EXERCICIOS Resistência dos Materiais

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Unidade Curricular: Mecânica dos Materiais – Exercícios (TP) 
Course Unit: Mechanics of Materials – Exercises (TP) 
 
Licenciatura em Engenharia Mecânica - 2ºAno 1ºsemestre - 2020-2021 
Mechanical Engineering Degree - 2nd year and 1st semester 2020-2021 
 
Name. Elza Fonseca 
 
 
 
 
 
 
Livro Adoptado / Adopted Book: 
Beer, F. P. & Johnston, E. R., DeWolf J. T., Mechanics of Materials, McGraw-Hill, 2002 (cap.1, 
2, 3, 4, 5, 7, 8, 9). 
 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.1 
Problema nº1 / Exercise nº1 
 
 
 
Figura 1 – Treliça, componentes do tipo barra. Figure 1- Bar components. 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.2 
A estrutura apresentada na figura 1 suporta uma carga de 30kN em B, conectada à barra AB. A 
barra AB é de secção quadrangular (50x30)mm e a barra CB é de secção circular (d=20mm). As 
ligações B, A e C são efectuadas com pinos, cujo diâmetro é igual a 25mm. 
Nas condições apresentadas, determine: 
a) os esforços internos nas barras, as reacções nos suportes e os respectivos estados de tensão nas 
diferentes barras; 
b) as tensões de corte a que vão estar submetidos os pinos A, B e C, e ainda a tensão de 
esmagamento no pino A. 
c) Pode a barra AB suportar a força de 30kN de forma segura, sabendo que a resistência do aço 
utilizado é de 60MPa? 
 
The structure presented in figure 1 supports a 30 kN load in B, connected to bar AB. The 
structure consists of a boom (AB, 50x30mm) and a rod (CB diameter=20mm) joined by pins 
(diameter=25mm) with zero moment connections at the junctions and supports. Perform a static 
analysis to determine: 
a) internal forces in each structural member, the reaction forces at the supports, and the normal 
stresses in different bars; 
b) the shear stress in A, B and C pins, and the bearing stress in the A connection. 
c) Can the structure (AB) safely support the 30kN load, knowing that the material properties for 
steel are an allowable stress equal to 60MPa? 
 
Problema nº2 / Exercise nº2 
 
Figura 2 – Ligação aparafusada. Figure 2 - A connection with screws. 
Duas barras (1) e (2) com secção rectangular, submetidas a uma carga P de 31kN, estão ligadas 
através de um parafuso AB. A tensão de corte admissível no elemento de ligação é de 90MPa e a 
tensão de esmagamento entre o parafuso e a barra (1) é de 150MPa. Nestas condições e sabendo 
que a espessura da barra t é de 15mm determine o diâmetro nominal que é admissível no 
dimensionamento do parafuso. 
 
Two plates (1) and (2) with a rectangular section, are submitted at a load P equal to 31kN, 
connected by one screw AB. The allowable shear stress in the screw is equal to 90 MPa and the 
bearing stress between the screw and the plate (1) is equal to 150MPa. For these conditions and 
knowing the plate thickness t equal to 15mm, determine the nominal diameter that is allowable 
for this design. 
(2) (1) 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.3 
Problema nº3 / Exercise nº3 
 
Figura 3 – Barra submetida a carregamento axial. Figure 3 – Bar component with an axial load. 
A barra apresentada é traccionada por uma carga P de 100N. A secção recta da barra é 
quadrangular e vale (20x20) mm. Determine o estado de tensão na secção inclinada, referida a 
uma emenda colada, quando o ângulo é igual a 30º. 
 
The bar component presented in figure 3, is loaded by a tensile load equal to 100N. The section 
area is quadrangular (20x20) mm. Determine the stress state in the inclined section, like you can 
see in the figure, when the angle is equal at 30º. 
 
Problema nº4/ Exercise nº4 
 
Figura 4 - Barra com carregamento axial. Figure 4 – Bar with axial load. (test) 
 
A barra representada na figura 4 tem uma secção transversal rectangular igual a 200x100mm. 
Pretende-se que determine a tensão normal e de corte no plano aa indicado. 
 
The bar presented in figure 4 has a transversal rectangular section equal to 200x100mm. It is 
need to determine the normal stress and the shear stress in aa plane. 
 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.4 
Problema nº5 / Exercise nº5 
 
Figura 5 – Barra submetida a um carregamento axial. Figure 5 – Axial loaded bar. (test) 
 
As barras compostas AB e BC são soldadas em B e está submetida ao carregamento axial 
mostrado na figura 5. A secção recta desta estrutura é circular e maciça. Elabore o diagrama de 
esforços internos da estrutura. Sabendo que a tensão normal média não deve exceder 150MPa 
em qualquer secção da barra, determine o diâmetro d2 e d1 para as condições do problema. E o 
deslocamento total ABC. Considere que a rigidez do material é igual a E=const. 
 
The AB bar is soldered in B to connect BC bar component, and they are submitted to an axial 
load. The section area of this structure is circular and solid. Draw the internal forces in the 
structure. Knowing the average of the normal stress not exceed 150MPa for any section, 
determine d2 and d1 diameters for the problem conditions. And total displacement ABC. The 
stiffness of material is equal to E=const. 
 
