Gabarito_lista_3

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UNINTER – CENTRO UNIVERSITÁRIO INTERNACIONAL. 
Escola Superior de Educação 
Curso de Licenciatura em Matemática – Disciplina: Análise combinatória. 
 
Lista de exercícios - 3 - Resolução 
 
1. e) Nenhuma é correta. 
Comentário: 
I. O espaço amostral é: se H é menino e M é menina, então: 
Ω = {(𝐻, 𝐻, 𝐻), (𝐻, 𝐻, 𝑀), (𝐻, 𝑀, 𝐻), (𝐻, 𝑀, 𝑀), (𝑀, 𝐻, 𝐻), (𝑀, 𝐻, 𝑀), (𝑀, 𝑀, 𝐻), (𝑀, 𝑀, 𝑀)} 
 Logo, ⋕ Ω = 8. Falsa. 
II. O evento para um único filho do sexo masculino é: 
A={(𝐻, 𝑀, 𝑀), (𝑀, 𝐻, 𝑀), (𝑀, 𝑀, 𝐻)}, logo, ⋕ A = 3. 𝑃(𝐴) =
⋕𝐴
⋕Ω
=
3
8
. Falsa. 
III. O evento para, ao menos, duas meninas é: 
B={(𝐻, 𝑀, 𝑀), (𝑀, 𝐻, 𝑀), (𝑀, 𝑀, 𝐻), (𝑀, 𝑀, 𝑀)} logo, ⋕ B = 4. 𝑃(𝐴) =
⋕𝐵
⋕Ω
=
4
8
. Falsa. 
 
2. 
b) Todas são corretas. 
Comentário: I. O evento parafuso defeituoso da máquina A tem 15 elementos, isto é, 
 ⋕ (𝐴 ∩ 𝐷) = 15 e o evento parafuso defeituoso tem 20 elementos, isto é, ⋕ 𝐷 =
20. Logo, 𝑃(𝐴/𝐷) = 
⋕(𝐴∩𝐷)
⋕𝐷
 = 
15
20
 = 75%. Verdadeira. 
II. O evento parafuso não defeituoso tem 180 elementos (G). Então, ⋕ 𝐺 = 180. 
Então, 𝑃(𝐺) = 
⋕𝐺
⋕Ω
= 
180
200
= 90%. Verdadeira. 
III. O evento parafuso não defeituoso da máquina B tem 95 elementos, isto é, 
 ⋕ (𝐵 ∩ 𝐺) = 95 e o evento parafuso da caixa B tem 100 elementos, isto é, ⋕ 𝐵 =
100. Logo, 𝑃(𝐺/𝐵) = 
⋕(𝐺∩𝐵)
⋕𝐵
 = 
95
100
 = 95%. Verdadeira. 
 
 
 
 
 
 
3. 
Gabarito: Espera-se que o aluno identifique os seguintes argumentos: O número de alunos será a 
soma do número de alunos que responderam SIM com o número de alunos que responderam NÃO. 
Como há interseção nas respostas SIM, forma-se o diagrama mostrado. 
i) Total de alunos: 180 + 120 + 130 + 200 = 630 alunos. ⋕ Ω = 630. 
ii) Responderam NÃO à primeira pergunta (S1): 130 + 200 = 330 alunos, ⋕ S1 = 330. Observe que 
responder NÃO à primeira pergunta, implica em responder SIM somente à segunda pergunta ou 
NÃO às duas. 
Logo, 𝑃(𝑆1) = 
⋕𝑆1
⋕Ω
= 
330
630
 =
11
21
.. 
 
4. Gabarito: Espera-se que o aluno identifique os seguintes argumentos: 
I. Vamos supor que 𝑃(𝐶) = 𝑝. Desta forma, 𝑃(𝐵) = 2𝑝 e assim, 𝑃(𝐴) = 2𝑃(𝐵) = 4𝑝. Como a 
soma das probabilidades é 1, então: 
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) = 𝑝 + 2𝑝 + 4𝑝 = 1  7𝑝 = 1 𝑜𝑢 𝑝 = 
7
1
. 
Logo, temos: 𝑃(𝐴) = 4𝑝 = 
7
4
7
1
4 





; 𝑃(𝐵) = 2𝑝 = 
7
2
7
1
2 





; 𝑃(𝐶) = 𝑝 = 
7
1
; 
II. A probabilidade do cavalo de B ou C ganhar é dada por: 
𝑃(𝐵 ∪ 𝐶) = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 
2
7
+
1
7
− 0 =
3
7
 
 (OBS.: 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 0, pois somente um cavalo ganha a corrida.) 
 
