Aula 34

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Matemática
Função de 2º Grau
Professor Dudan
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Matemática
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FUNÇÃO DE 2º GRAU
Definição
Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR 
dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
f(x)=ax2+bx+c
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau é uma curva chamada parábola.
Exemplos de funções quadráticas:
f(x) = 3x² – 4x + 1, onde a = 3, b = – 4 e c = 1
f(x) = x² – 1, onde a = 1, b = 0 e c = – 1
f(x) = – x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
f(x) = – 4x², onde a = – 4, b = 0 e c = 0
→ Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
 concavidade voltada para cima concavidade voltada para baixo
 
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→ Outra relação importante na função do 2º grau é o ponto onde a parábola corta o eixo y. 
Verifica-se que o valor do coeficiente “c” na lei de formação da função corresponde ao valor do 
eixo y onde a parábola o corta.
→ A análise do coeficiente "b" pode ser orientada pela analise de uma reta “imaginária” que 
passa pelo “c” e pelo vértice. Assim:
Nos exemplos acima, se a reta “imaginária” for crescente, b > 0, caso contrário, b < 0, e no caso 
em que o vértice e o “c” coincidem, teremos b = 0 e uma simetria em relação ao eixo Y.
Atenção!
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o 
radicando ∆ , chamado discriminante:
Se ∆ > 0, há duas raízes Se ∆ = 0, há duas raízes Se ∆ < 0, não há raiz real.
reais e distintas; reais e iguais;
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Exemplo:
1. Complete as lacunas:
 
 
 
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2. Determine o valor de K para que a função f(x) = x² – kx + 9 tenha raízes reais e iguais.
Zero ou Raiz da Função
Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, os 
números reais x tais que f(x) = 0.
Para determinar as raízes, aplica-se a chamada fórmula de Bhaskara:
=− ± − = −x b b a c
a
sendo b a c4 .
2
, 4. .
2
2
Exemplo:
 3. Encontre as raízes de x² – 5x + 6.
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
A soma e o produto das raízes da função quadrática são dados pelas fórmulas:
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4. Determine a soma e o produto das raízes das funções abaixo.
a) f(x) = x² + 5x + 6 b) y = – x² – 4 c) f(x) = 6x² – 4x + 1 
Vértice da Parábola
O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor 
máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão 
definidos. Observe:
Para determinar o ponto de máximo (quando a < 0) ou ponto de mínimo (quando a > 0):
V(XV,YV)
XV = −
b
2a 
YV = −
Δ
4a
Atenção: Xv é o ponto médio das raízes reais.
 
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Exemplo:
5. Determine o vértice da parábola f(x) = 2x² – 8x + 5.
6. A função que define o lucro de uma empresa é L(x) = – 2x² + 32x + 10, sendo x o número de 
peças vendidas e L o lucro em milhares de reais. Determine:
a) Qual é o lucro na venda de 10 peças?
b) Quantas peças devem ser vendidas para obter o lucro máximo?
c) Qual é o lucro máximo?
7. A expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado, é:
a) f(x) = –2x2 – 2x + 4
b) f(x) = x2 + 2x – 4
c) f(x) = x2 + x – 2
d) f(x) = 2x2 + 2x – 4
e) f(x) = 2x2 + 2x – 2
8. Considere a função f: ℜ → ℜ definida por 
O valor de f(π) + f( 2 ) – f(1) é
a) π2+2 π -2
b) 2π + 2 2 – 2
c) π2 – 2
d) 2π + 1
e) 2 2 – π + 1
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9. Baseado no gráfico da função f(x) = ax2 + bx + c, com a, b, e c∈! , pode-se afirmar que:
a) a> 0,	
  Δ < 0 
b) a> 0,	
  Δ = 0 
c) a> 0,	
  Δ > 0 
d) a< 0,	
  Δ > 0 
e) a< 0,	
  Δ = 0 
10. A função f(x) = Ax2 + Bx + C, A≠ 0 tem como gráfico a figura abaixo. Podemos então concluir 
que:
a) A > 0, B2 < 4AC, C > 0
b) A > 0, B2 = 4AC, C > 0
c) A > 0, B2 > 4AC, C > 0
d) A < 0, B2 < 4AC, C < 0
e) A > 0, B2 < 4AC, C < 0
11. O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação 
y= – 40x2 + 200x, onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após 
o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar 
corresponde, respectivamente, a:
a) 6,25 m, 5s
b) 250 m, 0s
c) 250 m, 5s
d) 250 m, 200s
e) 10.000 m , 5s
12. Na parábola y = 2x² – (m – 3)x + 5, o vértice tem abscissa 1. A ordenada do vértice é:
a) 3
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7
Gabarito: 7. D 8. C 9. C 10. C 11. C 12. A