Resumo - Álgebra Linear Computacional

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Resumo Álgebra Linear Computacional - 
Vinicius Moraes Teixeira - 21327314 
 
Matrizes: 
 Denomina-se matriz a toda tabela retangular formada por números 
dispostos ordenadamente em linhas e colunas. 
 Se uma matriz possui m linhas e n colunas então dizemos que ela é do 
tipo mxn, ou de ordem mxn. 
 Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos ou 
termos da mesma. 
 A matriz A do tipo mxn será escrita genericamente do seguinte modo: 
 
(
𝑎13 ⋯ 𝑎3𝑛
… ⋱ ⋮
𝑎𝑚3 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
) 
 
Notação: 
 De uma maneira abreviada podemos escrever a matriz A na forma: 
A = [aij]mxn com 1 ≤ i ≤ m / 1 ≤ j ≤ n / i, j N. 
 Onde i representa a posição da linha em relação de que o elemento se encontra na 
matriz e j representa a posição da coluna em que o elemento se encontra na 
matriz. 
 
Exs: 
 
1. A = [aij]2x3 tal que aij = 2i + 3j 
R: 
 
A = 11 12 13 A = 2.1 + 3.1 2.1 + 3.2 2.1 + 3.3 
 21 22 23 2.2 + 3.1 2.2 + 3.2 2.2 + 3.3 
 
A = 
5 8 11
7 10 13
 
 
 
 
 
2. A = [aij]4x2 tal que aij = i - 4j 
R: 
 
A = a11 a12 A = 1 - 4.1 1 - 4.2 A = -3 -7 
 a21 a22 2 - 4.1 2 - 4.2 -2 -6 
 a31 a32 3 - 4.1 3 - 4.2 -1 -5 
 a41 a42 4 - 4.1 4 - 4.2 0 -4 
 
 
 
 
 
 
3. A = [aij]3x4 tal que aij = (i + 2j)2 
R: 
 
A = a11 a12 a13 a14 A = (1+2.1)2 (1+2.2)2 (1+2.3)2 (1+2.4)2 
 a21 a22 a23 a24 (2+2.1)2 (2+2.2)2 (2+2.3)2 (2+2.4)2 
 a31 a32 a33 a34 (3+2.1)2 (3+2.2)2 (3+2.3)2 (3+2.4)2 
 
 
 A = 09 25 49 81 
 16 36 64 100 
 25 49 81 121 
 
 
 
 
 
 
 
Soma entre matrizes: 
 
4. Dadas as matrizes: 
A = 5 8 -1 
 -4 3 6 2x3 , 
 
B = 10 1 -5 
 8 4 -7 2x3 , 
 
C = 4 6 -1 
 2 -8 4 2x3 . 
 
Calcule: 
a) A + B 
 
b) 2A + C 
 
 A -> 5 8 -1 + 10 1 -5 = 15 9 -6 
 -4 3 6 8 4 -7 4 7 -1 
 
 B -> 2. 5 8 -1 + 4 6 -1 = 
 -4 3 6 2 -8 4 
 
 10 16 -2 + 4 6 -1 = 14 22 -3 
 -8 6 12 2 -8 4 -6 -2 16 
 
 Quando forem matrizes de tamanhos diferentes é impossível realizar a soma delas. 
 
 Ex: 1 2 + 1 2 3 = ∄ = impossível. 
 3 4 2x2 4 5 6 
 7 8 9 3x3 
 
 
Multiplicação entre matrizes: 
 
A . B = C -> O dois valores que se encontram no “meio” devem ser iguais para os das pontas se 
tornarem uma nova matriz. 
-> A2x5 . B5x3 = C2x3 
 
 
 São iguais, logo, existe a multiplicação. 
 
-> A5x3 . B2x5 = ? 
 
 
 São diferentes, logo, não existe a multiplicação. 
 
Propriedade Comutativa: 
 N, Z , Q, R 
 A . B = B .A 
 Logo, 4 . 5 = 5 . 4. 
 Matrizes 
A . B ≠ B . A 
Aonde: A2x3 . B3x2 = C2x2, 
Quando invertido: B3x2 . A2x3 = C2x2. 
 
