, e, como tal, diversificada nas suas origens 
e na sua evolução (GUTIERRE, 2004, p. 172). 
 
Enfim, os fatos históricos poderão ser utilizados como um elemento 
provocador da construção do conhecimento por parte do aluno. 
Vamos abrir um pequeno parêntese para elencar o que cabe ao professor, em 
relação a sua formação e com os conhecimentos matemáticos. Cabe a ele 
desenvolver a capacidade de: 
• Conhecer os fundamentos teóricos, científicos e técnicos necessários ao bom 
desempenho da função docente, tendo clareza dos princípios éticos, 
estéticos, legais e políticos que baseiam a sua atuação como profissional e 
cidadão; 
• Reconhecer e respeitar a diversidade manifestada pelos seus alunos, 
buscando alternativas didáticas que viabilizem aprendizagens significativas; 
• Compreender o papel social da escola e do professor, dominar os conteúdos 
de ensino, dos meios (instrumentos) e procedimentos didáticos, organizando 
e administrando situações de aprendizagem; 
• Promover a articulação entre a teoria e prática envolvendo conhecimentos, 
habilidade, valores e atitudes; 
• Investigar o contexto educativo analisando a sua própria prática profissional, 
tomando-a continuamente como objeto de reflexão; 
• Saber trabalhar no coletivo; 
• Participar de associações da categoria, de eventos científicos, cultural e 
sindical; administraro seu crescimento profissional, num diálogo permanente 
entre os diferentes saberes, através de uma postura interdisciplinar; 
• Ter uma visão globalizada acerca das questões que envolvem o trabalho 
docente e autonomia para tomar decisões (OLIVEIRA E MOREY, 2008, p. 3). 
 
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Voltando para a importância de conhecer a história da matemática, os 
Parâmetros Curriculares Nacionais de matemática (BRASIL, 1997, p. 45) ressaltam 
a utilização da história da matemática como um recurso pedagógico que permite 
revelar a matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e 
preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao 
estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e 
do presente. Desse modo, o professor tem a possibilidade de desenvolver atitudes e 
valores mais favoráveis do aluno diante do conhecimento matemático. 
Os PCN ainda reforçam as possibilidades didáticas da história da matemática 
quando inferem que a própria história dos conceitos pode sugerir caminhos de 
abordagem deles, bem como os objetivos que se pretendem alcançar com eles. Por 
exemplo, isso fica evidente quando se percebe que a ampliação dos campos 
numéricos historicamente está associada à resolução de situações-problema que 
envolvem medidas. Entretanto, essa abordagem não deve ser entendida 
simplesmente que o professor deva situar no tempo e no espaço cada item do 
programa de Matemática ou contar sempre em suas aulas trechos da história da 
Matemática, mas que a encare como um recurso didático com muitas possibilidades 
para desenvolver diversos conceitos, sem reduzi-la a fatos, datas e nomes a serem 
memorizados (BRASIL, 1997, p. 43). 
A história sempre aparece como um fator motivador, principalmente para o 
aluno, pois o situa no tempo e no espaço, sendo um modo de despertar seu 
interesse aos conteúdos, não sendo diferente com a matemática. 
De todo modo, o professor de matemática precisa estar seguro, dominar os 
conteúdos e chegar em sala de aula com propostas interdisciplinares para que seus 
alunos sintam segurança e sejam motivados a aprender. 
A história da matemática tem servido para alguns pesquisadores como 
motivação para o trabalho com o desenvolvimento de diversos conceitos 
matemáticos. Esta linha de trabalho parte do princípio de que o estudo da 
construção histórica do conhecimento matemático leva a uma maior compreensão 
da evolução do conceito, enfatizando as dificuldades epistemológicas inerentes ao 
conceito que está sendo trabalhado. Essas dificuldades históricas têm se revelado 
 
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as mesmas muitas vezes apresentadas pelos alunos no processo de aprendizagem 
(D’AMBRÓSIO, 1989, p. 4). 
A fala da autora acima aconteceu há mais de 20 anos, entretanto podemos 
observar que condiz muito com a realidade atual, ou seja, ainda hoje existem 
obstáculos para compreensão dos conteúdos abordados pela matemática. Estas 
dificuldades, provavelmente, são conduzidas para sua prática docente e são difíceis 
de serem superadas, pois estão embutidas nelas, as crenças e saberes adquiridos 
ao longo de suas experiências. 
Para Oliveira e Morey (2008), a formação dos professores de matemática 
acontece de forma fragmentada, ou seja, os conteúdos lhe são apresentados de 
forma fragmentada, o que os levam a ter uma visão também fragmentada, não 
havendo um estabelecimento de integração, o que ao final, não deixa de fornecer 
conhecimento, mas de forma compartimentalizada. 
Nessa perspectiva, a história da matemática pode ser encarada como um 
recurso que contribuirá na compreensão dos conceitos matemáticos e na visão da 
matemática como resultado da ação humana. 
Abordar o conhecimento matemático, partindo de elementos históricos, 
modifica a didática do professor e, por conseguinte, sua dinâmica da sala de aula, 
por propiciar ao aluno momentos de reflexão e aprendizagem acerca da natureza do 
conhecimento matemático, tomando como base as ideias ancoradas nas 
informações históricas (OLIVEIRA E MOREY, 2008, p. 8). 
Enfim, conhecer e utilizar a história da matemática nas aulas de matemática, 
facilita a compreensão dos fatos históricos, busca-se também estabelecer a inter-
relação entre os conhecimentos das áreas dos Estudos Sociais e da Matemática no 
que se refere às antigas civilizações e, o mais importante, permite colocar em 
evidência situações didáticas mais pertinentes para que o aluno consiga aprender 
sobre a formação do pensamento matemático, que fios condutores conduziram a 
sua constituição e como se deu a disseminação deste pensamento em diferentes 
contextos culturais (OLIVEIRA E MOREY, 2008). 
 
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UNIDADE 3 – RECURSOS DIDÁTICOS E AVALIAÇÃO 
 