5. 
 
Gabarito: Espera-se que o aluno identifique os seguintes argumentos: 
a) Que ambos estejam vivos. 
Seja 𝑃(𝐻) a probabilidade do homem estar vivo daqui 30 anos e 𝑃(𝑀) a probabilidade da 
mulher estar viva daqui 30 anos. 
A probabilidade de ambos estarem vivos é 𝑃(𝐻 ∩ 𝑀) = 𝑃(𝐻). 𝑃(𝑀) = 
2
5
.
2
3
=
4
15
 (são 
independentes). 
b) Que somente o homem esteja vivo. 
Seja 𝑃(𝑀)̅̅ ̅̅ = 1 −
2
3
= 
1
3
 , a probabilidade da mulher não estar viva daqui a 30 anos. 
A probabilidade de que somente o homem esteja vivo é 𝑃(𝐻 ∩ �̅�) = 𝑃(𝐻). 𝑃(�̅�) = 
2
5
.
1
3
=
2
15
 
c) Que o homem ou a mulher estejam vivos: 𝑃(𝐻 ∪ 𝑀) = 𝑃(𝐻) + 𝑃(𝑀) − 𝑃(𝐻 ∩ 𝑀) =
2
5
+
2
3
−
4
15
=
4
5
 
OBS.: Poder ser resolvido de outra forma: 𝑃(𝐻 ∩ �̅�) + 𝑃(�̅� ∩ 𝑀) + 𝑃(𝐻 ∩ 𝑀) =
2
15
+
6
15
+
4
15
=
4
5
 
d) Que nenhum esteja vivo: 𝑃(�̅� ∩ �̅�) = 𝑃(�̅�). 𝑃(�̅�) = 
3
5
.
1
3
=
1
5
 
 
e) Que pelo menos um esteja vivo: 𝑃(𝐻 ∪ 𝑀) = 𝑃(𝐻) + 𝑃(𝑀) − 𝑃(𝐻 ∩ 𝑀) =
2
5
+
2
3
−
4
15
=
4
5
 
OBS.: Poder ser resolvido de outra forma: 
𝑃(𝐻 ∩ �̅�) + 𝑃(�̅� ∩ 𝑀) + 𝑃(𝐻 ∩ 𝑀) = 1 − 𝑃(�̅� ∩ �̅�) =
4
5
 
 
6. 
Gabarito: Espera-se que o aluno identifique os seguintes argumentos: 
a) Faces com números iguais. 
Evento A = {(1,1), (2,2), ..., (6,6)}, ⋕ 𝐴 = 6 𝑒 ⋕Ω = 36. Então, 𝑃(𝐴) =
⋕𝐴
⋕Ω
= 
6
36
=
1
6
. 
Espaço amostral (Ω) no lançamento de dois dados: 
D1/D2 1 2 3 4 5 6 
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 
2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 
3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 
4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 
5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 
6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 
 
b) Faces com números cuja soma é igual a 5. 
Evento B = {(4,1), (3,2), (2,3),(1,4)}, ⋕ 𝐵 = 4. Então, 𝑃(𝐴) = 
4
36
=
1
9
. 
c) Faces com números cuja soma é maior que 12. 
Evento C = { }, ⋕ 𝐶 = 0. Então, 𝑃(𝐶) = 
0
36
= 0. 
a) Faces com números primos nos dois dados. 
Evento D = {(2,2), (2,3), (2,5), (3,2), (3,3), (3,5), (5,2), (5,3), (5,5)}, ⋕ 𝐷 = 9. Então, 𝑃(𝐷) =
 
9
36
=
1
4
. 
 
 
7. 
 
