gabarito Cálculo Diferencial e Integral II

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CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL II
2019
Profa. Jaqueline Luiza Horbach
Prof. Leonardo Garcia dos Santos
GABARITO DAS 
AUTOATIVIDADES
2
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
UNIDADE 1
TÓPICO 1 
1 Construa a soma superior Mk para a função f(x) = x² do exemplo 
desenvolvido no tópico, mostrando que esta soma também converge 
para b3/3.
R.: b3/3.
2 Calcule, através de uma soma de Riemann adequada, que:
R.: b4/4.
3 Calcule:
4	 Podemos	definir	o	valor	médio	de	uma	função	em	um	intervalo	[a, b], 
no qual a função é diferenciável através da integral
 Se o custo de produção de x unidades de um certo produto é 
dado pela função f (x) = x3 + x2 – x + 20.
 Qual é o valor médio do custo de produção, para um intervalo 
do 15 a 30 unidades do produto:
4
3
0
.
4
b bx dx =∫
1
1
) 5 a dx =∫
4
0
) b x dx =∫
3
0
) ² c x dx =∫
a) Resposta = 0
Resposta = 8
Resposta = 9
b)
c)
( )1 .
b
m
a
V f x dx
b a
=
− ∫
3
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a) ( ) R$ 11 680,00.
b) ( ) R$ 12 300,58.
c) ( x ) R$ 13 178,72.
d) ( ) R$ 21 420,50.
e) ( ) R$ 27 200,85.
5	 Sabemos	 que	 para	 definir	 a	 integral,	 usamos	 somas	 parciais	 de	
Riemann. Calcule a integral
usando a soma de Riemann com uma partição k	=	5	e	usando	a	definição	
de integral. Qual a diferença numérica entre essas duas formas de 
calcular a integral apresentada anteriormente? 
R.: Aproximadamente zero.
1
0
2 3x dx+∫
TÓPICO 2
1	Calcule	as	integrais	indefinidas	a	seguir:
 nx dx∫
 xe dx∫
( )cos x dx∫
4x dx∫
1 dx
x
∫
( )2sec x dx∫
( ) ( ) cosec x cotg x dx∫ ⋅
4
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
R.: 
a)
b)
c)
e)
f)
f)
d)
1
1
nx c
n
+
+
+
xe c+
( )sen x c+
( )
4
log 4
x
c+
( )ln x c+
( )tg x c+
( )cossec x c− +
2	 Calcule	as	seguintes	integrais	definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
( ) 3 2
 0
9 x dx−∫
( ) 3 2
 1
2 x dx+∫
( ) 1 3 4 3 1 4 x x dx− +∫
( ) 3 2
 1
3 5 2 x x dx− +∫
 ln3
 0
5 xe dx∫
 2 2 3
 0
2 1 x x dx+∫
5
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
R.: 
a) 18
d) 10
e) 10
b)
c)
f)
38
3
6
7
260
9
3 Ache a área da região limitada pela curva y = –x2 + 4x e pelo eixo x 
no	intervalo		1	≤	x	≤	3.
R.:
4 Encontre a área da região limitada pela curva y = x3 – 2x2 – 5x + 6, 
pelo eixo x e pelas retas x = –1 e x = 2.
R.:
5 Calcule a área da região limitada pela curva y	=	√x, pelo eixo x e 
pelas retas x = –1 e x = 2.
R.:
6 Encontre a área da região limitada pela curva y = 1 – x2 e pelo eixo 
x		no	intervalo		0	≤	x	≤	2.
R.: 2
22
3
157
12
4 2 
3
6
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
7 (ENADE, 2008) Considere g: 	→	 uma função com derivada 
dg
dt contínua e f		a	função	definida	 ( ) ( )0
= ∫
x dgf x t dt
dt para todo x	ϵ					
 .	Nessas	condições,	avalie	as	afirmações	que	se	seguem.	
I- A função f	é	integrável	em	todo	intervalo	[a,b], a, b	ϵ	 , a < b. 
II- A função f é derivável e sua derivada é a função g. 
III- A função diferença f – g é uma função constante. 
É	CORRETO	o	que	se	afirma	em: 
a) ( ) I, apenas. 
b) ( ) II, apenas. 
c) ( x ) I e III, apenas. 
d) ( ) I e III, apenas. 
e) ( ) I, II e III.
