DINAMICA DE CORPOS RÍGIDOS_Cap 6_EXERC RESOLV

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1 
 
Gabarito de Questões de Dinâmica de Corpos Rígidos 
 
Assunto: Cap 6 – Equações de de movimento de Lagrange 
 
17.5 (Hibbeler) – Cada uma das barras delgadas mostradas tem 0,75 m de 
comprimento e 6 kg de massa. Se o sistema é liberado do repouso com  = 60o, 
determine (a) a velocidade angular da barra AB quando  = 20o e (b) a velocidade 
do ponto D no mesmo instante. 
 
 
 
 
 
a) Potencial das barras AB e BD: 
   G GAB BD
L
U W y W y 2W sen W Lsen
2
 
        
  
b) Energia cinética das barras AB e BD na posição 2: 
2 2 2 2 2 2
G G G G A C
AB AB BD BD AB BD
2 2
A C
AB BD
1 1 1 1 1 1
T m v I m v I I I
2 2 2 2 2 2
1 1
I I
2 2
           
                          
           
   
        
   
 
c) Lagrangeano: 
2 2
A C
AB BD
L T U
1 1
L I I W L sen
2 2
 
   
           
   
 
d) Aplicação da equação de Lagrange sobre o Lagrangeano: 
2 
 
A C
L d L
0
dt
W L cos I I 0
 
 
 
         
 
 A CI I W Lcos 0      
 
 
 
A C
W L
cos classe 2 de movimento
I I

      

 
e) Integração da equação movimento: 
 
d
dt

   , 
d d
dt
dt
 
   

 
 
d
d d
d

         

 
 A C60 0
W L
cos d d
I I
  
      
  
  
 
 2
A C
2W L
sen sen60
I I

    

 
f) Cálculo do centro instantâneo C: 
       2 2 2CG BC BG 2 BC BG cos 2 
 
 
       
 
2
2 2 L LCG L 2 L cos 2
2 2
 
    
2
2 25LCG L cos 2
4
 
Para β = 20: 
 

     
2
2 25 0,75CG 0,75 cos 2 20 CG 0,522m
4
 
 
  
   
 
     
 
2
2 2 2
2 6 9,81 0,75
sen20 sen60
1 1
6 0,75 6 0,75 6 0,522
3 12
 
       2 AB rad15,21 3,9 ks 
 
 
3 
 
18.9 (Hibbeler) – A barra de 60 kg, AO, é liberada do repouso quando  = 0°. 
Determine sua velocidade angular quando  = 45°. A mola permanece vertical 
durante o movimento e não está deformada quando  = 0°. 
 
a) Potencial devido a gravidade da barra OA: 
 
 
         
 
g G OA
L L
U W y W sen W sen
2 2
 
b) Potencial devido a mola: 
        
2 22
m
k 1 1
U Δy k y k Lsen
2 2 2 
b) Energia cinética das barras AB e BD: 
2 2 2
G G O
1 1 1
T m v I I
2 2 2
       
 
c) Lagrangeano: 
 
 
        
22
C
L T U
1 W 1
L I L sen k L sen
2 2 2
 
d) Aplicação da equação de Lagrange sobre o Lagrangeano: 
 
 
 

        2 C
L d L
0
dt
W L
cos k L sen cos I 0
2
 

       2C
W L
I cos k L sen cos 0
2
 
   
 
        
2
C C
W L k L
cos sen cos classe 2 de movimento
2I I
 
e) Integração da equação movimento: 
 
d
dt

   , 
d d
dt
dt
 
   

 
4 
 
 
d
d d
d

         

 
   
        
 
 
2
C C0 0
W L k L
cos sen cos d d
2I I
 
 
  
      
 
2
2 2
C
2 W L k L
sen sen
I 2 2
 
Para  = 45°: 
     2 AB rad3,18 1,78 ks 
 
5 
 
18.10 (Hibbeler) – A barra de 30 kg é solta do repouso quando  = 0°. Determine 
sua velocidade angular quando  = 90°. A mola não está deformada quando  = 
0°. 
 