Determinantes: 
 
Determinantes 2x2 - 
 Se A é uma matriz quadrada (2x2/3x3) de ordem 2 calculamos seu determinante 
fazendo o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos 
elementos da diagonal secundária: 
 
A = a11 a12 -> detA = a11.a22 - a12.a21 
 a21 a22 
 
Ex1: Dada a matriz A = 6 3 
 2 -4 2x2 , calcule det A. 
 
R: 6.(-4) - 3.2 = -24 -6 = -30. 
 
Ex2: Determine o valor de x na equação matricial x2 x = -1 
 2 1 
 
R: 
x2 - 2x = -1 
x2 - 2x + 1 = 0 
 
Δ = b2 - 4. a. c 
Δ = (-2)2 - 4. 1. 1 
Δ = 4 - 4 
Δ = 0 
 
x = - b ± √Δ / 2 . a 
x = -(-2) ± √0 / 2 .1 
x = 2 ± 0 / 2 
x1 = 1 x = 1. 
x2 = 1 
 
Obs: x . (x-2) = 0 Essa técnica vale somente quando a 
 equação for incompleta (c = 0). 
 
 
Determinantes 3x3: 
 
Regra de Sarrus - 
 Para obter seis produtos de uma forma prática deve-se usar a regra de Sarrus que 
consiste em repetir as duas primeiras colunas à direita da matriz e efetuar as 
multiplicações com indicado no esquema logo abaixo. O det é a soma dos valores 
obtidos. 
x = 0 ou 
x - 2 = 0 
x = 2 
 
 
 
 
Exs: 
 
1- Nas matrizes abaixo calcule o det: 
 
a) A = 2 -4 = 2.(-6) -(-3) . (-4) = -12 -12 = -24. 
 -3 -6 2x2 
 
b) B = 3 1 5 3 1 
 2 0 -2 2 0 = 0 + 24 + 6 + 0 + 2 + 40 = 32 + 40 = 72. 
 -1 4 -3 -1 4 
 
0 -24 -6 0 2 40 
 
 
2- Dadas as matrizes: A = 2 x e B = 1 -1 0 
 3 9 2 3 x 
 -1 2 1 , 
Determine o valor de x para que A = B. 
 
A = 2.9 - x.3 = 18 - 3x. 
 
B = 1 -1 0 1 -1 
 2 3 x 2 3 B = 0 - 2x + 2 + 3 + x + 0. 
 -1 2 1 -1 2 
 
 0 2x -2 3 x 0 
 
A = B 
 
18 - 3x = - 2x + 2 + 3 + x 
-3x + 2x -x = 5 - 18 
-4x + 2x = -13 
-2x = -13 
x = -13/-2 
x = 6.5 
 
Vetores: 
 Vetor é um segmento de reta orientado que apresenta módulo (tamanho), direção e 
sentido. Os vetores são usados para expressar grandezas físicas vetoriais, ou seja, 
aquelas que só podem ser completamente definidas se conhecemos o seu valor 
numérico, a direção em que atuam (horizontal e vertical), bem como o seu sentido 
(para cima, para baixo). 
 
Soma de vetores - 
 
 Para somarmos 2 vetores, podemos utilizar dois métodos geométricos: 
 
I. Método vetores sequenciais para 2 vetores. 
II. Método do paralelogramo para 2 vetores. 
III. Método dos vetores sequenciais para 3 ou mais vetores (Generalização do I). 
 
I. 
 
Representação vet soma: 
𝑑3
→ = 
𝑑1
→ + 
𝑑2
→ 
 
II. 
 Representação vet soma: 
𝑑3
→ = 
𝑑1
→ + 
𝑑2
→ 
 
III. 
 
 Representação vet soma: 
𝑑4
→ = 
𝑑1
→ + 
𝑑2
→ + 
𝑑3
→ 
 
 
 
 
 
Ex1: Dados os vetores 
𝑢
→ = (2, -3) e 
𝑣
→ = (-1, 4), determinar: 3
𝑢
→ + 2
𝑣
→ e 3
𝑢
→ - 2
𝑣
→. 
 