Dentro do campo pedagógico, encontramos inúmeras questões que precisam 
ser refletidas e discutidas para que o processo ensino-aprendizagem obtenha o 
sucesso desejado. Dentre essas questões, tem-se o “como ensinar”, como trabalhar 
adequadamente os conteúdos para que sejam compreendidos significativamente 
pelos alunos, isto é, quais recursos didáticos são melhor aproveitados pelo aluno. 
Neste sentido e concordando com Valladares (s.d apud Melo, 2008), a 
formação matemática básica ajuda a compreender fatos da vida, dos mais simples 
aos mais complexos. Os conhecimentos dessa matéria adquiridos na escola são 
incorporados como uma cultura matemática, mas é preciso que as pessoas 
entendam o porquê e para quê usá-la. 
Sobre a importância da matemática para a aprendizagem e o 
desenvolvimento do ser humano, pode-se dizer que a aprendizagem nada mais é 
que um processo de ajustamento ao meio, concebendo um modelo profundamente 
biológico, influenciado pela teoria da seleção natural de Darwin. Este processo, 
composto por dois mecanismos básicos alternativos, a saber, a assimilação e a 
acomodação são regulados pelo processo de equilibração. 
 Piaget (s.d. apud SOUSA, 2008) fala ainda que toda necessidade tende 
primeiro a incorporar as pessoas e as coisas na atividade própria do sujeito, 
portanto, assimilar o mundo exterior às estruturas já construídas e, segundo, a 
reajustar estas em função das transformações sofridas, portanto, acomodá-las aos 
objetos externos. 
Enfim, o uso diário da matemática, a apresentação de informações através de 
gráficos, são um lugar-comum no dia-a-dia do ser humano, tendo em algumas 
situações, um caráter desafiador, provocando excitação e satisfação. 
Por outro lado, ela é árida e “calculista”; contudo, se o indivíduo ou a criança 
desde a mais tenra idade for levada a entendê-la, compreender os seus porquês, 
desenvolver seu raciocínio, terá mais chances de resolver problemas nessa 
sociedade exigente de pessoas que pensem por si só. Isso leva a inferir que aqueles 
que conseguem incorporar os processos falados acima, terão mais chance de 
sobrevivência e sucesso no mundo atual.Todos os direitos são reservados ao Grupo Prominas, de acordo com a convenção internacional de 
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Uma vez que a matemática nos primeiros anos do Ensino Fundamental 
acarreta as causas principais do baixo rendimento escolar, um fato que provêm do 
processo ensino-aprendizagem, é preciso mais uma vez focar no professor e levá-lo 
a adquirir subsídios para o aprimoramento de sua prática pedagógica, tornando-a 
mais eficiente e prazerosa (BRASIL, 1997). Para que possa realizar um trabalho 
eficiente, educador e educandos têm que estar dispostos a mudarem em relação à 
forma como é visto o conteúdo Matemática, nas salas de aula. 
O processo deve estar totalmente voltado para a aquisição da construção do 
conhecimento e consequências no ensino. A construção do conhecimento expressa 
a maneira que cada indivíduo se posiciona perante a sociedade, interagindo-o com o 
meio (BRASIL, 1997). Na prática da sala de aula, o professor e os alunos devem 
desenvolver um trabalho coletivo relacionando o conhecimento do aluno ao 
aproveitamento das aulas. 
A metodologia, a relação professor-aluno, a avaliação, somam-se 
contribuindo para a formação de um sujeito ativo e interativo no processo de 
educação, fazendo com que a criança construa a sua própria visão do mundo, onde 
o professor complementa sua ação pedagógica ou maneira integrada com maior 
riqueza de recursos a serem utilizados em sala de aula e maior diversidade de 
atividades na situação ensino-aprendizagem (BRASIL, 1997). 
A realidade social é de grande importância para o sucesso da aprendizagem, 
o elo entre a matemática e a realidade deve permear o processo educativo, 
contribuindo para a socialização do conteúdo. O professor deve criar situações na 
sala de aula que exijam a participação dos alunos, de modo que estes sejam 
capazes de descobrir, construir, teorizar e perceber a natureza dinâmica do 
conteúdo matemático. 
Partindo do pressuposto acima, a proposta de trabalhar Matemática a partir 
do cotidiano, ganha ênfase pelo fato de estar trabalhando um método que poderá 
facilitar o desenvolvimento lógico, a expressão, a comunicação e a interação. 
Segundo os PCN de Matemática, a sua lógica interna (da matemática) não 
deve ser baseada unicamente na seleção e organização do conteúdo, ou seja, é 
preciso levar em consideração a relevância social e a contribuição para o 
 
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desenvolvimento intelectual do aluno, pois trata-se de um processo permanente de 
construção. 
Para que o sujeito esteja, de fato, educado pela matemática, o professor tem 
como missão, estimular seus alunos a buscarem explicações e finalidades para as 
coisas. Ele deve discutir com os alunos as diversas utilidades da matemática, como, 
por exemplo, como e para que se desenvolveu e suas aplicações no cotidiano 
(BRASIL, 1997). 
Para atingir o objetivo proposto no PCN é preciso tornar o conhecimento 
matemático acessível e agradável, colaborar com a formação de cada aluno, para 
que ele se torne membro participante e crítico da sociedade em que vive, fazer o 
aluno pensar produtivamente e, para isso, nada melhor que lhes apresentar 
situações que o envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las. 
É preciso desenvolver no aluno a habilidade de elaborar um raciocínio lógico 
e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis para que ele possa propor 
boas soluções às questões que surgem em seu dia-a-dia, na escola ou fora dela. 
As rápidas mudanças sociais e o aprimoramento cada vez maior e mais 
rápido da tecnologia impedem que se faça uma previsão exata de quais habilidades, 
conceitos e algoritmos matemáticos seriam úteis hoje para preparar um aluno para 
sua vida futura. É preciso preparar o aluno para lidar com situações novas, 
quaisquer que sejam elas. E, para isso, é fundamental desenvolver nele iniciativa, 
espírito explorador, criatividade e independência. 
O ensino da Matemática deve ser organizado, levando-se em conta a 
natureza peculiar dessa matéria, os alunos aos quais ela se destina e os motivos de 
sua inclusão no currículo. 
Deve-se familiarizar o aluno gradativamente com o método matemático, dotá-
los de habilidades para lidar desembaraçadamente com os mecanismos do cálculo e 
dar-lhes condições para mais tarde saberem utilizar seus conhecimentos em 
situações de vida real. 
O professor deve estabelecer para cada aluno uma ponte entre o que ele já 
sabe e aquilo que vai aprender. Para que isso aconteça, as metodologias do 
professor devem ser diversificadas, indo do concreto (objeto ou imagem) ao 
abstrato; da rua à sala de aula; do óbvio (ou simples) ao complexo; do conhecimento 
 
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à descoberta; da expressão ao pensamento; do animado ao fixo; da cópia à 
criatividade e do usual à arte (MENDONÇA e TANCREDI, 2002). 
É primordial para o aluno que se estabeleçam relações entre os conteúdos 
ensinados em sala de aula, o saber matemático e as aplicações no seu cotidiano, ou 
seja, eles precisam desenvolver uma inteligência prática, aplicável no dia-a-dia. Isto 
os levará a desenvolver a capacidade de lidar com as atividades que requeiram o 
uso da matemática. 
Isso quer dizer que o conhecimento só é pleno se for mobilizado em situações 
diferentes daquelas que lhe foram apresentadas pela teoria, ou seja, o 
conhecimento precisa ser descontextualizado para, novamente, ser contextualizado 
sobre novas situações. 
Na atualidade, as relações professor-aluno e aluno-aluno não mais se 
apresentam na situação de o professor ser aquele que apresenta o conteúdo e o 
aluno aquele que recebe tais conhecimentos e aprende o conteúdo por reprodução. 
Ao contrário, hoje, a perspectiva é de considerar a criança protagonista da 
construção de sua aprendizagem, sendo o professor, organizador, consultor e 
mediador no processo, ou seja, ele fornece as informações necessárias que o aluno 
não tem como obter sozinho, fazendo explanações, oferecendo materiais, textos e 
promovendo a confrontação das propostas dos alunos, promovendo o debate 
necessário, orientando as reformulações e valorizando as soluções mais adequadas, 
que necessariamente podem não ser aquelas sugeridas por ele. 
Além da interação existente entre professor e aluno, a interação entre estes 
últimos tem papel fundamental na formação de suas capacidades cognitivas e 
afetivas. Enfim, na medida em que houver um ambiente de trabalho que estimule o 
aluno a criar, comparar, discutir, rever, perguntar, ampliar suas ideias, ou seja, na 
medida em que o trabalho for desenvolvido coletivamente, as perspectivas de uma 
aprendizagem efetiva terão mais chance de sucesso. 
Além da disposição de professores e alunos, o caminho para se trabalhar 
matemática em sala de aula passa pelos recursos didáticos utilizados, caminho este, 
que não é identificado como único ou o melhor, pois conhecer as diversas 
possibilidades de trabalho em sala de aula é fundamental para o professor construir 
 