Problema nº6 / Exercise nº6 
 
Figura 6 – Barra submetida a carregamento axial. 
Figure 6 – Bar component submitted to an axial load. 
 
Para a barra da figura 6 e com o carregamento indicado determine as reacções em A e B. 
Represente o diagrama de esforços internos entre ADCKD. 
Calcule as tensões normais também ao longo da estrutura. Considere que E=constante. 
 
For the bar component represented in figure 6, determine the reactions in the positions A and B. 
Draw the internal forces through ADCKD structure. 
Calculate the normal stress also through the structure. Consider E=constant. 
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E.FONSECA P.5 
Problema nº7 / Exercise nº7 
 
Figura 7 – Barra aquecida. Figure 7 – Heated bar. (exam) 
 
Uma barra ACD com comprimento L está presa a suportes rígidos em A e B. As características 
geométricas estão representadas na figura 7 e as propriedades do material são o módulo de 
elasticidade E e o coeficiente de dilatação térmica α. Assumindo que barra é submetida a uma 
variação de temperatura ∆T, determine as expressões para o cálculo da força interna de 
compressão gerada na barra e o estado de tensão normal gerado na barra. 
 
One bar (ACD) with a length L is constraint in the supports A and B. The geometrical 
characteristics are represented in the figure 7 and the material properties are the elasticity 
modulus E and the thermal coefficient α. Assuming that bar is submitted to a temperature 
variation ∆T, determine all expressions for internal compressive forces in the bar, and also the 
stress state generated. 
 
Problema nº8 / Exercise nº 8 
 
Figura 8 – Estrutura de sustentação. Figure 8 – Support structure. (exam)A barra rígida BDE é suportada por outras duas barras AB e CD. A barra AB é de Al (E=70GPa) 
e a área da sua secção recta igual a 500 mm2. A barra CD é de aço (E=200GPa) e tem uma 
secção recta de (600mm2). Para uma força aplicada de 30kN, determine a deflexão a) em B, b) 
em D, e c) em E. 
 
The BDE solid bar is supported by others bars AB and CD. The AB bar is in Aluminium 
(E=70GPa) and the section area equal to 500 mm2. The CD bar is in steel (E=200GPa) with a 
section area equal to 600mm2. For a load equal to 30kN, determine the deflection in: a) B; b) D 
and c) E. 
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E.FONSECA P.6 
Problema nº9 / Exercise nº9 
 
Figura 9 – Cabos de sustentação. Figure 9 – Cables sustentation. (exam / test) 
 
Os cabos que sustentam o suporte ABC são de Alumínio (E=70GPa) e têm uma secção recta 
transversal igual 25mm2. O suporte ABC por ser rígido permanece sempre na horizontal e em B 
é aplicada uma carga P=5kN. Nestas condições determine o alongamento verificado nos cabos. 
Nota: assuma igual distância entre AB e BC. 
 
The cables who sustain the ABC support are in aluminium (E=70GPa) and have a section area 
equal to 25mm2. The ABC support is solid and always in the horizontal direction. In B position a 
load equal to P=5kN is applied. For that conditions determine the displacement verified in the 
cables. Note: use an equal distance between AB and BC. 
 
 
Problema nº10 / Exercise nº10 
 
Figura 10 – Barras submetidas a carregamento axial. 
Figure 10 – Bars submitted to an axial loading. (exam) 
 
A estrutura apresentada é composta pelo elemento GH que é suportado pelas três barras verticais 
apresentadas, cada uma com uma secção recta de 30mm2 e material com E=210GPa. Sabendo-se 
que uma força de P=8KN é aplicada em H: determine a tensão normal numa zona intermédia da 
barra vertical EF, CD e AB e as respectivas deformações. 
 
The presented structure is composed by the element GH who is supported by three vertical bars. 
Each vertical bar has a section area equal to 30mm2 and the material has E=210GPa. Knowing 
the applied load P=8kN in H, determine the normal stress in the middle of each vertical bar EF, 
CD and AB, and also the respectively strains. 
 
H 
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E.FONSECA P.7 
Problema nº11 / Exercise nº11 
Geometria
Comprimento L = 1000 [mm]
Largura D = 500 [mm]
Espessura t = 10 [mm]
Diâmetro d [mm] 200
P[kN] 600
 
Propriedades do material
Módulo de elasticidade E = 200GPa
Coeficiente de Poisson ν = 0.3
 
Figura 11 – Placa com carregamento axial, efeito de concentração de tensões. 
Figure 11 – Plate with axial load, stress concentration effect. 
 
Atendendo à figura 11, placa com um furo central, pretende-se que determine a máxima tensão 
junto ao furo, para o carregamento imposto na estrutura. As tabelas caracterizam as dimensões e 
o tipo de material utilizado. 
 
In figure 11 we can see a plate with a central hole. Determine the maximum stress near at the 
hole for the loading condition imposed in the structure. The tables characterize the dimensions 
and the material type used. 
 
Problema nº12 / Exercise nº12 
 
Figura 12 – Veio de transmissão motor. Figure 12 – Shaft engine transmission. 
 
