Trab_Equipe_2_Prob_Estat_Sem_1_2019

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Ministério da Educação 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
Câmpus Curitiba 
Diretoria de Graduação e Educação Profissional 
Departamento Acadêmico de Estatística 
 
 
Disciplina: Probabilidade e Estatística (MA70H), turma: - Profª Silvana Heidemann Rocha 
Estudante: ___________________________________________ Código: ________________ 
 
2º TRABALHO EM EQUIPE – Valor: 0 a 5,0 - Entrega: 12/06/2019 
Equipe de quatro estudantes 
 
Assuntos: Introdução à teoria de probabilidade; probabilidade de evento: principais métodos de cálculo, 
propriedades e teoremas; variável aleatória (v. a.); distribuição de probabilidade; função de 
probabilidade (f. p.); função densidade de probabilidade (f. d. p.); função distribuição (f. d.); 
esperança e variância para variável aleatória discreta; esperança e variância para variável aleatória 
contínua; principais modelos probabilísticos para variável aleatória discreta; principais modelos 
probabilísticos para variável aleatória contínua. 
 
Observações 
• A capa, a folha de rosto, as citações, as referências, os quadros, as tabelas e os gráficos devem 
estar conforme as normas para se apresentar trabalhos acadêmicos, já ensinados pela professora. 
• Todas as fontes consultadas devem estar relacionadas ao final do trabalho, adequadamente. 
• Ao longo do trabalho, nas citações diretas ou indiretas, as fontes consultadas devem estar indicadas, 
adequadamente. 
• Seguir as normas de divisão de tabela quando um quadro ou uma tabela não couber, em hipótese 
alguma, numa única página. 
• Otimizar o espaçamento entre as colunas e entre as linhas, evitando deixar espaços vazios 
desnecessários, no interior de quadros e tabelas. 
• Na área de plotagem de gráficos, otimizar a apresentação do desenho, evitando deixar espaços 
vazios desnecessários. 
• No rodapé de quadros, tabelas e gráficos deve ser citada a fonte responsável pela confecção dos 
mesmos e explicitadas as notas e as chamadas, caso necessário. 
• O enunciado de cada exercício deve estar próximo da respectiva resolução. 
• Utilizar planilhas eletrônicas (Excel, Calc) ou softwares estatísticos, nas resoluções dos problemas. 
 
 
01) (Pesquisa em dicionário – Indicar a fonte de pesquisa): 
 Conceitue os seguintes termos, no contexto da língua portuguesa, 
 
a) Fenômeno b) Experimento c) Ensaio d) Modelo 
 
e) Incerteza f) Variabilidade g) Variável 
 
h) Acaso i) Aleatoriedade j) Possibilidade 
 
 
02) (Pesquisa – Indicar a fonte de pesquisa) 
 Dê o significado dos seguintes tipos de fenômenos e cite dois exemplos de cada caso. 
 
a) Fenômeno determinístico ' b) Fenômeno aleatório (ou probabilístico)
 
c) Fenômeno caótico 
 
 
03) No contexto da Teoria de Probabilidade, conceitue os seguintes termos e indique as fontes de 
referência: 
a) experimento aleatório 
b) espaço amostral, espaço amostral discreto, espaço amostral contínuo 
c) ponto amostral 
d) evento 
e) evento simples (ou evento elementar), evento composto 
f) evento aleatório, evento certo, evento impossível, evento improvável 
g) eventos equiprováveis 
h) eventos independentes, eventos dependentes 
i) eventos mutuamente excludentes (ou eventos incompatíveis) 
j) eventos equivalentes 
k) sigma-álgebra dos eventos aleatórios de um espaço amostral 
l) probabilidade (ou função medida de probabilidade) 
m) variável aleatória 
n) distribuição de probabilidade 
o) função de probabilidade 
p) função densidade de probabilidade 
q) função distribuição (ou função distribuição acumulada de probabilidade) 
r) esperança matemática (ou valor esperado para uma variável aleatória) 
s) variância de uma variável aleatória 
 