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sua prática. Dentre elas, destacam-se a utilização de resolução de problemas, da 
história da matemática, das tecnologias da informação e dos jogos. 
Embora diga-se o contrário, nem todas as escolas, principalmente aquelas 
pertencentes ao Estado ou Município, possuem acesso à rede de tecnologias 
(computadores, calculadoras, etc.), contudo, o uso das tecnologias abre novas 
possibilidades educativas, principalmente na sociedade globalizada na qual todos 
estão inseridos atualmente. 
No caso da calculadora, têm-se um ótimo recurso para verificação de 
resultados, de correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de 
autoavaliação, pois ao usá-la, o aluno tem a possibilidade de prestar atenção no que 
está acontecendo com os resultados obtidos e construir o significado desses 
números, além de não perder tempo com a mecanicidade das adições, subtrações, 
etc. 
Em relação ao jogo, além de ser um objeto sociocultural, ele possibilita a 
articulação entre o conhecido e o imaginário, desenvolvendo o autoconhecimento da 
criança, levando-as, ainda, a compreender e utilizar convenções e regras que são 
empregadas no processo de ensino-aprendizagem. 
 
Avaliação diagnóstica em matemática 
Um dos maiores propósitos da avaliação é ajudar os professores a entender 
melhor o que sabem os alunos e a tomar decisões significativas sobre atividades de 
ensino e aprendizagem (ZACHARIAS, 2008). 
Os métodos de avaliação e como a avaliação insiste em ser realizada, através 
da memorização de regras, de fatos, de fórmulas, de perguntas que requerem 
unicamente respostas numéricas, de práticas rotineiras, levanta questionamentos os 
mais variados, uma vez que percebe-se continuar sendo um mecanismo de 
exclusão daqueles alunos que não condizem com o padrão imposto através dos 
anos, ou seja, para a escola o aluno que não se sai bem nas avaliações é 
praticamente colocado de lado, ignorado e considerado um aluno que “não tem 
jeito”. 
O consenso aponta para a necessidade e essencialidade da avaliação na 
prática educativa, mesmo para o aluno, pois este fica informado sobre seu 
 
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direitos autorais. Nenhuma parte deste material pode ser reproduzida ou utilizada, seja por meios 
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recuperação de dados – sem o consentimento por escrito do Grupo Prominas. 
15
 
desempenho e onde estão as lacunas que precisa rever. Este consenso termina 
quando se define a avaliação, quando se abordam as maneiras de avaliar e com que 
níveis de exigência. Conforme Zabala, 
 
[ ]... é possível encontrar definições de avaliação bastante diferentes e, em 
muitos casos, bastante ambíguas, cujos sujeitos e objetos de estudo 
aparecem de maneira confusa e indeterminada. Em alguns casos, o sujeito 
da avaliação é o aluno; em outros, é o grupo/classe, ou inclusive o professor 
ou professora, ou a equipe docente. Quanto ao objeto da avaliação, às 
vezes, é o processo de aprendizagem seguido pelo aluno ou os resultados 
obtidos, enquanto outras vezes se desloca para a própria intervenção do 
professor (ZABALA, 1998, p. 195). 
 
Segundo Luckesi (2003), a avaliação é classificada em diagnóstica (realizada 
inicialmente pelo educador para diagnosticar os pontos fracos e fortes), formativa 
(realizada durante todo o processo de ensino-aprendizagem, sendo um termômetro 
para o professor e aluno saberem como o aprendizado está sendo desenvolvido) e 
somativa (geralmente em final de curso, sendo uma prova que fornece notas e a 
mais aplicada no ensino tradicional). 
Avaliação é uma apreciação qualitativa sobre dados relevantes do processo 
de ensino e aprendizagem que auxilia o professor a tomar decisões sobre o seu 
trabalho. Os dados relevantes se referem às várias manifestações das situações 
didáticas, nas quais o professor e os alunos estão empenhados em atingir os 
objetivos do ensino. A apreciação qualitativa desses dados, através da análise de 
provas, exercícios, respostas dos alunos, realização de tarefas, etc., permite uma 
tomada de decisão para o que deve ser feito em seguida (LIBÂNEO, 1994). 
No entendimento de Sant’Anna (1995), a avaliação escolar é o termômetro 
que permite avaliar o estado em que se encontram os elementos envolvidos no 
contexto. Ela tem um papel altamente significativo na educação, tanto que nos 
arriscamos a dizer que a avaliação é alma do processo educacional. [...] O que 
queremos é sugerir meios e modos de tornar a avaliação mais justa, mais digna e 
humana. 
A avaliação pode ser verificadora (que é a coleta de dados sobre o 
aproveitamento dos alunos, através de provas, exercícios e tarefas ou de meios 
auxiliares, como observação de desempenho, entrevistas, etc.); qualificadora (a 
comprovação dos resultados alcançados em relação aos objetivos e, conforme o 
 
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16
 
caso, atribuição de notas ou conceitos) e de apreciação qualitativa (a avaliação 
propriamente dita dos resultados, referindo-os a padrões de desempenho 
esperados) (LIBÂNEO, 1994, p. 196-7). 
A avaliação diagnóstica é realizada ao longo dos primeiros contatos do 
professor com a classe, no início do ano letivo. É essencial para conhecer cada 
aluno e suas necessidades. Acontece no primeiro momento, ou seja, no momento 
de observar o que os alunos já sabem, registrar as observações, para poder planejar 
as primeiras intervenções (CENP, 2008). 
A avaliação diagnóstica possui uma importância elevada no processo de 
ensino-aprendizagem. Luckesi (2003) argumenta que a avaliação deve ser 
diagnóstica, voltada para autocompreensão e participação do aluno. Ela funciona 
com um instrumento auxiliar de aprendizagem, para auxílio e não para aprovação ou 
reprovação do aluno, e ainda para conhecer problemas ou desvios do processo de 
ensino. 
Outro aspecto interessante é sobre a ideia de Luckesi (2003) da função da 
avaliação como instrumento de autocompreensão do professor, aluno e sistema de 
ensino, permitindo descobrir os desvios. O autor defende que a avaliação 
diagnóstica possui elevado valor didático, uma vez que permite uma correção de 
rumos do sistema de ensino, do professor e do aluno, durante o processo de ensino-
aprendizagem por meio da autocompreensão, e que para que esta ocorra, deve ser 
participativa, através de diálogo adequado com os alunos. 
A Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas vinculada à Secretaria 
de Educação do Estado de São Paulo (CENP, 2008) oferece algumas propostas 
para que seja realizada a avaliação diagnóstica no Ensino Fundamental. Dentre elas 
podem ser citadas: 
• A sondagem das ideias matemáticas, ou seja, quais conhecimentos os alunos 
têm a respeito da escrita dos números e quais recursos utilizam para 
representar os cálculos que fazem ao resolver situações problema; 
• A sondagem sobre a escrita dos números que envolve a proposta de ditado 
de números, pequenos e grandes; 
 
