Exercícios Álgebra Linear - tema 12

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04/12/2020 Exercícios de Fixação - Tema 12
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Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Iniciado em domingo, 25 Out 2020, 13:01
Estado Finalizada
Concluída em domingo, 25 Out 2020, 13:02
Tempo
empregado
44 segundos
Avaliar 5,00 de um máximo de 5,00(100%)
Os subespaços de um espaço vetorial euclidiano podem ser compreendidos como subespaços vetoriais de uma
dimensão finita, submetidos à chamada regra do produto interno. Este produto interno diz respeito às coordenadas de
um ou mais vetores.
BARBOSA, José Augusto Trigo. Noções sobre Álgebra Linear. Porto: FEUP Edições, 2012.
Considerando o conteúdo exposto, considere o vetor e assinale a opção correta. 
 
Escolha uma opção:
a. A norma deste vetor é igual a 10. 
b. O vetor está inscrito em um plano cartesiano de dimensão R².
c. Este vetor pode estar incluso em um espaço vetorial de dimensão R¹.
d. O produto interno é igual a 190.
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: A norma deste vetor é igual a 10..
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04/12/2020 Exercícios de Fixação - Tema 12
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Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Os subespaços vetoriais euclidianos são conjuntos de elementos que devem, prioritariamente, estar inseridos em um
espaço vetorial finito. Estes subespaços possuem algumas propriedades específicas em relação ao seu produto
interno.
SANTANA, Ana Paula; QUEIRÓ, João Filipe. Introdução à Álgebra Linear. Lisboa: Gradiva, 2010.
Desta forma, considere os vetores e e assinale a opção correta.
Escolha uma opção:
a. A dimensão destes vetores é uma dimensão finita n = 2.
b. . 
 
c. A norma destes vetores é igual a 15.
d. O produto interno entre estes vetores é igual a 37. 
u(5, 3, 6) v(2, 7, 1)
< u, v >= 31
Sua resposta está correta.
Pela regra do produto interno para dois vetores diferentes, temos o seguinte: 
.
Caso os vetores estejam inseridos em um espaço R³, o produto interno é expresso por:
.
Assim, para os vetores e temos:
.
 
 
A resposta correta é: O produto interno entre estes vetores é igual a 37..
< u, v >= ( ∗ ) + ( ∗ )x1 x2 y1 y2
< u, v >= ( ∗ ) + ( ∗ ) + ( ∗ )x1 x2 y1 y2 z1 z2
u(5, 3, 6) v(2, 7, 1)
< u, v >= (5 ∗ 2) + (3 ∗ 7) + (6 ∗ 1) = 37
As principais propriedades que dizem respeito aos subespaços vetoriais são formadas a partir das propriedades que
definem também os espaços vetoriais; por exemplo, pode-se citar a existência de um vetor nulo.
BARBOSA, José Augusto Trigo. Noções sobre Álgebra Linear. Porto: FEUP Edições, 2012. 
Desta forma, sabendo-se da existência de um espaço vetorial V, e de um conjunto S, qual das condições que se
seguem deve ser obedecida para que S seja um subespaço vetorial de V?
Escolha uma opção:
a. Para um vetor , um vetor –d não pertence a S. 
 
 
b. A soma entre os produtos de dois vetores e dois escalares, um a um, deve fazer parte do conjunto S. 
c. S deve ser um conjunto vazio.
d. O produto entre um vetor nulo e um escalar gera o escalar como resultado.
d ∈ S
Sua resposta está correta.
Os subespaços vetoriais são caracterizados quando, supondo a existência de dois vetores (u, v) e dois escalares (k,
m), a soma entre os produtos destes vetores e destes escalares deve fazer parte do subconjunto S: 
.
Esta é uma das condições fundamentais para que um conjunto S seja um subespaço vetorial do espaço V.
A resposta correta é: A soma entre os produtos de dois vetores e dois escalares, um a um, deve fazer parte do
conjunto S..
[(k ∗ u) + (m ∗ v)] ∈ S
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Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Os subespaços vetoriais caracterizam-se, principalmente, pelo fato de estarem inseridos dentro de um conjunto
denominado espaço vetorial. Os espaços vetoriais possuem regras, teoremas e propriedades específicas a serem
obedecidas.
BARBOSA, José Augusto Trigo. Noções sobre Álgebra Linear. Porto: FEUP Edições, 2012.
Desta forma, considerando o conteúdo exposto, analise as afirmativas a seguir. 
I. Os subespaços vetoriais sempre terão dimensão inferior à dimensão de um espaço vetorial. 
II. Para que um subespaço vetorial seja caracterizado, a propriedade de adição demonstra que a soma entre dois
vetores de um subespaço deve estar inserida dentro do espaço vetorial.
III. Vetores nulos devem fazer parte dos subespaços vetoriais, sendo que pode haver apenas um vetor nulo para que
exista um subespaço. 
Agora, assinale a opção que contém as afirmativas corretas.
Escolha uma opção:
a. Apenas II e III.
b. Apenas III. 
c. Apenas I.
d. Apenas I e II.
Sua resposta está correta.
A terceira afirmativa está correta. A partir das propriedades básicas relacionadas aos subespaços vetoriais, um
subespaço vetorial S estará caracterizado quando, dentro deste conjunto, houver um vetor nulo, ou seja, de
coordenadas nulas (por exemplo, (0,0,0), para um vetor de dimensão R³). Há apenas um vetor nulo dentro de um
espaço vetorial, logo, apenas um vetor nulo poderá existir dentro de um subespaço para que ele possa ser
caracterizado desta forma.
A resposta correta é: Apenas III..
A notação (V, + , ∙ )é comumente utilizada para demonstrar a existência de um espaço vetorial a partir de suas
estruturas principais, que definem este espaço. Neste sentido, cabe enfatizar que esta notação é válida também para o
subespaço vetorial S.
SANTANA, Ana Paula; QUEIRÓ, João Filipe. Introdução à Álgebra Linear. Lisboa: Gradiva, 2010.
O conjunto dos números naturais positivos N = {1,2,3,4,...} pode ser considerado um subespaço vetorial do conjunto R
dos números reais?
Escolha uma opção:
a. Não, dada a inexistência de um vetor nulo. 
b. Sim, para N < 0.
c. Não, pois a soma entre dois vetores gera um número não-natural.
d. Sim, apenas se os números naturais forem superiores a zero.
Sua resposta está correta.
O conjunto dos números naturais positivos exclui o elemento n = 0. Assim, o conjunto N não inclui um vetor nulo; desta
forma não pode ser formado um subespaço vetorial com este conjunto. 
 
 
A resposta correta é: Não, dada a inexistência de um vetor nulo..
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