Avaliação I Gabarito

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Disciplina:	Análise Matemática (MAT27)
Avaliação:	Avaliação I - Individual FLEX ( Cod.:649880) ( peso.:1,50)
Prova:	26197045
Nota da Prova:	4,00		
Legenda:  Resposta Certa   Sua Resposta Errada  
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	1.
	O conjunto IN = {1, 2, 3, 4, ...} é usado para contagens. De tão natural, IN é chamado de conjunto dos números naturais, o primeiro conjunto numérico que aparece na história de qualquer civilização ou em qualquer tratado sobre os fundamentos da Matemática. Quanto à característica dos números naturais, analise as sentenças a seguir:
I- As propriedades do conjunto dos números naturais podem ser demonstradas a partir dos axiomas de Peano.
II- Todo número natural n tem sucessor e é sucessor de alguém, salvo o número 0, que não tem esta segunda propriedade.
III- O conjunto dos números naturais é bem ordenado, através do conceito de 'maior que'.
IV- Ao compararmos dois números naturais, obrigatoriamente, ou um é menor do que o outro, ou eles são iguais (propriedade da tricotomia).
	 a)
	As sentenças I, II e IV estão corretas.
	 b)
	As sentenças I e III estão corretas.
	 c)
	As sentenças II e III estão corretas.
	 d)
	As sentenças I e IV estão corretas.
	2.
	Georg Cantor foi o matemático que revolucionou a Teoria dos Conjuntos com seus estudos sobre conjuntos infinitos. Mostrou, por exemplo, que nem todos os conjuntos infinitos são iguais, existindo infinitos de tamanhos diferentes. Foi ele também que distinguiu conjuntos infinitos que podem ou não ser enumeráveis. Podemos dizer que um subconjunto dos naturais é infinito quando não possui um maior elemento fixo. Assinale a alternativa CORRETA que possui somente conjuntos infinitos:
	 a)
	O conjunto dos múltiplos do número 360, o conjunto dos pontos entre 0 e 1, o conjunto das estrelas no universo.
	 b)
	O conjunto dos múltiplos do número 360, o conjunto dos números primos, o formado pelos números que são produto entre um número natural e o seu inverso multiplicativo.
	 c)
	O formado pelos números que são produto entre um número natural e o seu inverso multiplicativo, o conjunto dos pontos entre 0 e 1, o conjunto das estrelas no universo.
	 d)
	O conjunto dos múltiplos do número 360, o conjunto dos pontos entre 0 e 1, o conjunto dos números primos.
	3.
	Quanto ao método de demonstração por redução ao absurdo, sabemos que a teoria é muito curta e intuitiva, porém a pratica pode ser muito complicada. Para demonstrar alguma proposição por absurdo você deve assumir que a negação dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da negação implica que a negação é falsa, que de acordo com a hipótese inicial, torna a negação falsa e a afirmação verdadeira. Baseado nesta técnica, analise as sentenças a seguir que podem ser provadas por redução ao absurdo:
I- Se x + x = x, obrigatoriamente x = 0.
II- Mostrar que o conjunto dos racionais é enumerável.
III- Mostrar que a soma dos primeiros n números pares é n + n².
IV- Provar que raiz de 3 é irracional.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As sentenças I e II estão corretas.
	 b)
	As sentenças II e III estão corretas.
	 c)
	As sentenças I e IV estão corretas.
	 d)
	As sentenças I, II e IV estão corretas.
	4.
	No cotidiano, usamos expressões sem perceber que representam expressões algébricas ou numéricas. As expressões algébricas são encontradas, muitas vezes, em fórmulas matemáticas, por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas. Agora, utilize a prova direta, se achar necessário, para reconhecer qual das seguintes expressões algébricas é equivalente a:
	
	 a)
	3t²+9t+18=0
	 b)
	t²+6t+6=0
	 c)
	t²+6t+18=0
	 d)
	2t²+8t+18=0
	5.