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17
 
• A sondagem sobre a escrita de números realizada de maneira individual, 
propondo um ditado de números, pequenos e grandes, sem ordem 
sequencial. 
Zacharias (2008) ressalta que existe uma diversidade de métodos de 
avaliação para melhor avaliar aos alunos individualmente, incluindo provas escritas, 
orais e demonstrações, as quais devem todas concordar com o currículo. Todos os 
aspectos do conhecimento matemático e suas relações devem ser valorizados e 
utilizados para ajudar o professor a planejar atividades de ensino e aprendizagem. 
O quadro abaixo oferece algumas dicas para o professor de matemática, 
apresentando onde se deve dar mais atenção e onde se deve reduzir, sempre 
favorecendo o processo de ensino-aprendizagem do aluno. 
 
AUMENTE DIMINUA 
Práticas de Ensino 
→ Uso de materiais manipuláveis. 
→ Trabalho de grupo cooperativo. 
→ Discussões sobre matemáticas. 
→ Questionar e realizar conjecturas 
→ Justificar o pensamento. 
→ Escrever sobre matemática. 
→ Solução de problemas como enfoque 
de ensino. 
→ Integração de conteúdos. 
→ Uso de calculadoras e computadores. 
→ Ser um facilitador da aprendizagem. 
→ Avaliar a aprendizagem como parte 
integral do ensino. 
→ Prática mecânica. 
→ Memorização mecânica de regras e 
fórmulas. 
→ Respostas únicas e métodos únicos 
para encontrar respostas. 
→ Uso de folhas de exercícios 
rotineiros Práticas escritas 
repetitivas. 
→ Prática da escrita repetitiva. 
→ Ensinar expondo oralmente. 
→ Ensinar a calcular fora de contexto. 
→ Enfatizar a memorização. 
→ Avaliar unicamente para classificar. 
→ Ser a fonte única do conhecimento. 
Matemáticas como Solução de Problemas 
→ Apresentação verbal de problemas 
com variedade de estruturas e de 
formas de solução. 
→ Problemas e aplicações da vida diária. 
→ Estratégias de solução de problemas. 
→ Problemas abertos e projetos de 
solução de problemas ampliados. 
→ Investigação e formulação de 
perguntas provenientes de problemas 
ou situações problemáticas. 
 
→ Uso de palavras-chave para 
determinar as operações a utilizar. 
→ Prática rotineira, problemas de um 
só passo ou nível. 
→ Prática de problemas categorizados 
por tipos. 
Matemáticas como Comunicação 
→ Discussões matemáticas. → Encher os espaços de folhas de 
 
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→ Leituras sobre matemáticas. 
→ Escrita sobre matemáticas. 
→ Escutar a exposição de ideias 
matemáticas. 
trabalho. 
→ Responder perguntas que somente 
necessitam como resposta sim ou 
não. 
→ Responder perguntas que requerem 
unicamente respostas numéricas. 
Matemáticas como Raciocínio 
→ Deduzir conclusões lógicas. 
→ Justificar respostas e processos de 
solução. 
→ Raciocinar indutiva e dedutivamente. 
 
→ Confiar na autoridade (mestre, folha 
de respostas). 
Conexões Matemáticas 
→ Conectar as matemáticas a outras 
matérias e ao mundo real. 
→ Conectar tópicos dentro do mesmo 
campo matemático. 
→ Aplicar as matemáticas. 
 
→ Aprender tópicos isolados. 
→ Desenvolver habilidades fora do 
contexto. 
Números/Operações/Cálculos 
→ Desenvolver sentido numérico e de 
operações. 
→ Entender o significado de conceitos-
chave como posição numérica, 
frações, decimais, razões, proporções 
e porcentagens. 
→ Várias estratégias para estimativas. 
→ Pensar estratégias para fatos básicos. 
→ Uso de calculadoras para operações 
de cálculo complexas. 
 
→ Uso exagerado e fora do tempo de 
notações simbólicas. 
→ Cálculos complexos e tediosos com 
lápis e papel. 
→ Memorização de regras e 
procedimentos sem entendê-los. 
Geometria / Medições 
 
→ Desenvolvimento de sentido espacial. 
→ Medições reais e os conceitos 
relacionados com unidades de 
medida. 
→ Uso de geometria em solução de 
problemas. 
 
→ Memorizar fatos e relações. 
→ Memorizar equivalências entre 
unidades de medida. 
→ Memorizar fórmulas geométricas. 
Estatística / Probabilidade 
→ Recoletar e organizar dados. 
→ Usar métodos estatísticos para 
descrever, analisar, avaliar e tomar 
decisões. 
 
→ Memorizar fórmulas. 
Padrões / Funções / Álgebra 
→ Reconhecimento e descrição de → Manipulação de símbolos. 
 
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padrões. 
→ Identificação e uso de relações 
funcionais. 
→ Desenvolvimento e utilização de 
tabelas, gráficos e regras para 
descrever situações. 
→ Utilização de variáveis para expressar 
relações. 
 
→ Memorização de procedimentos e 
exercícios repetitivos. 
Avaliação 
→ A avaliação como parte integral do 
ensino. 
→ Enfocar-se em uma ampla gama de 
tarefas matemáticas e optar por uma 
visão integral das matemáticas. 
→ Desenvolver situações de problemas 
que para sua solução requeiram a 
aplicação de um número de ideias 
matemáticas. 
→ Fazer uso de técnicas múltiplas de 
avaliação que incluam provas 
escritas, orais e demonstrações. 
→ Avaliar contando simplesmente as 
respostas corretas de provas ou 
exames realizados com o único 
propósito de aprovar ou reprovar. 
→ Enfocar-se em um amplo número de 
habilidades específicas e isoladas. 
→ Fazer uso de exercícios ou de 
problemas que requeiram para sua 
solução somente de uma ou duas 
habilidades. 
→ Utilizar unicamente provas escritas. 
 Fonte: Zacharias (2008) 
 
De qualquer maneira, é preciso ficar claro que as avaliações não são 
excludentes, cada uma tem sua função, servindo aos propósitos do momento, sendo 
a avaliação diagnóstica vital para que as demais tenham respostas positivas ao 
longo do processo de ensino-aprendizagem. 
A avaliação diagnóstica inicial possibilita o mapeamento da sala, podendo ser 
considerada um instrumento de ensino quando o professor utiliza as informações 
obtidas para planejar suas intervenções e deveria ser considerada com mais 
atenção e carinho por parte dos professores, pois a partir de sua correta e efetiva 
utilização ele estará abrindo portas e dando oportunidade de conhecer seus alunos e 
buscar o melhor caminho para que o processo de ensino-aprendizagem transcorra 
da forma mais tranquila e proveitosa para todos. 
 
