Supercompilado APX2 2020.2 - Métodos Estatísticos 2

Métodos Estatísticos II

•
CEDERJ

cederjiana RJ
07/12/2020
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Aula do dia 01-12-2020 - Metodos Estatistico II - AP3 - revisao.pdf
Aula do dia 01-12-2020 - Metodos Estatistico II - AP3 - revisao.notebook
1
December 01, 2020
Aula do dia 01-12-2020 - Metodos Estatistico II - AP3 - revisao.notebook
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6
December 01, 2020
APX2_ Revisão da tentativa (1).pdf
22/11/2020 APX2: Revisão da tentativa
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Painel / Minhas Disciplinas / Métodos Estatísticos II / Semanas 14 e 15 - APX2 - 09/11 a 22/11 / APX2
Questão 1
Incorreto
Atingiu 0,00 de
0,25
Questão 2
Correto
Atingiu 0,25 de
0,25
Questão 3
Correto
Atingiu 0,25 de
0,25
Questão 4
Correto
Atingiu 0,25 de
0,25
Iniciado em domingo, 22 nov 2020, 11:53
Estado Finalizada
Concluída em domingo, 22 nov 2020, 13:56
Tempo
empregado
2 horas 3 minutos
Avaliar 8,25 de um máximo de 10,00(83%)
Deseja-se testar, com um teste de hipótese estatístico, se o tempo médio de resolução da AP é maior que 240 minutos.
Nesse caso, o sinal na hipótese alternativa será >. 
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso 
A resposta correta é 'Verdadeiro'.
Para estimar a média de uma população normal, fixados o nível de confiança e o tamanho da amostra, quanto maior a
variância populacional, maior a margem de erro.
Escolha uma opção:
Verdadeiro 
Falso
A resposta correta é 'Verdadeiro'.
Seja uma população representada pela variável aleatória 
. 
Para realizar um teste de hipótese sobre a média é necessário o uso do Teorema Limite Central. 
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso 
A resposta correta é 'Falso'.
No cálculo do valor P de um teste de hipótese, supõe-se que a hipótese nula seja verdadeira. 
Escolha uma opção:
Verdadeiro 
Falso
A resposta correta é 'Verdadeiro'.
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/my/
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/course/view.php?id=354
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/course/view.php?id=354&section=14
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/mod/quiz/view.php?id=354779
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/filter/tex/displaytex.php?texexp=X%5Csim%20N%28%5Cmu%3B16%29
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cmu
22/11/2020 APX2: Revisão da tentativa
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Questão 5
Incorreto
Atingiu 0,00 de
1,00
Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Questão 7
Correto
Atingiu 1,50 de
1,50
Deseja-se estimar a proporção de alunos favoráveis a determinado projeto da coordenação do curso de Administração de
determinada universidade. Para isso, será feita uma pesquisa com uma amostra de alunos, sorteada aleatoriamente. O
coordenador do curso de Administração, responsável pela pesquisa, precisa determinar o tamanho de amostra e, para
isso, pretende usar a informação de que essa proporção estava entre  0,6 e 0,7 em outros cursos da universidade. Qual
deve ser o tamanho de amostra mínimo necessário para que, com nível de confiança de 80%, a margem de erro seja de,
no máximo, 0,075? 
Escolha uma opção:
3
70
9
64
69 
Sua resposta está incorreta.
A resposta correta é: 70.
Deseja-se estimar a média de uma população normal, cujo desvio padrão é 2,15. Qual deve ser o tamanho de amostra
mínimo necessário para que, com nível de confiança de 95%, a margem de erro seja de, no máximo, 0,07? 
Escolha uma opção:
61
8
3625 
3600
3624
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: 3625.
(Calcule a margem de erro com 4 casas decimais!) Desejando estimar a proporção de alunos favoráveis a determinado
projeto da coordenação do curso de Administração de sua universidade, o coordenador realiza uma pesquisa com uma
amostra de 625 alunos, dos quais 500 se mostram favoráveis ao projeto. O intervalo de confiança de nível 80% para a
verdadeira proporção dos alunos favoráveis ao projeto é 
Escolha uma opção:
(0,7795 ; 0,8205). 
(0,784 ; 0,816).
(624,9795 ; 625,0205).
(0,8205 ; 0,7795).
(0,7744 ; 0,8256).
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: (0,7795 ; 0,8205)..
22/11/2020 APX2: Revisão da tentativa
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Questão 8
Correto
Atingiu 1,50 de
1,50
Questão 9
Parcialmente
correto
Atingiu 1,50 de
2,00
Questão 10
Correto
Atingiu 2,00 de
2,00
(Calcule a margem de erro com 4 casas decimais!) Sorteia-se uma amostra de tamanho 25 com o objetivo de se
construir um intervalo de confiança de 86% para a média de uma população normal com desvio padrão 1,23. A média
amostral observada é 23,2. Marque a afirmativa FALSA sobre o intervalo de confiança desejado.    
Escolha uma opção:
O limite superior do intervalo é 23,5641.  
A margem de erro é 0,246. 
O centro do intervalo é 23,2.   
O valor crítico da distribuição normal padrão é 1,48.
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: A margem de erro é 0,246..
A direção de um grande jornal nacional deseja saber se a proporção de seus leitores que pertencem à classe A se alterou
em relação ao ano anterior, quando foi constatado que 36%  dos leitores pertenciam à classe A. Para isso, realiza uma
pesquisa com 100 assinantes, encontrando que 46 pertencem à classe A. Você vai ajudar a direção do jornal a analisar
esses dados, realizando um teste de hipótese apropriado, com nível de significância de 6%. Para cada uma das perguntas
a seguir, selecione a resposta correta.     
Qual é o valor observado da estatística de teste padronizada? 
Calcule o valor P. 
Qual é a conclusão? 
Qual é a região crítica em termos da estatística de teste não padronizada? 
2,08
1,88
Rejeita-se H0.
(-∞ ; 0,2698) ∪ (0,4502 ; ∞)
Sua resposta está parcialmente correta.
Você selecionou corretamente 3.
A resposta correta é: Qual é o valor observado da estatística de teste padronizada? → 2,08, Calcule o valor P. → 0,0375,
Qual é a conclusão? → Rejeita-se H0., Qual é a região crítica em termos da estatística de teste não padronizada? → (-∞ ;
0,2698) ∪ (0,4502 ; ∞).
O chefe de uma seção de uma grande empresa de marketing está preocupado com o tempo de execução de
determinada tarefa. No ano anterior, o tempo médio foi de 12 minutos. Caso tenha havido aumento desse tempo, ele vai
realizar um treinamento. Para tomar a decisão, ele seleciona uma amostra de 100 tempos, que acusa média e desvio
padrão de 12,3 e 4,24 minutos, respectivamente. Você vai ajudar o chefe da seção a analisar esses dados, realizando um
teste de hipótese apropriado, com nível de significância de 8%. Para cada uma das perguntas a seguir, selecione a
resposta correta.   
Calcule o valor P. 
Qual é a conclusão?                  
Qual é a região crítica em termos da estatística de teste padronizada? 
Qual é o valor observado da estatística de teste padronizada? 
0,2389
Não se rejeita H0.
(1,41 ; ∞)
0,71
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: Calcule o valor P. → 0,2389, Qual é a conclusão?                  → Não se rejeita H0., Qual é a região
crítica em termos da estatística de teste padronizada? → (1,41 ; ∞), Qual é o valor observado da estatística de teste
padronizada? → 0,71.
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22/11/2020 APX2: Revisão da tentativa
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Minha Apx2 2020.2 ME2.docx
Q1 = F
Q2 = F
Q3 = V
Q4 = F
 225
Q6 = 622 
Obs: tem que colocar o arredondamento sempre para cima, para garantir um IC no mínimo igual ao desejado.
Q7 = 0,552 e 0,648
Q8 = (FALSA) valor crítico da distribuição normal padrão 	é 2,32.
APX2 2020.2.docx
Questão 1
Correto
Atingiu 0,25 de 0,25
Texto da questão
Deseja-se testar, com um teste de hipótese estatístico, se a proporção de pessoas favoráveis a um projeto é de, pelo menos, 70%. Nesse caso, o sinal na hipótese alternativa será ≥ .
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso 
Feedback
A resposta correta é 'Falso'.
Questão 2
Correto
Atingiu 0,25 de 0,25
Texto da questão
Para estimar a média de uma população normal, fixados o nível de confiança e a margem de erro, quanto maior a variância populacional, menor o tamanho da amostra.
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso 
Feedback
A resposta correta é 'Falso'.
Questão 3
Correto
Atingiu 0,25 de 0,25
Texto da questão
Tem-se uma amostra de tamanho 625 de uma população X qualquer. Então podemos usar o Teorema Limite Central para fazer inferência sobre a média dessa população.
Escolha uma opção:
Verdadeiro 
Falso
Feedback
A resposta correta é 'Verdadeiro'.
Questão 4
Correto
Atingiu 0,25 de 0,25
Texto da questão
No cálculo do valor P de um teste de hipótese, supõe-se que a hipótese nula seja verdadeira.
Escolha uma opção:
Verdadeiro 
Falso
Feedback
A resposta correta é 'Verdadeiro'.
Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Texto da questão
Deseja-se estimar a proporção de alunos favoráveis a determinado projeto da coordenação do curso de Administração de determinada universidade. Para isso, será feita uma pesquisa com uma amostra de alunos, sorteada aleatoriamente. O coordenador do curso de Administração, responsável pela pesquisa, precisa determinar o tamanho de amostra e, para isso, pretende usar a informação de que essa proporção estava entre  0,6 e 0,7 em outros cursos da universidade. Qual deve ser o tamanho de amostra mínimo necessário para que, com nível de confiança de 95%, a margem de erro seja de, no máximo, 0,05?
Escolha uma opção:
361
369 
20
368
5
Feedback
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: 369.
Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Texto da questão
Deseja-se estimar a média de uma população normal, cujo desvio padrão é 2,15. Qual deve ser o tamanho de amostra mínimo necessário para que, com nível de confiança de 86%, a margem de erro seja de, no máximo, 0,08?
Escolha uma opção:
40
1582
1600
1583 
7
Feedback
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: 1583.
Questão 7
Correto
Atingiu 1,50 de 1,50
Texto da questão
(Calcule a margem de erro com 4 casas decimais!) Desejando estimar a proporção de alunos favoráveis a determinado projeto da coordenação do curso de Administração de sua universidade, o coordenador realiza uma pesquisa com uma amostra de 400 alunos, dos quais 288 se mostram favoráveis ao projeto. O intervalo de confiança de nível 80% para a verdadeira proporção dos alunos favoráveis ao projeto é
Escolha uma opção:
(0,6913 ; 0,7487). 
(0,6976 ; 0,7424).
(0,7487 ; 0,6913).
(399,9713 ; 400,0287).
(0,688 ; 0,752).
Feedback
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: (0,6913 ; 0,7487)..
Questão 8
Correto
Atingiu 1,50 de 1,50
Texto da questão
(Calcule a margem de erro com 4 casas decimais!) Sorteia-se uma amostra de tamanho 64 com o objetivo de se construir um intervalo de confiança de 86% para a média de uma população normal com desvio padrão 1,23. A média amostral observada é 23,2. Marque a afirmativa FALSA sobre o intervalo de confiança desejado.   
Escolha uma opção:
O limite superior do intervalo é 23,4276.
A margem de erro é 0,2276.  
 O valor crítico da distribuição normal padrão é 1,48.
O centro do intervalo é 23,9.    
Feedback
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: O centro do intervalo é 23,9.   .
Questão 9
Correto
Atingiu 2,00 de 2,00
Texto da questão
A direção de um grande jornal nacional deseja saber se a proporção de seus leitores que pertencem à classe A reduziu em relação ao ano anterior, quando foi constatado que 36%  dos leitores pertenciam à classe A. Para isso, realiza uma pesquisa com 100 assinantes, encontrando que 26 pertencem à classe A. Você vai ajudar a direção do jornal a analisar esses dados, realizando um teste de hipótese apropriado, com nível de significância de 7%. Para cada uma das perguntas a seguir, selecione a resposta correta.    