a) Potencial devido a gravidade da barra OA: 
 
 
         
 
g G OA
L L
U W y W sen W sen
2 2
 
b) Potencial devido a mola: 
     oL 2 L cos0 2 1,5 0,5 
       
2 2
fL 2 L cos Lsen 
               
2
2 2 2
m
k 1
U ΔL k 2 Lcos Lsen 0,5
2 2 
b) Energia cinética das barras AB e BD: 
2 2 2
G G O
1 1 1
T m v I I
2 2 2
       
 
c) Lagrangeano: 
   
 
 
            
  
2
2 22
C
L T U
1 W 1
L I L sen k 2 L cos Lsen 0,5
2 2 2
 
d) Aplicação da equação de Lagrange sobre o Lagrangeano: 
   
 
 
 
    
                 
2
2 2
C
L d L
0
dt
W L k
sen 2 L cos Lsen 0,5 I 0
2 2
 
   
    
                 
2
2 2
C
W L k
I sen 2 L cos Lsen 0,5 0
2 2
 
       
    
                   
2
2 2
C
1
W Lsen k 2 L cos Lsen 0,5 classe 2 de movimento
2I
 
e) Integração da equação movimento: 
6 
 
 
d
dt

   , 
d d
dt
dt
 
   

 
 
d
d d
d

         

 
   
     
                  
 
2
2 2
C 0 0
1
W Lsen k 2 L cos Lsen 0,5 d d
2I
 
     
  
                
2
2 22
C
1
W Lsen k 2 L cos Lsen 0,5
I
 
Para  = 90°: 
 
               
2
2 2 2
2
1
0 30 9,81 1,5 80 2 1,5 0,5
1
30 1,5
3
 
        2 0 0,044 441,45 320 5,34 
     2 AB rad5,34 2,31 ks 
 
 
 
 
7 
 
18.11 (Hibbeler) – A barra de 30 kg é solta do repouso quando  = 45°. Determine 
a velocidade angular da barra quando  = 0°. A mola não está deformada quando 
 = 0°. 
 
a) Potencial devido a gravidade da barra AB: 
 
 
       
 
g G OA
L L
U W y W sen W sen
2 2
 
b) Potencial devido a mola: 
       
2 2
m
k 1
U Δx k L L cos
2 2 
c) Energia cinética das barras AB: 
2 2 2
G G C
1 1 1
T m v I I
2 2 2
        
d) Lagrangeano: 
 
 
 
          
 
22
C
L T U
1 L 1
L I W sen k L L cos
2 2 2
 
e) Aplicação da equação de Lagrange sobre o Lagrangeano: 
 
 
 
 

          2 C
L d L
0
dt
W L
cos k L 1 cos sen I 0
2
 
 

        2C
W L
I cos k L 1 cos sen 0
2
 
     
 
            
 
2
C
1 W L
cos k L 1 cos sen classe 2 de movimento
I 2
 
f) Integração da equação movimento: 
8 
 
 
d
dt

   , 
d d
dt
dt
 
   

 
 
d
d d
d

         

 
 
 

 
           
 
 
2
C45 0
1 W L
cos k L 1 cos sen d d
I 2
 
 


  
      
 
 
2
2 2
C
45
1 cos2 W L
sen k L
I 2 2
 
Para  = 0°: 
 
                                          
2 2
2
2 2
C C
2 W L 2 k L 2 1 2 2
0 0 1 W L k L 1
I 2 2 2 2 I 2 2
 
 
  
              
2
2 2
2
1 2 2
0 30 9,81 1,5 300 1,5 1
1 2 2
30 1,5
3
 
     2 AB rad16,28 4,03 ks 
 
9 
 
18.46 (Hibbeler) – O sistema consiste de um disco A, de 10 kg, uma barra fina 
BC de massa 2 kg, e um anel liso C, de 0,5 kg. Se o disco rola sem deslizar, 
determine a velocidade do anel no instante  = 30. O sistema é liberado do 
repouso quando  = 45. 
 
 
a) Potencial devido a gravidade da barra BC: 
 