04) Em cada problema a seguir, especifique: 
a) o experimento aleatório, denotado por 𝜀; 
b) um espaço amostral adequado para 𝜀, denotado por Ω𝜀 ; 
c) a quantidade de pontos amostrais, denotada por 𝑛(Ω𝜀 ); 
caso 𝑛(Ω𝜀 ) seja grande, esboce Ω𝜀 explicitando os três primeiros pontos amostrais 𝜔 e indicando a 
natureza dos pontos amostrais, isto é, se são números, pares ordenados, pares não-ordenados, ternas 
ordenadas, ternas não-ordenadas, por exemplo; 
 
d) o evento em questão, denotado por A, B, C, ...; 
e) a variável aleatória de interesse, denotada por X, Y, Z, ...; 
f) o espaço amostral da variável aleatória, denotado por Ω𝑋 , Ω𝑌 , Ω𝑍 , … ; 
g) a classificação da variável aleatória, isto é, se ela é discreta ou se é contínua; 
h) a representação da variável aleatória por diagramas de Venn, isto é, explicitar por meio 
de diagramas de Venn a função matemática X que relaciona Ω𝜀 com Ω𝑋; 
i) a resposta do problema; 
j) os métodos de cálculo, as propriedades e os teoremas utilizados para encontrar a resposta; 
k) pense sobre as condições de realização do experimento e verifique se sua resolução está 
adequada com as condições de realização imaginadas. 
 
 
4.1) Num lote há 10 peças das quais uma está com defeito. Selecionando, ao acaso, uma peça, 
qual a probabilidade dela estar com defeito? 
 
4.2) Num lote há 10 peças das quais quatro estão com defeito. Selecionando, ao acaso e sem 
reposição, duas peças, qual a probabilidade de ambas estarem com defeito? 
 
4.3) Num lote há 10 peças das quais quatro estão com defeito. Selecionando, ao acaso e com 
reposição, duas peças, qual a probabilidade de ambas estarem com defeito? 
 
4.4) Num lote há 10 peças das quais quatro estão com defeito. Selecionando, ao acaso e sem 
reposição, três peças, qual a probabilidade de no máximo duas estarem com defeito? 
 
4.5) Uma companhia de avião chegou à conclusão de que 5% das pessoas que fazem reserva num dado 
vôo não comparecem ao embarque. Consequentemente, adotou a política de vender 70 lugares para 
um aparelho de 68 assentos. Qual a probabilidade de que não haja excesso de lotação? 
 
4.6) Entre os candidatos a um certo cargo, 15% possuem as qualificações exigidas pela empresa 
contratante. Qual a probabilidade de se ter que entrevistar dez candidatos para encontrar um 
com perfil desejado? 
 
4.7) Numa urna há cinco bolas brancas, três verdes e seis amarelas. Seleciona-se seis bolas, ao 
acaso e sem reposição. Qual é a probabilidade de se ter duas brancas, uma verde e três 
amarelas? 
 
05) Numa pesquisa em domicílios, numa cidade, 40% deles tinham mulheres como chefe da família. 
Um dos domicílios pesquisados foi sorteado, ao acaso, para uma inspeção sobre a metodologia 
da pesquisa. Qual a probabilidade desse domicílio sorteado ter uma mulher como chefe de 
família? Qual método para calcular probabilidade você usou para responder a pergunta? 
 