		Qual é a conclusão?        
		Resposta 1 
		Qual é o valor observado da estatística de teste padronizada?
		Resposta 2 
		Calcule o valor P.
		Resposta 3 
		Qual é a região crítica em termos da estatística de teste não padronizada?
		Resposta 4 
Feedback
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: Qual é a conclusão?         → Rejeita-se H0., Qual é o valor observado da estatística de teste padronizada? → -2,08, Calcule o valor P. → 0,0188, Qual é a região crítica em termos da estatística de teste não padronizada? → (-∞ ; 0,289).
Questão 10
Correto
Atingiu 2,00 de 2,00
Texto da questão
O chefe de uma seção de uma grande empresa de marketing está preocupado com o tempo de execução de determinada tarefa. No ano anterior, o tempo médio foi de 12 minutos. Caso tenha havido aumento desse tempo, ele vai realizar um treinamento. Para tomar a decisão, ele seleciona uma amostra de 100 tempos, que acusa média e desvio padrão de 12,4 e 4,24 minutos, respectivamente. Você vai ajudar o chefe da seção a analisar esses dados, realizando um teste de hipótese apropriado, com nível de significância de 2,5%. Para cada uma das perguntas a seguir, selecione a resposta correta.   
		Qual é a conclusão?   
		Resposta 1 
		Qual é o valor observado da estatística de teste padronizada?   
		Resposta 2 
		Qual é a região crítica em termos da estatística de teste padronizada?   
		Resposta 3 
		Calcule o valor P.   
		Resposta 4 
Feedback
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: Qual é a conclusão?    → Não se rejeita H0., Qual é o valor observado da estatística de teste padronizada?    → 0,94, Qual é a região crítica em termos da estatística de teste padronizada?    → (1,96 ; ∞), Calcule o valor P.    → 0,1736.
Rejeita-se H0.
-2,08
0,0188
(
-
8
; 0,289)
Não se rejeita H0.
0,94
(1,96 ; 
8
)
0,1736
APX2_ Revisão da tentativa.pdf
22/11/2020 APX2: Revisão da tentativa
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/mod/quiz/review.php?attempt=225438&cmid=354779 1/4
Painel / Minhas Disciplinas / Métodos Estatísticos II / Semanas 14 e 15 - APX2 - 09/11 a 22/11 / APX2
Questão 1
Correto
Atingiu 0,25 de
0,25
Questão 2
Correto
Atingiu 0,25 de
0,25
Questão 3
Correto
Atingiu 0,25 de
0,25
Questão 4
Correto
Atingiu 0,25 de
0,25
Iniciado em domingo, 22 nov 2020, 14:38
Estado Finalizada
Concluída em domingo, 22 nov 2020, 16:55
Tempo
empregado
2 horas 16 minutos
Avaliar 7,50 de um máximo de 10,00(75%)
Deseja-se testar, com um teste de hipótese estatístico, se a proporção de pessoas favoráveis a um projeto é de, pelo
menos, 70%. Nesse caso, o sinal na hipótese alternativa será ≥ . 
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso 
A resposta correta é 'Falso'.
Para estimar a média de uma população normal com variância conhecida, fixada a margem de erro, quanto maior o nível
de confiança, maior o tamanho da amostra. 
Escolha uma opção:
Verdadeiro 
Falso
A resposta correta é 'Verdadeiro'.
Seja uma população representada pela variável aleatória 
. 
Para realizar um teste de hipótese sobre a média é necessário o uso do Teorema Limite Central. 
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso 
A resposta correta é 'Falso'.
Em um teste de hipótese, se o valor P é menor que o nível de significância, então rejeita-se a hipótese nula. 
Escolha uma opção:
Verdadeiro 
Falso
A resposta correta é 'Verdadeiro'.
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/my/
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/course/view.php?id=354
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/course/view.php?id=354&section=14
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/mod/quiz/view.php?id=354779
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/filter/tex/displaytex.php?texexp=X%5Csim%20N%28%5Cmu%3B16%29
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cmu
22/11/2020 APX2: Revisão da tentativa
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/mod/quiz/review.php?attempt=225438&cmid=354779 2/4
Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de
1,00
Questão 7
Incorreto
Atingiu 0,00 de
1,50
Deseja-se estimar a proporção de alunos favoráveis a determinado projeto da coordenação do curso de Administração de
determinada universidade. Para isso, será feita uma pesquisa com uma amostra de alunos, sorteada aleatoriamente. O
coordenador do curso de Administração, responsável pela pesquisa, precisa determinar o tamanho de amostra e, para
isso, pretende usar a informação de que essa proporção estava entre 0,2 e 0,3 em outros cursos da universidade. Qual
deve ser o tamanho de amostra mínimo necessário para que, com nível de confiança de 80%, a margem de erro seja de,
no máximo, 0,05?  138  4  12  137  144 
Escolha uma opção:
12
138 
137
4
144
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: 138.
Deseja-se estimar a média de uma população normal, cujo desvio padrão é 2,15. Qual deve ser o tamanho de amostra
mínimo necessário para que, com nível de confiança de 86%, a margem de erro seja de, no máximo, 0,06? 
Escolha uma opção:
8
2813 
2809
2812
54
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: 2813.
(Calcule a margem de erro com 4 casas decimais!) Desejando estimar a proporção de alunos favoráveis a determinado
projeto da coordenação do curso de Administração de sua universidade, o coordenador realiza uma pesquisa com uma
amostra de 225 alunos, dos quais 180 se mostram favoráveis ao projeto. O intervalo de confiança de nível 95% para a
verdadeira proporção dos alunos favoráveis ao projeto é 
Escolha uma opção:
(0,7477 ; 0,8523).
(0,7347 ; 0,8653).
(0,8523 ; 0,7477).
(224,9477 ; 225,0523).
(0,7733 ; 0,8267). 
Sua resposta está incorreta.
A resposta correta é: (0,7477 ; 0,8523)..
22/11/2020 APX2: Revisão da tentativa
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/mod/quiz/review.php?attempt=225438&cmid=354779 3/4
Questão 8
Correto
Atingiu 1,50 de
1,50
Questão 9
Parcialmente
correto
Atingiu 1,00 de
2,00
Questão 10
Correto
Atingiu 2,00 de
2,00
(Calcule a margem de erro com 4 casas decimais!) Sorteia-se uma amostra de tamanho 64 com o objetivo de se
construir um intervalo de confiança de 86% para a média de uma população normal com desvio padrão 1,23. A média
amostral observada é 23,9. Marque a afirmativa FALSA sobre o intervalo de confiança desejado. 
Escolha uma opção:
O limite superior do intervalo é 24,1276.
A margem de erro é 0,2276.
O centro do intervalo é 23,2. 
O valor crítico da distribuição normal padrão é 1,48.
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: O centro do intervalo é 23,2..
A direção de um grande jornal nacional deseja saber se a proporção de seus leitores que pertencem à classe A se alterou
em relação ao ano anterior, quando foi constatado que 64%  dos leitores pertenciam à classe A. Para isso, realiza uma
pesquisa com 256 assinantes, encontrando que 184 pertencem à classe A. Você vai ajudar a direção do jornal a analisar
esses dados, realizando um teste de hipótese apropriado, com nível de significância de 4%. Para cada uma das perguntas
a seguir, selecione a resposta correta.     
Calcule o valor P. 
 Qual é o valor observado da estatística de teste padronizada?     
Qual é a conclusão?       
Qual é a região crítica em termos da estatística de teste não padronizada?              
2,05
0,7015
Rejeita-se H0.
(-∞ ; 0,5785) ∪ (0,7015 ; ∞)
Sua resposta está parcialmente correta.
Você selecionou corretamente 2.
A resposta correta é: Calcule o valor P. → 0,0085,  Qual é o valor observado da estatística de teste padronizada?     → 2,63,
Qual é a conclusão?       → Rejeita-se H0., Qual é a região crítica em termos da estatística de teste não padronizada?         
    → (-∞ ; 0,5785) ∪ (0,7015 ; ∞).
O chefe de uma seção de uma grande empresa de marketing está preocupado com o tempo de execução de
determinada tarefa. No ano anterior, o tempo médio foi de 12 minutos. Caso tenha havido aumento desse tempo, ele vai
realizar um treinamento. Para tomar a decisão, ele seleciona uma amostra de 64 tempos, que acusa média e desvio
padrão de 12,1 e 3,98 minutos, respectivamente. Você vai ajudar o chefe da seção a analisar esses dados, realizando um
teste de hipótese apropriado, com nível de significância de 8%. Para cada uma das perguntas a seguir, selecione a
resposta correta.   
Qual é a conclusão?    
Calcule o valor P.    
Qual é o valor observado da estatística de teste padronizada?    
Qual é a região crítica em termos da estatística de teste padronizada?    
Não se rejeita H0.
0,4207
0,2
(1,41 ; ∞)
Sua resposta está correta.
A resposta correta é: Qual é a conclusão?    → Não se rejeita H0., Calcule o valor P.    → 0,4207, Qual é o valor observado
da estatística de teste padronizada?    → 0,2, Qual é a região crítica em termos da estatística de teste padronizada?    →
(1,41 ; ∞).
◄ Gabarito EP12 - Corrigido Seguir para... Resumo APX2 ►
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/mod/resource/view.php?id=327526&forceview=1
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/mod/resource/view.php?id=150327&forceview=1
22/11/2020 APX2: Revisão da tentativa
https://graduacao.cederj.edu.br/ava/mod/quiz/review.php?attempt=225438&cmid=354779 4/4
1_5012652199403061332.pdf
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
3a.. Prova Presencial - 1o. semestre de 2009
Profa. Ana Maria Farias
GABARITO
1. Na Figura 1 é dado o gráfico de uma função f(x).
Figura 1: Função f(x) para a questão 1
(a) Encontre a expressão de f(x) e mostre que f(x) define uma função de densidade de
probabilidade de uma variável aleatória contínua X.
Solução
f(x) ≥ 0, f(x) é contínua e a área sob a a curva é
1
2
× 2× 1
3
+ 1× 1
3
+
1
2
× 2× 1
3
= 1
Logo, f(x) define uma função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória
contínua X.
Para x ∈ [0, 2), f(x) é uma função linear do tipo ax + b que passa pelos pontos (0, 0) e
(2, 1/3). Como ela intercepta o eixo vertical em 0, resulta que b = 0.
2a =
1
3
=⇒ a = 1
6
=⇒ f(x) = x
6
Para x ∈ [2, 3), f(x) = 13 .
Para x ∈ [3, 5), f(x) é uma função linear do tipo ax+ b que passa pelos pontos
¡
3, 13
¢
e
(5, 0). ½
3a+ b = 13
5a+ b = 0
=⇒ 2a = −1
3
=⇒ a = −1
6
=⇒ b = 5
6
=⇒ f(x) = 5− x
6
Logo
f(x) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x
6 se 0 < x < 2
1
3 se 2 ≤ x < 3
5−x
6 se 3 ≤ x < 5
0 se x ≤ 0 ou x ≥ 5
1
(b) Calcule E(X).
Solução
Como f(x) é simétrica, resulta que E(X) = 2, 5.
(c) Calcule Pr(X > 3|X > 2).
Solução
Pr(X > 3|X > 2) = Pr(X > 3)
Pr(X > 2)
=
1
3
1
3 +
1
3
=
1
2
(d) Calcule a função de distribuição acumulada de X.