O veio BC é tubular com diâmetro interno e externo de 90mm e 120mm, respectivamente. Os 
veios motor AB e CD são sólidos com diâmetro d. Para o carregamento dado, determine: (a) a 
máxima e a mínima tensão de corte no veio motor BC, (b) e o diâmetro d necessário para a 
escolha dos veios AB e CD se for utilizado um material cuja tensão de corte admissível seja de 
65MPa. 
 
The BC shaft is tubular with an inner and outer diameter equal to 90mm and 120mm, 
respectively. The engine shafts AB and CD are solids with a diameter equal d. For the loading 
conditions presented, determine: a) the maximum and the minimum shear stress in the BC 
engine shaft, b) the d diameter need for AB and CD shafts, if a material with an allowable shear 
stress equal to 65MPa is used. 
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E.FONSECA P.8 
Problema nº13 / Exercise nº13 
 
Figura 13 – Veio maciço em aço. Figure 13 – Solid shaft in steel material. 
 
As engrenagens que se encontram conectadas ao veio de aço maciço estão sujeitas aos esforços 
apresentados na figura 13. O veio roda livremente na chumaceira B. Sabendo que GPaG 80= e 
que o diâmetro do veio é de 16mm, determine: diagrama de esforços internos ao longo do veio; a 
máxima tensão de corte no veio; e o ângulo de torção na extremidade livre em A. 
 
The gears connected in the solid steel shaft are submitted to the loading conditions presented in 
figure 13. The shaft rotates freely in the B bearing. Knowing G=80GPa and the shaft diameter 
equal to 16mm, determine: the internal forces diagram through the shaft; the maximum shear 
stress in the shaft; and the twist angle in the A free extremity. 
 
Problema nº14 / Exercise nº14 
 
Figura 14 – Veio motor submetido a esforços de torção. 
Figure 14 – Shaft engine submitted to twist moments. (exam) 
 
Nas condições normais de funcionamento, o motor eléctrico A representado na figura 14, debita 
um binário igual a 2.4kNm que é absorvido ao longo do sistema de transmissão. Elabore o 
diagrama de esforços internos da estrutura. Calcule a máxima tensão de corte no veio CD, 
sabendo que o veio é circular e maciço com diâmetro igual a 46mm. 
 
In normal working conditions, the electric engine A represented in figure 14 debits a moment 
equal to 2.4kNm who is absorbed through the transmission system. Draw the internal efforts in 
the structure. Calculate the maximum shear stress in the CD shaft, knowing that shaft is circular 
and solid with a diameter equal to 46mm. 
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E.FONSECA P.9 
Problema nº15 / Exercise nº15 
 
Figura 15 – Tubo em alumínio. Figure 15 – Tube in aluminum material. 
 
O tubo em alumínio 2104-T6 tem de diâmetro interno 35mm e externo 60mm. É aplicado um 
binário T=900Nm na extremidade B. Na zona AC é colocado internamente um tubo maciço em 
aço A36, nessas condições determine: a máxima tensão de corte no aço, a máxima tensão de 
corte no material em alumínio do veio e a rotação na extremidade em B. Nota: EAl=70GPa, 
EAço=210GPa. 
 
The tube is made from 2104-T6 aluminium and has an inner diameter of 35 mm and an outer 
diameter of 60 mm. A torque of T = 900 N-m is applied to its end B. If it is filled with an A-36 
steel plug AC, determine the maximum shear stress in the aluminium and the steel and the 
rotation of the end B. Note: EAl=70GPa, ESteel=210GPa. 
 
Problema nº16 / Exercise nº16 
 
Figura 16 – Veio motor. Figure 16 – Shaft engine. 
 
O veio em aço inoxidável 304 (G=75GPa) tem de comprimento 3m. Quando submetido a uma 
rotação de W=60rad/s transmite 30kW de potência do motor E para o gerador D. Determine o 
diâmetro mínimo do veio se este tiver uma tensão de corte admissível de 150MPa e sabendo que 
o veio não pode exceder 0.08rad de rotação. 
 
The304 stainless steel (G=75GPa) shaft is 3m long. When submitted it is rotating at W=60rad/s 
it transmits 30kW of power from the engine E to the generator G. Determine the minimum 
diameter of the shaft if the allowable shear stress is 150MPa and the shaft is restricted not to 
twist more than 0.08rad. 
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E.FONSECA P.10 
Problema nº17 / Exercise nº17 
 
Figura 17 – Veio motor. Figure 17 – Shaft engine. (exam) 
 
O veio maciço ABC e o sistema de engrenagens da figura 17 são utilizados para transmitir a 
potência de 10kW do motor M para uma máquina conectada ao veio ED maciço. Sabendo que o 
motor roda a 240rpm e que a tensão de corte admissível do material dos veios é de 260MPa, 
determine: a) o diâmetro admissível do veio ED; b) o diâmetro do veio ABC. 
 
The ABC solid shaft and the gears system presented are used for spread a power equal to 10kW 
from the M engine for a connected machine in the ED solid shaft. Knowing that engine turn 
round at 240rpm and the allowable shear stress of the shaft material is 260MPa, determine: a) 
the allowable diameter in the ED shaft; b) the allowable diameter in the ABC shaft. 
 