06) Qual é a probabilidade de uma pessoa ganhar o prêmio máximo, num sorteio da Mega Sena, 
jogando um único cartão simples? 
Observação: Na Mega Sena, são sorteadas 6 dezenas, dentre as dezenas 01 a 60. O sorteio é feito por meio de um 
globo contendo 60 bolinhas de igual tamanho e peso. Em cada bolinha, está marcado um número de 01 a 
60. A palavra “igual”, anteriormente, tem sentido estatístico e não matemático. 
Indique o(s) método(s), a(s) propriedade(s) e o(s) teorema(s) utilizados para resolver essa questão 
07) No problema abaixo, fazer a árvore das possibilidades, com a respectiva árvore das 
probabilidades, ressaltando todos os resultados possíveis, com a respectiva probabilidade: 
 
 Numa certa localidade, em 41% dos domicílios, a chefia de família declarou-se do sexo 
feminino, em 58% dos domicílios, a chefia declarou-se do sexo masculino e, em 1% dos 
domicílios, a chefia declarou-se de outros sexos. Nos domicílios em que a chefia de família 
declarou-se do sexo feminino, 90% das chefias de família declararam-se do gênero mulher, 6% 
declararam-se do gênero homem e 4% declararam-se de outros gêneros. Nos domicílios em 
que a chefia de família declarou-se do sexo masculino, 92% das chefias de família declararam-
se do gênero homem, 5% declararam-se do gênero mulher e 3% declararam-se de outrosgêneros. Nos domicílios em que a chefia de família declarou-se de outros sexos, 70% das 
chefias de família declararam-se do gênero mulher, 20% declararam-se do gênero homem e 
10% declararam-se de outros gêneros. 
a) Se um domicílio dessa localidade for escolhido ao acaso, qual a probabilidade da chefia 
de família ter-se declarado do sexo feminino e do gênero mulher? 
b) Se um domicílio dessa localidade for escolhido ao acaso, qual a probabilidade da chefia 
de família ter-se declarado do sexo masculino e do gênero mulher? 
c) Se um domicílio dessa localidade, sorteado ao acaso, tem a chefia de família declarado ser 
do gênero mulher, qual a probabilidade dessa chefia de família ter se declarado de outros 
sexos? 
 
08) Numa linha de produção, as peças são fabricadas pelas máquinas A, B e C nas proporções de 
30%, 50% e 20%, respectivamente. Das peças produzidas pela máquina A, 4% são defeituosas, 
e o percentual de peças defeituosas fabricadas pelas máquinas B e C são 0,6% e 1%, 
respectivamente. Selecionando-se ao acaso uma peça, dessa linha de produção: 
a) qual a probabilidade da peça ser defeituosa? 
b) qual a probabilidade da peça ter sido fabricada pela máquina B, sabendo que a peça 
selecionada é defeituosa? 
 
09) Um caça níquel tem dois discos que funcionam independentemente um do outro. Cada disco 
tem 10 figuras: quatro maçãs, três bananas, duas peras e uma laranja. Uma pessoa paga R$ 
8,00 e aciona a máquina. Se aparecerem duas maçãs, ela ganhará R$ 4,00. Se aparecerem 
duas bananas, ela ganhará R$ 8,00. Ela ganhará R$ 14,00 se aparecerem duas peras e, ainda, 
ganhará R$ 18,00 se aparecerem duas laranjas. Qual a esperança de ganho numa única 
jogada? Interprete esse valor. 
Etapas: 
 a) Identifique a variável aleatória X e classifique-a em discreta ou contínua; 
 b) Explicite a distribuição de probabilidade que representa esse problema; isto é: 
• se a variável aleatória X for discreta dê: 
o o quadro esquemático que relaciona X e P(X=x); 
o a função de probabilidade; 
o a função distribuição; 
• se a variável aleatória for contínua dê: 
o a função densidade de probabilidade; 
o a função distribuição 
 c) Para cada função dê o domínio, o contradomínio, a lei de associação do domínio com o 
contradomínio e a representação geométrica do gráfico da função. 
d) Responda a questão do problema. 
 