Solução
Veja a Figura 2
Figura 2: Cálculo da função de distribuição acumulada - Questão 1
F (x) =
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
0 se x < 0
x2
12 se 0 ≤ x < 2
1
3 +
x−2
3 =
x−1
3 se 2 ≤ x < 3
1− 12(5− x)
¡
5−x
6
¢
= 1− (5−x)
2
12 se 3 ≤ x < 5
1 se x ≥ 5
2
2. Os pesos de caixas de chocolate da marca Delícia são distribuídos normalmente com média de
200 g e desvio padrão de 30 g.
(a) Calcule o peso k acima do qual se encontram 30% das caixas.
Solução
Pr(X > k) = 0, 30⇐⇒ Pr
µ
Z >
k − 200
30
¶
= 0, 30⇐⇒ tab
µ
k − 200
30
¶
= 0, 20
⇐⇒ k − 200
30
= 0, 52⇐⇒ k = 215, 6 g
(b) Qual é a probabilidade de uma caixa, sorteada aleatoriamente, pesar mais que 255 g?
Solução
Pr(X > 255) = Pr
µ
Z >
255− 200
30
¶
= Pr(Z > 1, 83) = 0, 5− tab(1, 83)
= 0.5− 0.4664 = 0, 0336
(c) Qual é a probabilidade de o peso médio de uma amostra de 4 caixas ser maior que 255
g?
Solução
Pr(X > 255) = Pr
Ã
Z >
255− 200
30
2
!
= Pr(Z > 3, 67) = 0, 5− tab(3, 67)
= 0.5− 0.4999 = 0, 0001
3. De uma população normal com média desconhecida μ e variância 36, extrai-se uma amostra
de tamanho 25 que acusa uma média amostral igual a 26,5. O objetivo é testar
H0 : μ = 23
H1 : μ = 28
(a) Se a regra de decisão é rejeitar H0 se X > k, calcule o valor de k para um nível de
significância α = 3%.
Solução
α = 0, 03⇐⇒ Pr(rejeitar H0|H0 verdadeira) = 0, 03
⇐⇒ Pr
∙
X > k|X ∼ N
µ
23;
36
25
¶¸
= 0, 03
⇐⇒ Pr
µ
Z >
k − 23
1, 2
¶
= 0, 03⇐⇒ tab
µ
k − 23
1, 2
¶
= 0, 47
⇐⇒ k − 23
1, 2
= 1, 88⇐⇒ k = 25, 256
(b) Calcule o valor P e estabeleça a conclusão.
Solução
P = Pr
∙
X > 26, 5|X ∼ N
µ
23;
36
25
¶¸
= Pr
µ
Z >
26.5− 23
1.2
¶
= Pr(Z > 2, 92)
= 0, 5− tab(2, 92) = 0.5− 0.4982 = 0, 0018
Como o valor de P é pequeno, rejeita-se H0, conclusão que já podia ser estabelecida
notando-se que o valor observado da média amostral pertence à região crítica.
3
(c) Calcule a probabilidade do erro tipo II.
Solução
β = Pr(aceitar H0|H0 é falsa) = Pr
∙
X ≤ 26, 5|X ∼ N
µ
28;
36
25
¶¸
= Pr
µ
Z ≤ 26.5− 28
1.2
¶
= Pr(Z ≤ −1, 25) = Pr(Z ≥ 1, 25)
= 0, 5− tab(1, 25) = 0, 1056
4. Um fabricante de creme dental alega que, em no máximo 3% dos casos, seus produtos apre-
sentam menos de 100 g por embalagem. Uma amostra aleatória com 300 produtos revelou que
15 possuíam menos de 100 g.
(a) Ao nível de significância de 5%, teste a afirmativa do fabricante, estabelecendo claramente
as hipóteses, a regra de decisão e a conclusão.
Solução
Aproximação normal da binomial - n grande
H0 : p = 0, 03
H1 : p > 0, 03
Teste unilateral à direita; α = 5%. Logo, z0,05 = 1, 64. A regra de decisão é rejeitar H0 sebP − 0, 03q
0,03×0,97
300
> 1, 64⇐⇒ bP > 0.03 + 1.64×r0.03× 0.97
300
=0, 04615
Como o valor observado bp = 15300 = 0, 05 pertence à região crítica, rejeita-se a hipótese
nula,. ou seja, ao nível de significância de 5% pode-se dizer que mais de 3% das embalagens
apresentam peso menor ou igual a 100 g.
(b) Construa um intervalo de confiança para o verdadeiro peso médio, utilizando o nível de
confiança de 90%.
Solução
O intervalo de confiança éÃ
0.05− 1.64×
r
0.03× 0.97
300
; 0.05 + 1.64×
r
0.03× 0.97
300
!
= (0.0338; 0.06615)
5. Querendo acelerar o tempo que uma máquina precisa para encher uma garrafa, um engenheiro
modificou uma certa peça da máquina, que acusava um tempo médio de enchimento igual
a 1,9 minuto. Da experiência passsada, sabe-se que o tempo de enchimento é muito bem
aproximado por uma distribuição normal. Após a mudança, em 25 observações feitas pelo
engenheiro, constatou-se um tempo médio de 1,48 minuto, com desvio padrão de 0,7 minuto.
(a) Ao nível de significância 1% pode-se dizer que a modificação reduziu o tempo de enchi-
mento?
Solução
H0 : μ = 1, 9
H1 : μ < 1, 9
4
t−Student com 24 g.l. t24;0,10 = 2, 492. A regra de decisão é rejeitar H0 se
T0 =
X − 1, 9
0,7
5
< −2, 492⇐⇒ X < 1, 5511
Como o valor observado x = 1, 48 pertence à região crítica, rejeita-se a hipótese nula, ou
seja, ao nível de significância de 1% há evidência de que houve redução do tempo médio
de enchimento.
(b) Construa um intervalo de confiança para o verdadeiro tempo médio de enchimento usando
o nível de confiança de 98%.
Solução
O intervalo de confiança éµ
1.48− 2.492× 0.7
5
; 1.48 + 2.492× 0.7
5
¶
= (1.1311; 1.8289)
5
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
Terceira Avaliação Presencial - 2o. semestre de 2009 - Profa. Ana Maria Farias
1. Seja X uma variável aleatória com função de distribuição acumulada F (x) = Pr(X ≤ x) dada
por
F (x) =
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
0 se x < 2
(x−2)2
3 se 2 ≤ x < 3
10x−x2−19
6 se 3 ≤ x < 5
1 se x ≥ 5
Calcule
(a) Pr(X > 3)
Solução
Pr(X > 3) = 1− Pr(X ≤ 3) = 1− F (3) = 1− 10× 3− 3
2 − 19
6
= 1− 2
6
=
2
3
(b) Pr(X ≤ 4)
Solução
Pr(X ≤ 4) = F (4) = 10× 4− 4
2 − 19
6
=
5
6
(c) Pr(X ≤ 4|X > 3)
Solução
Pr(X ≤ 4|X > 3) = Pr(3 < X ≤ 4)
Pr(X > 3)
=
Pr(X ≤ 4)− Pr(X ≤ 3)
Pr(X > 3)
=
F (4)− F (3)
1− F (3)
=
5
6 −
1
3
2
3
=
1
2
2
3
=
3
4
2. Seja X ∼ N(4; 32).
(a) Calcule o primeiro quartil Q1. (Lembre-se: Pr(X < Q1) = 0, 25)
Solução
Pr(X < Q1) = 0, 25⇐⇒ Pr
µ
Z <
Q1 − 4
3
¶
= 0, 25⇐⇒ Pr
µ
Z > −Q1 − 4
3
¶
= 0, 25⇐⇒
tab
µ
4−Q1
3
¶
= 0, 25⇐⇒ 4−Q1
3
= 0, 67⇐⇒ Q1 = 4− 3× 0, 67
(b) Calcule o terceiro quartil Q3. (Lembre-se: Pr(X > Q3) = 0, 25)
Solução
Pr(X > Q3) = 0, 25⇐⇒ tab
µ
Q3 − 4
3
¶
= 0, 25⇐⇒ Q3 − 4
3
= 0, 67⇐⇒ Q3 = 4+3×0, 67
(c) Calcule o intervalo interquartil IQ = Q3 −Q1.
Solução
IQ = Q3 −Q1 = 2× 3× 0, 67 = 3× 1, 34 = 4, 02
1
(d) Sem refazer os cálculos, calcule IQ para X ∼ N(10; 62).
Solução
IQ = Q3 −Q1 = 6× 1, 34 = 8, 04
3. Use a tabela da distribuição t para determinar
(a) (0,5 ponto) o valor crítico para um teste unilateral à esquerda com nível α = 0, 01
quando gl = 8;
(b) (0,5 ponto) o valor crítico para construção de um intervalo de confiança de 88% quando
gl = 21.
Obs.: gl = graus de liberdade
Solução
Veja a Figura 1.
Figura 1: Solução da questão 3
4. Um fabricante de automóveis gostaria de saber qual proporção de seus consumidores não está
satisfeita com o serviço prestado pela concessionária local. O departamento de atendimento
ao consumidor irá pesquisar uma amostra aleatória de consumidores e calcular um intervalo
de confiança de 99% para a proporção insatisfeita.
(a) Estudos anteriores sugerem que essa proporção será de cerca de 0,2. Ache o tamanho da
amostra necessário se a margem de erro do intervalo de confiança for de aproximadamente
0,015.
2
Solução
= 2, 58×
r
0, 2× 0, 8
n
=⇒ n = 2, 58× 0, 2× 0, 8
0, 0152
≈ 1835
(b) Quando a amostra é de fato contatada, 10% da amostra demonstram insatisfação. Qual
é a margem de erro do intervalo de confiança de 99%??
Solução
= 2, 58×
r
0, 1× 0, 9
1835
= 0, 0181
5. A estatística de teste z para um teste unilateral à direita é z = 2, 433. Verifique qual afirmativa
é verdadeira, esboçando um desenho da curva normal para justificar sua resposta.
(a) Esse teste é não significante tanto no nível α = 0, 05 quanto no nível α = 0, 01.
(b) Esse teste é significante em α = 0, 05, mas não significante em α = 0, 01.
(c) Esse teste é significante em ambos α = 0, 05 e α = 0, 01.
Solução
P < 0, 01 =⇒ a estatística é significante para α = 0, 05 e α = 0, 01. Afirmativa (c) é a
verdadeira.
Figura 2: Solução da questão 5
6. Uma pesquisa em sala de aula em uma turma grande de alunos de primeiro ano de uma
universidade perguntou: “Aproximadamente quantos minutos você estuda numa típica noite
da semana?” A resposta média dos 25 alunos foi x = 137 minutos, com desvio padrão s = 65
minutos. Suponha que saibamos que o tempo de estudo segue uma distribuição Normal na
população de todos os alunos do primeiro ano dessa universidade.
(a) Use o resultado da pesquisa para fornecer um intervalo de confiança de 99% para o tempo
médio de estudo de todos os alunos de primeiro ano dessa universidade.
Solução
t(24)− t24;0,005 = 2, 797∙
137− 2, 797× 65√
25
; 137 + 2, 797× 65√
25
¸
= [100, 64 ; 173, 36]
3
(b) A pesquisa fornece boa evidência da afirmativa dos estudantes de que estudam mais de
2 horas por noite, em média? Estabeleça as hipóteses sendo testadas! Use o nível de
significância de 1%.
Solução
H0 : μ = 120
H1 : μ > 120
t24;0,01 = 2, 492
t0 =
√
25
137− 120
65
= 1, 3077
Como o valor observado da estatística não pertence à região crítica, os dados não confir-
mam a afirmação de que os estudantes gastam mais de 2 horas, em média, estudando à
noite.
(c) (0,5 ponto) Com base na tabela, determine dois limites 1 e 2 tais que 1 < P < 2
onde P é o valor P.
