Cálculo Mental - Aula 02 - Adição e Subtração

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Aula 02: Cálculo Mental – Adição e Subtração 
 Prof. Fredão 
 
“Eu pouco me importo se meus alunos sabem dividir 430 por 
12 usando a conta da divisão, mas me importo, sim, se o 
sentido numérico deles é suficientemente desenvolvido para 
estimar de cabeça que a resposta é um pouco mais de 35.” 
(Jordan Ellenberg em O Poder do Pensamento Matemático) 
 
O item abaixo, apesar de antigo, ilustra bem o trecho acima. 
Com a devida atenção ao formato das alternativas e aos 
números envolvidos, é possível reduzir (e muito!) o tempo 
de resolução do item, além de evitar um desgaste 
desnecessário com contas extremamente chatas. E é 
justamente essa habilidade matemática na manipulação dos 
números que pode ser um grande diferencial no fator tempo! 
 
Item 01 (ENEM 2010) 
Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de 
desmatamento, conforme gráfico, da chamada Amazônia 
Legal, integrada por nove estados. 
 
Disponível em: www.folhaonline.com.br. Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado). 
Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 
10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento 
médio por estado em 2009 está entre 
a) 100 km2 e 900 km2. 
b) 1 000 km2 e 2 700 km2. 
c) 2 800 km2 e 3 200 km2. 
d) 3 300 km2 e 4 000 km2. 
e) 4 100 km2 e 5 800 km2. 
 
 
 
 
 
========= A Importância do Cálculo Mental ========= 
“Quando se está pensando seriamente em matemática, 
algumas vezes é necessário multiplicar 6 por 8, e se você 
tiver de recorrer à calculadora toda vez que fizer isso, jamais 
conseguirá o tipo de fluxo mental que o raciocínio efetivo 
exige. Você não pode escrever um soneto se tiver de 
procurar como se escreve cada palavra.” 
(Jordan Ellenberg em O Poder do Pensamento Matemático) 
Ao treinarmos cálculos mentais, sem papel e caneta, uma 
das vantagens evidentes é a agilidade na resolução das 
questões. Mas não para por aí. Ao aprender novos métodos 
de cálculo mental, a capacidade de memorização é 
estimulada e há um ganho considerável na capacidade de 
concentração, dada a exigência de cálculos complicados 
feitos mentalmente. 
Para começarmos, há uma grande diferença entre fazer 
cálculos matemáticos no papel e mentalmente. A 
matemática no papel é feita da direita para a esquerda ( ) 
enquanto a matemática mental deve sempre ser feita da 
esquerda para a direita ( )→ ! Mas por quê? Eis algumas 
vantagens: 
• Todo número é lido e pronunciado da esquerda 
para a direita. Ou seja, ao tentar fazer 
mentalmente o cálculo da direita para a esquerda o 
resultado é gerado de trás pra frente; 
• É melhor para estimativas! Quase sempre é mais 
útil saber que 893 + 313 é um pouco superior a 
1200 do que saber que termina em 6 (veja, por 
exemplo, a questão de 2010 que acabamos de 
resolver!). 
• Pode não parecer tão útil resolver da esquerda 
para a direita a adição 47 + 32, mas é 
definitivamente mais útil para adições e subtrações 
com mais dígitos, tal como para multiplicações e 
divisões. 
Além de fazer os cálculos da esquerda para a direita, há um 
princípio básico na matemática mental: SIMPLIFICAR! A 
ideia básica é, sempre, a de simplificar os cálculos 
envolvidos, quebrando-os em porções menores e mais 
simples de lidar. 
Por fim, uma menção: a maior parte deste material, incluindo 
os exemplos, foi organizada e traduzida livremente de um 
livro sensacional chamado “Secrets of Mental Math – The 
Mathemagician’s Guide to Lightning Calculation and 
Amazing Math Tricks” dos autores Arthur Benjamin e 
Michael Shermer. Para quem tiver interesse, há vários 
vídeos do Arthur Benjamin no Youtube, tais como “Faster 
than a calculator | Arthur Benjamin | TEDxOxford”, no qual 
ele calcula o valor de ( )237691 1.420.611.481 mentalmente 
em aproximadamente 1 minuto. Parece muito? Eu levei 1 
min e 24 segundos... Com lápis e papel... 
http://www.folhaonline.com.br/
 