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20
 
UNIDADE 4 – OS JOGOS MATEMÁTICOS 
 
As brincadeiras e os jogos são atividades primárias que levam prazer para as 
crianças além de proporcionar-lhes benefícios do ponto de vista físico, intelectual e 
social. O brincar facilita o crescimento e, portanto, a saúde, além de conduzir aos 
relacionamentos grupais, ou seja, está a serviço da comunicação do sujeito consigo 
mesmo e com os outros (WINICOTT, 1975). Cognitivamente, podemos evidenciar a 
importância do brincar e do jogo, como o desenvolvimento da operatividade, a 
elaboração do pensamento lógico. 
O ato de separar materiais segundo critérios estabelecidos, como por 
exemplo a textura, tamanho ou cor, faz com que as crianças trabalhembrincando 
com a classificação e seriação. 
Piaget (1946) entende que o jogo é uma forma de atividade particularmente 
poderosa para estimular a vida social e a atividade construtiva da criança. Descreve 
quatro estruturas básicas de jogos infantis, que vão se sucedendo e se sobrepondo 
nesta ordem: 
1. Jogo de exercício; 
2. Jogo simbólico/dramático; 
3. Jogo de construção; 
4. Jogo de regras. 
Como benefício físico, o lúdico satisfaz as necessidades de crescimento e de 
competitividade da criança. Os jogos lúdicos devem ser a base fundamental dos 
exercícios físicos impostos às crianças pelo menos durante o período escolar. Como 
benefício intelectual, o brinquedo contribui para a desinibição, produzindo uma 
excitação mental e altamente fortificante (BITTENCOURT; FERREIRA, 2002). 
Illich (1976) afirma que os jogos podem ser a única maneira de penetrar os 
sistemas formais. Suas palavras confirmam o que muitas professoras das séries 
iniciais comprovam diariamente, ou seja, a criança só se mostra por inteira através 
das brincadeiras. 
Como benefício social, a criança através do lúdico representa situações que 
simbolizam uma realidade que ainda não pode alcançar; através dos jogos 
simbólicos se explica o real e o eu. Por exemplo, brincar de boneca representa uma 
situação que ainda vai viver desenvolvendo um instinto natural. 
 
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21
 
Como benefício didático, as brincadeiras transformam conteúdos maçantes 
em atividades interessantes, revelando certas facilidades através da aplicação do 
lúdico. Outra questão importante é a disciplinar, quando há interesse pelo que está 
sendo apresentado e faz com que automaticamente a disciplina aconteça. 
Concluindo, os benefícios didáticos do lúdico são procedimentos didáticos 
altamente importantes; mais que um passatempo; é o meio indispensável para 
promover a aprendizagem disciplinar, o trabalho do aluno e incutir-lhe 
comportamentos básicos, necessários à formação de sua personalidade. 
Os jogos, no ensino da Matemática, não só estimulam o desenvolvimento do 
raciocínio lógico-matemático, como também propiciam a interação e o confronto 
entre diferentes formas de pensar. Eles permitem aos alunos vivenciarem uma 
experiência com características sociais e culturais, provocando a descentração, a 
aquisição de regras, a expressão do imaginário e a apropriação de conhecimentos. 
Jogando, os alunos vivem situações que, se comparadas a atividades 
repetitivas, exigem soluções vivas, pensadas, originais e rápidas. Por seu caráter 
lúdico, os jogos permitem que os alunos executem repetidas vezes diferentes 
cálculos (por exemplo, soma dos pontos de dois dados) de forma muito mais 
significativa do que ao efetuar uma lista de operações descontextualizadas. Eles 
permitem a exploração e a solução de problemas num ambiente relativamente livre 
de pressões e avaliações, ou seja, num clima bastante adequado à investigação e à 
busca de soluções. 
Os erros e fracassos durante os jogos, em geral, são encarados de maneira 
desafiante, permitindo que a criança desenvolva sua iniciativa, autoconfiança e 
autonomia (PADOVAN, GUERRA e MILAN, 2004). 
Para Kamii (2005, p. 41), o conhecimento lógico-matemático tem sua fonte no 
interior de cada criança e é elaborado por meio das ações mentais de cada uma 
delas. No campo lógico-matemático, portanto, as outras pessoas são importantes 
porque propiciam o surgimento de ocasiões para que as crianças pensem 
criticamente sobre suas próprias ideias em relação às ideias dos outros. 
Enfim, através de diversos jogos, a criança aprende matemática brincando. 
Como exemplos, podem-se citar os jogos numéricos que fazem com que as crianças 
adquiram capacidade de generalizar, analisar, discutir, pensar e argumentar. As 
 
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bolinhas de gude, jogos de futebol, vôlei e basquete, fazem com que a criança tenha 
a noção de espaço, formas geométricas e ângulos. Já os dados, dominós e baralho 
permitem às crianças a memorização dos números através dos meios de contagem, 
comparação e adição. O jogo de regras pode representar uma perturbação para a 
criança e contribuir assim para seu desenvolvimento, como destaca Brenelli (1996, 
p. 161): 
 
Quando a criança modifica sua maneira de jogar ou modifica seus 
procedimentos nas atividades propostas durante o jogo significa que as 
perturbações não foram anuladas, mas compensadas, na tentativa de se 
acomodarem às situações exigidas pelo jogo. 
 
Contudo, é preciso observar que o jogo se torna didático quando cria 
situações que devem ser planejadas e orientadas pelos educadores visando uma 
finalidade de aprendizagem, ou seja, proporcionando à criança alguma forma de 
informação e conhecimento. 
Na linha de jogos didáticos existem ainda os blocos lógicos, que representam 
as figuras geométricas. Geometria exige uma maneira específica de raciocinar, 
explorar e descobrir, sendo estes, fatores que desempenham importante papel na 
concepção de espaço pela criança. As figuras geométricas mais conhecidas pelos 
alunos são o quadrado, o retângulo, o triângulo e o círculo que são trabalhadas 
desde a Educação Infantil até o Ensino Médio. 
Segundo Falzetta (1998) e Ferrari (2003), nas classes de educação infantil, os 
blocos lógicos, pequenas peças geométricas, criadas na década de 1950 pelo 
matemático húngaro Zoltan Paul Dienes, são bastante eficientes para que os alunos 
exercitem a lógica e evoluam no raciocínio abstrato. Foram utilizados de modo 
sistemático com crianças por Vigotsky, quando ele estudava a formação dos 
conceitos infantis. Eles facilitarão a vida dos alunos nos futuros encontros com 
números, operações, equações e outros conceitos da disciplina. Sua função é dar 
aos alunos ideias das primeiras operações lógicas, como correspondência e 
classificação. 
Para Piaget (1974 apud PACHECO, 2002), a aprendizagem da Matemática 
envolve o conhecimento físico e o lógico-matemático. No caso dos blocos, o 
conhecimento físico ocorre quando o aluno manuseia, observa e identifica os 
 