Solução
P = Pr(t(24) > 1, 3077)
Pr(t(24) > 1, 059) = 0, 15
Pr(t(24) > 1, 318) = 0, 10
¾
=⇒ 0, 10 < P < 0, 15
Figura 3: Solução da questão 6c
4
Resultados importantes e fórmulas
X ∼ N
¡
μ;σ2
¢
=⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
X − μ
σ√
n
∼ N(0; 1)
X − μ
S√
n
∼ t(n− 1)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = bP ≈ N
µp; p(1− p)
n
¶
=⇒
bP − pr
p(1− p)
n
≈ N(0; 1) (amostra grande)
S2 =
1
n− 1
nP
i=1
¡
Xi −X
¢2
=
1
n− 1
∙
nP
i=1
X2i − nX
2
¸
=
1
n− 1
⎡⎢⎢⎢⎣ nPi=1X2i −
µ
nP
i=1
Xi
¶2
n
⎤⎥⎥⎥⎦
5
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
3a Prova Presencial - 1o. semestre de 2010
Profa. Ana Maria Farias
1. O rótulo de uma lata de coca-cola indica que o conteúdo é de 350 ml. Suponha que a linha de
produção encha as latas de forma que o conteúdo seja uniformemente distribuído no intervalo
[345, 355].
Solução
f(x) =
½
0, 1 se 345 < x < 355
0 se x ≤ 345 ou x ≥ 355
(a) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que uma lata tenha conteúdo superior a 353 ml?
Solução
A probabilidade pedida éa área de um retângulo de base 355−353 = 2 e altura 0,1. Logo
P (X > 353) = 0, 2
(b) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que uma lata tenha conteúdo inferior a 346 ml?
Solução
A probabilidade pedida éa área de um retângulo de base 346−345 = 1 e altura 0,1. Logo
P (X < 346) = 0, 1
(c) (0,5 ponto) O controle de qualidade aceita uma lata com conteúdo dentro de 4 ml do
conteúdo exibido na lata. Qual é a proporção de latas rejeitadas nessa linha de produção?
Solução
As latas são aceitas se o o vulome do conteúdo estiver entre os limites 350 − 4 = 346
e 350 + 4 = 354.Esse é um intervalo de comprimento 8 e, portanto, a probabildiade de
aceitçãõ é 0,8. Logo, a proporção de latas rejeitadas é de 20%.
2. Um teste de aptidão para o exercício de uma certa profissão exige uma sequência de operações
a serem executadas rapidamente uma após a outra. Para passar no teste, o candidato deve
completá-lo em, no máximo, 80 minutos. Admita que o tempo, em minutos, para completar a
prova seja uma variável aleatória normal com média 90 minutos e desvio padrão 20 minutos.
(a) (0,5 ponto) Que porcentagem dos candidatos tem chance de ser aprovada?
Solução
Seja T o tempo de execução. Então, T ∼ N(90; 202).O problema pede
Pr(T ≤ 80) = Pr
µ
Z ≤ 80− 90
20
¶
= Pr(Z < 0, 5) = Pr(Z > 0, 5)
= 0, 5− tab(0, 5) = 0, 5− 0, 1915 = 0, 3085
(b) (0,5 ponto) Os 5% melhores receberão um certificado especial. Qual o tempo máximo
para fazer jus a tal certificado?
Solução
1
Seja t0 o maior tempo que dá direito ao certificado. Queremos que
Pr(T ≤ t0) = 0, 05 =⇒ Pr
µ
Z ≤ t0 − 90
20
¶
= 0, 05 =⇒ Pr
µ
Z ≥ 90− t0
20
¶
= 0, 05 =⇒
tab
µ
90− t0
20
¶
= 0, 45 =⇒ 90− t0
20
= 1, 64 =⇒ t0 = 57, 2 min
Consulte a tabela da distribuição t de student para responder às perguntas seguintes.
3. (a) (0,5 ponto) Na distribuição t(15) encontre a abscissa t15;0,05.
Solução
Como o número de graus de liberdade é 15, temos que nos concentrar na linha correspon-
dente a gl = 15. A abscissa t0,05 deixa área 0,05 acima dela; assim, temos que olhar a
coluna referente a α = 0, 05; Logo, t15;0,05 = 1, 753.
(b) (0,5 ponto) Na distribuição t(23) encontre a abscissa t tal que Pr(|t(23)| > t) = 0, 05.
Solução
Usando as propriedades da função módulo, temos a seguinte equivalência:
Pr(|t(23)| > t) = 0, 05⇐⇒
Pr(t(23) < −t) + Pr(t(23) > t) = 0, 05
Pela simetria da densidade t, Pr(t(23) < −t) = Pr(t(23) > t). Substituindo:
Pr(t(23) > t) + Pr(t(23) > t) = 0, 05⇐⇒
Pr(t(23) > t) = 0, 025⇐⇒
t = 2, 069
Esse último valor foi encontrado na Tabela 2, consultando-se a linha correspondente a 23
graus de liberdade e coluna correspondente à área superior de 0,025.
(c) (0,5 ponto) Na distribuição t(12) encontre a abscissa t tal que Pr(|t(12)| ≤ t) = 0, 90.
Solução
Das propriedades da função módulo e da simetria da densidade t resultam as seguintes
equivalências
Pr(|t(12)| ≤ t) = 0, 90⇐⇒
Pr(−t ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒
Pr(−t ≤ t(12) < 0) + Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒
2× Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒
Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 45⇐⇒
Pr(t(12) > t) = 0, 05⇐⇒
t = 1, 782
4. De uma população normal com desvio padrão 2, extrai-se uma amostra de tamanho 25 com o
objetivo de testar
H0 : μ = 8
H1 : μ > 8
2
(a) (0,5 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 5%.
Solução
α = 5%, teste unilateral: z0,05 = 1, 64 e a regra de decisão é rejeitar H0 se
X − 8
2√
25
> 1, 64⇐⇒ X > 8 + 1.64× 2
5
= 8, 656
(b) (0,5 ponto) Se a média amostral é 8,8, estabeleça a conclusão.
Solução
O valor observado da estatística de teste é
8.8− 8
2
5
= 2, 0 > 1, 64
Como o valor observado da estatística de teste ou da média está na região crítica (2, 0 >
1, 64 ou 8, 8 > 8, 656), devemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, as evidências amostrais
indicam que a média é maior que 8.
(c) (0,5 ponto) Calcule o valor P.
Solução
Como o valor observado da estatística é 2, 0 e o teste é unilateral, o valor P é
Pr(Z ≥ 2, 0) = 0, 5− tab(2, 0) = 0.5− 0.47725 = 0, 02275
e, portanto, rejeitamos a hipótese nula a qualquer nível de significância α ≥ 0, 02275 ( o
que inclui o nível de 5%). Em termos da média amostral:
Pr(X > 8, 8) = Pr
Ã
Z >
8.8− 8
2
5
!
= Pr(Z > 2, 0) = 0, 02275
(d) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade β de se tomar uma decisão errada se, na realidade,
a média populacional for μ = 8, 2?
Solução
Se μ = 8, 2, decisão errada equivale a aceitar a hipótese nula. Essa probabilidade é
Pr
∙
X ≤ 8, 656 |X ∼ N
µ
8, 2;
4
25
¶¸
= Pr
µ
Z ≤ 8, 656− 8, 2
0.4
¶
= Pr(Z ≤ 1, 14) = 0, 37286
5. (a) (1,0 ponto) Qual deve ser o tamanho da amostra necessário para se obter um intervalo
de confiança de 90% para uma proporção populacional, se o erro máximo tolerável é de
8%?
Solução
1− α = 0, 90 =⇒ z0,05 = 1, 64
Como não temos qualquer informação, trabalhamos com o pior caso:
0, 08 = 1, 64×
r
0, 5× 0, 5
n
=⇒ n ≥ 106
3
(b) (1,0 ponto) Refaça a questão anterior, sabendo que a proporção populacional é de, no
máximo, 30%.
Solução
1− α = 0, 90 =⇒ z0,05 = 1, 64
Com a informação dada, trabalhamos com o pior caso que é 0,30
0, 08 = 1, 64×
r
0, 3× 0, 7
n
=⇒ n ≥ 89
6. (2,0 pontos) Uma indústria vende um repelente de insetos e alega ser o mesmo eficiente por
pelo menos 40 horas. Uma amostra de 9 tubos, tomados aleatoriamente, acusou uma média de
38 horas e desvio padrão de 6 horas. Com 5% de siginificância, teste a alegação do fabricante.
Certifique-se de explicitar todas etapas do procedimento de teste de hipótese, indicando as
hipóteses feitas.
Solução
Temos que supor que o tempo de atuação possa ser aproximado por uma distribuição normal
N(μ;σ2). A alegação do fabricante é que μ ≥ 40.Logo, nossas hipóteses são
H0 : μ = 40
H1 : μ < 40
e a estatística de teste é T =
√
n
X − μ
S
∼ t(n− 1).Sob H0, o valor da estatística de teste é
t0 =
√
8× 38− 40
6
= −0, 94281
A abscissa da distribuição t de Student com 7 graus de liberdade que deixa 5% na cauda
inferior é t7;0,95 = −1, 8946 e, portanto, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, os dados
indicam que a alegação do fab ricante é verdadeira.
Resultados importantes e fórmulas
X ∼ N
¡
μ;σ2
¢
=⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
X − μ
σ√
n
∼ N(0; 1)
X − μ
S√
n
∼ t(n− 1)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = bP ≈ N µp; p(1− p)
n
¶
(amostra grande)
S2 =
1
n− 1
nP
i=1
¡
Xi −X
¢2
=
1
n− 1
∙
nP
i=1
X2i − nX
2
¸
=
1
n− 1
"
nP
i=1
X2i −
(
P
Xi)
2
n
#
4
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
3a Prova Presencial - 2o. semestre de 2010
Profa. Ana Maria Farias
1. O rótulo de uma embalagem de pó de café indica que o conteúdo é de 1000 gramas. Suponha
que a linha de produção encha as embalagens de forma que o peso tenha a seguinte densidade
de probabilidade:
Figura 1: Função de densidade f(x) para o peso das embalagens de café - Questão 1
(a) (0,5 ponto) Determine o valor de k para que f(x) seja uma função de densidade.
Solução
Temos que ter k ≥ 0 e a área sob a reta deve ser 1. Logo, k = 1/60 e, portanto, a função
de densidade é
f(x) =
½
1
60 se 990 ≤ x ≤ 1050
0 se x < 990 ou x > 1050
(b) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que uma embalagem tenha peso superior a 1040
gramas?
Solução
A probabilidade pedida é a área de um retângulo de base 1050− 1040 e altura 160 . Logo
P (X > 1040) =
1
6
(c) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade
de que uma embalagem tenha peso inferior a 995
gramas?
Solução
A probabilidade pedida é a área de um retângulo de base 995− 990 e altura 160 . Logo
P (X < 995) =
5
60
=
1
12
2. Os valores anuais das vendas num grande escritório imobiliário podem ser aproximados por
uma distribuição normal com média de 90 unidades monetárias (u.m.) e desvio padrão de 20
u.m..
1
(a) (0,5 ponto) Os corretores que acumularem vendas superiores a 110 u.m. recebem uma
comissão especial ao final do ano. Que percentual de corretores receberá essa comissão
especial?
Solução
Seja V o valor das vendas. Então, V ∼ N(90; 202).O problema pede
Pr(V > 110) = Pr
µ
Z >
110− 90
20
¶
= Pr(Z > 1) = 0, 5−tab(1) = 0, 5−0, 34134 = 0, 15866
15,87% dos corretores receberão acomissão especial.
(b) (0,5 ponto) Os corretores que acumularem vendas inferiores a 44 u.m. receberão uma
advertência. Que percentual de corretores receberá advertência?
Solução
Pr(V < 44) = Pr
µ
Z <
44− 90
20
¶
= Pr(Z < −2, 3) = Pr(Z > 2, 3) =
= 0, 5− tab(2, 3) = 0, 5− 0, 48928 = 0, 01072
1,07% dos corretores receberão advertência.