Problema nº18 / Exercise nº18 
 
Figura 18 – Sistema de transmissão. Figure 18 – Transmission system. (exam) 
 
Dois veios maciços em aço, cujo módulo de corte é igual a G=77GPa, estão conectados através 
de um sistema de engrenagens, conforme se observa na figura 18. Sabendo que ao longo do veio 
AB é aplicado um binário T de 340Nm, determine: o ângulo de rotação que ocorre na 
extremidade livre A do veio; a máxima tensão de corte no veio CE. 
 
Two solid steel shafts (G=77GPa) are connected through a gears system, as shown is figure 18. 
Knowing that AB shaft is applied a T moment of 340Nm, determine: the twist angle in the free 
extremity A of the shaft; the maximum value of the shear stress in the CE shaft. 
T 
rD=30mm 
rA=90mm 
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E.FONSECA P.11 
Problema nº19 / Exercise nº19 
 
Figura 19 – Sistema de transmissão. Figure 19 – Transmission system. (exam) 
 
Os dois veios maciços de aço (G=77GPa) estão ligados por engrenagens. Os dois veios são 
suportados por três chumaceiras como se indica e a extremidade D está fixa. Sabendo que o raio 
da engrenagem B é rB= 20mm, determine o valor da tensão tangencial máxima em cada veio e a 
rotação da secção A quando um momento de torção TA=80Nm é aplicado nessa extremidade. 
 
Two steel shafts (G=70GPa) are connected with gears. These shafts are supported by three 
bearings, and D extremity is fixed. Knowing the radius of the gear B rB= 20mm, determine the 
value of the maximum shear stress in each shaft and the rotation in A section, when a twist 
moment TA=80Nm is applied in that extremity. 
 
Problema nº20 / Exercise nº20 
 
Figura 20 – Patamar de engrenagens. Figure 20 – Gears landing. 
 
Um momento torsor NmT 150= é aplicado ao veio AB. Sabendo-se que os três veios são do 
mesmo material, com uma tensão de corte admissível de 75MPa, calcule o diâmetro nos veios 
para suportar a solicitação. 
 
A twist moment NmT 150= is applied in AB shaft. Calculate all shafts diameter, for the imposed 
loading condition, knowing that three shafts are in the same material, with an allowable shear 
stress equal to 75 MPa. 
TA 
500mm 
400mm 
20mm rB 
24mm rC=60m
 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.12 
Problema nº21 / Exercise nº21 
 
Figura 21 – Sistema de transmissão. Figure 21 – Transmission system. 
 
O veio maciço em aço L2, tem de diâmetro 40mm e é fixo nas extremidades A e B. Se estiver 
sujeito a um par de forças tangenciais a uma engrenagem em C, determine a máxima tensão de 
corte nas zonas do veio AC e CB. 
 
The shaft is made of L2 tool steel, has diameter of 40 mm and is fixed at its ends A and B. If it is 
subjected to the couple, determine the maximum shear stress in regions AC and CB. 
 
 
Problema nº22 / Exercise nº22 
 
Tubo Rectangular [mm] 
base x altura x espessura 
30x20x1,5 
30x20x2,0 
30x25x1,5 
30x25x2,0 
 
h 
b 
y 
z 
 
Figura 22 – Elemento tubular rectangular. Legenda da tabela (bxhxt). 
Figure 22 – Rectangular tubular element. Table title (bxhxt). (exam) 
 
O elemento estrutural de secção rectangular (bxh) representado na figura 22 está sujeito a um 
momento de torção Mx=200Nm. Sabendo que o material da estrutura é aço ao carbono com uma 
tensão de corte admissível igual a 100MPa, pretende-se que escolha um conjunto de dimensões 
para a secção transversal, utilizando a tabela seguinte, para que, a estrutura resista com 
segurança ao momento aplicado. Compare a solução obtida com a correspondente para uma 
secção rectangular maciça com a mesma largura de base b. 
 
The structural element, with a rectangular section (bxh) represented in figure 22 is submitted to 
a twist moment Mx=20Nm. Knowing that structural material is in steel carbon with a allowable 
shear stress equal to 100MPa, it is intend to choose the dimensions for the transversal section, 
using the presented table, with a safe resistance. With the solution, compare the results if you 
use a solid rectangular section with the same base width b. 
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E.FONSECA P.13 
Problema nº23 / Exercise nº23 
 
Figura 23 – Secção de um perfil tubular. Figure 23 – Tubular section. 
 
Considere um tubo de secção transversal tubular rectangular de parede fina, submetido a um 
momento de torção T=1kNm. Determinar as tensões de corte média nas paredes do tubo, com 
espessura constante igual a 4mm. 
 
Consider the tubular section with thin wall, submitted to a twist moment T=1kN. Determine the 
shear stress in pipe wall using a constant thickness equal to 4mm. 
 
Problema nº24 / Exercise nº24 
 
Figura 24 – Secção de um perfil tubular. Figure 24 – Tubular section. 
 
Considere dois tubos de secção transversal tubular rectangular fechada (a) e aberta (b) de parede 
fina, do mesmo material, submetidas a um momento de torção de 0.8kNm. Determinar as tensões 
de corte média nas paredes dos tubos (a) e (b), que possuem espessura constante de 3 mm. 
Considere que a abertura do perfil de secção aberta (b) é de 3mm. 
 