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23
 
atributos de cada peça. O lógico-matemático se dá quando ela usa esses atributos 
sem ter o material em mãos (raciocínio abstrato). 
Com a utilização de jogos, o professor tem a possibilidade de avaliar os 
alunos e monitorá-los, dando a devida ajuda e atenção de acordo com as 
dificuldades apresentadas durante os jogos nas aulas. Não só as dificuldades 
relacionadas à Matemática podem ser observadas, mas qualquer outro problema 
como autoestima e relacionamento, interação dos alunos entre eles, e com o 
professor e também como eles lidam com vitórias e derrotas. Nesses casos, o 
professor deve ajudar esses alunos juntamente com outros professores e demais 
funcionários do estabelecimento de ensino. 
Com o jogo, a aula torna-se mais prazerosa e a aprendizagem mais natural e 
eficaz. O jogo é uma atividade criativa,pois permite a criança reviver ativamente 
situações dolorosas e ensaiando na brincadeira as suas expectativas da realidade. 
Os problemas matemáticos através dos jogos ficam mais fáceis por meio de 
situações concretas. A criança ao realizar jogos poderá comparar com sua vida onde 
existem regras e limites. 
Alunos com discalculia2 apresentam características próprias onde não 
conseguem entender aspectos como: quantidade, ordem, espaço, distância e outros 
princípios matemáticos. 
Segundo Lira e Bozzo (2007, p. 3), jogos matemáticos são o veículo para que 
o aluno aprenda matemática, superando as dificuldades de aprendizagem e 
construindo seu conhecimento, por meio de incentivo, motivação, para que o aluno 
desenvolva seu raciocínio lógico e venha a fixar mais, tornando a disciplina mais 
agradável. 
É preciso que o educador aplique jogos, não apenas em certos momentos, 
mas sempre de forma que verifique o processo de ensino-aprendizagem de cada 
aluno, observando o seu progresso em habilidades matemáticas. Eles são o 
caminho para uma plena aprendizagem, tanto para vida como questões de 
resoluções de problemas visando um desenvolvimento com sucesso. 
 
² A palavra discalculia vem do grego (dis, mal) e do latim (calculare, contar) formando: contando mal. Essa 
palavra por calculare vem, por sua vez, de cálculo, que significa o seixo ou um dos contadores em um ábaco. 
A discalculia é um distúrbio que dificulta a aprendizagem, pois impede que o indivíduo compreenda os 
processos matemáticos, mesmo que ela tenha um QI normal ou acima do normal. 
 
 
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24
 
De acordo com Grando (2006, apud LIRA E BOZZO, 2007, p. 5), “[...] os jogos 
podem diminuir bloqueios e resgatar o prazer em aprender matemática”, para que o 
aluno não se sinta incapaz. 
Enfim, se as proposições acima levarem o professor a assumir uma nova 
postura, adaptar os jogos ao cotidiano dos alunos, considerarem que os alunos 
precisam estar preparados para viver em uma sociedade em constante mudança, 
com certeza irão fazer dos jogos uma ponte para o aprendizado efetivo da 
matemática e estarão contribuindo para que a disciplina seja vista com bons olhos, 
sem receios e com utilidade prática. 
 
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UNIDADE 5 – A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
 
Qualquer ser humano lida com problemas a todo o momento. Com as 
crianças não acontece de maneira diferente, mesmo que o nível do problema seja 
primário, ela também se depara com inúmeras situações cotidianas em que precisa 
resolver um problema, mas principalmente nas aulas de matemática lhe é cobrado 
resolver situações matemáticas que muitas vezes não tem aplicação real ou não lhe 
é ensinado um caminho interessante. 
Segundo Silveira (1999), a resolução de problemas constitui uma metodologia 
de trabalho emblemática para a comunidade da educação matemática em todo o 
mundo, sendo a que a investigação educacional tem dedicado atenção particular. 
Não obstante, o esforço visível em muitas publicações de definir o que é um 
problema e de criar categorias, ainda subsiste, por vezes, alguma indefinição quanto 
à relação existente entre o processo de resolução de problemas e o processo 
investigativo. 
Nos Parâmetros curriculares nacionais para a matemática encontramos que 
um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma 
sequência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não 
está disponível de início, mas é possível construí-la. Em muitos casos, os problemas 
usualmente apresentados aos alunos não constituem verdadeiros problemas, 
porque, via de regra, não existe um real desafio nem a necessidade de verificação 
para validar o processo de solução. O que é problema para um aluno pode não ser 
para outro, em função dos conhecimentos de que dispõe. Resolver um problema 
pressupõe que o aluno elabore um ou vários procedimentos de resolução (como 
realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses); compare seus resultados 
com os de outros alunos; valide seus procedimentos (BRASIL, 1998, p. 41). 
Conceitualmente, problema pode ser definido como uma questão matemática 
proposta para que se lhe dê a solução, ou ainda uma questão não solvida e que é 
objeto de discussão, em qualquer domínio do conhecimento (FERREIRA, 2000). 
Tentaremos mostrar-lhes como tornar a resolução de problemas em sala de 
aula um momento agradável, interessante e com objetivos reais para o aluno, 
defendendo a hipótese que a resolução de problemas, construída passo a passo, de 
 
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acordo com Polya, é de extrema importância para que o aluno compreenda sua 
utilidade no seu dia-a-dia. 
As afirmações que encontramos nos Parâmetros curriculares nacionais sobre 
a resolução de problemas mostram claramente sua importância para o 
desenvolvimento do aluno no processo de ensino-aprendizagem da matemática e a 
efetiva construção e aplicação do conhecimento lógico matemático para as 
situações práticas da vida. 
O fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a 
questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos 
problemas, a formular problemas a partir de determinadas informações, a analisar 
problemas abertos que admitem diferentes respostas em função de certas 
condições, evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem, não pela mera 
reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói 
conhecimentos (BRASIL, 1998, p. 42). Problema é o meio pelo qual a matemática se 
desenvolve. É ele que alimenta o desenvolvimento e a evolução dessa área de 
conhecimento. 
Segundo Ramos et al (2001, p. 3), um problema tem seu grau de importância 
relacionado à quantidade de ideias novas que ele traz à matemática e o quão ele é 
capaz de impulsionar os diversos ramos da Matemática – sobretudo aqueles em que 
ele não está diretamente relacionado. 
No contexto de educação matemática, um problema, ainda que simples, pode 
suscitar o gosto pelo trabalho mental se desafiar à curiosidade e proporcionar ao 
aluno o gosto pela descoberta da resolução. Neste sentido, os problemas podem 
estimular a curiosidade do aluno e fazê-lo a se interessar pela Matemática, de modo 
que ao tentar resolvê-los o aluno adquire criatividade e aprimora o raciocínio, além 
de utilizar e ampliar o seu conhecimento matemático (RAMOS et al, 2001; 
FONTANA e PINTO, 2006). 
Um problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de 
informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo e/ou a 
invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado (SILVEIRA, 
1999). 
 