(c) (0,5 ponto) Sabendo-se que um corretor não recebeu comissão especial, qual é a prob-
abilidade de que ele tenha recebido advertência?
Solução
Pr(V < 44 | V ≤ 110) = Pr(V < 44)
Pr(V ≤ 110) =
0.01072
1− 0.15866 = 0, 012742
Note que {V < 44} ∩ {V ≤ 110} = {V < 44}
3. Consulte a tabela da distribuição t de student para responder às perguntas seguintes.
(a) (0,5 ponto) Na distribuição t(10) encontre a abscissa t10;0,05.
Solução
Como o número de graus de liberdade é 10, temos que nos concentrar na linha correspon-
dente a gl = 10. A abscissa t0,05 deixa área 0,05 acima dela; assim, temos que olhar a
coluna referente a α = 0, 05; Logo, t10;0,05 = 1, 812
(b) (0,5 ponto) Na distribuição t(18) encontre a abscissa t tal que Pr(t(18) < t) = 0, 10.
Solução
Pela simetria da densidade t, Pr(t(18) < t) = Pr(t(18) > −t). Assim, t = −t18;0,10 =
−1, 33
(c) (0,5 ponto) Na distribuição t(12) encontre a abscissa t tal que Pr(|t(12)| ≤ t) = 0, 90.
Solução
Das propriedades da função módulo e da simetria da densidade t resultam as seguintes
2
equivalências
Pr(|t(12)| ≤ t) = 0, 90⇐⇒
Pr(−t ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒
Pr(−t ≤ t(12) < 0) + Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒
2× Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 90⇐⇒
Pr(0 ≤ t(12) ≤ t) = 0, 45⇐⇒
Pr(t(12) > t) = 0, 05⇐⇒
t = 1, 782
4. De uma população normal com desvio padrão 2, extrai-se uma amostra de tamanho 36 com o
objetivo de testar
H0 : μ = 8
H1 : μ < 8
(a) (1,0 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 5%.
Solução
α = 5%, teste unilateral: z0,05 = 1, 64 e a regra de decisão é rejeitar H0 se
X − 8
2√
36
< −1, 64⇐⇒ X < 8− 1.64× 2
6
= 7, 4533
(b) (0,5 ponto) Se a média amostral é 7,2 estabeleça a conclusão.
Solução
O valor observado da estatística de teste é
7.2− 8
2
6
= −2, 40 < −1, 64
Como o valor observado da estatística de teste ou da média está na região crítica (2, 4 <
−1, 64 ou 7, 2 < 7, 4533), devemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, as evidências amostrais
indicam que a média é menor que 8.
(c) (0,5 ponto) Calcule o valor P.
Solução
Como o valor observado da estatística é −2, 4 e o teste é unilateral, o valor P é
Pr(Z ≤ −2, 4) = Pr(Z ≥ 2, 4) = 0, 5− tab(2, 4) = 0.5− 0.4918 = 0, 0082
e, portanto, rejeitamos a hipótese nula a qualquer nível de significância α ≥ 0, 0082 ( o
que inclui o nível de 5%). Em termos da média amostral:
Pr(X ≤ 7, 4533) = Pr
Ã
Z ≤ 7.2− 82
6
!
= Pr(Z ≤ −2, 4) = 0, 0082
3
(d) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade β de se tomar uma decisão errada se, na realidade,
a média populacional for μ = 7, 8?
Solução
Se μ = 7, 8, decisão errada equivale a aceitar a hipótese nula. Essa probabilidade é
Pr
∙
X ≥ 7, 4533 |X ∼ N
µ
7, 8;
4
36
¶¸
= Pr
µ
Z ≥ 7.4533− 7.8
0.4
¶
= Pr(Z ≥ −0.87) = 0, 5+tab(0, 87) =
5. (1,0 pontos) Calcule o tamanho da amostra necessário para se obter um intervalo de confiança
de 90% para uma proporção populacional com erro máximo de 8%, sabendo que a proporção
populacional é de, no máximo, 30%.
(a) Solução
1− α = 0, 90 =⇒ z0,05 = 1, 64
Com a informação dada, trabalhamos com o pior caso que é 0,30
0, 08 = 1, 64×
r
0, 3× 0, 7
n
=⇒ n ≥ 89
6. (2,0 pontos) Uma indústria farmacêutica lança um novo remédio para dor de cabeça, afir-
mando que o mesmo leva menos de 5 minutos para fazer efeito. Uma amostra de 9 sujeitos,
tomados aleatoriamente, acusou uma média de 4,8 minutos e desvio padrão de 1,2 minutos.
Com 5% de siginificância, teste a alegação do fabricante. Certifique-se de explicitar todas
etapas do procedimento de teste de hipótese, indicando as suposições feitas.
Solução
Temos que supor que o tempo de atuação possa ser aproximado por uma distribuição normal
N(μ;σ2). A alegação do fabricante é que μ < 5.Logo, nossas hipóteses são
H0 : μ = 5
H1 : μ < 5
e a estatística de teste é T0 =
√
9
X − 5
1, 2
∼ t(n− 1).
A abscissa da distribuição t de Student com 8 graus de liberdade que deixa 5% na cauda
inferior é t8;0,95 = −1, 86 e, portanto, a regra de decisão é rejeitar H0 se T0 < −1, 86. O valor
observado da estatística de teste é
t0 =
√
9× 4, 8− 5
1, 2
= −0, 5
Logo, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, os dados indicam que a alegação do fabricante
não é verdadeira, ou seja, o medicamento leva 5 minutos ou mais para começar a fazer efeito.
Resultados importantes e fórmulas
X ∼ N
¡
μ;σ2
¢
=⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
X − μ
σ√
n
∼ N(0; 1)
X − μ
S√
n
∼ t(n− 1)
4
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = bP ≈ N µp; p(1− p)
n
¶
(amostra grande)
S2 =
1
n− 1
nP
i=1
¡
Xi −X
¢2
=
1
n− 1
∙
nP
i=1
X2i − nX
2
¸
=
1
n− 1
"
nP
i=1
X2i −
(
P
Xi)
2
n
#
5
MÉTODOS ESTATÍSTICOS II
3a Prova Presencial - 1o. semestre de 2012
Profa. Ana Maria Farias
1. O rótulo de uma embalagem de pó de café indica que o conteúdo é de 1000 gramas. Suponha
que a linha de produção encha as embalagens de forma que o peso tenha a seguinte densidade
de probabilidade:
Figura 1: Função de densidade f(x) para o peso das embalagens de café - Questão 1
(a) (0,5 ponto) Determine o valor de k para que f(x) seja uma função de densidade.
Solução
Temos que ter k ≥ 0 e a área sob a reta deve ser 1. Logo, k = 1/60.
(b) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que uma embalagem tenha peso superior a 1020
gramas?
Solução
P (X > 1020) =
30
60
=
1
2
(c) (0,5 ponto) Qual é a probabilidade de que uma embalagem tenha peso superior a 1030,
sabendo que seu peso é superior a 1020 gramas?
Solução
P (X > 1030|X > 1020) = P (X > 1030)
P (X > 1020)
=
20
60
1
2
=
2
3
2. Os valores anuais das vendas num grande escritório imobiliário podem ser aproximados por
uma distribuição normal com média de 90 unidades monetárias (u.m.) e desvio padrão de 20
u.m..
(a) (0,5 ponto) Os corretores que acumularem vendas superiores a 110 u.m. recebem uma
comissão especial ao final do ano. Que percentual de corretores receberá essa comissão
especial?
Solução
Seja V o valor das vendas. Então, V ∼ N(90; 202).O problema pede
Pr(V > 110) = Pr
µ
Z >
110− 90
20
¶
= Pr(Z > 1) = 0, 5−tab(1) = 0, 5−0, 34134 = 0, 15866
15,87% dos corretores receberão a comissão especial.
1
(b) (0,5 ponto) Os corretores que acumularem vendas inferiores a 44 u.m. receberão uma
advertência. Que percentual de corretores receberá advertência?
Solução
Pr(V < 44) = Pr
µ
Z <
44− 90
20
¶
= Pr(Z < −2, 3) = Pr(Z > 2, 3) =
= 0, 5− tab(2, 3) = 0, 5− 0, 48928 = 0, 01072
1,07% dos corretores receberão advertência.
3. Consulte a tabela da distribuição t de student para responder às perguntas seguintes.
(a) (0,5 ponto) Na distribuição t(10) encontre a abscissa t10;0,05.
Solução: t10;0,05 = 1, 812
(b) (0,5 ponto) Na distribuição t(18) encontre a abscissa t tal que Pr(t(18) < t) = 0, 10.
Solução: t = −t18;0,10 = −1, 33
4. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa referentes às afirmativas seguintes. Certifique-se de
usar a notação apropriada para
os parâmetros envolvidos.
(a) (0,5 ponto) O tempo médio é, no máximo, 15 minutos.
Solução:
afirmativa dada: μ ≤ 15
complementar: μ > 15
H0 : μ = 15
H1 : μ > 15
(b) (0,5 ponto) Há, em média, pelo menos 15 clientes.
Solução
afirmativa dada: μ ≥ 15
complementar: μ < 15
H0 : μ = 15
H1 : μ < 15
(c) (0,5 ponto) A proporção de defeituosos tem que ser, no máximo, 5%.
Solução:
afirmativa dada: p ≤ 0, 05
complementar: p > 0, 05
H0 : p = 0, 05
H1 : p > 0, 05
5. De uma população normal com desvio padrão 2, extrai-se uma amostra de tamanho 36 com o
objetivo de testar
H0 : μ = 8
H1 : μ 6= 8
(a) (1,0 ponto) Estabeleça a regra de decisão para um nível de significância de 5%.
Solução
α = 5%, teste bilateral: z0,025 = 1, 96 e a regra de decisão é rejeitar H0 se
X − 8
2√
36
< −1, 96⇐⇒ X < 8− 1.96× 2
6
= 7, 3467
ou
X − 8
2√
36
> 1, 96⇐⇒ X > 8 + 1.96× 2
6
= 8, 6533
2
(b) (1,0 ponto) Se a média amostral é 7,2 estabeleça a conclusão.
Solução
O valor observado da estatística de teste é
7.2− 8
2
6
= −2, 40 < −1, 96
Como o valor observado da estatística de teste ou da média amostral está na região crítica
(−2, 4 < −1, 96 ou 7, 2 < 7, 3467), devemos rejeitar a hipótese nula, ou seja, as evidências
amostrais indicam que a média é menor que 8.
6. (1,0 ponto) Calcule o tamanho da amostra necessário para se obter um intervalo de confiança
de 90% para uma proporção populacional com erro máximo de 8%, sabendo que a proporção
populacional é de, no máximo, 30%.
Solução
1− α = 0, 90 =⇒ z0,05 = 1, 64
0, 08 = 1, 64×
r
0, 3× 0, 7
n
=⇒ n ≥ 89
7. (2,0 pontos) Uma indústria farmacêutica lança um novo remédio para dor de cabeça, afir-
mando que o mesmo leva menos de 5 minutos para fazer efeito. Uma amostra de 9 sujeitos,
tomados aleatoriamente, acusou uma média de 4,8 minutos e desvio padrão de 1,2 minutos.
Com 5% de siginificância, teste a alegação do fabricante. Certifique-se de explicitar todas
etapas do procedimento de teste de hipótese, indicando as suposições feitas.
Solução
Temos que supor que o tempo de atuação possa ser aproximado por uma distribuição normal
N(μ;σ2). A alegação do fabricante é que μ < 5.Logo, nossas hipóteses são
H0 : μ = 5
H1 : μ < 5
e a estatística de teste é T0 =
√
9
X − 5
1, 2
∼ t(n− 1).
A abscissa da distribuição t de Student com 8 graus de liberdade que deixa 5% na cauda
inferior é t8;0,95 = −1, 86 e, portanto, a regra de decisão é rejeitar H0 se T0 < −1, 86. O valor
observado da estatística de teste é
t0 =
√
9× 4, 8− 5
1, 2
= −0, 5
Logo, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, os dados indicam que a alegação do fabricante
não é verdadeira, ou seja, o medicamento leva 5 minutos ou mais para começar a fazer efeito.