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 Prof. Fredão 
 
========== PARTE 1. Adição e Subtração ========== 
• Adição com Números de Apenas Um Algarismo 
Apesar de serem quase que automáticas, em especial 
quando a soma é menor do que 10, vale reforçar uma ideia 
que, por vezes, utilizo em cálculos mais complexos e que 
veremos mais adiante no curso: a complementariedade dos 
números 1|9, 2|8, 3|7, 4|6 e, de certo modo, 5|5 no nosso 
sistema decimal (base 10). Por exemplo: 
quebro o 7 em 1 + 6 uso a complementariedade do 1 e 9
9 7 9 1 6 10 6 16.+ = + + = + = 
Outro exemplo, extrapolando para uma soma de um número 
de dois algarismos com um número de um algarismo: 
quebro o 8 em 5 + 3 complementariedade do 5 e 5
75 8 75 5 3 80 3 83.+ = + + = + = 
• Adição com Números de Dois Algarismos 
Tomemos um exemplo inicial, no qual a soma das dezenas 
e a soma das unidades são ambas menores do que 9. Note 
que a ideia é quebrar o 32 em 30 + 2, resolvendo a adição 
em duas partes: 
adicione o 30 adicione o 2
47 32 77 2 79.+ = + = 
Vejamos agora um cálculo levemente mais complicado, no 
qual você deverá carregar um algarismo da unidade para a 
dezena: 
adicione o 20 adicione o 5
37 25 57 5 62.+ = + = 
Complicado? Provavelmente sim, caso seja a primeira vez 
que você esteja lidando com este tipo de cálculo. Então, que 
tal treinar um pouco antes do próximo passo? (observação: 
esse é o momento de se acostumar com o método acima, 
então não resolva de outra forma!) 
23 26 34 16
64 78 89 43
95 58 73 32
47 49 55 36
19 38 39 17
+ = + =
+ = + =
+ = + =
+ = + =
+ = + =
 
• Adição com Três Algarismos 
A estratégia aqui permanece a mesma: adicionar da 
esquerda para a direita, quebrando os cálculos em partes 
menores e mais simples. Vejamos um primeiro caso, no qual 
quebramos o 327 em 300 + 20 + 7. 
538 300 838 20
538 327 838 27 858 7 865.
+ +
+ = + = + = 
Pode ser útil que você pronuncie o processo mentalmente. 
Algo da forma 
538 mais 327 é 838 mais 27 que é 858 mais 7 que é 865. 
No meu caso, o que “escutei” quando fiz esse cálculo foi 
levemente diferente. Algo como 
538 mais 327 é 850 (530 + 320) mais 15 (8 + 7) que é 865. 
Pode ser que você escute ou visualize o processo enquanto 
quebra os cálculos, mas é fundamental que você reforce os 
passos intermediários do processo para que não precise 
voltar ao início. Vejamos outro exemplo: 
759 400 1159 90
759 496 1159 96 1249 6 1255.
+ +
+ = + = + = 
Dificilmente você terá que lidar com um caso mais 
complicado do que esse, uma vez que foi necessário 
carregar números três vezes: centena para milhar, dezena 
para centena e unidade para dezena. 
Porém, há uma forma muito mais simples de lidar com esse 
problema: quebrar o número 496 em 500 – 4. 
759 500
759 496 1259 4 1255.
+
+ = − = 
Até este ponto, estamos sempre somando o segundo 
número ao primeiro. Em certos casos, é válido fazer uma 
troca na ordem. Vejamos: 
207 500 707 30
207 538 707 38 737 8 745.
+ +
+ = + = + = 
A alternativa, muito útil quando o primeiro número é mais 
simples de ser quebrado do que o segundo, seria a seguinte 
troca 538 200
207 538 538 207 738 7 745.
+
+ = + = + = 
Hora de treinar: 
242 256 877 539
312 137 912 475
276 689 852 269
635 241 457 378
407 814 878 797
+ = + =
+ = + =
+ = + =
+ = + =
+ = + =
 