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Sucintamente, problema é qualquer situação onde o pensar é uma exigência 
e condição para sua resolução. 
Segundo Dante (2003), são seis os objetivos da Resolução de Problemas em 
se tratando da matemática na educação básica: 
1. Levar o aluno a pensar produtivamente, envolvendo-o e motivando-o a partir 
de situações-problemas, pois esta é a meta principal da matemática; 
2. Levá-lo a desenvolver habilidades para elaborar um raciocínio lógico e fazer 
uso inteligente dos recursos disponíveis em situações do seu cotidiano. 
3. Ensiná-lo a enfrentar situações novas, pois as tecnologias estão presentes no 
nosso dia-a-dia, impondo rapidez de raciocínio e aprender apenas a fazer 
“contas”, ensinar conceitos num mundo que muda rápido não ajudará a 
criança no futuro. Ela precisa saber lidar com cada nova situação que for 
surgindo a sua frente, encontrando uma solução para cada um dos problemas 
surgidos ao longo de sua caminhada e para isso, ter espírito explorador, 
criatividade, independência, são fatores fundamentais. 
4. Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações matemáticas, 
ou seja, não basta dar problemas que tenham resolução mecânica, ou seja, 
sempre o mesmo tipo de problema. Isso leva o aluno a sentir a matemática 
como uma disciplina “chata”. É preciso que se envolva, que saiba usá-las em 
situações do seu dia-a-dia. 
5. É preciso tornar as aulas de matemática, mais interessantes e desafiadoras, 
fazendo com que os alunos sejam ativos, individualmente ou em pequenos 
grupos. 
6. Equipar o aluno com estratégias para resolver os problemas é de extrema 
importância, pois ele poderá usar dessa estratégia em diversas situações 
diferentes. A resolução de problemas deve dar boa base matemática às 
pessoas para todas as situações ao longo de sua vida, uma vez que nesse 
mundo globalizado e em constante mudança, precisamos de pessoas ativas, 
criativas e participantes que tomem atitudes e decisões rápidas. 
 
Muitas vezes, o aluno sabe resolver as adições e subtrações, mas quando 
envolve mais de dois, ele se complica. Os problemas vão desde os mais simples, 
 
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para lembrar conceitos ou uma propriedade, até aqueles com função de treinar as 
habilidades. 
Temos os problemas chamados padrão, os quais já trazem a resposta no seu 
enunciado, mas com o intuito de transformar a linguagem usual em linguagem 
matemática, recordando as operações matemáticas, contudo, alguns autores como 
Dante (2003) acreditam que de modo geral elas não aguçam a curiosidade do aluno 
nem o desafiam. 
Os problemas-processo ou heurísticos, não trazem nem a resposta nem a 
operação em seus enunciados, levando o aluno a pensar, arquitetar um plano ou 
uma estratégia para chegar à conclusão. São considerados desafiantes, pois 
aguçam a curiosidade, criatividade e iniciativa do aluno. 
Já os problemas de aplicação ou situações-problema, relatam situações reais 
do dia-a-dia. Eles exigem pesquisa e levantamento de dados sendo apresentados 
em forma de projetos a serem desenvolvidos e, ainda, usando conhecimentos de 
outras áreas que não a matemática. Estes problemas são resolvidos através de 
conceitos, técnicas e procedimentos matemáticos usados em situações reais, 
organizando dados em tabelas, traçando gráficos e fazendo operações. Por fim, 
têm-se os problemas de quebra-cabeça que constituem a matemática criativa, 
envolvem todos os alunos, sendo a chave de sua solução, geralmente um truque ou 
um golpe de sorte. 
Existe um modo de resolver problemas utilizando-se o esquema de George 
Polya, um matemático húngaro que trabalhou vários temas matemáticos e ao final 
de sua vida escreveu três livros sobre o tema. 
As etapas do denominado “esquema de Polya” não são rígidas, fixas ou 
infalíveis, mas ajudam a orientar durante um processo de resolução de problemas, 
como se fosse a uma resolução de simples algoritmo. Os passos para resolução dos 
problemas são os seguintes: 
 
1º passo � 
Compreender o 
problema: 
 
a) O que se pede no problema? 
b) Quais são os dados e as condições do problema? 
c) É possível fazer uma figura, um esquema ou um 
diagrama? 
d) É possível estimar a resposta? 
 
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2º passo � 
Elaborar um plano: 
 
a) Qual é o seu plano para resolver o problema? 
b) Que estratégia você tentará desenvolver? 
c) Você se lembra de um problema semelhante que pode 
ajudá-lo a resolver este? 
d) Tente organizar os dados em tabelas e gráficos. 
e) Tente resolver o problema por partes. 
 
3º passo � 
Executar o plano: 
 
a) Execute o plano elaborado, verificando-o passo a passo. 
b) Efetue todos os cálculos indicados no plano. 
c) Execute todas as estratégias pensadas, obtendo várias 
maneiras de resolver o mesmo problema. 
 
4º passo � 
Fazer o retrospecto 
ou verificação: 
 
a) Examine se a solução obtida está correta. 
b) Existe outra maneira de resolver o problema? 
c) É possível usar o método empregado para resolver 
problemas semelhantes? 
 
 
Temos abaixo um exemplo de problema e a utilização do esquema de Polya. 
 
Felipe e Josué estão colecionando o mesmo tipo de f igurinhas. Felipe já tem 
190 figurinhas coladas no álbum e Josué tem 178. Se Felipe conseguir 28 
figurinhas fazendo trocas com seus colegas de escol a e Josué conseguir 37: 
a) Qual dos dois ficará com mais figurinhas no álbum? 
b) Quanto a mais ele terá que o outro? 
c) Quantas faltarão ainda para Felipe e para Josué, se o total de figurinhas do álbum 
é 300? 
d) Quantos pacotes Felipe ainda precisará comprar, se em cada um vêm 2 
figurinhas, mas uma é sempre repetida? 
e) Quanto Felipe gastará se cada pacote custa R$0,20? 
 
1º passo, compreendendo o problema: 
OS DADOS: 
nº de figurinhas que Felipe tem no álbum: 190 
nº de figurinhas que Josué tem no álbum: 178 
aquisição de Felipe: 28 figurinhas 
aquisição de Josué: 37 figurinhas 
total de figurinhas do álbum: 300 
em cada pacote vêm 2 figurinhas, mas uma é sempre r epetida 
preço de cada pacote: R$0,20 
OBJETIVOS: responder às perguntas a, b, c, d e e. 
 