3
Resultados importantes e fórmulas
X ∼ N
¡
μ;σ2
¢
=⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
X − μ
σ√
n
∼ N(0; 1)
X − μ
S√
n
∼ t(n− 1)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = bP ≈ N µp; p(1− p)
n
¶
(amostra grande)
S2 =
1
n− 1
nP
i=1
¡
Xi −X
¢2
=
1
n− 1
∙
nP
i=1
X2i − nX
2
¸
=
1
n− 1
"
nP
i=1
X2i −
(
P
Xi)
2
n
#
4
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Métodos Estatisticos II – 2/2012 – GABARITO
Questão 1 [2,5 pts]
Nas Figuras 1 a 3 são dados os graficos de três funções.
(a) [1,5 pontos] Determine quais delas representam uma função de densidade de probabilidade
de uma variável aleatória X. Justifique sua resposta.
(b) [1,0 ponto] Para aquelas que são função de densidade, calcule P (X > 2, 5|X > 2).
Figura 1: Função 1 Figura 2: Função 2 Figura 3: Função 3
SOLUÇÃO
(a) Função 1: Não é fdp, pois não satisfaz a condição f(x) ≥ 0.
Função 2: Não é fdp, pois não satisfaz a condição de área 1 sob a curva.
Função 3: É fdp, pois f(x) ≥ 0 e a área sob a curva é 1, decomposta como soma da área de
um triângulo de base 2 e altura 0,5 e de um retângulo de lados 1 e 0,5.
(b) Para a Função 3
P (X > 2, 5|X > 2) = P (X > 2, 5)
P (X > 2
=
0, 25
0, 5
= 0, 5
Questão 2 [2,0 pts]
Em cada um dos seguintes problemas, a média amostral, o desvio padrão amostral, o tama-
nho amostral e o ńıvel de significância são dados. Suponha que a população subjacente seja
normalmente distribúıda. Realize o teste de hipótese apropriado para a afirmativa dada sobre
a média populacional. Certifique-se de explicitar as hipóteses nula e alternativa, bem como a
região cŕıtica.
(a) [1,0 ponto]
x = 226 s = 9 n = 16 α = 5% Afirmativa: A média é, no máximo, 220.
(b) [1,0 ponto]
x = 2285 s = 719 n = 27 α = 5% Afirmativa: A média é diferente de 2550.
SOLUÇÃO
1
(a) Afirmativa dada: µ ≤ 220.
H0 : µ = 220
H1 : µ > 220
Teste unilateral à direita: t15;0,05 = 1, 753. Região cŕıtica: T0 > 1, 753.
Valor observado da estat́ıstica de teste: t0 =
226− 220
9/4
= 2, 67 > 1, 753 =⇒ Rejeita-se H0.
(b) Afirmativa dada: µ 6= 2550.
H0 : µ = 2550
H1 : µ 6= 2550
Teste bilateral: t26;0,025 = 2, 056. Região cŕıtica: T0 > 2, 056 ou T0 < −2, 056.
Valor observado da estat́ıstica de teste: t0 =
2285− 2550
719/
√
27
= −1, 915 � −2, 056 =⇒ Não se
rejeita H0.
Questão 3 [2,0 pts]
De uma população normal com desvio padrão 3, extrai-se uma amostra de tamanho 25 com o
objetivo de se testar
H0 : µ = 7
H1 : µ < 7
(a) [1,0 ponto] Estabeleça a regra de decisão para um ńıvel de significância de 1%.
(b) [0,5 ponto] Se a média amostral é 5,5, estabeleça a conclusão.
(c) [0,5 ponto] Calcule o valor P.
SOLUÇÃO
(a) Teste unilateral à esquerda – região cŕıtica Z0 < −2, 33 onde Z0 =
X − 7
3/5
(b) Valor observado da estat́ıstica de teste: Z0 =
5, 5− 7
3/5
= −2, 5 < −2, 33 =⇒ Rejeita-se H0.
(c) P = P (Z < −2, 5) = 0, 5− tab(2, 5) = 0, 5− 0, 4938 = 0, 0062.
Questão 4 [1,5 pts]
Em cada um dos itens a seguir, X ∼ Bin(n, p). Verifique que são válidas as condições para
aproximação da binomial pela normal e calcule as probabilidades pedidas, usando a correção de
continuidade.
(a) n = 100 p = 0, 25 P (X > 32)
(b) n = 200 p = 0, 35 P (X ≤ 89)
(c) n = 1000 p = 0, 85 P (810 ≤ X < 875)
2
SOLUÇÃO
(a)
n ≥ 30
100× 0.25 = 25 ≥ 5
100× (1− 0, 25) = 75 ≥ 5
 =⇒ X ≈ N (100× 0.25; 100× 0.25× 0.75) = N(25; 18, 75)
P (X > 32) = P (X ≥ 33) ≈ P
(
Z ≥ 32, 5− 25√
18, 75
)
= P (Z ≥ 1, 73) = 0, 5−0, 4582 = 0, 0418
(b)
n ≥ 30
200× 0, 35 = 70 ≥ 5
200× (1− 0, 35) = 130 ≥ 5
 =⇒ X ≈ N (200× 0, 35; 200× 0, 35× 0, 65) = N(70; 45, 5)
P (X ≤ 89) ≈ P
(
Z ≤ 89, 5− 70√
45, 5
)
= P (Z ≤ 1, 41) = 0, 5 + 0, 4207 = 0, 9207
(c)
n ≥ 30
1000× 0, 85 = 850 ≥ 5
1000× (1− 0, 85) = 150 ≥ 5
 =⇒ X ≈ N (1000× 0, 85; 1000× 0, 85× 0, 15) = N(850; 127, 5)
P (810 ≤ X < 875) = P (810 ≤ X ≤ 874) ≈ P
(
Z ≤ 809, 5− 850√
127, 5
≤ Z ≤ 874, 5− 850√
127, 5
)
= P (−3, 59 ≤ Z ≤ 0, 69) = 0, 2549 + 0, 4998 = 0, 7547
Questão 5 [2,0 pts]
1. (1,0 ponto) Qual deve ser o tamanho da amostra mı́nimo necessário para se obter um
intervalo de confiança de 90% para uma proporção populacional, que se sabe ser no máximo
25%, se o erro máximo tolerável é de 8% ?
2. (1,0 ponto) Uma amostra de tamanho igual ao calculado no item anterior acusa pro-
porção amostral igual a 0,34. Esses dados corroboram a hipótese feita de que a proporção
populacional é no máximo 25%? Responda a essa pergunta fazendo um teste de hipótese
ao ńıvel de significância de 5%.
SOLUÇÃO
(a)
� ≤ 0, 08 =⇒ 1, 64
√
0, 25× 0, 75
n
≤ 0, 08 =⇒ n ≥
(
1, 64
0, 08
)2
×0, 25×0, 75 = 78, 797 =⇒ n = 79
3
(b) Afirmativa dada: p ≤ 0, 25.
H0 : p = 0, 25
H1 : p > 0, 25
Teste unilateral à direita: z0,05 = 1, 64. Região cŕıtica: Z0 > 1, 64.
Valor observado da estat́ıstica de teste: z0 =
0, 34− 0, 25√
0, 25× 0, 75
79
= 1, 8474 > 1, 64 =⇒ Rejeita-
se H0.
4
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro
de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – Métodos Estatisticos II – 1/2013
Nome: Matŕıcula:
Pólo: Data:
Atenção!
• Identifique a prova, colocando Nome, Matŕı-
cula, Polo e Data;
• É permitido o uso de calculadoras;
• Devolver a folha de respostas ao responsável;
• O desenvolvimento das questões pode ser a
lápis, mas as respostas terão que estar à caneta;
• É expressamente proibido o uso de corretivos
nas respostas.
Questão 1 [1,5 pt]
O tempo de espera (em minutos) para atendimento em uma agência bancária é uma variável
aleatória com distribuição uniforme no intervalo (2, 10).
(a) [0,5 ponto] Um cliente acaba de entrar na agência. Qual é a probabilidade de que ele
espere mais que 5 minutos?
(b) [0,5 ponto] Ache um valor t tal que a proporção de clientes que esperam no máximo t
minutos seja 0,65.
(c) [0,5 ponto] Um cliente já está na fila há mais de 3 minutos. Qual é a probabilidade de que
ele leve mais que 8 minutos para ser atendido?
Solução
Seja T a variável aleatória que representa o tempo de espera dos clientes. Então, T ∼ Unif(2, 10).
(a)
P (T > 5) =
10− 5
10− 2
=
5
8
(b)
P (T ≤ t) = 0, 65⇔ t− 2
10− 2
= 0, 65⇔ t = 7, 2
65% dos clientes levam no máximo 7,2 minutos para serem atendidos.
(c)
P (T > 8|T > 3)) = P (T > 8)
P (T > 3)
=
2
7
Questão 2 [1,5 pt]
Arcos de violinos clássicos são feitos de diferentes madeiras para satisfazer as preferências e
exigências dos músicos. Embora os arcos sejam fabricados cuidadosamente, eles variam ligeira-
mente no peso. Suponha que um fabricante de arcos afirme que o peso de seus arcos clássicos é
normalmente distribúıdo, com média de 60 gramas e desvio-padrão de 3,2 gramas.
(a) [0,5 ponto] Bons músicos podem detectar um peso inaceitável de um arco, isto é, um peso
que difere da média por mais de dois desvios-padrão. Qual é a probabilidade de que o peso
de um arco seja inaceitável?
(b) [0,5 ponto] Qualquer arco fabricado que pese mais de 66 gramas é retrabalhado para
diminuir seu peso. Qual é a probabilidade de que um arco desse fabricante, selecionado
aleatoriamente, precise ser retrabalhado?
(c) [0,5 ponto] Selecionam-se aleatoriamente 4 violinos desse fabricante. Qual é a probabili-
dade de que o peso médio seja maior que 64 gramas?
Solução
(a) Seja A a variável aelatória que representa o peso dos arcos desse fabricante. Então A ∼
N(60; 3, 22)
P (|A− µ| > 2σ) = P (|Z| > 2) = 1− P (−2 < Z < 2) = 1− 2× tab(2, 0) = 0, 0456
(b)
P (A > 66) = P
(
Z >
66− 60
3, 2
)
= P (Z > 1, 875) = 0, 5− tab(1, 88) = 0, 0301
(c) A ∼ N
(
60;
3, 22
4
)
P(A > 64) = P
(
Z >
64− 60
3,2
2
)
= P(Z > 2, 5) = 0, 5− 0, 4938 = 0, 0062
Questão 3 [2,0 pts]
(a) [1,0 ponto] Determine o tamanho da amostra necessário para se estimar uma proporção p
de modo que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01, com probabilidade de
90%.
(b) [1,0 ponto] Como mudaria sua resposta se lhe fosse dada a informação de que o verdadeiro
valor de p está o intervalo [0, 2; 0, 4]?
Solução
(a) 1− α = 0, 90⇒ z0,05 = 1, 64
0, 01 = 1, 64×
√
p0(1− p0)
n
⇒ n =
(
1, 64
0, 01
)2
× [p0(1− p0)]
p0 = 0, 5 – procedimento conservador correspondente ao pior caso.
n =
(
1, 64
0, 01
)2
× 0, 5× 0, 5 = 6724
2
(b) Neste caso, o pior caso corresponde a p0 = 0, 4 :
n =
(
1.64
0.01
)2
× 0.4× 0.6 = 6455
Questão 4 [2,5 pontos]
O administrador geral de um hospital está preocupado com a demora no atendimento a pacien-
tes muito doentes que chegam ao setor de emergência. Dados históricos mostram que o tempo
médio para atendimento desses pacientes é de 20 minutos com desvio padrão σ = 5 minutos.