8 Como no caso de derivadas, a integral tem várias 
propriedades. Com relação a essas propriedades, analise as 
afirmações	a	seguir: 
I- Se f e g	forem	continuas	no	intervalo	[a, b], então:
( ) ( ) ( ) ( ) .⋅ = ⋅∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
II- Se f	é	continua	num	intervalo	[2, 5], então:
( ) ( ) ( )
5
2
5 2 .′ = −∫ f x dx f f
III- Se f e g	são	continuas	no	intervalo	[a, b], então: 
( ) ( ) ( ) ( )4 4 .+ = +∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
7
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Então	as	afirmações	verdadeiras	são: 
a) ( ) I e II.
b) ( x ) II e III.
c) ( ) I e III.
d) ( ) I, II e III.
TÓPICO 3 - AUTOATIVIDADE
Verifique	 se	 a	 integral	 feita	 no	 exemplo	 anterior	 está	 correta,	
calculando a derivada da função 
TÓPICO 3 - AUTOATIVIDADE
Outra maneira de resolver essa integral é usando a identidade 
do produto entre o seno e o cosseno: 
TÓPICO 3 - AUTOATIVIDADE
Calcule a derivada da função:
Porém,	fique	atento,	pois	você	só	pode	usar	no	caso	em	que	m = n. 
Refaça o exemplo anterior usando essa igualdade.
R.: O resultado é o mesmo do exemplo anterior.
e	verifique	se	é	igual	à	função	que	integramos.
R.: Sim, é igual.
( ) ( )
3
3 22 5
3
= + +f x x c
R.: Sim, está correta.
.
( ) ( ) ( )1cos 2
2
⋅ =x sen x sen x
( )
( ) ( )2 2
1 1
2 1 2 1
= − − +
+ −
F x c
x x
8
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
( )
2
ln
f . 
x
dx
x
∫e. 5xx dx∫
( )2
2c) 
3
x dx
x
∫
+
1	 Usando	a	Regra	da	Substituição,	calcule	as	integrais	indefinidas	
a seguir: 
2 Usando a Fórmula de integração por partes, calcule as integrais 
abaixo:
( ) ( )6) 5 3 b) sen 2a x dx x dx∫ − ∫
( )1e) f ) ln
2
dx x x dx
x
∫ ∫
−
g) 4 3 h)
1
x
x
ex dx dx
e
∫ − ∫
+
g) 4 3 h)
1
x
x
ex dx dx
e
∫ − ∫
+
a)
c)
e)
g) h)
f)
d)
b)
R.:
a) b)
d)
f)
h)
c)
e)
g)
( )71 5 3
21
x c− − + ( )1 cos 2
2
x c− +
( )2log 3x c+ + ( )
3
4 21 3 3
18
x c+ +
( )log 2 x c− − +
( )
3
2
2 4 3
9
x c− − + ( )log 1xe c+ +
( ) ( )x. cos b. e cos 2a x x dx x dx∫ ∫( ) ( )x. cos b. e cos 2a x x dx x dx∫ ∫
( )( ) ( )2c. ln d. ln 2 1 x dx x dx∫ ∫ +( )( ) ( )2c. ln d. ln 2 1 x dx x dx∫ ∫ +
a) b)
d)
f)
c)
e)
4
1
9
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
3 Usando a regra da substituição trigonométrica, calcule as inte-
grais a seguir:
a)
a)
c)
e) f)
d)
b)
c)
e) f)
d)
b)
R.:
R.:
( ) ( )cosxsen x x c+ + ( ) ( )( )1 2 2 cos 2
5
xe sen x x c+ +
( ) ( )( )2log 2log 2x x x c− + + ( ) ( )( )1 2 1 log 2 1 1
2
x x c+ + − +
( )( )
( )2
5 log 1
log
x x x
c
x
−
+ ( )log 1x c
x
+
− +
3
2 2 2
1) b)
9 16
xa dx dx
x x x
∫ ∫
− −
3 2
2
1c) d) 
9
x xdx dx
xx
+
∫ ∫
+
3 2
2
1c) d) 
9
x xdx dx
xx
+
∫ ∫
+
4 2e) 1 f ) 1x x dx x dx∫ − ∫ +
a) b)
d)
f)
c)
e)
2 9 
9
x c
x
−
+ ( )2 21 16 323 x x c− − + +
( )2 21 18 93 x x− + ( ) ( )
2 21 log 1 1 logx x x c+ − + + + +
( )( )1 2 2 41 14 sen x x x− + − ( )( )2 1
1 1
2
x x senh x c−+ + +
4 Usando as estratégias de resolver as integrais trigonométricas, 