Consider two pipes with a rectangular closed (a) and open (b) section, thin wall, at the same 
material. These sections are submitted a twist moment equal to 0.8kNm. Determine the shear 
stresses in the tubular wall (a) and (b), with 3mm of thickness. Consider the gap value (b) 3mm. 
 
Problema nº25 / Exercise nº25 
 
Figura 25 – Componente. Flexão pura. Figure 25 – Machine component. Pure bending. 
 
Um componente de uma máquina é solicitado conforme se apresenta, através de momento de 
3kNm. Sabendo que o material possui um E=165GPa, determine: a) a máxima tensão de 
compressão e de tracção; b) o raio de curvatura; c) o eixo neutro. 
 
A machine component is submitted to a bending moment equal to 3kNm. Knowing the material 
properties equal to E=165GPa, determine: a) the maximum tensile and compressivestress; b) 
the curvature radius; c) the neutral axes. 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.14 
Problema nº26 / Exercise 26 
 
 
Figura 26 – Elo de uma corrente. Flexão plana (carga axial excêntrica). 
Figure 26 – Open link chain. Plane bending (eccentric axial load) (exam) 
 
O elo de uma corrente, representado na figura 26, é feito numa liga de aço ao carbono. Sabendo 
que pode suportar uma carga de 100kN, represente e calcule as tensões normais a que vai estar 
sujeito. Localize ainda a linha de eixo neutro nessa secção. 
 
One open link chain represented in figure 26 is made in carbon steel material alloy. Knowing 
that can support a load equal to 100kN, represent and calculate the normal stresses in the 
component. Determine the neutral axes for this section. 
 
Problema nº27 / Exercise nº27 
 
Figura 27 – Flexão desviada, ou não simétrica. Figure 27 – Non symmetric bending. (exam) 
 
Nas condições de carregamento verificadas, represente os esforços internos que actuam na 
secção rectangular. Calcule as tensões normais no topo da secção e determine a linha neutra da 
secção. 
 
For the loading conditions verified in the figure 27, represent the internal efforts in the 
rectangular section. Calculate the normal stresses at the top and determine the neutral axes in 
the section. 
100kN 100kN 
75mm d=50mm 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.15 
Problema nº28 / Exercise nº28 
 
Figura 28 – Flexão e concentração de tensões. Figure 28 – Bending and stress concentration. 
 
O componente é submetido a um momento M=17.5Nm. se o raio r de concordância é de 5mm 
determine a máxima tensão de flexão que ocorre no componente. 
 
The component is subjected to a moment of M = 17.5N-m. If r = 5 mm determine the maximum 
bending stress in the material. 
 
Problema nº29 / Exercise nº29 
 
Figura 29 – Coluna submetida a carregamento externo excêntrico. 
Figure 29 – Column submitted to an axial eccentric load. (exam) 
 
Um pilar formado por um perfil W310x74 de aço estrutural E=210GPa, encontra-se submetido a 
uma força de P=50kN, conforme indicado na figura 29. Para ex=50 e ey=80mm, determine: a 
tensão normal máxima, de tracção e de compressão, existente na secção transversal e encontre a 
linha neutra da secção e represente-a graficamente. 
 
A column (W310x74) is in structural steel material E=210GPa, and is submitted to an axial load 
P=50kN, as represented in figure 29. Using ex=50 and ey=80mm determine the maximum tensile 
and compressive normal stress in the transversal section; calculate and represent the neutral 
axes also in the section. 
W310x74 (ver anexos no livro adoptado) (see all annexes in the book) 
Ixx=164x10^6mm^4, Iyy=23,4x10^6mm^4, Sxx=1058x10^3mm^3, Syy=228x10^3mm^3, 
A=9480mm^2, h=310mm, tf=16,3mm, s=9,4mm, w=205mm. 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.16 
Problema nº30 / Exercise nº30 
 
 i) iv) 
 ii) v) 
 vi) 
Figura 30 – Vigas. Figure 30 –Beams. 
 
Para as vigas apresentadas e respectivos carregamentos, calcule: as reacções e represente os 
vários diagramas de esforços internos. Considere na resolução dos diversos problemas, os 
seguintes valores: carga pontual de F=100kN, carga distribuída retangular igual a W=100kN/m, 
carga distribuída triangular no ponto máximo de qo=50kN/m e comprimento da viga de L=2m. 
 
For all beams and loading conditions represented, calculate the reactions and the internal 
efforts diagrams. Consider in all problems, the following values: F=100kN, W=100kN/m, 
qo=50kN/m and L=2m. 
 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.17 
Problema nº31 / Exercise nº31 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.18 
 
 
 
 
 
Figura 31 – Vigas e veio. Figure 31 – Beams and shaft. 
 
Para as vigas apresentadas e respectivos carregamentos, calcule as reacções e represente os 
vários diagramas de esforços internos. 
 
For all beams, shaft and loading conditions represented, calculate the reactions and the internal 
efforts diagrams. 
 
RBy RAy 
RAx 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.19 
 
Problema nº32 – Exercise nº32 
 
Figura 32 – Viga estrutural. Figure 32 – Structural beam. (exam) 
 
Calcule a máxima tensão de corte na viga T. 
 