 
3
𝑢
→ + 2
𝑣
→ = 3.(2, -3) + 2.(-1,4) = 
 = (6, -9) + (-2, 8) = 
 = (4, -1). 
 
3
𝑢
→ - 2
𝑣
→ = 3.(2, -3) - 2.(-1, 4) = 
 = (6, -9) - (-2, 8) = 
 = (8, -17). 
 
 
Ex2: Determinar o vetor 
𝑥
→ na igualdade 3
𝑥
→ + 2
𝑢
→ = ½ 
𝑣
→ + 
𝑥
→, sendo dados 
 
𝑢
→ = (3,-1) e 
𝑣
→ = (-2, 4). 
 
 
3
𝑥
→ - 
𝑥
→ = ½ 
𝑣
→ - 2
𝑢
→ 
2
𝑥
→ = ½. (-2, 4) - 2.(3, -1) 
2
𝑥
→ = (-1, 2) - (6, -2) 
2
𝑥
→ = (-7, 4). 
 
1
𝑥
→ = 1(-7, 4) / 2 -> Não existe divisão. 
 
1
𝑥
→ = ½ . (-7, 4) = (- 7/2, 2) = (-3.5, 2). 
 
Produto Escalar: 
 
 
Definição Algébrica - 
 
 
 Chama-se produto escalar de dois vetores: 
 
𝑢
→ = x1
𝑖
→ + y1
𝑗
→ + z1
𝑘
→ e 
𝑣
→ = x2
𝑖
→ + y2
𝑗
→ + z2
𝑘
→ se representa por 
𝑢
→.
𝑣
→, ao número real. 
 
 O produto escalar sempre resulta em um número real. 
 
 O produto escalar de 
𝑢
→ por 
𝑣
→ também é indicado por <
𝑢
→, 
𝑣
→> e se lê “
𝑢
→ escalar 
𝑣
→”. 
 
 Propriedades - 
 
 Para quaisquer vetores 
𝑢
→, 
𝑣
→ e 
𝑤
→ e o número real α, é fácil verificar que: 
 
I. 
𝑢
→. 
𝑣
→ = 
𝑣
→. 
𝑢
→ -> A ordem dos fatores não altera o produto. 
 
II. 
𝑢
→ .( 
𝑣
→ + 
𝑤
→ ) = 
𝑢
→. 
𝑣
→ + 
𝑢
→. 
𝑤
→ e (
𝑢
→ + 
𝑣
→ ) . 
𝑤
→ = 
𝑢
→. 
𝑤
→ + 
𝑣
→ . 
𝑤
→ 
 
III.α (
𝑢
→. 
𝑣
→) = (α. 
𝑢
→ ). 
𝑣
→ = 
𝑢
→ . (α. 
𝑣
→) 
IV. 
𝑢
→ . 
𝑢
→ > 0 se 
𝑢
→ ≠ 
0
→ e 
𝑢
→ . 
𝑢
→ = 0, se 
𝑢
→ = 
0
→ = (0,0,0) 
 
V. 
𝑢
→ . 
𝑢
→ = 
|𝑢|
→ 2 
 
 
 Se os vetores são perpendiculares, o produto escalar é = 0. 
 
Ex1: Determinar o produto escalar entre os vetores a seguir: 
 
𝑢
→ = 3
𝑖
→ - 5
𝑗
→ + 8
𝑘
→ e 
𝑣
→ = 4
𝑖
→ - 2
𝑗
→ - 
𝑘
→ 
 
 
𝑢
→ = (3, -5, 8) e 
𝑣
→ = (4, -2, -1) 
 
 
𝑢
→. 
𝑣
→ = (3, -5, 8) . (4, -2, -1) = 
 
𝑢
→. 
𝑣
→ = 3.4 + (-5). (-2) + 8. (-1) = 
 
𝑢
→. 
𝑣
→ = 12 + 10 - 8 = 
 
𝑢
→. 
𝑣
→ = 14. 
 
Obs: 0 → Origem do plano (0,0) ou (0,0,0). 
 
0
→ → Vetor nulo. 
 