Gabarito: Espera-se que o aluno identifique os seguintes argumentos: 
a) Branca. 
Seja o evento B, bola branca e ⋕Ω = 10. Então, 𝑃(𝐵) = 
3
10
. 
b) Vermelha. 
Seja V o evento bola vermelha, então, 𝑃(𝑉) = 
2
10
. 
c) Vermelha, dado que não é branca. 
Probabilidade condicional. Sejam os eventos V: a bola selecionada é vermelha e �̅�: a bola 
selecionada não é branca. 𝑃(𝑉/�̅�) = 
𝑃(𝑉∩�̅�)
𝑃(�̅�)
= 
2
10
7
10
=
2
7
 . 
d) Não ser branca. 
Seja o evento �̅�, a bola escolhida não é branca. Então, 𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐵) = 1 −
3
10
=
7
10
. 
e) Ser branca ou vermelha. 
Sejam os eventos B: a bola escolhida é branca e V: a bola escolhida é vermelha, então, 
𝑃(𝐵 ∩ 𝑉) = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝑉) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝑉) =
3
10
+
2
10
−
0
10
=
5
10
=
1
2
 
 
8. 
Gabarito: Espera-se que o aluno identifique os seguintes argumentos: 
a) Se um dos funcionários é escolhido aleatoriamente no conjunto dos 1770 empregados, qual 
a probabilidade dele ser médico? 
Sejam os eventos B: médico e S: funcionário do hospital 
Então, 𝑃(𝐵) = 
110
1770
=
11
177
 
 
b) Qual a probabilidade de um funcionário escolhido aleatoriamente ser médico, dado que o 
funcionário tenha 35 anos ou menos de idade? 
Seja o evento A : funcionário com 35 anos ou menos de idade, 
 ⋕ 𝐴 = 265 + 1120 = 1385 
Então, 𝑃(𝐵/𝐴) =
⋕(𝐵∩𝐴)
⋕𝐴
 = 
35
1385
 ≅ 0,025. 
 
 c) Qual a probabilidade de um funcionário ter mais 35 anos, dado que o mesmo é enfermeiro? 
Sejam os eventos C : funcionário com mais de 35 anos e E: enfermeiro. 
Então, 𝑃(𝐶/𝐸) =
⋕(𝐶∩𝐸)
⋕𝐸
 = 
203
1219
 ≅ 0,166. 
 
d) Se um dos funcionários é escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade dele ser médico ou 
enfermeiro? 
Sejam os eventos B: médico e E: enfermeiro. Então, 𝑃(𝐵 ∪ 𝐸) = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐸) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝐸) =
 
110
1770
+
1219
1770
−
0
1770
= 
1329
1770
≅ 0,75. 
 
 
9. 
. 
c) Todas as afirmações são verdadeiras. 
Comentário: 
I. Seja A: “sair um número menor que 4” e B: “sair um número ímpar”. Então, 
 
  3
2
6
3
6
2
)(
/ 


BP
BAP
BAP . 
II. Seja A: “sair uma carta de ouros” e B: “sair um rei”. Então,
 
13
1
52
13
52
1
)(
)(
/ 


AP
ABP
ABP . 
III. Seja A: “primeira bola é verde” e B: “a segunda bola é preta”. Então, 
 
)(
)(
/
AP
ABP
ABP


. Logo,  
3
2
7
3
42
12
)(
)(
/ 


AP
ABP
ABP . 
 
10. 
Gabarito: Espera-se que o aluno identifiqueos seguintes argumentos: 
a) Sim. A e B são independentes. 
b) Não. A, B e C não são independentes. 
Comentário: 
 𝑎) 𝐴 ∩ 𝐵 = {1}, então a 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 
1
4
 = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵) = 
2
4
.
2
4
=
1
4
. A e B são independentes. 
 b) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = { }, então 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) =
0
4
= 0 ≠ 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵). 𝑃(𝐶) = 
2
4
.
2
4
.
2
4
=
1
8
. A, B e C 
não são independentes. 
 
 
 
 
 
 11. c) Todas estão corretas. 
Comentário: 
I. Sejam os eventos: Q: retirada de carta de paus e C: retirada de carta de copas. Então, 
𝑃(𝑄 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝑄). 𝑃(𝐶/𝑄) = 
13
52
.
13
51
=
13
204
. Verdadeira. 
II. Sejam os eventos: Q: retirada de carta de paus, O: retirada de carta de ouro e C: 
retirada de carta de copas. Então, 𝑃(𝑄 ∩ 𝑂 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝑄). 𝑃(𝑂/𝑄). 𝑃(𝐶/𝑄 ∩ 𝑂) = 
13
52
.
13
52
.
13
52
=
1
64
. Verdadeira. 
III. Sejam os eventos: R: retirada de um rei e O: retirada de carta de ouro. Então, 
𝑃(𝑅 ∪ 𝑂) = 𝑃(𝑅) + 𝑃(𝑂) − 𝑃(𝑅 ∩ 𝑂) = 
4
52
+
13
52
−
1
52
=
16
52
=
4
13
. Verdadeira.