Calculate the maximum shear stress in the T beam. 
 
 
Problema nº33 / Exercise nº33 
 
Figura 33 – Secção de um perfil em I. Figure 33 – I section profile. 
 
A secção recta do perfil apresentado é composta por três secções rectangulares e unidos através 
de parafusos distanciados entre si ao longo do comprimento da viga de 25mm. Na vertical actua 
uma carga transversal de 600N. Nestas condições determine a força de corte em cada parafuso. 
 
The section profile presented is composed by three rectangular sections connected with bolts at 
same distance (25mm) in the beam length. In the vertical direction exists a transversal load 
equal to 600N. For that conditions determine the shear force value for each bolt. 
4 cm 
4 cm 
4 cm 
3 cm 
6 cm 
12kN 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.20 
 
Problema nº34 / Exercise nº34 
 
Figura 34 – Estrutura submetida a carregamentos combinados. 
Figure 34 – Structure submitted at combined loading conditions. 
 
Três forças são aplicadas ao componente ABD como ilustrado. Determine: a tensão normal e de 
corte no ponto H. 
 
Three forces are applied at ABD component, as you can see. Determine: normal stress and 
shear stress in H point. 
 
Problema nº35 – Exercise nº35 
 
Figura 35 – Elemento estrutural cilíndrico. 
Figure 35 – Cylindrical and structural element. 
 
Para o elemento estrutural cilíndrico apresentado, de secção maciça com diâmetro de 250 mm: 
represente os esforços internos na secção que contém os pontos K e L e calcule a tensão normal e 
de corte nos pontos K e L. 
 
For the cylindrical and structural element presented, with a solid section where the diameter is 
equal to 250mm, represents: the internal efforts for the KL section, calculate the normal and 
shear stress in the K and L points. 
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E.FONSECAP.21 
Problema nº36 – Exercise nº36 
 
Figura 36 – Elemento estrutural cilíndrico. Figure 36 – Cylindrical structural element. (exam) 
 
O elemento estrutural da figura 36 tem um diâmetro de 30mm. Determine as componentes de 
tensão normal e de corte que actuam nos pontos A e B. 
 
The structural element represented in figure 36 has a diameter equal to 30mm. determine the 
normal and shear stress component in the A and B points. 
 
Problema nº37 / Exercise nº37 
 
Figura 37 – Elemento estrutural tubular. Figure 37 – Hollow structural element. 
 
A figura 33 mostra uma viga fabricada com um perfil tubular, com dimensões transversais 
50×100 mm e com 6 mm de espessura, à qual foi soldada a barra AB. No ponto A estão aplicadas 
três forças de 80kN, 20kN e 30kN, respectivamente na direcção dos eixos x, y e z, como se 
indica. Determine a distribuição de tensões normais na secção que contém os pontos a, b, e c; e a 
posição do eixo neutro. 
 
The figure 33 shows a hollow beam with the dimensions 50x100mm and with a thickness equal to 
6mm, for the transversal section. The AB component was soldered at the beam component. In A 
position there are three applied loads 80kN, 20kN e 30kN, respectively in the x, y and z 
directions. Determine the normal stress distribution in the section with a, b, e c, points; and the 
position of the neutral axes. 
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E.FONSECA P.22 
Problema nº38 / Exercise nº38 
 
Figura 38 – Chave para desapertar parafusos. Figure 38 - Pipe-wrench. (exam) 
 
A chave indicada na figura 38 serve para desapertar parafusos. Sabendo que se aplica uma força 
vertical de 100N na extremidade livre em A para desapertar um parafuso localizado numa placa 
em E, determine as tensões normais e de corte que ocorrem no ponto H, situado à superfície do 
veio, cujo diâmetro é igual a 20mm. 
 
The key represented in figure 38 works for to loosen screws. A vertical load 1000N is applied in 
the free position A for a screw loosens in the E plate location. Determine the normal and shear 
stresses in the H position, at the surface shaft top, with a shaft diameter equal to 20mm. 
 
Problema nº39 / Exercise nº39 
 
Figura 39 – Vigas. Figure 39 – Beams. 
 
Para as vigas de secção transversal constante apresentadas, determinar: a equação da linha 
elástica, o deslocamento do ponto B e a rotação do ponto B. Nota: considere EI=constante. 
 
For all beams with a constant section área, determine the elastic line equation, the B vertical 
displacement and the rotation. Note: consider EI=constant. 
 
250mm 
150mm 
100N 
H 
A 
E 
B 
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E.FONSECA P.23 
Problema nº40 / Exercise nº40 
 
Figura 40 – Viga composta. Figure 40 – Composed beam. 
 
Para a estrutura apresentada, calcule a rotação e a deformada no ponto B. E= 200GPa. Secção 
AC (100x100)mm e secção BC (80x80)mm. 
 
For the structure, calculate the rotation and the vertical displacement in B position. E= 
200GPa. Section area AC (100x100)mm and BC(80x80)mm. 
 
Problema nº41 / Exercise nº41 
 
Figura 41 – Viga simplesmente apoiada. Figure 41 – Simply supported beam. 
 