Ex2: Sendo 
|𝑢|
→ = 4, 
|𝑣|
→ = 2 e 
𝑢
→. 
𝑣
→ = 3, calcular (3
𝑢
→ - 2 
𝑣
→) . (- 
𝑢
→ + 4 
𝑣
→). 
(3
𝑢
→ - 2 
𝑣
→) . (- 
𝑢
→ + 4 
𝑣
→) = 
= -3
𝑢
→ . 
𝑢
→ + 12
𝑢
→ . 
𝑣
→ + 2
𝑣
→ . 
𝑢
→ - 8
𝑣
→ . 
𝑣
→ = 
= -3 
|𝑢|
→ 2 + 14
𝑢
→ . 
𝑣
→ - 8
|𝑣|
→ 2 = 
= -3. 42 + 14.3 - 8. 22 = 
= -3. 16 + 42 - 8. 4 = 
= -48 + 42 - 32 = 
= -6 -32 = 
= -38. 
 
 
 
Propriedade: 
𝑢
→ . 
𝑢
→ = 
|𝑢|
→ 2 
 
Módulo: 
|𝑢|
→ = √x2 + y2 
|𝑢|
→ = √x2 + y2 + z2 
 
Definição Geométrica - 
 
 Se 
𝑢
→ e 
𝑣
→ são vetores não nulos e Θ o ângulo entre eles, então 
𝑢
→. 
𝑣
→ = 
|𝑢|
→ 
|𝑣|
→ cos Θ. 
 
Cálculo do ângulo de dois vetores -> 
 Da igualdade 
𝑢
→. 
𝑣
→ = = 
|𝑢|
→ 
|𝑣|
→ cos Θ, vem: cos Θ = 
𝑢
→. 
𝑣
→ / 
|𝑢|
→ 
|𝑣|
→ , fórmula a partir da 
qual se calcula o ângulo Θ entre os vetores 
𝑢
→ e 
𝑣
→ não nulos. 
 
Ortogonalidade - 
 
A afirmação abaixo estabelece a condição de ortogonalidade de dois vetores: 
 Dois vetores 
𝑢
→ e 
𝑣
→ são ortogonais se, e somente se, 
𝑢
→. 
𝑣
→ = 0. 
 Ou seja: 
𝑢
→ ┴ 
𝑣
→ <=> 
𝑢
→. 
𝑣
→ = 0. 
 
Ex: Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais: 
a) 
𝑢
→ = (1, -2, 3) e 
𝑣
→ = (4,5,2) 
b) 
𝑖
→ e 
𝑗
→ 
 
A -> 
𝑢
→. 
𝑣
→ = (1, -2, 3) . (4, 5, 2) = 
 = 4 - 10 + 6 = 0. ∴ 
𝑢
→ ┴ 
𝑣
→ 
 
B -> 
𝑖
→ . 
𝑗
→ = (1, 0, 0) = (0, 1, 0) = 
 = 0 + 0 + 0 = 0. ∴ 
𝑖
→ ┴ 
𝑗
→ 
 
Produto Vetorial: 
 O produto vetorial é um vetor, ao contrário do produto escalar 
𝑢
→. 
𝑣
→, deve-se fazer o 
uso de determinantes. 
 Chama-se produto vetorial de dois vetores quando: 
𝑢
→ = x1
𝑖
→ + y1
𝑗
→ + z1
𝑘
→ e 
𝑣
→ = x2
𝑖
→ + y2
𝑗
→ + z2
𝑘
→, tomados nessa ordem, e se 
representam por 
𝑢
→ x 
𝑣
→, ao vetor: 
 
 
𝑢
→ x 
𝑣
→ = y1 z1 
𝑖
→ - x1 z1 
𝑗
→ + x1 y1 
𝑘
→ 
 y2 z2 x2 z2 x2 y2 
 
O produto vetorial de 
𝑢
→ por 
𝑣
→ também é indicado por 
𝑢
→ ∧ 
𝑣
→. 
 