Que tal treinar agora alguns com quatro algarismos? 
5400 252
1800 855
6120 136
7830 348
4241 371
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
 
 
 
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• Subtração com Dois Algarismos 
Em geral, subtrações tendem a ser mais complicadas do 
que adições. Mas, se continuarmos resolvendo os 
problemas da esquerda para a direita, quebrando-os em 
problemas menores e mais simples de lidar, subtrair pode 
ser tão simples quanto adicionar. 
Comecemos então por um exemplo simples, no qual não é 
necessário pedir emprestado(o que ocorre quando um 
algarismo maior é subtraído de um menor): 
86 20
86 25 66 5 61.
−
− = − = 
Simples, não? 
Vejamos agora uma situação na que há a necessidade de 
pedir emprestado: 86 – 29. Podemos quebrar o 29 de duas 
formas: 20 + 9 ou 30 – 1. Assim, há dois caminhos 
possíveis: 
1º caminho ( )29 20 9= + : 
86 20
86 29 66 9 57.
−
− = − = 
2º caminho ( )29 30 1= − : 
86 30
86 29 56 1 57.
−
− = + = 
Ok, mas como saber qual dos caminhos utilizar? Via de 
regra, sempre que for necessário pedir emprestado, o 2º 
caminho será melhor. Nesse caso, você deverá arredondar 
o segundo número para cima (até um múltiplo de 10), 
subtrair esse número arredondado e adicionar a diferença 
do arredondamento. 
Exemplos: 
não é necessário
pedir emprestado
87 23 87 23 67 3 64.−  − = − = 
Veja que foi utilizado o 1º caminho, já que 7 – 3 > 0. 
é necessário pedir 83 30
 emprestado
83 27 83 27 53 3 56.
−
−  − = + = 
Já no 2º exemplo foi utilizado o 2º caminho, já que seria 
necessário pedir emprestado (uma vez que 3 – 7 < 0). Outra 
possibilidade seria quebrar o 27 em 24 + 3. Veja: 
é necessário pedir 83 23
 emprestado
83 27 83 27 60 4 56.
−
−  − = − = 
Hora de treinar por conta própria: 
38 23 63 46
84 59 51 27
92 44 89 47
67 43 125 79
79 29 148 86
− = − =
− = − =
− = − =
− = − =
− = − =
 
• Subtração com Três Algarismos 
Comecemos por um exemplo simples: 
958 400 558 10
958 417 558 17 548 7 541.
− −
− = − = − = 
Vamos agora a um caso no qual é necessário pedir 
emprestado: 747 – 598. Note que 598 = 600 – 2, logo: 
747 600
747 598 147 2 149.
−
− = + = 
Tente agora, rapidamente, com 853 – 692 e 725 – 468. 
853 700
853 692 153 8 161.
−
− = + = 
725 500
725 468 225 ? ?.
−
− = + = 
O segundo problema não é tão direto quanto o primeiro. 
Afinal, qual é a distância (em unidades) do 468 para o 500? 
Vejamos como podemos utilizar a técnica dos 
complementos nesses casos. 
• Usando Complementos 
Responda rápido: o quão distantes de 100 estão os números 
abaixo? 
57 68 49 21 74 
Eis as respostas: 
57 43 100
68 32 100
49 51 100
21 79 100
74 26 100
+ =
+ =
+ =
+ =
+ =
 