Para a viga apresentada, calcule a rotação e a deformada no ponto D. EI= 108 N/m2. 
Nota: Utilize o método da sobreposição e o método de integração. Compare a solução final. 
 
For the beam presented, calculate the rotation and the displacement at D position. EI=108N/m2. 
Notice: use the superposition method and the integration method. Compare the final solution. 
 
Problema nº42 / Exercise nº42 
 
Figura 42 – Viga estaticamente indeterminada. Figure 42 – Indeterminate statically beam. 
 
Para a viga apresentada, calcule a rotação e a deformada no ponto B. Calcule ainda todas as 
reacções nos apoios A e B. Considere EI= constante. 
 
For the represented beam, calculate the rotation and the deformation in B position. Calculate 
also all reactions in the supports. Consider EI=constant. 
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E.FONSECA P.24 
Problema nº43 – Exercise nº43 
Viga / Carregamento Position 
 
Ponto B 
 
Ponto C 
 
Ponto D 
 
Ponto A 
Figura 43 – Vigas. Figure 43 - Beams (exam) 
 
Para o conjunto de vigas apresentadas, determine no ponto em análise a flecha e rotação, 
considerando que se tratam de vigas em aço com a secção recta de um perfil do tipo S380x74 
(anexo ao livro adoptado). Verifique as máximas tensões de corte e normais para cada caso em 
estudo. Considere E= 200GPa. 
 
For all beams, determine for each position the vertical displacement and the rotation. The 
section area of each profile is according S380x74. Verify also the maximum shear and normal 
stresses. Consider E= 200GPa. 
Area=9500mm^2; 
d=A+H=381mm; 
bf=B=143mm; 
tf=A=15.6mm; 
tw=C=14mm; 
Sx=1060x10^3mm^3; 
Ix=201x10^6mm^4 
S380x74 
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E.FONSECA P.25 
Projecto simples de veios / Shaft Design 
A força de 5kN é vertical, a força Q é horizontal e ambas as forças actuam em planos perpendiculares ao veio 
maciço AD. Sabendo que 45adm MPaτ = (=1/2 da Tensão de Cedência) determine o menor diâmetro permissível 
para o veio AD. 
 
 
Etapas para a resolução / Steps for resolution 
 
1ª etapa: Analisar diagramas de esforços internos (V e M) para cada veio a projectar: 
1st step Analyse the diagrams for internal efforts ( V and M) for each shaft: 
B – diagrama de corpo livre do veio 
B – Shaft free diagram 
 
Mt [N.m] 
 
 
 
 
 
 
 
Mf y [N.m] 
 
 
 
 
 
 
 
Mf z [N.m] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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E.FONSECA P.26 
2ª etapa: Determinar e localizar os esforços internos máximos/críticos (M) para cada veio a projectar: 
2nd Step: Determine and localize the maximum/critical internal efforts (M) for each shaft: 
Mt max = 
 
 
 
Mfy max = 
 
 
 
Mfz ymax = 
 
 
 
 
3ª etapa: Determinar Wmin para cada veio a projectar: 
3th Step: Determine Wmin for each shaft: 
Wmin = Ip / c 
 
 
 
 
Wmin = Root(My*My+Mz*Mz+Mt*Mt) / TensaoCorteAdmis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4ª etapa: Escolher diâmetro para cada veio a projectar: 
4th Step: Choose the diameter for each shaft: 
dmin = 
 
 
 
 
 
 
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E.FONSECA P.27 
Projecto simples de vigas / Beam Design 
Quatro vigas de 4.5m suportam um carregamento de 21.5KN/m e encontram-se apoiadas no muro de betão e sobre 
uma outra viga de 15m (longarina). Sabendo que o material das vigas possui MPaadm 140=σ e MPaadm 90=τ , 
seleccioneo perfil em I de abas largas, anexo apresentado, que deve ser utilizado para as vigas e para a longarina. 
 
Four beams with a length equal to 4.5m are submitted to a distributed loading 21.5kN/m and are simple supported 
in the concrete wall and the largest beam with 15m. Knowing that beam materials has an allowable stress 
MPaadm 140=σ and MPaadm 90=τ . Choose the I beam profile for the small and large (girder) beams. 
 
 
 
 
Etapas para a resolução / Steps for resolution 
 
1ª etapa: Analisar diagramas de esforços internos (V e M) para cada viga a projectar: 
1st step Analyse the diagrams for internal efforts ( V and M) for each beam: 
A - perfil para vigas (são as 4 iguais) 
A – Beam profile (the same for 4 beams) 
B - perfil para longarina (só uma) 
B – Beam profile for one large beam (girder) 
 
 
 
 
 
[kN] 
 
 
 
[kN] 
 
[kNm] 
 
 
[kNm] 
MDSolids (Educational Software for Mechanics of Materials) http://www.mdsolids.com/ 
 
http://www.mdsolids.com/
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E.FONSECA P.28 
2ª etapa: Determinar e localizar os esforços internos máximos (V e M) para cada viga a projectar: 
2nd Step: Determine and localize the maximum internal efforts (V and M) for each beam: 
A - perfil para vigas (são as 4 iguais) 
A – Beam profile (the same for 4 beams) 
B - perfil para longarina (só uma) 
B – Beam profile for one large beam (girder) 
Vmax = 
 