𝑢
→ x 
𝑣
→ = 
𝑖
→ 
𝑗
→ 
𝑘
→ 
 x1 y1 z1 
 x2 y2 z2 
 
 
Ex1: Calcular 
𝑢
→ x 
𝑣
→ para 
𝑢
→ = 5
𝑖
→ + 4
𝑗
→ + 3
𝑘
→ e 
𝑣
→ = 
𝑖
→ + 
𝑘
→ 
 
𝑢
→ = (5, 4, 3) e 
𝑣
→ = (1, 0, 1) 
 
 
 
𝑢
→ x 
𝑣
→ = 
𝑖
→ 
𝑗
→ 
𝑘
→ 
𝑖
→ 
𝑗
→ 
 5 4 3 5 4 = - 4
𝑘
→ - 5
𝑗
→ + 4
𝑖
→ + 3
𝑗
→ = 
 1 0 1 1 0 = 4
𝑖
→ - 2
𝑗
→ - 4
𝑘
→. 
 4
𝑘
→ 0 5
𝑗
→ 4
𝑖
→ 3
𝑗
→ 0 = OU = (4, -2, -4). 
 
Propriedades - 
 
𝑣
→ x 
𝑢
→ = - (
𝑢
→ x 
𝑣
→), ou seja, os vetores 
𝑣
→ x 
𝑢
→ e 
𝑢
→ x 
𝑣
→ são opostos pois a troca de 
ordem dos vetores no produto vetorial 
𝑢
→ x 
𝑣
→ implica troca de sinal de todos os 
determinantes de ordem 2, ou seja, implica troca de sinal de todos os seus componentes. 
 
 Por outro lado, com 
𝑢
→ x 
𝑣
→ ≠ 
𝑣
→ x 
𝑢
→, conclui-se que o produto vetorial não é comutativo. 
Portanto, no produto vetorial a ordem dos fatores é importante, ou seja, altera o produto. 
 
 
𝑢
→ x 
𝑣
→ = 
0
→ se, e somente se, 
𝑢
→ || 
𝑣
→, pois, nesse caso, todos os determinantes de ordem 
2 têm suas linhas constituídas por elementos proporcionais. 
 
Características - 
 Consideramos os vetores 
𝑢
→ = (x1, y1, z1) e x 
𝑣
→ = (x2, y2, z2). 
 
a) Direção de 
𝑢
→ x 
𝑣
→ -> 
 
 O vetor 
𝑢
→ x 
𝑣
→ é simultaneamente ortogonal a 
𝑢
→ e 
𝑣
→ . 
 Como o vetor 
𝑣
→ x 
𝑢
→ tem a mesma direção de 
𝑢
→ x 
𝑣
→, tem também uma certa 
ortogonalidade quando nos referimos a 
𝑢
→ com 
𝑣
→ . 
 
b) Sentido de 
𝑢
→ x 
𝑣
→ -> 
 
 O sentido de 
𝑢
→ x 
𝑣
→ pode ser determinado utilizando-se a “regra da mão direita”. 
Sendo Θ o ângulo entre 
𝑢
→ x 
𝑣
→, suponhamos que 
𝑢
→ (primeiro vetor) sofra uma 
rotação de ângulo Θ até coincidir com 
𝑣
→. Se os dedos da mão direita forem 
dobrados na mesma direção da rotação, então, o polegar estendido indicará o 
sentido de 
𝑢
→ x 
𝑣
→. 
 
c) Comprimento de 
𝑢
→ x 
𝑣
→ -> 
 
 Se Θ é o ângulo entre os vetores 
𝑢
→ e 
𝑣
→ não nulos, então 
|𝑢
→ x 
𝑣|
→ = 
|𝑢|
→ 
|𝑣|
→ sen Θ. 
 
Interpretação Geométrica - 
 Observando que no paralelogramo determinado pelos vetores não nulos, a medida da 
base é 
|𝑢|
→ e da altura é 
|𝑣|
→ sen Θ, a área A deste paralelogramo é: A = (b) . (h) = 
|𝑢|
→ 
|𝑣|
→ 
sen Θ ou seja, A = 
|𝑢
→ x 
𝑣|
→ . 
 
 O resultado dado em A = 
|𝑢
→ x 
𝑣|
→ poderá ser expresso por: “A área do paralelogramo é 
composta por 2 vetores, logo, a área do paralelogramo é o módulo do Produto Vetorial”. 
 