	Muitas vezes, para provar que um conjunto é enumerável, precisamos construir uma função que associe cada um dos elementos do conjunto a um número natural, em seguida provamos que esta função é injetora e assim concluímos que o conjunto é enumerável. Qual das seguintes funções dos naturais em X é a função que prova que o conjunto X={1, 5, 14, 30, ...} é enumerável?
	 a)
	(n+1)n(2n²+1)/6
	 b)
	(n+1)n²(2n+1)/6
	 c)
	(n+1)n(2n+1)/6
	 d)
	(n²+1)n(2n+1)/6
	6.
	O Princípio da Indução é um eficiente instrumento para a demonstração de fatos referentes aos números naturais. Por isso, deve-se adquirir prática em sua utilização. Por outro lado, é importante também conhecer seu significado e sua posição dentro da Matemática. Em outras palavras, entender o Princípio da Indução é praticamente o mesmo que entender os números naturais. O conjunto dos números naturais é fundamentado pelos axiomas de Peano. Sendo assim, sobre os itens que contém axiomas de Peano, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Existe um único elemento 1 no conjunto N, tal que 1 não é sucessor de ninguém.
(    ) Um número natural possui apenas um sucessor.
(    ) Se um subconjunto X pertence a N é tal que 1 pertence a N e o seu sucessor pertence a X, então X = N.
(    ) A função que associa dois números naturais é bijetiva.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - F - V - F.
	 b)
	V - V - F - F.
	 c)
	F - V - F - V.
	 d)
	V - V - V - F.
	7.
	Quando conhecemos as propriedades de um conjunto X, por muitas das vezes, podemos aferir condições existentes para quaisquer subconjuntos não-vazios de X. Pois os subconjuntos carregam as propriedades e características do conjunto em que estão contidos. Sobre as propriedades que qualquer subconjunto X não-vazio dos naturais possuem, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) X é infinito.
(    ) X é limitado.
(    ) X possui elemento neutro.
(    ) X possui um maior elemento.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - F - V - V.
	 b)
	V - F - V - V.
	 c)
	V - V - F - F.
	 d)
	F - V - F - V.
	8.
	Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas operações aritméticas não eram fechadas dentro dos conjuntos em que eram realizadas. Assim, por exemplo, o conjunto dos números inteiros surgiu como extensão do conjunto dos números naturais. Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Os números naturais são fechados com relação à adição.
	 b)
	Os números irracionais são fechados com relação à divisão.
	 c)
	A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um número irracional.
	 d)
	Os números racionais são fechados com relação à divisão.
	9.
	Analisando a matemática, as operações realizadas são pautadas em conjuntos numéricos. Verifique as sentenças a seguir:
I- {-1, 0, 1} pertence ao conjunto dos números Inteiros.
II- {1, 2, 3, 4} pertence ao conjunto dos números Naturais.
III- {-2; -1/2; 0; 0,5; (pi)} pertence ao conjunto dos números Racionais.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As opções II e III estão corretas.
	 b)
	Somente a opção II está correta.
	 c)
	As opções I e II estão corretas.
	 d)
	Somente a opção I está correta.
	10.
	Os Números Naturais são apresentados de forma axiomática pelos postulados de Peano. Isto significa que, ao invés de considerar a existência dos números naturais, Peano considerou a existência dos postulados e, a partir daí, construiu o conjunto dos números naturais. De uma forma coloquial, podemos apresentar os três postulados de que forma?
	 a)
	I- Se dois elementos possuem dois sucessores diferentes, então eles são iguais.
II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	 b)
	I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- O número 1 é o único elemento que não é sucessor de nenhum outro.
III- Se o elemento 1 pertence ao conjunto X e se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	 c)
	I- Se dois elementos possuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- O número 1 é o único elemento que não possui sucessor.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
	 d)
	I- Se dois elementospossuem o mesmo sucessor, então eles são iguais.
II- Todo elemento é sucessor de algum outro elemento.
III- Se para qualquer elemento n de X o sucessor de n também é elemento de X, então X = N.
Prova finalizada com 4 acertos e 6 questões erradas.
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