Considerando que esse tempo de espera é muito longo para pacientes muito doentes, o adminis-
trador resolve experimentar uma nova forma de abordagem dos pacientes. Depois de dois meses
da implementação dessa nova forma de abordagem, seleciona-se uma amostra aleatória de 36
pacientes muito doentes e registra-se o tempo para o atendimento de cada um. O tempo médio
amostral é x = 17 minutos. O administrador precisa saber se a nova forma de abordagem me-
lhora o tempo de atendimento. Você vai ajudá-lo nesse processo de decisão, realizando um teste
de hipótese com ńıvel de significância α = 0, 05 e supondo que o desvio padrão populacional
não se alterou.
(a) [0,5 ponto] Defina as hipóteses nula e alternativa.
(b) [0,5 ponto] Defina a estat́ıstica de teste e sua distribuição e a região de rejeição.
(c) [0,5 ponto] Estabeleça a conclusão com base nos dados observados. Certifique-se de inter-
pretar o resultado à luz do problema em questão.
(d) [0,5 ponto] Calcule o valor P .
(e) [0,5 ponto] Obtenha o intervalo de confiança para o verdadeiro novo tempo médio de
espera. Use o ńıvel de confiança de 95%.
Solução
(a)
H0 : µ = 20
Ha : µ < 20
(b)
Z =
√
36
X − 20
5
∼ N(0; 1)
RR : Z < −1, 64
(c) O valor observado da estat́ıstica de teste é
z0 =
√
36
17− 20
5
= −3, 6
Como −3, 6 < −1, 64, rejeita-se a hipótese nula, ou seja, os dados indicam que a nova
abordagem reduz o tempo de espera para atendimento a pacientes muito doentes que chegam
ao setor de emergência desse hospital.
3
(d)
P = P (Z < −3, 6) = P (Z > 3, 6) = 0, 5− tab(3, 6) = 0, 5− 0, 4998 = 0, 0002
(e) (
17− 1, 96× 5
6
; 17 + 1, 96× 5
6
)
= (15, 367; 18, 633)
Questão 5 [2,5 pts]
De uma população normal, extrai-se uma amostra aleatória de tamanho 15 que acusa os seguintes
valores:
380 350 290 370 280
300 320 330 300 290
340 326 340 324 320
(a) [0,5 ponto] Calcule a média e o desvio-padrão amostrais. (Dica:
15∑
i=1
xi = 4860;
15∑
i=1
x2i =
1586552)
(b) [1,0 ponto] Use os dados amostrais para testar
H0 : µ = 300
H1 : µ > 300
ao ńıvel de significância de 5%.
(c) [1,0 ponto] Determine um intervalo de confiança de 90% para a média populacional µ.
Solução
(a)
x =
4860
15
= 324
s =
√
1
14
(
1586552− 4860
2
15
)
= 29, 16946
(b)
H0 : µ = 300
H1 : µ > 300
Como a população é Normal, podemos usar a distribuição t de Student para a estat́ıstica
de teste:
t0 =
√
15× 324− 300
29, 16946
= 3, 1866
O valor cŕıtico da t(14) é t14;0,10 = 1, 345. Como o valor observado t0 encontra-se na região
cŕıtica, conclui-se que os dados fornecem evidência de que µ > 300.
(c) t14;0,05 = 1, 761[
324− 1, 761× 29, 16946√
15
; 324 + 1, 761× 29, 16946√
15
]
= [310, 74 ; 337, 26]
4
Resultados importantes e fórmulas
Distribuições Amostrais
X ∼ N
(
µ;σ2
)
=⇒

X − µ
σ√
n
∼ N(0; 1)
X − µ
S√
n
∼ t(n− 1)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = P̂ ≈ N
(
p;
p(1− p)
n
)
(amostra grande)
S2 =
1
n− 1
n∑
i=1
(
Xi −X
)2
=
1
n− 1
[
n∑
i=1
X2i − nX
2
]
=
1
n− 1
[
n∑
i=1
X2i −
(
∑
Xi)
2
n
]
Regiões cŕıticas
X < µ0 − zα/2
σ√
n
ou X > µ0 + zα/2
σ√
n
X > µ0 + zα
σ√
n
X < µ0 − zα σ√n
X < µ0 − tn−1;α/2
S√
n
ou X > µ0 + tn−1;α/2
S√
n
X > µ0 + tn−1;α
S√
n
X < µ0 − tn−1;α
S√
n
P̂ < p0 − zα/2
√
p0(1−p0)
n
ou P̂ > p0 + zα/2
√
p0(1−p0)
n
P̂ > p0 + zα
√
p0(1−p0)
n
P̂ < p0 − zα
√
p0(1−p0)
n
5
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP3 – Métodos Estat́ısticos II – 1/2014
Questão 1 [1,5 pts]
As armações pré-fabricadas para teto de madeira permitem aos construtores terminarem pro-
jetos mais rapidamente e com menores custos de mão de obra. As placas de conexão para as
armações são feitas de aço Classe A e são galvanizadas a quente. A espessura de um conector
de armação (em polegadas) varia ligeiramente segundo uma distribuição uniforme no intervalo
(0,036; 0,050).
(a) Ache um valor ν tal que a proporção de conectores com no máximo ν polegada de espessura
seja de 75%.
(b) O fabricante usa apenas conectores com espessura de pelo menos 0,04 polegada, rejeitando
os demais. Qual proporção de conectores é rejeitada?
(c) Um conector, selecionado aleatoriamente, é rejeitado pelo fabricante. Qual é a probabili-
dade de que sua espessura seja maior que 0,038 polegada?
Solução
Seja X a espessura dos conectores. Então, X ∼ Unif(0, 036; 0, 050).
(a) P(X ≤ ν) = 0, 75⇔ ν − 0, 036
0, 050− 0, 036
= 0, 75⇔ ν = 0, 036 + 0, 75× 0, 014 = 0, 0465
(b) Os conectores rejeitados são aqueles com espessura X < 0, 04.
P(X < 0, 04) =
0, 04− 0, 036
0, 050− 0, 036
= 0, 2857
(c) Sabemos que X < 0, 04. Logo, o problema pede
P(X > 0, 038|X < 0, 04) = P(0, 038 < X < 0, 04)
P(X < 0, 04)
=
0, 04− 0, 038
0, 2857
= 0, 007
Questão 2 [1,0 pt]
Seja X ∼ N(5; 22). Calcule:
(a) [0,2 pt] P(X ≥ 7, 4)
(b) [0,2 pt] P(X < 9)
(c) [0,2 pt] P(1, 8 < X < 5, 8)
(d) [0,2 pt] P(1 < X < 3)
(e) [0,2 pt] P[(X > 4)
Solução
(a) P(X ≥ 7, 4) = P
(
Z > 7,4−52
)
= P(Z > 1, 2) = 0, 5− tab(1, 2) = 0, 5− 0, 3849 = 0, 1151
(b) P(X < 9) = P
(
Z < 9−52
)
= P(Z < 2) = 0, 5 + tab(2) = 0, 5 + 0, 4772 = 0, 9772
(c) P(1, 8 < X < 5, 8) = P
(
1,8−5
2 < Z <
5,8−5
2
)
= P(−1, 6 < Z < 0, 4) = tab(0, 4)+tab(1, 6) =
0, 1554 + 0, 4452 = 0, 6006
(d) P(1 < X < 3) = P
(
1−5
2 < Z <
3−5
2
)
= P(−2 < Z < −1) = P(1 < Z < 2) = tab(2) −
tab(1) = 0, 4772− 0, 3413 = 0, 1359
(e) P(X > 4) = P
(
Z > 4−52
)
= P(Z > −0, 5) = 0, 5 + tab(0, 5) = 0, 5 + 0, 1915 = 0, 6915
Questão 3 [1,0 pt]
Com base na tabela e nas propriedades da função de densidade t de Student determine a
abscissa t que satisfaz as condições pedidas:
(a) P(t(14) > t) = 0, 99 Sol: t = −0, 2624
(b) P(t(26) ≤ t) = 0, 90 Sol: t = 1, 315
(c) P(|t(20)| < t) = 0, 96 Sol: t = 2, 197
(d) P(|t(11)| > t) = 0, 30 Sol: t = 1, 088
Questão 4 [1,0 pt]
Em cada um dos seguintes problemas, são dadas as seguintes informações: média amostral,
tamanho amostral, ńıvel de confiança, desvio padrão populacional ou amostral. Ache o intervalo
de confiança apropriado para a média µ de uma população normal.
(a) x = 94, 3 n = 12 s = 3, 70 1− α = 95%
(b) x = 43, 1 n = 18 σ = 2, 25 1− α = 99%
Solução
(a) t11;0,025 = 2, 201 � = 2, 201×
3, 7√
12
= 2, 35088 IC : (91, 94912; 96, 65088)
(b) z0,005 = 2, 58 � = 2, 58×
2, 25√
18
= 1, 36825 IC : (41, 73175; 44, 46825)
Questão 5 [1,0 pt]
(a) Determine o tamanho da amostra necessário para se estimar uma proporção p de modo
que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01, com probabilidade de 90%.
(b) Como mudaria sua resposta se lhe fosse dada a informação de que o verdadeiro valor de p
está no intervalo [0, 2; 0, 4]?
Solução
(a) 1− α = 0, 90⇒ z0,05 = 1, 64
0, 01 = 1, 64×
√
p0(1− p0)
n
⇒ n =
(
1, 64
0, 01
)2
× [p0(1− p0)]
p0 = 0, 5 – procedimento conservador correspondente ao pior caso.
n =
(
1, 64
0, 01
)2
× 0, 5× 0, 5 = 6724
2
(b) Neste caso, o pior caso corresponde a p0 = 0, 4 :
n =
(
1, 64
0, 01
)2
× 0, 4× 0, 6 = 6455
Questão 6 [3,0 pts]
Um fogão leve para acampamento é projetado para aceitar um combust́ıvel triplo, feito de pro-
pano, iso-butano e butano. Os cilindros para esse fogão são vendidos junto com equipamentos
de acampamento, e o rótulo indica 225 gramas de combust́ıvel. Para verificar essa afirmativa,
52 cilindros foram selecionados aleatoriamente e a quantidade de combust́ıvel em cada um foi
medida cuidadosamente. A média amostral foi x = 223, 9 gramas. Há alguma evidência de
que a verdadeira quantidade média de combust́ıvel nesses cilindros seja inferior à quantidade
anunciada? Para responder a essa pergunta, você vai realizar um teste de hipótese apropriado
com ńıvel de significância de 5%, supondo que o desvio-padrão populacional seja 3,6 gramas.
Certifique-se de especificar claramente
(a) [0,5 pt] as hipóteses nula e alternativa;
(b) [0,5 pt] a estat́ıstica de teste;
(c) [0,5 pt] a região cŕıtica;
(d) [0,5 pt] a conclusão;
(e) [0,5 pt] o valor P ;
(f) [0,5 pt] os resultados teóricos utilizados.
Solução
σ = 3, 6 α = 0, 05 n = 52 grande!
(a)
H0 : µ = 225
H1 : µ < 225
(b) Z0 =
√
52
X − 225
3, 6
(c) RC : Z0 < −1, 64
(d) z0 =
√
52
223, 9− 225
3, 6
= −2, 203 < −1, 64
Rejeita-se H0, ou seja, há evidências de que a quantidade média de combust́ıvel nesses
cilindros é menor que 225 gramas.
(e) P = P(Z ≤ −2, 203) = 0, 5− tab(2, 203) = 0, 5− 0, 4861 = 0, 0139
(f) Como n é grande e σ conhecido, utilizou-se o teorema limite central.
Questão 7 [1,5 pts]
Uma amostra aleatória de tempos de voo (em minutos) entre duas cidades apresentou os se-
guintes resultados: x = 240, 8 min e s = 8, 43 min.