 
Produto Misto: 
 
 Chama-se produto misto dos vetores 
𝑢
→ = x1
𝑖
→ + y1
𝑗
→ + z1
𝑘
→, 
𝑣
→ = x2
𝑖
→ + y2
𝑗
→ + z2
𝑘
→ e 
𝑤
→ = x3
𝑖
→ + y3
𝑗
→ + z3
𝑘
→, tomados nesta ordem, ao número real 
𝑢
→. (
𝑣
→ x 
𝑤
→). 
 
 O produto misto de 
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→ também é indicado por (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→). 
 
 
𝑢
→. (
𝑣
→ x 
𝑤
→) = x1 y1 z1 
 x2 y2 z2 
 x3 y3 z3 
 
Ex1: Calcular o produto misto dos vetores 
𝑢
→ = 2
𝑖
→ + 3
𝑗
→ + 5
𝑘
→ , 
𝑣
→ = - 
𝑖
→ + 3
𝑗
→ + 3
𝑘
→ e 
 
𝑤
→ = 4
𝑖
→ - 3
𝑗
→ + 2
𝑘
→ . 
 
𝑢
→ = (2, 3, 5) / 
𝑣
→ = (-1, 3, 3) / 
𝑤
→ = (4, -3, 2). 
 Produto Vetorial 
𝑢
→ . (
𝑣
→x 
𝑤
→) = 
 
Produto Escalar 
 
 = 2 3 5 
 -1 3 3 = 27 -> Resultado com o Excel com o comando: Matrix.Determ. 
 4 -3 2 
 
 
 Prova Real: 
 = 2 3 5 2 3 
 -1 3 3 -1 3 = -60 + 18 + 6 +12 + 36 + 15 = 
 4 -3 2 4 -3 = -42 + 18 + 51 = 
 = -24 + 51 = 27. 
 60 -18 -6 12 36 15 
 
Propriedades - 
 As propriedades do produto misto decorrem na maior parte das vezes das 
propriedades dos determinantes. 
 
 O produto misto (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→) muda de sinal ao trocarmos a posição de dois 
vetores. 
 
 Em relação ao exemplo anterior, em que (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→) = 27, teríamos: 
 
 (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→) = -27 (permuta de 
𝑢
→ e 
𝑣
→); 
 
 (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→) = -27 (permuta de 
𝑢
→ e 
𝑤
→); 
 
 (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→) = -27(permuta de 
𝑣
→ e 
𝑤
→). 
 
 Se em qualquer um desses três últimos produtos efetuarmos nova permutação 
de dois vetores, o produto misto resultante volta a ser 27. É o que acontece com 
(
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→) = 27, onde no primeiro deles permutamos 
𝑢
→ e 
𝑤
→. Então, se em 
relação ao produto misto (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→) ocorrer: 
 
 a -> uma permutação - haverá troca de sinal; 
 
 b -> duas permutações - não altera o valor. 
 
 Resulta dessa propriedade que os sinais . e x podem ser permutados, ou seja, 
𝑢
→ . (
𝑣
→ x 
𝑤
→) = (
𝑢
→ x 
𝑣
→) . 
𝑤
→ pois, 
 
 (
𝑢
→ x 
𝑣
→) . 
𝑤
→ = 
𝑤
→ . (
𝑢
→ x 
𝑣
→) = (
𝑤→, 
𝑢
→, 
𝑣
→) = (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→) = 
𝑢
→ . (
𝑣
→ x 
𝑤
→) 
 
 * (
𝑢
→ + 
𝑥
→ , 
𝑣
→ , 
𝑤
→) = (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→) + (
𝑥
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→); 
 
 (
𝑢
→ , 
𝑣
→ + 
𝑥
→ , 
𝑤
→) = (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→) + (
𝑢
→, 
𝑥
→, 
𝑤
→); 
 
 (
𝑢
→ , 
𝑣
→ , 
𝑤
→ + 
𝑥
→) = (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→) + (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑥
→). 
 
 * (α 
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→) = (
𝑢
→, α
𝑣
→, 
𝑤
→) = (
𝑢
→, 
𝑣
→, α
𝑤
→) = α (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→). 
 