 
       
 
g G B BBC
L L
U W y W sen W sen
2 2
 
b) Potencial devido a gravidade do anel: 
         g C A AAU Wy W Lsen W Lsen 
c) Energia cinética das barras BC: 
  2CI BC
1
T I
2
   
d) Energia cinética do anel A: 
   
2 2
2
A C A C/CI A
1 1 1
T m v m r m L cos
2 2 2
           
e) Energia cinética do disco: 
  2CI D
1
T I
2
  
 
d) Lagrangeano: 
   
 
 
                
 
2 2 2 2 2
CI CI A B AB D
L T U
1 1 1 L
L I I m L cos W sen W Lsen
2 2 2 2
 
e) Aplicação da equação de Lagrange sobre o Lagrangeano: 
L d L
0
dt
 
 
 
 
 

            

2 2
B A A
L L
W cos W L cos m L cos sen
2
 
10 
 
    2 2CI CI AB D
d L
I I m L cos
dt

         

 
     
 
                      
 
2 2 2 2
CI CI A B A AB D
L
I I m L cos W cos W L cos m L cos sen 0
2
 
   
 
 
              
      
2 2
B A A2 2
CI CI AB D
1 L
W cos W L cos m L cos sen
2I I m L cos
 
f) Integração da equação movimento: 
 
d
d d
d

         

 
   
 
 
 
                
      
 
2 2
B A A2 2
0CI CI Ao B D
1 L
W cos W L cos m L cos sen d d
2I I m L cos
 
Considerando: 
   
 
        
      
30
2
B A2 2
45CI CI AB D
1 L
W sen W Lsen
2I I m L cos
 
Para  = 30°: 
 
    
   
 
       
 
2
2 2 2 2 2
2 9,81 0,45 0,5 9,81 0,9
sen30 sen45
1 1
2 0,9 10 0,24 10 0,24 0,5 0,9 cos 30
3 2
 
    2 7,755 0,5 0,707 
      2 BC rad1,61 1,27 ks 
       A BC C/CI A mv r 1,27 0,9cos30 v 0,988 s 
 
11 
 
18.51 (Hibbeler) – O pêndulo de 30 kg tem seu cenrtro de massa em G e raio de 
giração em relação ao ponto G de kG = 300 mm. Se ele é solto do repouso quando 
 = 0°, determine sua velocidade angular quando  = 90°. A mola AB tem rigidez 
de k = 300 N/m não está deformada quando  = 0°. 
 
a) Potencial devido a gravidade do pêndulo: 
           g GU W y W 0,35sen W 0,35sen 
b) Potencial devido a mola: 
   oL 0,6 0,45cos0 0,15 
       
2 2
fL 0,6 0,45cos 0,45sen 
               
2
2 2 2
m
k 1
U ΔL k 0,6 0,45cos 0,45sen 0,15
2 2 
b) Energia cinética das barras AB e BD: 
2 2 2
G G O
1 1 1
T m v I I
2 2 2
       
 
c) Lagrangeano: 
   
 
 
            
  
2
2 22
C
L T U
1 k
L I W 0,35sen 0,6 0,45cos 0,45sen 0,15
2 2
 
d) Aplicação da equação de Lagrange sobre o Lagrangeano: 
   
 
 
 
    
                  
2
2 2
C
L d L
0
dt
k
W 0,35sen 0,6 0,45cos 0,45sen 0,15 I 0
2
 
12 
 
   
    
                  
2
2 2
C
k
I W 0,35sen 0,6 0,45cos 0,45sen 0,15 0
2
 
       
    
                   
2
2 2
C
1 k
W 0,35sen 0,6 0,45cos 0,45sen 0,15 classe 2 de mov.
I 2
e) Integração da equação movimento: 
 
d
dt

   , 
d d
dt
dt
 
   

 
 
d
d d
d

         

 
   
     
                  
 
2
2 2
C0 0
1 k
W 0,35sen 0,6 0,45cos 0,45sen 0,15 d d
I 2
 
     
  
