Exercício Resolvido de Equação de Schrödinger

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10/12/2020 Exercício Resolvido de Equação de Schrödinger
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Exercício Resolvido de Equação de Schrödinger
Se as funções Ψ1(x, t), Ψ2(x, t) e Ψ2(x, t) são soluções da Equação de Schrödinger para um potencial V(x, t),
mostre que a combinação linear Ψ(x, t) = c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) + c3Ψ3(x, t) também é uma solução desta equação.
Solução 
Usando a Equação de Schrödinger
queremos mostrar que a função dada Ψ(x, t) é solução da Equação de Schrödinger, escrevendo na seguinte forma
substituindo a função Ψ(x, t) dada no problema na expressão (I)
Como o problema nos diz que as funções Ψ1(x, t), Ψ2(x, t) e Ψ2(x, t) são soluções da Equação de Schrödinger, isto
quer dizer que
−
ℏ2
2m
∂2Ψ(x, t)
∂x2
+ V (x, t)Ψ(x, t) = iℏ
∂Ψ(x, t)
∂t
−
ℏ2
2m
∂2Ψ(x, t)
∂x2
+ V (x, t)Ψ(x, t) − iℏ
∂Ψ(x, t)
∂t
= 0 (I)
−
ℏ2
2m
∂2[c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) + c3Ψ3(x, t)]
∂x2
+
+ V (x, t)[c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) + c3Ψ3(x, t)]--
− iℏ
∂[c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) + c3Ψ3(x, t)]
∂t
= 0
−
ℏ2
2m
[c1
Ψ1(x, t)
∂x2
+ c2
Ψ2(x, t)
∂x2
+ c3
Ψ3(x, t)
∂x2
]+
+ c1Ψ1(x, t)V (x, t) + c2Ψ2(x, t)V (x, t) + c3Ψ3(x, t)V (x, t)+
− c1iℏ
∂Ψ1(x, t)
∂t
− c2iℏ
∂Ψ2(x, t)
∂t
− c3iℏ
∂Ψ3(x, t)
∂t
= 0
c1 [−
ℏ2
2m
∂2Ψ1(x, t)
∂x2
+ V (x, t)Ψ1(x, t) − iℏ
∂Ψ1(x, t)
∂t
]+
+ c2 [−
ℏ2
2m
∂2Ψ2(x, t)
∂x2
+ V (x, t)Ψ2(x, t) − iℏ
∂Ψ2(x, t)
∂t
]+
+ c3 [−
ℏ2
2m
∂2Ψ3(x, t)
∂x2
+ V (x, t)Ψ3(x, t) − iℏ
∂Ψ3(x, t)
∂t
] = 0
(II)
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substituindo estes valores na expressão (II), temos
esta igualdade será verificada para quaisquer valores de c1, c2 e c3, isto torna expressão (I) verdadeira, portanto,
Ψ(x, t) é solução da Equação de Schrödinger. 
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−
ℏ2
2m
∂2Ψ1(x, t)
∂x2
+ V (x, t)Ψ1(x, t) − iℏ
∂Ψ1(x, t)
∂t
= 0
−
ℏ2
2m
∂2Ψ2(x, t)
∂x2
+ V (x, t)Ψ2(x, t) − iℏ
∂Ψ2(x, t)
∂t
= 0
−
ℏ2
2m
∂2Ψ3(x, t)
∂x2
+ V (x, t)Ψ3(x, t) − iℏ
∂Ψ3(x, t)
∂t
= 0
c1.0 + c2.0 + c3.0 = 0
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
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