Note que, para cada par de números, os algarismos das 
dezenas somam 9, enquanto os das unidades somam 10. 
Dizemos, assim, que 43 é o complemento do 57 com 
relação ao 100, assim como o 32 é o complemento do 68, e 
assim por diante. 
Um erro comum ao tentarmos fazer esses cálculos 
rapidamente é fazer com que os algarismos das dezenas 
somem 10, assim como o das unidades! Mas note que se 
pensarmos em 53 como complemento do 57, teremos uma 
soma igual a 110 e não 100, como desejado! 
Vamos tentar novamente? Encontre os complementos de 
37 59 47 93 08 
Olhando para o 37: quanto devo adicionar ao 3 para chegar 
em 9? 6. Quanto devo adicionar ao 7 para chegar em 10? 3. 
Logo, 63 é o complemento de 37. 
 
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Notou que, novamente, o processo foi feito da esquerda 
para a direita?! Os demais complementos são 59|41, 47|53, 
93|07 e 08|92. 
Usando tais complementos, algumas subtrações podem ser 
facilitadas. Veja: 
725 500 complemento do 68 225 30
725 468 225 32 255 2 257.
− +
− = + = + = 
complemento do 59821 300 521 40
821 259 521 41 561 1 562.
− +
− = + = + = 
Sua vez! 
583 271 793 402
936 725 219 176
587 298 978 784
763 486 455 319
204 185 1428 571
− = − =
− = − =
− = − =
− = − =
− = − =
 
========== PARTE 2. Método Específico ========== 
Em cada uma das aulas será trabalhado um método 
específico de cálculo mental. Começaremos por um que 
exige duas habilidades matemáticas: saber a tabuada 
completa do 1 ao 9 (que será trabalhada na próxima aula) e 
adições mentais. 
• Método da Multiplicação Cruzada (Criss-Cross) 
Um método mais geral associado à matemática védica é o 
método criss-cross (produtos cruzados). Para ilustrá-lo, 
comecemos calculando o produto de dois números com dois 
algarismos: 23 12 . 
 
A lógica do método criss-cross pode ser ilustrada da 
maneira abaixo, na qual o 1º algarismo representa o 
algarismo das centenas, o 2º algarismo é o das dezenas e o 
3º algarismo é o das unidades: 
 
Vejamos outro exemplo, no qual é necessário carregar 
unidades de uma casa a outra: 41 32 . 
 
No caso acima, como o resultado do algarismo das dezenas 
foi igual a 11 e 11 dezenas equivalem a 1 centena e 1 
dezena, adiciona-se 1 centenas às 12 centenas pré-
existentes, totalizando 13 centenas. Por sua vez, 13 
centenas equivalem a 1 milhar e 3 centenas, resultando no 
número 1 312. 
Note que apesar de ter sido denominado neste material 
como um método de cálculo mental, não é necessário que 
todo o processo seja feito mentalmente! O que deve ser feito 
mentalmente são apenas as multiplicações cruzadas e 
adições, anotando os resultados e realizando as 
“transferências” entre unidades, dezenas, centenas, etc, 
posteriormente. 
Tente resolver as multiplicações abaixo usando o método! 
13 22
17 61
23 47
58 77
89 21
 =
 =
 =
 =
 =
 
Esse método pode parecer relativamente inútil para 
multiplicações de dois algarismos, mas vejamos uma 
extensão para o caso de multiplicações de números com 
três algarismos. Nesse caso, o método funciona da seguinte 
maneira: 
 
Tente resolver 137 214 antes de olhar o resultado abaixo. 
 
Uma pergunta que pode surgir neste ponto: é possível 
utilizar esse método, por exemplo, para uma multiplicação 
de um número com três algarismos por um número com dois 
algarismos? A resposta é sim, e a saída é simples: 
 
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Já consegue imaginar como fica o produto de dois números 
com quatro algarismos, né? 
 
Como exemplo, tomemos 1362 2174 . 
 
Tente agora resolver as seguintes multiplicações abaixo! 
117 632
215 818
1126 163
4127 7113
 =
 =
 =
 =
 
 
========== PARTE 3. Gabaritos ========== 
01. C