2013-2 AD1-AII - Gabarito

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Álgebra II
AD1 - Gabarito
Questão 1: (2,5 pontos) A caracteŕıstica de um anel A é o menor inteiro positivo n tal que
n · x = 0A para todo x ∈ A. Se tal elemento n não existe, dizemos que A tem caracteŕıstica
0. Notação: car(A).
(a) Mostre que se A é um anel com unidade e existe um menor inteiro positivo n tal que
n · 1A = 0A, então car(A) = n.
(b) Mostre que car (Zn) = n, qualquer que seja o natural n.
(c) Qual é a caracteŕıstica de Z?
Solução:
(a) Para todo x ∈ A, temos que
n · x = n · (1A · x) = (n · 1A) · x = 0A · x = 0A.
Falta verificar que n é o menor inteiro positivo que satisfaz a igualdade acima. De fato,
suponha que exista um inteiro positivo m, menor do que n, satisfazendo a igualdade acima.
Em particular tomando x = 1A, temos que
n · 1A = 0A,
contradizendo a hipótese de minimalidade de n.
Conclusão: car (A) = n.
(b) Sabemos que
Zn =
{
0, 1, 2, ..., n− 1
}
.
Pelo item anterior, basta determinarmos o menor inteiro positivo m tal que m · 1 = 0.
Observe inicialmente que
n · 1 = 1 + 1 + ... + 1 (n vezes) = n = 0
1
e, portanto, car (Zn) ≤ n. Além disso, se m < n, então
m · 1 = 1 + 1 + ... + 1 (m vezes) = m 6= 0.
Conclusão: car (Zn) = n
(c) Vamos mostrar que car (Z) = 0. De fato, suponha que car (Z) = n 6= 0. Então,
n · x = 0
para todo x ∈ Z. Em particular,
n = n · 1 = 0
o que contraria a hipótese de que car (Z) = n 6= 0.
Conclusão: car (Z) = 0.
Questão 2: (2,5 pontos) Considere o anel Z10.
(a) Mostre que
A =
{
0, 2, 4, 6, 8
}
é um subanel de Z10.
(b) Verifique se A possui unidade.
(c) A unidade de um subanel tem de ser a mesma do anel todo?
Solução:
(a) Observe que o conjunto A é formado pelas classes dos elementos pares e, portanto,
é fechado para a subtração e multiplicação. Dessa forma, A é um subanel de Z10.
(b) Pela tabela produto de A
· 0 2 4 6 8
0 0 0 0 0 0
2 0 4 8 2 6
4 0 8 6 4 2
6 0 2 4 6 8
8 0 6 2 8 4
observamos que a unidade de A é 6.
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(c) Não. Por exemplo, a unidade de Z10 é 1 e a unidade do seu subanel A é 6.
Questão 3: (2,5 pontos)
(a) Mostre que se I e J são ideais de um anel A, então
I + J = {x + y; x ∈ I e y ∈ J}
é um ideal de A.
(b) No item anterior, considere A = Z e suponha que
I = 〈m〉 = {a ·m; a ∈ Z} e J = 〈n〉 = {b · n; b ∈ Z} .
Mostre que
I + J = 〈d〉 ,
onde d = mdc (m,n).
Solução:
(a)
• 0A ∈ I e 0A ∈ J =⇒ 0A = 0A + 0A ∈ I + J
• Sejam z1, z2 ∈ I + J . Então
z1 = x1 + y1 e z2 = x2 + y2
com x1, x2 ∈ I e y1, y2 ∈ J . Dessa forma,
z1 + z2 = (x1 + y1) + (x2 + y2) = (x1 + x2) + (y1 + y2) ∈ I + J ,
visto que x1 + x2 ∈ I e y1 + y2 ∈ J .
• Sejam z ∈ I + J e a ∈ A. Então
z = x + y
com x ∈ I e y ∈ J . Assim,
a · z = a · (x + y) = a · x + a · y ∈ I + J ,
visto que a · x ∈ I e a · y ∈ J .
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Conclusão: I + J é um ideal de A.
(b)
• Sendo d = mdc (m,n) existem a, b ∈ Z tais que
d = a ·m + b · n
e, portanto, d ∈ I + J . Como I + J é um ideal de Z, então
x · d ∈ I + J , para todo x ∈ Z.
Conclusão: 〈d〉 ⊂ I + J
• Por outro lado, como d = mdc (m,n), então existem p, q ∈ Z tais que
m = p · d e n = q · d
e, portanto, m,n ∈ 〈d〉. Como 〈d〉 é um ideal de Z, então
x ·m + y · n ∈ 〈d〉 , para todos x, y ∈ Z.
Conclusão: I + J ⊂ 〈d〉.
Questão 4: (2,5 pontos) Considere ϕ : Z −→ Z8 definido por ϕ(a) = a, onde a é a classe
residual de a módulo 8.
(a) Mostre que ϕ é um homomorfismo entre aneis.
(b) Utilize o homomorfismo para mostrar que não existe nenhum cubo na sequência
2, 10, 18, ... = {8k + 2; k = 0, 1, 2, ..} .
Solução:
(a)
• ϕ (1) = 1
4
• ϕ (x + y) = x + y = x + y = ϕ (x) + ϕ (y)
• ϕ (x · y) = x · y = x · y = ϕ (x) · ϕ (y)
(b) Observe, inicialmente, que
ϕ (8k + 2) = 8k + 2 = 2.
Suponha que exista um elemento 8k0 + 2 da sequência tal que 8k0 + 2 = a
3, para algum
a ∈ Z. Dessa forma, tem-se
2 = ϕ (8k0 + 2) = ϕ
(
a3
)
= (ϕ (a))3 ,
onde ϕ (a) ∈ Z8. Entretanto, observamos que
• 03 = 23 = 43 = 63 = 0 6= 2
• 13 = 1 6= 2
• 33 = 3 6= 2
• 53 = 5 6= 2
• 73 = 7 6= 2
Conclusão: Não existe nenhum cubo na sequência dada.
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