 (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→) = 0 se e somente se, os 3 vetores forem coplanares (que estão no 
mesmo plano), ou seja, (
𝑢
→, 
𝑣
→, 
𝑤
→) tem que ser = 0 para a afirmação que são 
coplanares ser verdadeira. 
 
Reta: 
Equação vetorial da reta - 
 Consideramos um ponto A (x1, y1, z1) e um vetor não nulo 
𝑣
→ = (a, b, c). Só existe uma 
reta x que passa por A e tem a direção de 
𝑣
→. Um ponto P (x, y, z) pertence a r se, e 
somente se, o vetor 
𝐴𝑃
→ é paralelo a 
𝑣
→, ou seja, 
𝐴𝑃
→ = t
𝑣
→ para algum real t. A partir da 
equação acima pode-se obter P - A = t
𝑣
→ ou P = A + t
𝑣
→ ou, em coordenadas, 
 (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c). 
 
 Qualquer uma das opções acima é denominada equação vetorial de r. O vetor 
𝑣
→ é 
chamado de vetor diretor da reta r e t é denominado como parâmetro. 
 
Ex1: 
 A reta r que passa por A (1, -1, 4) e tem a direção de 
𝑣
→ = (2, 3, 2) tem equação 
vetorial, de acordo com: r: (x, y, z) = (1, -1, 4) + t(2, 3, 2), aonde (x, y, z) representa um 
ponto qualquer de r. Se desejarmos obter pontos de r, basta atribuir valores para t. Por 
exemplo, para t = 1, obtém-se (x, y, z) = (1, -1, 4) + 1(2, 3, 2) = (1, -1, 4) + (2, 3, 2) = 
 (3, 2, 6) e, portanto P1 (2, 3, 6) ϵ r. 
 
Equações paramétricas da reta - 
 Da equação vetorial da reta (x, y, z) = = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) ou, ainda, 
 (x, y, z) = (x1 + at, y1 + bt, z1 + ct), pela condição de igualdade obtém-se: 
 
 x = x1 + at 
 y = y1 + bt 
 z = z1 + ct 
 
 As equações acima são chamadas de equações paramétricas da reta. 
 
Ex2: 
 A reta r que passa pelo ponto A (3, -4, 2) e é paralela ao vetor 
𝑣
→ = (2, 1, -3) e, de 
acordo com a fórmula anterior, tem equações paramétricas. 
 
 
 x = 3 + 2t 
 r: y = -4 + 1t 
 z = 2 - 3t 
 
 
t = 3/2 = 1.5 
x = 3 + 3 = 6 
y = -4 + 1.5 = -2.5 
z = 2 - 4.5 = -2.5 
Reta definida por dois pontos - 
 A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem a direção do 
vetor 
𝑣
→ = 
𝐴𝐵
→ . 
 
Ex4: 
 Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A (3, -1, -2) e B (1, 2, 4). 
 
Vetor diretor: 
𝑣
→ = 
𝐴𝐵
→ = B - A = (1, 2, 4) - (3, -1, -2) = (-2, 3, 6). 
 
 x = 3 - 2t x = 1 - 2t 
 y = -1 + 3t = r ou r = y = 2 + 3t 
 z = -2 + 6t z = 4 + 6t 
 
 
 Ponto A Ponto B 
 
Equações simétricas da reta - 
 Das equações paramétricas x = x1 + at / y = y1 + bt / z = z1 + ct, supondo que abc ≠ 0, 
vem t = x-x1/a, t = y-y1/b, t = z-z1/c. 
 
 As equações acima são denominadas equações simétricas da reta que passa pelo 
ponto A (x1, y1, z1) e tem a direção do vetor 
𝑣
→ = (a, b, c). 
 
Ex5: 
 A reta que passa pelo ponto A (3, 0, -5) e tem a direção do vetor 
𝑣
→ = (2, 2, 1) tem 
equações simétricas. 
 