10) (MAGALHÃES et LIMA, 2008, p. 67) Um pai leva o filho ao cinema e vai gastar nas duas 
entradas R$ 15,00. O filho vai pedir para comer pipoca com probabilidade 0,7 e, além disso, pode 
pedir bala com probabilidade 0,9. Esses pedidos são atendidos pelo pai com probabilidade 0,5, 
independentemente um do outro. Se a pipoca custa R$ 2,00 e a bala R$ 3,00: 
a) qual o gasto esperado com a ida ao cinema? 
 Dica: Faça um quadro esquemático para relacionar X e P(X=x), sendo X uma variável aleatória discreta; 
b) qual a variância do gasto com a ida ao cinema? 
c) represente a distribuição de probabilidade do gasto com a ida ao cinema por meio de um 
diagrama que relacione X e P(X=x). 
 
11) (MONTGOMERY et RUNGER, 2008, p. 77) O diâmetro, em milímetros, de um orifício perfurado 
em uma placa com um componente metálico é uma variável aleatória contínua com função 
densidade de probabilidade .5,12 com , e 20)( 12,5) - ( -20 = xxf xX 
a) Determine o valor esperado de X e a variância de X. 
b) Qual a proporção de peças que possuem diâmetro entre a média e dois desvios-padrões? 
 
12) Considere a seguinte tabela: 
 
 Diâmetro, em centímetros, de determinada peça 
Classe (i) Diâmetro, em cm (X) Frequência relativa (fri) 
1 84 86 0,3 
2 86 88 0,5 
3 88 90 0,2 
 Total 1,0 
 Fonte: Dados fictícios. 
 
a) A tabela acima representa uma distribuição de probabilidades? Justifique. 
b) Faça o gráfico da função 








=
90 88 se , 2,0
88 86 se , 5,0
86 84 se , 3,0
)(
x
x
x
xf X . Essa função representa uma função 
densidade de probabilidade (f.d.p.)? Justifique. 
 
c) Caso a resposta do item "b" seja 'não', obtenha a partir da tabela dada uma função Xf que seja 
uma f.d.p., faça seu gráfico e calcule a probabilidade de 86 84  X . 
 
 
13) Verifique se as funções abaixo são funções densidade de probabilidade. Se sim, esboce os 
respectivos gráficos e calcule as probabilidades indicadas: 
 
a) 


 
=
(c.c) contrário caso ,0
10 ,2
)(
xx
xf X , )
2
1
4
1
(  XP . 
 
b) 


 −
=
c.c ,0
1 0 ,ln
)(
yy
yfY , )
2
1
0(  YP . 
 
c) 






=
−
c.c ,0
0 ,
2)(
2/
x
e
xf
x
X , )5( XP . 
 
14) Se o item "c" do exercício 14 for uma função densidade de probabilidade (f.d.p.), determine a 
respectiva função distribuição (f. d.) e represente geometricamente o gráfico da f. d. . 
 
15) Apresente as propriedades de esperança matemática e de variância para variável aleatória, 
tanto para variável aleatória discreta como para variável aleatória contínua. 
 
16) Quais as diferenças e quais as semelhanças entre: 
a) a média de um conjunto de dados populacionais e a esperança de uma variável aleatória (seja 
discreta ou contínua)? 
b) a variância de um conjunto de dados populacionais e a variância de uma variável aleatória (seja 
discreta ou contínua)? 
 
17) (Cf. MAGALHÃES et LIMA, p. 69) Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Tenho 5 
bilhetes consecutivos numerados de 21 a 25 e meu colega tem outros 5 bilhetes com os números 
1, 11, 29, 68 e 93. Quem tem maior possibilidade de ser sorteado? Justifique. 
 a) Defina a variável aleatória X em questão e o modelo de distribuição de probabilidades mais 
adequado para descrever o comportamento probabilístico de X. 
 b) Determine a função de probabilidade de X e a representação geométrica do seu respectivo 
gráfico. 
 c) Determine a função distribuição de X e a representação geométrica do seu respectivo gráfico. 
 d) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. 
 