calcule as integrais a seguir: 
10
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
( ) ( )3c) cossen x x dx∫
( ) ( ) ( )3 2) cos b) cosa sen x x dx x dx∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 4e) f ) costg x sen x dx cotg x x dx∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 4e) f ) costg x sen x dx cotg x x dx∫ ∫
( ) ( ) ( )3g) 4 cos 3 h) 4sen x x dx sen x dx∫ ∫( ) ( ) ( )3g) 4 cos 3 h) 4sen x x dx sen x dx∫ ∫
a) b)
d)
f)
h)
c)
e)
g)
R.:
a)
b)
c)
d)
e)
g)
h)
f)
( )4
4
sen x
c+
( ) ( )( )1 cos
2
x sen x x c+ +
( )41 cos
4
x c− +
( ) ( ) ( )5 5 1 3 5 
8 48 80
sen x
sen x sen x c+ + +
( ) ( ) ( )7 1 3 
4 12
cos x
cos x sec x c− + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
215 1 1 14 cos 2 cos 4 log cos
16 32 4 128
x xsen x x x xcotg x sen x xsen x x c− − − − − + − +
( ) ( )( )1 7cos cos 7
14
x x c− − +
( ) ( )( )1 cos 12 9cos 4
48
x x c− +
11
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
R.:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
5 Calcule as integrais a seguir: 
( )2 2
1) cos b) 
4 5
xa x x dx dx
x x
−
∫ ∫
− −
( ) ( )4 1c) ln d) x x dx x sen x dx−∫ ∫( ) ( )4 1c) ln d) x x dx x sen x dx−∫ ∫
2
1 2 e) f ) 
1 4
x
x
e xdx dxe x
+ +
∫ ∫
− +2
1 2 e) f ) 
1 4
x
x
e xdx dx
e x
+ +
∫ ∫
− +
( ) ( )2 2
2
1g) cos h) 
4 4 3
x tg x dx dx
x x
∫ ∫
− −
( ) ( )2 2
2
1g) cos h) 
4 4 3
x tg x dx dx
x x
∫ ∫
− −
a) b)
d)
f)
h)
c)
e)
g)
( )( ) ( )( )1 2 2 cos 28 x x sen x x c+ + +
( ) ( )( )1 2log 5 log 1
3
x x c− + + +
( )( )51 5log 1 
25
x x c− +
( ) ( )( )2 2 11 1 2 14 x x x sen x c−− + − +
( )2log 1 xx e c− − +
( )2 11 log 42 2
xx tg c−  + + + 
 
( ) ( )( )1 cos
2
x sen x x c− +
( )21 log 4 4 4 3 2 12 x x x c− − − − + +
12
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
6 (ENADE, 2011) No contexto de investimento e formação de capital, 
se M(t) representa o montante do capital de uma empresa existente 
em cada instante t e I(t) representa a taxa de investimento líquido 
por um período, então 
( )
b
a
M I t dt= ∫
Fornece o montante acumulado no período a	≤	t	≤	b. Considere que a 
função I(t) = t In(t)	definida	para	t	≥	1,	representa	a	taxa	de	investimento	
líquido, em milhares de reais, de uma empresa de cosméticos. Nesse 
caso, utilizando In (3) ≅ 1,1, o valor do montante acumulado no período 
1	≤	t	≤	3	é	igual	a: 
a) ( ) R$ 1 100,00.
b) ( ) R$ 2 100,00.
c) ( x ) R$ 2 950,00.
d) ( ) R$ 3 750,00.
e) ( ) R$ 4 950,00.
7 Um aluno estava estudando para métodos de integração, ele 
precisou calcular a seguinte integral
3 5 .x dx∫ −
Porém, esse aluno não sabia como proceder, não sabia qual método 
deveria escolher. Sobre os métodos que ele pode usar para resolver a 
integral, analise os itens a seguir:
I- Método de Substituição
II- Integral por partes
III- Substituição trigonométrica
IV- Frações Parciais 
a) ( ) Somente os métodos I e II.
b) ( X ) Somente os métodos I e III.
c) ( ) Somente os métodos II e IV.
d) ( ) Somente os métodos III e IV.