X - 3 / 2 = y / 2 = z + 5 / -1 
 
Equações reduzidas da reta - 
 
 Em vez de realizar um tratamento genérico, tornaremos um caso particular. Seja a reta 
r definida pelo ponto A (2, -4, -3) e pelo vetor diretor 
𝑣
→ = (1, 2, -3), ela pode ser 
expressa pelas equações simétricas: 
 
 r: x - 2 / 1 = y + 4 / 2 = z + 3 / -3 
 
 A partir dessas equações, pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. 
Isolando-se primeiro as variáveis y e x, e expressando-as em função de x, obtém-se: 
 
x - 2 = y + 4 = 1 (y + 4) = 2 (x - 2) = y + 4 = 2x - 4 = y = 2x - 8. 
 1 2 
 
 
x - 2 = z + 3 = 1 (z + 3) = -3 (x - 2) = z + 3 = -3x + 6 = z = -3x + 3. 
1 -3 
 
Ângulo de duas retas - 
 Seja as retas r1 e r2 com as direções de 
𝑣1
→ e 
𝑣2
→ respectivamente na figura abaixo. 
 
 
 
 
 Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r1 e r2. 
Logo, sendo Θ esse ângulo, tem-se: 
 
 cos Θ = |
𝑣1
→ . 
𝑣2
→ | / |
𝑣1
→| |
𝑣2
→| , com 0 ≤ Θ ≤ π / 2. 
 
 
Retas Ortogonais - 
 
 Sejam as retas r1 e r2 com as direções de 
𝑣1
→ e 
𝑣2
→. Então, r1 ┴ r2 <=> 
𝑣1
→ . 
𝑣2
→ = 0. 
 
 Obs: Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não. Na representação abaixo, 
as retas r1 e r2 são ortogonais a r. Porém, r2 e r são concorrentes; nesse caso diz-se 
que são perpendiculares. 
 
 
Reta ortogonal a duas retas - 
 
 Sejam as retas r1 e r2 não paralelas, com as direções de 
𝑣1
→ e 
𝑣2
→, respectivamente. 
Toda reta r ortogonal a r1 e r2 terá a direção de um vetor 
𝑣
→ tal que: 
𝑣
→ . 
𝑣1
→ = 0 
 
𝑣
→ . 
𝑣2
→ = 0. 
 
 Em vez de tomarmos um vetor 
𝑣
→ ≠ 
0
→ como uma solução única para a equação acima, 
poderíamos utilizar o produto vetorial, ou seja, 
𝑣
→ = 
𝑣1
→ x 
𝑣2
→. Definido um vetor diretor, a 
reta r estará determinada quando um de seus pontos for conhecido. 
 
Interseção de duas retas - 
Ex6: 
 Determinar, caso exista, o ponto de interseção das retas r1 e r2: 
 
a) r1: x = 3 + h r2: x = 5 + 3t 
 y = -3 - 2t 
 y = 1 + 2h e z = 4 + t 
 z = 2 - h 
 
 x1 = x2 e y1 = y2 e z1 = z2 
 
 3 + h = 5 + 3t 
1 + 2h = -3 - 2t 3 + h = 3 + 3 (- h - 2) = 3 + h = 5 - 3h - 6 = 
2 - h = 4 + t t = - h - 2 = 4h = -4 = h = -1. 
 t = - (-1) - 2 = t = -1. 
 
 reduzida paramétrica 
 
b) r1: y = 2x - 3 e r2: x = -t 
 z = -x y = 4 - t 
 z = 2 + 2t 
 
 4 - t = 2. (-t) - 3 
 2 + 2t = - (-t) Retas reversas 
 
 4 - t = 2t - 3 = t = -7 
 2 + 2t = t = t = -2 Valores diferentes => Não há um ponto de intersecção 
 entre r1 e r2. 
 
Obs: 
 
a) Se duas retas como no exemplo 6 (a), se interceptam, elas são coplanares, ou seja, 
estão situadas no mesmo plano como é demonstrado na figura abaixo. 
 
 
b) Se duas retas não são coplanares, são consideradas reversas. É o caso do exemplo 6 
(b) e o que é demonstrado na figura abaixo, pois as retas, além de não concorrentes, 
são não paralelas, e, portanto, não coplanares. 
 
 
--------------------------------------------------------------x----------------------------------------------------------------