18) A probabilidade de um produto fabricado não atender as especificações de projeto é igual a 5% 
(produto não-conforme). São selecionadas ao acaso oito unidades desse produto. Qual a 
probabilidade de no mínimo três estarem conforme as especificações de projeto? 
 a) Defina uma variável aleatória X nesse experimento e indique o modelo de distribuição de 
probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X. 
b) Determine a função de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação geométrica; 
c) Determine a função de distribuição de X, seu domínio, imagem e representação geométrica; 
d) Responda a questão do enunciado. 
e) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. 
f) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios-padrões? Compare 
esse resultado com o obtido através da desigualdade de Chebyshev. 
 
 
19) Num lote de 30 peças, há quatro defeituosas. Em cinco peças extraídas ao acaso e sem 
reposição, qual a probabilidade de se encontrar pelo menos uma peça defeituosa? 
 a) Defina uma variável aleatória X nesse experimento e indique o modelo de distribuição de 
probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico do 
experimento (inclusive com função de probabilidade, domínio, imagem e representação 
geométrica); 
b) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. 
c) Responda a questão do enunciado. 
d) Qual a probabilidade de se observar um valor entre a média e dois desvios-padrões? Compare 
esse resultado com o obtido através da desigualdade de Chebyshev. 
e) Nesse experimento, poderíamos utilizar uma aproximação pelo modelo binomial, 
considerando constante a probabilidade de um sucesso individual como p=4/30 ? Justifique. 
f) Respondaos itens a, b, c considerando um modelo binomial de parâmetro p=4/30, e compare 
as respostas encontradas com os resultados obtidos por meio da distribuição 
hipergeométrica. 
 
20) Entre os candidatos a um certo cargo, 15% possuem as qualificações exigidas pela empresa 
contratante. Qual a probabilidade de se ter que entrevistar dez candidatos para encontrar um com 
perfil desejado? 
a) Defina uma variável aleatória X nesse experimento e indique o modelo de distribuição de 
probabilidades mais adequado para descrever seu comportamento probabilístico. 
b) Determine a função de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação geométrica; 
c) Determine a função de distribuição de X, seu domínio, imagem e representação geométrica; 
d) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. 
e) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios-padrões? Compare 
esse resultado com o obtido através da desigualdade de Chebyshev. 
 
21) Uma companhia recebeu uma encomenda para fundir três peças complicadas. A probabilidade 
de se conseguir um molde adequado é 0,4, sendo o molde destruído quando a peça é retirada. O 
custo de cada molde é de R$ 500,00 e, se o molde não for adequado, a peça é refugada, perdendo-
se R$ 700,00 de material. 
a) Qual a probabilidade de se fundir no máximo seis peças para atender a encomenda? 
b) Qual o preço a ser cobrado pelo serviço para se ter um lucro esperado de R$ 1000,00 na 
encomenda? 
 
 
22) O fio de uma máquina têxtil rompe-se em média duas vezes a cada nove horas de 
funcionamento dessa máquina. Calcule a probabilidade de: 
a) em três horas, o fio se romper duas ou mais vezes; 
b) em cinco horas de funcionamento o fio se romper menos de duas vezes; 
c) que pressupostos teóricos você está admitindo para resolver os itens a) e b)? 
 
 
23) Entre 13 e 16 horas de certo dia da semana, os clientes chegam a uma fila de supermercado a 
uma taxa de 20 clientes por hora. Qual é a probabilidade de dois ou mais clientes chegarem à 
fila dentro de 5 minutos? Que pressupostos teóricos você está admitindo para resolver este 
problema? 
 
 
24) Entre 13 e 16 horas de certo dia da semana, os clientes chegam a uma fila de supermercado a 
uma taxa de 20 clientes por hora. Se um cliente acabou de chegar à fila, qual é a probabilidade 
de que o próximo cliente chegue à fila dentro de 1 minuto? Que pressupostos teóricos você está 
admitindo para resolver este problema? 
 