O tempo de voo para essa rota é afetado pelos ventos oeste-leste que prevalecem e, normal-
mente, é de 235 minutos. Há alguma evidência que sugira que o verdadeiro tempo de voo seja
superior a 235 minutos? Suponha que a distribuição subjacente seja normal e use α = 0, 025.
Solução
3
H0 : µ = 225
H1 : µ > 225
T0 =
X − 235
8, 43√
15
=
X − 235
2, 1766
RC : T0 > 2, 145
t0 =
240, 8− 235
2, 1766
= 2, 665 > 2, 145
Rejeita-se H0, ou seja, há evidências de que o tempo médio de voo seja superior a 235 min.
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AP3 – Métodos Estat́ısticos II – 1/2015
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Identifique a prova, colocando Nome, Matŕı-
cula, Polo e Data;
• É permitido o uso de calculadoras;
• Devolver a folha de respostas ao responsável;
• O desenvolvimento das questões pode ser a
lápis, mas as respostas terão que estar a caneta;
• É expressamente proibido o uso de corretivos
nas respostas.
Questão 1 [2,0 pts] A espessura de chapas fabricadas numa indústria pode ser descrita por
uma distribuição uniforme entre 0,84 cm e 1,04 cm.
(a) Esboce o gráfico da função densidade que descreve a espessura das chapas.
(b) Ache um valor ν tal que 40% das chapas não excedam essa espessura ν.
(c) Um cliente usa apenas chapas com espessura de, no máximo, 1,0 cm. Qual proporção de
chapas é aceita por esse cliente?
(d) Uma chapa, selecionada aleatoriamente, é rejeitada por esse cliente. Qual é a probabilidade
de que sua espessura seja maior que 1,02 cm?
Solução:
Seja X a espessura das chapas. Então, X ∼ Unif [0, 84; 1, 04]
(a) Veja o gráfico na Figura 1.
Figura 1: Função de densidade – Questão 1
(b) P(X ≤ ν) = 0, 40⇔ ν − 0, 84
1, 04− 0, 84
= 0, 40⇔ ν = 0, 84 + 0, 40× 0, 2 = 0, 92
(c) As chapas aceitas são aqueles com espessura X ≤ 1, 0.
P(X ≤ 1, 0) = 1, 0− 0, 84
1, 04− 0, 84
= 0, 8
(d) Sabemos que X > 1, 0. Logo, o problema pede
P(X > 1, 02|X > 1, 0) = P(X > 1, 02)
P(X > 1, 0)
=
1, 04− 1, 02
1, 04− 1, 0
=
0, 02
0, 04
= 0, 5
Questão 2 [1,5 pt] Seja X ∼ N(12; 32). Calcule:
(a) P(X ≥ 15, 6)
(b) P(X < 18)
(c) P(7, 2 < X < 13, 2)
(d) P(6 < X < 9)
(e) P(X > 10, 5)
Solução:
(a) P(X ≥ 15, 6) = P
(
Z > 15,6−123
)
= P(Z > 1, 2) = 0, 5− tab(1, 2) = 0, 5− 0, 3849 = 0, 1151
(b) P(X < 18) = P
(
Z < 18−123
)
= P(Z < 2) = 0, 5 + tab(2) = 0, 5 + 0, 4772 = 0, 9772
(c) P(7, 2 < X < 13, 2) = P
(
7,2−12
3 < Z <
13,2−12
3
)
= P(−1, 6 < Z < 0, 4) = tab(0, 4) +
tab(1, 6) = 0, 1554 + 0, 4452 = 0, 6006
(d) P(6 < X < 9) = P
(
6−12
3 < Z <
9−12
3
)
= P(−2 < Z < −1) = P(1 < Z < 2) = tab(2) −
tab(1) = 0, 4772− 0, 3413 = 0, 1359
(e) P(X > 10, 5) = P
(
Z > 10,5−123
)
= P(Z > −0, 5) = 0, 5+tab(0, 5) = 0, 5+0, 1915 = 0, 6915
Questão 3 [1,5 pt] Com base na tabela e nas propriedades da função de densidade t de
Student determine a abscissa t que satisfaz as condições pedidas:
(a) P(t(11) > t) = 0, 10 Sol: t = 1, 363
(b) P(t(15) > t) = 0, 95 Sol: t = −1, 753
(c) P(t(21) ≤ t) = 0, 97 Sol: t = 1, 988
(d) P(|t(18)| < t) = 0, 96 Sol: t = 2,
214
(e) P(|t(27)| > t) = 0, 20 Sol: t = 1, 314
Questão 4 [2,0 pts] Em cada um dos seguintes problemas, são dadas as seguintes informações:
média amostral, tamanho amostral, ńıvel de confiança, desvio padrão populacional ou amostral.
Ache o intervalo de confiança apropriado para a média µ de uma população normal.
(a) x = 23, 12 n = 16 s = 2, 15 1− α = 98%
(b) x = 25, 36 n = 9 σ = 1, 83 1− α = 90%
Solução:
2
(a) t15;0,01 = 2, 602 � = 2, 602×
2, 15√
16
= 1, 398575 IC : (21, 721425; 24, 518575)
(b) z0,05 = 1, 645 � = 1, 645×
1, 83√
9
= 1, 00345 IC : (24, 35655; 26, 36345)
Questão 5 [3,0 pts] Considere testes de hipótese relativos à média de uma população normal
com as seguintes caracteŕısticas: H0 : µ = 170, n = 38 e σ = 15. Obtenha a região de rejeição,
calcule o valor P e estabeleça a conclusão em cada uma das seguines situações:
(a) hipótese alternativa bilateral, α = 5%, média amostral igual a 175,92
(b) hipótese alternativa unilateral à esquerda, α = 1%, média amostral igual a 165,83
Solução:
(a)
H0 : µ = 170
H1 : µ 6= 170
Z0 =
X − 170
15√
38
RC : |Z0| > 1, 96
z0 =
175, 92− 170
15√
38
= 2, 4329 > 1, 96
Rejeita-se H0 ao ńıvel de significância de 5%. O valor P é
P = 2× P(Z > 2, 4329) = 2× (0, 5− tab(2, 43)) = 2× (0, 5− 0, 4925) = 0, 015
Rejeita-se H0 para qualquer ńıvel de significância α > 1, 5%, o que inclui 5%.
(b)
H0 : µ = 170
H1 : µ < 170
Z0 =
X − 170
15√
38
RC : Z0 < −2, 33
z0 =
165, 83− 170
15√
38
= −1, 7137 > −2, 33
Não se rejeita H0 ao ńıvel de significância de 1%. O valor P é
P = P(Z < −1, 71 = (0, 5− tab(1, 71)) = 0, 5− 0, 4564) = 0, 0436
Rejeita-se H0 para qualquer ńıvel de significância α > 4, 36%, o que não inclui 1%.
3
Resultados importantes e fórmulas
Distribuições Amostrais
X ∼ N
(
µ;σ2
)
=⇒
(i)
X − µ
σ√
n
∼ N(0; 1) (ii) X − µ
S√
n
∼ t(n− 1)
X ∼ Bernoulli(p) =⇒ X = P̂ ≈ N
(
p;
p(1− p)
n
)
(amostra grande)
Regiões cŕıticas
X < µ0 − zα/2
σ√
n
ou X > µ0 + zα/2
σ√
n
X > µ0 + zα
σ√
n
X < µ0 − zα σ√n
X < µ0 − tn−1;α/2
S√
n
ou X > µ0 + tn−1;α/2
S√
n
X > µ0 + tn−1;α
S√
n
X < µ0 − tn−1;α
S√
n
P̂ < p0 − zα/2
√
p0(1−p0)
n ou P̂ > p0 + zα/2
√
p0(1−p0)
n P̂ > p0 + zα
√
p0(1−p0)
n P̂ < p0 − zα
√
p0(1−p0)
n
4
Tabela 1: Z ∼ N(0; 1)
Valores de p
p = P(0 ≤ Z ≤ z)
Casa inteira
e 1
a
 Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998
3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998
3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999
3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
Para abscissas maiores que 4,09, use a probabilidade 0,5000.
2
a
 decimal
5
Tabela 2: Valores cŕıticos da
t-Student
p = P(T > tp)
0,150 0,100 0,060 0,050 0,040 0,030 0,025 0,020 0,010 0,005 0,0025 0,002 0,001
1 1,963 3,078 5,242 6,314 7,916 10,579 12,706 15,895 31,821 63,657 127,321 159,153 318,309
2 1,386 1,886 2,620 2,920 3,320 3,896 4,303 4,849 6,965 9,925 14,089 15,764 22,327
3 1,250 1,638 2,156 2,353 2,605 2,951 3,182 3,482 4,541 5,841 7,453 8,053 10,215
4 1,190 1,533 1,971 2,132 2,333 2,601 2,776 2,999 3,747 4,604 5,598 5,951 7,173
5 1,156 1,476 1,873 2,015 2,191 2,422 2,571 2,757 3,365 4,032 4,773 5,030 5,893
6 1,134 1,440 1,812 1,943 2,104 2,313 2,447 2,612 3,143 3,707 4,317 4,524 5,208
7 1,119 1,415 1,770 1,895 2,046 2,241 2,365 2,517 2,998 3,499 4,029 4,207 4,785
8 1,108 1,397 1,740 1,860 2,004 2,189 2,306 2,449 2,896 3,355 3,833 3,991 4,501
9 1,100 1,383 1,718 1,833 1,973 2,150 2,262 2,398 2,821 3,250 3,690 3,835 4,297
10 1,093 1,372 1,700 1,812 1,948 2,120 2,228 2,359 2,764 3,169 3,581 3,716 4,144
11 1,088 1,363 1,686 1,796 1,928 2,096 2,201 2,328 2,718 3,106 3,497 3,624 4,025
12 1,083 1,356 1,674 1,782 1,912 2,076 2,179 2,303 2,681 3,055 3,428 3,550 3,930
13 1,079 1,350 1,664 1,771 1,899 2,060 2,160 2,282 2,650 3,012 3,372 3,489 3,852
14 1,076 1,345 1,656 1,761 1,887 2,046 2,145 2,264 2,624 2,977 3,326 3,438 3,787
15 1,074 1,341 1,649 1,753 1,878 2,034 2,131 2,249 2,602 2,947 3,286 3,395 3,733
16 1,071 1,337 1,642 1,746 1,869 2,024 2,120 2,235 2,583 2,921 3,252 3,358 3,686
17 1,069 1,333 1,637 1,740 1,862 2,015 2,110 2,224 2,567 2,898 3,222 3,326 3,646
18 1,067 1,330 1,632 1,734 1,855 2,007 2,101 2,214 2,552 2,878 3,197 3,298 3,610
19 1,066 1,328 1,628 1,729 1,850 2,000 2,093 2,205 2,539 2,861 3,174 3,273 3,579
20 1,064 1,325 1,624 1,725 1,844 1,994 2,086 2,197 2,528 2,845 3,153 3,251 3,552
21 1,063 1,323 1,621 1,721 1,840 1,988 2,080 2,189 2,518 2,831 3,135 3,231 3,527
22 1,061 1,321 1,618 1,717 1,835 1,983 2,074 2,183 2,508 2,819 3,119 3,214 3,505
23 1,060 1,319 1,615 1,714 1,832 1,978 2,069 2,177 2,500 2,807 3,104 3,198 3,485
24 1,059 1,318 1,612 1,711 1,828 1,974 2,064 2,172 2,492 2,797 3,091 3,183 3,467
25 1,058 1,316 1,610 1,708 1,825 1,970 2,060 2,167 2,485 2,787 3,078 3,170 3,450
26 1,058 1,315 1,608 1,706 1,822 1,967 2,056 2,162 2,479 2,779 3,067 3,158 3,435
27 1,057 1,314 1,606 1,703 1,819 1,963 2,052 2,158 2,473 2,771 3,057 3,147