 
Mmax = 
 
 
 
Vmax = 
 
 
Mmax = 
 
 
 
 
3ª etapa: Determinar Wmin para cada viga a projectar: 
3th Step: Determine Wmin for each beam: 
A - perfil para vigas (são as 4 iguais) 
A – Beam profile (the same for 4 beams) 
B - perfil para longarina (só uma) 
B – Beam profile for one large beam (girder) 
Wmin = 
 
 
 
 
Wmin = 
 
 
 
 
 
4ª etapa: Escolher da gama de perfis da tabela, o valor para Wtab para cada viga a projectar: 
4th Step: Choose the profile using the following standard table for each beam: 
 
Designação A, mm2 d, mm bf, mm tf, mm tw, mm Ix mm4 106 
Wx mm3 
103 rx, mm 
Iy mm4 
106 
Wy mm3 
103 ry, mm 
W310x143 18200 323 309 22.9 14.0 347 2150 138.2 112.4 728 78.5 
W310x38.7 4940 310 165 9.7 5.8 84.9 548 131.3 7.2 87.3 38.4 
W310x33 4180 313 102 10.8 6.6 64.9 415 124.7 1.940 38.0 21.5 
W310x23.8 3040 305 101 6.7 5.6 42.9 281 118.6 1.174 23.2 19.63 
W690X217 27700 695 355 24.8 15.4 2340 6730 290 184.4 1039 81.5 
W690X125 16000 678 253 16.3 11.7 1186 3500 272 44.1 349 52.6 
 
A - perfil para vigas (são as 4 iguais) 
A – Beam profile (the same for 4 beams) 
B - perfil para longarina (só uma) 
B – Beam profile for one large beam (girder) 
Wtab= 
 
 
 
 
 
 
Wtab= 
 
 
 
 
 
 
 
5ª etapa: Verificar a tensão de corte máxima instalada, para cada viga a projectar. 
A - perfil para vigas (são as 4 iguais) 
A – Beam profile (the same for 4 beams) 
B - perfil para longarina (só uma) 
B – Beam profile for one large beam (girder) 
=maxτ 
 
 
 
 
 
 
 
=maxτ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.29 
 
Algumas Fórmulas MM – MM formulation 
 
Deslocamento (Esforço Normal P) 
Axial and mechanical Displacement 
∑
=
=
n
i ii
ii
EA
LP
1
δ 
 
Deslocamento térmico 
Thermal displacement 
( )∑
=
∆=
n
i
iiiT LT
1
αδ 
Lei de Hooke (carregamento simples) 
Hooke Law 
 
Eσ ε= 
 
Gτ γ= 
Deformação normal 
Normal strain 
L
δε = 
 
 
Deformação de corte 
Shear strain 
( )tgγ γ≅ 
Tensão normal 
Normal stress 
i
i
P
A
σ = 
 
Tensão de corte 
Shear stress 
i
i
P
A
τ = 
Tensão de corte (Torção Mt) 
Shear stress 
p
t
I
rM ×
=τ 
Secções circulares 
Circular sections 
2
4rI p
×
=
π 
Ângulo de torção 
Twist angle 
 
∑
=
=Φ
n
i iip
iit
GI
LM
1
 
Potência fMWMP tt ××=×= π2 
Power 
 
60
2 nW ×= π 
1HP=746Nm/s 1CV=735Nm/s 
Tensão de corte (Torção Mt) 
Secção de parede fina fechada 
 
 Shear Stress for thin wall 
2
tM
tA
τ = 
 
 
 
Tensão de corte (Torção Mt) 
Secção não circular 
 
Shear stress for thin non circular wall 
max 2
1
tM
c ab
τ = 
 
Tensão de corte (Transverso V) 
Shear stress 
tI
QV
×
×
=τ 
 
A
V
gularrecperfil 2
3max
tan =τ 
 
alma
Iperfil A
V
=maxτ 
 Fluxo de corte (q) 
Shear flux 
 
I
QVq ×= 
 
 Geometria de massas: 
Mass geometry: 
 
 ii yAQ ∑= 
 
∑
∑=
A
Ay
Y π3
4
círculo metade
rY = 
Tensão normal (Flexão Mf) 
Normal stress 
 
I
yM f ×=σ 
 
 
W
M f=maxσ 
 
1 M
EIρ
= 
Geometria de massas: 
Mass geometry: 
 
Secções circulares 
Circular sections 
4
4rI ×= π 
 
Secções rectangulares 
Rectangular sections 
12
3hbI ×= 
 
( )∑ ×+=
i
iiig dAII
2 
Deslocamentos em vigas, Beam displacement (y e dy/dx) 
Equação diferencial da curva elástica, Elastic curve or differential equation ( )
2
2
i x
i i
My
x E I
∂
=
∂ ×
 
 
A 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.30 
 
Beam and Loading Elastic Curve Maximum 
 
Deflection Slope at End Equation of Elastic Curve 
 
Caso de carga Curva da deformada Equação da Curva Elástica ou deformada/desl.vertical 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Materiais – Exercícios Mechanical of Materials - Exercises 
 
E.FONSECA P.31