25) Devido à presença de quantidades variáveis de impureza, o ponto de fusão de certa substância, 
medido em graus Celsius, pode ser considerado uma variável aleatória contínua distribuída 
uniformemente no intervalo [100; 125]. Qual a probabilidade da substância fundir-se entre 110ºC e 
115ºC? 
a) Defina uma variável aleatória X nesse experimento e indique o modelo de distribuição de 
probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X. 
b) Determine a função densidade de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação 
geométrica. 
c) Determine a função de distribuição de X, seu domínio, imagem e representação geométrica. 
d) Responda a questão do enunciado. 
e) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. 
f) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios-padrões? Compare 
esse resultado com o obtido através da desigualdade de Chebyshev. 
 
 
26) Entre 5 e 6 horas da tarde, os automóveis chegam à uma cabine de pedágio a uma taxa de 50 
por minuto e o número de chegadas segue uma distribuição de Poisson. Se um automóvel acabou 
de chegar: 
i) Qual é a probabilidade de que o próximo automóvel chegue dentro de cinco segundos? 
ii) Qual é o tempo médio de chegada entre dois automóveis? 
a) Defina uma variável aleatória X nesse experimento e indique o modelo de distribuição de 
probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X. 
b) Determine a função densidade de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação 
geométrica. 
c) Determine a função de distribuição de X, seu domínio, imagem e representação geométrica. 
d) Responda a questão do enunciado. 
e) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. 
f) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios-padrões? Compare 
esse resultado com o obtido através da desigualdade de Chebyshev. 
 
 
27) A vida de certa marca de lâmpada tem distribuição aproximadamente exponencial, com média 
de 1000 horas. 
a) Determine a percentagem de lâmpadas que queimarão antes de 1000 horas 
b) Após quantas horas ter-se-ão queimado 50% das lâmpadas? Interprete esse valor. 
c) Calcule o primeiro quartil e o terceiro quartil. 
d) Calculo o décimo percentil. 
 
 
28) A vida útil de certo aparelho de televisão segue uma distribuição normal com média de oito anos 
e desvio-padrão de 1,8 ano. O fabricante substitui os aparelhos que acusam defeito de fabricação 
dentro do prazo de garantia. Se ele deseja substituir no máximo 5% dos aparelhos vendidos por 
apresentarem defeitos de fabricação, qual deve ser o prazo de garantia? 
a) Defina uma variável aleatória X nesse experimento e indique o modelo de distribuição de 
probabilidades mais adequado para descrever o comportamento probabilístico de X. 
b) Determine a função densidade de probabilidade de X, seu domínio, imagem e representação 
geométrica. 
c) Determine a função de distribuição de X, seu domínio, imagem e representação geométrica. 
d) Responda a questão do enunciado. 
e) Determine a esperança matemática e a variância de X. Interprete essas medidas. 
f) Qual a probabilidade de observarmos um valor entre a média e dois desvios-padrão? Compare 
esse resultado com o obtido através da desigualdade de Chebyshev. 
 
 
29) Se um conjunto de valores tem distribuição normal, qual a porcentagem de valores que distam 
da média: 
a) um desvio-padrão? b) dois desvios-padrões? c) três desvios-padrões? 
 
 
30) Um fabricante alega que as baterias para automóveis produzidas por ele têm duração média 
de 950 dias, com um desvio-padrão de 65 dias. Admitindo a distribuição normal e retirando-se, 
ao acaso, uma bateria de seu estoque, qual a probabilidade de que ela dure: 
a) menos de 800 dias? b) Entre 792 e 852 dias? c) Mais de 867 dias? 
 
 
31) As moedas de 25 centavos de dólar têm pesos distribuídos normalmente com média de 5,67 
gramas (g) e desvio-padrão de 0,070 g. 
a) Se uma máquina automática de refrescos é ajustada de modo a rejeitar moedas de 25 
centavos com peso inferior a 5,53 g ou superior a 5,81 g, qual a percentagem de moedas 
legais rejeitadas? 
b) Determine os pesos de moedas legais aceitas se a máquina é reajustada de forma a rejeitar 
1,5% das mais leves e 1,5% das mais pesadas.