 
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2º Passo: estabelecer um plano: 
Somar 190 com 28 e 178 com 37 
Subtrair o menor desses resultados do maior 
Subtrair de 300 os resultados encontrados nas adiçõ es 
Multiplicar a diferença entre 300 e a soma de 190 c om 28 por R$0,20 
 
3º passo: executando o plano: 
190 178 218 300 300 
 28 37 215 218 215 
 218 215 003 082 085 
 
0,20 
 X 82 
 40 
 160 
 R$ 16,40 
 
4º passo: fazer a verificação: 
 
Nossos cálculos estão corretos, porque 82 + 218 = 300 e 85 + 215 = 300. 
 
RESPOSTAS: 
 
a) Felipe ficará com 218 figurinhas e Josué com 215 . Portanto, Felipeficará 
com mais figurinhas. 
b) Felipe ficará com 3 figurinhas a mais do que Jos ué. 
c) Para Felipe ficarão faltando 82 figurinhas e par a Josué, 85. 
d) Como vem apenas uma figurinha não-repetida em ca da pacote, Felipe 
precisará comprar 82 pacotes e Josué, 85. 
e) Felipe gastará R$16,40 
 
Partindo do princípio que o professor deve saber dosar, ao longo do ano, o 
número de exercícios e de problemas a serem dados em sala de aula, Dante (2003) 
sugere que seja dada preferência aos exercícios do tipo “dar exemplo de”, os quais 
proporcionam margem a várias respostas diferentes e corretas, estimulando 
discussões, tornando os exercícios mais interessantes e menos tediosos. 
São várias as características para determinarmos se um problema é bom, 
entre elas, o autor acima propõe que seja: 
� Desafiador para o aluno � deixando de ser problema-padrão, motiva e 
aumenta a curiosidade do aluno em querer pensar e procurar solucioná-lo. 
 
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� Real � pois se utilizar perguntas muito artificiais, fora da realidade pode 
desmotivar, então, sendo real, despertará maior interesse no aluno. 
�Interessante � perguntas que envolvam música, esporte, televisão, com 
certeza envolverá muito mais o aluno. 
� Ser o elemento desconhecido de um problema realmente desconhecido � 
quando são fornecidos problemas como “O dobro da idade de Maria é igual...” não 
há elemento desconhecido e por dedução é só perguntar sua idade, não 
despertando a atenção no aluno. 
� Não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações 
aritméticas � ou seja, o problema deve gerar vários processos de pensamento, 
levantar muitas hipóteses e propiciar várias estratégias, uma vez que o pensar e o 
fazer criativo, como diz Dante, são componentes fundamentais no processo de 
resolução de problemas. 
� Ter um nível adequado de dificuldades � não pode estar além do nível da 
turma para não traumatizá-la em relação à matemática como um todo. 
Para contornar fatores que dificultam um problema, temos: 
� A linguagem usada na redação do problema deve ser adequada à série e com 
vocabulário o mais próximo possível da realidade do aluno, pois fornecendo 
as informações de maneira clara e simples, permitirá um melhor entendimento 
para o aluno. 
� O tamanho e estrutura das frases devem ser curtas para as crianças não se 
perderem. 
� O professor deve distinguir o vocabulário matemático específico, 
esclarecendo o significado de palavras desconhecidas para o aluno, pois 
palavras tais como ‘primo’, ‘dobrar’, ‘altura’, ‘base’, até certo ponto, são 
difíceis para as crianças. 
� Trabalhar com números menores facilita para o aluno o qual não se perderá 
da resolução do problema, deixando de atentar somente com os cálculos. 
� A apresentação do problema também demonstrará e determinará a maior ou 
menor dificuldade que o aluno terá para resolvê-lo, de acordo com a 
motivação que despertar. 
 
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� O professor deverá se preocupar com a ordem e o número de informações 
dadas para não confundir o aluno. 
� O número e a complexidade de operações e estratégias envolvidas é o último 
ponto. Se a solução do problema envolver apenas uma operação, ela será 
bem mais simples do que aquelas que requerem duas ou mais operações, ou 
seja, sendo adição, mais simples será para o aluno do que operações de 
divisão. Quanto às estratégias, se ela envolver somente execução de 
algoritmo será mais simples, se tiver tentativas e erro exigirá certa habilidade 
do aluno. Exigindo elaboração de tabelas, gráficos, interpretações dos 
mesmos, a resolução será bem mais difícil, portanto, o professor precisa 
perceber se os alunos estão preparados para tal raciocínio (DANTE, 2003). 
Abaixo temos dois exemplos de problemas que podem fazer parte do 
cotidiano do aluno e com certeza os motivarão a procurar respostas. 
Observe o cardápio da lanchonete da escola. Com base nele, invente um 
problema e o resolva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este é um modo de a própria criança inventar seus problemas. Isso as motivará a 
ler, observar, pensar, compreender e resolver os problemas. Além de oferecer uma 
infinidade de sugestões para serem resolvidas. 
São inúmeras as questões que podem surgir com esse cardápio, como por exemplo: 
 
a) Pedro levou R$5,00 reais para a escola. O que ele poderá comprar com esse 
valor? Vários produtos. 
b) Pedro pode gastar somente R$2,50. O que ele pode comprar e com quanto 
precisa voltar para casa? O troco, R$2,50. 
LANCHES 
Cachorro-quente.......................................R$1,00 
Hambúrguer.............................................R$2,50 
Salgados...................................................R$0,80 
Suco de laranja.........................................R$1,00 
Misto-quente............................................R$2,00 
Refrigerante.............................................R$0,50 
Sorvete.....................................................R$0,75 
 
 
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c) Se ele comprar um hambúrguer e um suco de laranja, quanto gastará? 
R$3,50. 
d) E se comprar um sorvete e um cachorro-quente com os R$5,00 reais, quanto 
sobrará de troco? R$3,25. 
 
Brincando no parquinho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Quantas crianças estão no balanço? 2 
b) Quantas crianças estão na gangorra? 2 
c) Quantas crianças estão no escorregador ou próximas a ele? 3 
d) Quantas crianças estão em volta do lago? 4 
e) Quantas crianças estão na caixa de areia? 5 
f) Quantas crianças estão no parquinho? 16 
g) Onde há mais crianças brincando? Na caixa de areia. 
h) Onde há menos crianças brincando? No balanço e na gangorra. 
Outras sugestões: 
Quantos patinhos há no lago? 3 
Quantos meninos estão no parquinho? 10 
 
 
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Este problema envolve e explora a observação, a ideia de quantidade, 
contagem direta e masculino/feminino. 
Os itens g e h exploram a ideia de comparação entre quantidade através das 
perguntas: onde há mais? Onde há menos? 
Já o item i tem por objetivo explorar a observação e a imaginação criativa da 
criança dentro de um determinado contexto. 
Uma vez que neste mundo globalizado onde as situações mudam a cada 
momento, onde surgem problemas e estes mudam de foco e de lugar, é preciso que 
nossas crianças sejam habilidosas para distinguir, perceber e saber lidar com essas 
situações, e para tanto, é preciso levá-las a construir suas habilidades e 
competências desde a escola. 
O professor de matemática tem uma missão especial que é mostrar aos 
alunos