                
2
2 22
C
2 k
W 0,35sen 0,6 0,45cos 0,45sen 0,15
I 2
 
Para  = 90°: 
 
 
                  
2
2 2 2
2 2
2 300
0 30 9,81 0,35 0,6 0,45 0,15
230 0,3 30 0,35
 
        2 0 0,3137 103 54 15,37 
     2 AB rad15,37 3,92 ks 
 
13 
 
18.53 (Hibbeler) – Uma mola com rigidez k = 300 N/m está fixada a extremidade 
de uma barrande 15 kg, e não está deformada quando  = 0°. Se a barra é liberada 
do repouso quando  = 0°, determine sua velocidade angular quando  = 30°. O 
movimento acontece no plano vertical. 
 
a) Potencial devido a gravidade da barra AB: 
 
 
          
 
g G OA
L L
U W y W sen W sen
2 2
 
b) Potencial devido a mola: 
        
2 2
m
k 1
U Δy k L sen
2 2 
c) Energia cinética das barras AB: 
2 2 2
G G C
1 1 1
T m v I I
2 2 2
        
d) Lagrangeano: 
 
 
 
         
 
22
C
L T U
1 L 1
L I W sen k L sen
2 2 2
 
e) Aplicação da equação de Lagrange sobre o Lagrangeano: 
 
 
 
 
  
            
2
C
L d L
0
dt
L 1
W sen k L sen I 0
2 2
 
 
  
            
2
C
L 1
I W sen k L sen 0
2 2
 
     
  
             
2
C
1 L 1
W sen k L sen classe 2 de movimento
I 2 2
 
f) Integração da equação movimento: 
14 
 
 
d
dt

   , 
d d
dt
dt
 
   

 
 
d
d d
d

         

 
 
 

  
            
 
2
C45 0
1 L 1
W sen k L sen d d
I 2 2
 
 


 
        
 
30
22
C 0
2 L 1
W sen k L sen
I 2 2
 
Para  = 30°: 
   
     
                   
       
2
22 2
C C
2 L 1 2 L 1 k 1
0 W sen k Lsen W L
I 2 2 I 2 2 2 2
 
 
 
         
 
2 2
2
2 0,6 300 1
0 15 9,81 0,6
1 4 2 4
15 0,6
3
 
       2 AB rad9,52 3,09 ks 
 
15 
 
18.66 – A montagem consiste de duas barras de 4 kg que estão conectadas por 
pinos aos dois discos de 5 kg. Se as barras liberadas do repouso quando  = 60°, 
determine suas velocidades angulares no instante  = 0°. Suponha que os discos 
rolam sem deslizar. 
 
 
a) Potencial devido a gravidade das barras AB e BC: 
   
 
         
 
g G GAB BC
0,9
U W y W y 2 4 9,81 sen 35,316sen
2
 
c) Energia cinética das barras AB e BC: 
   2CI bar
1
T 2 I
2
 
d) Energia cinética do disco: 
   2CI dis c
1
T 2 I
2 
c) Lagrangeano: 
   
 
        2 2CI CIbar dis c
L T U
1 1
L T 2 I 2 I 35,316sen
2 2
 
d) Aplicação da equação de Lagrange sobre o Lagrangeano: 
     
 
 
 

        

CI CIbar dis c
L d L
0
dt
35,316sen 2 I 2 I 0
 
     

        
CI CIbar dis c
2 I 2 I 35,316sen 0 
 
   
   

      
 CI CIbar dis c
1
35,316sen classe 2 de movimento
2 I 2 I
 
e) Integração da equação movimento: 
16 
 
 
d
d d
d

         

 
   
 
 

     
  CI CI60 0bar dis c
1
35,316sen d d
2 I 2 I
 
 
   
      

2
CI CIbar dis c
2
35,316sen 35,316sen60
2 I 2 I
 
Para  = 30°: 
        
 
     
 
2
2 2 2
1
0 35,316sen30 35,316sen60
1 1
4 0,9 5 0,15 5 0,15
3 2
 
        2 0 0,8008 12,93 
     2 AB rad10,35 3,22 ks