13
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1	 Calcule	a	área	das	regiões	entre	as	curvas	abaixo.	Esboce	o	gráfico	
de cada uma das regiões.
a) f(x) = x + 1 e g(x) = 9 – x2 no	intervalo	[–1,2]
R.: 2
b) f(x) = sen(x) e g(x) = ex	no	intervalo	[					]
R.: 1/3
c) f(x) = x2 e g(x) = x
R.: 1/6
d) f(x) = e g(x) = e x = 2
R.: 1/2
e) x = 2y2 e x + y = 1
R.: 2
f) f(x) = x2 e g(x) = 4x – x2
R.: 4/3
g) f(x) = ex e g(x) = xex e x = 0
R.: In(2)
2 Encontre o valor de b para que a reta y = b divida a região delimitada 
pelas curvas y = x2 e y = 4 em duas regiões de áreas iguais.
R.: b = 3/2
3 Encontre os valores de c tal que a área da região delimitada pelas 
parábolas y = x2 – c2 e y = c2 – x2 seja 576.
R.: c = 26
4 Mostre que o volume de uma esfera de raio r é dado pela formula 
V Àr= 4
3
3 πr3. Use a integral para mostrar.
R.: Verdadeiro.
0,π2
14
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
5 Mostre que o volume de um cilindro circular reto de raio r e altura h 
é dado pela formula V = πr2h. Use a integral para mostrar.
R.: Verdadeiro.
6 Calcule o volume do sólido de revolução formado pela rotação de 
f(x) = sen(x)	no	intervalo	[0,	π] em torno do eixo x.
R.: 2π
7 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada 
pelas curvas y = x2, x = 1 e y = 0 ao redor do eixo x.
R.: 3
2
π
8 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada 
pelas curvas y = ex, y = 0 e x = 1 ao redor do eixo x.
R.: π
9 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada 
pelas curvas y = x2,	0	≤	x	≤	2,	y = 4 e x = 0 ao redor do eixo y.
R.: 2π
10 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região 
delimitada pelas curvas y2 = x, x = 2y ao redor do eixo y.
R.: 3
4
π
11 (ENADE, 2017) Considere f:[a, c] →	 uma função contínua e b	ε	(a, 
c)	conforme	ilustra	o	gráfico	abaixo.	Represente	por:
a) a área da região limitada pela reta de equação y = 0 e pela curva {(x, 
f(x));	x	ε	[a, 0]};
b) a área da região limitada pela reta de equação y = 0 e pela curva {(x, 
f(x));	x	ε	[0,	b]};
c) a área da região limitada pela reta de equação y = 0 e pela curva {(x, 
f(x));	x	ε	[b, c]};
15
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Sabendo-se que A = 5, B = 3 e C	=	2,	avalie	as	afirmações	a	seguir.
I- ( )
0
5
a
f x dx =∫
II- ( )
0
3
b
f x dx =∫
III- ( ) 4
c
a
f x dx =∫
É	CORRETO	o	que	se	afirma	em:
a) ( ) I, apenas.
b) ( ) II, apenas.
c) ( X ) I e III, apenas.
d) ( ) II e III, apenas.
e) ( ) I, II e III.
12 (CESGRANRIO, 2018) As funções reais de variáveis reais f e g estão 
representadas abaixo, no mesmo sistema de eixos cartesianos, 
sendo 0 e 4 os zeros da função quadrática f e g uma função linear 
que	 intersecta	 o	 gráfico	de	 f nos pontos (0, 0) e (3, 6). Seja S a 
região do plano (sombreada) constituída de todos os pontos que 
estão	abaixo	do	gráfico	de	f	e	acima	do	gráfico	de	g.
y
9
6
0
S
3 4 x
16
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
A área da região S corresponde a que fração da área do retângulo 
de vértices (0,0), (4,0), (4,9) e (0,9)? 
a) ( ) 2/9
b) ( ) 2/7
c) ( ) 1/3
d) ( X ) ¼
e) ( ) 1/5
TÓPICO 2 
1	 Calcule	 as	 integrais	 a	 seguir	 e	 as	 classifique	 em	 convergente	 ou	
divergente:
2
0
1
1
dx
x
∞
+∫
xe dx
∞
−
−∞
∫
( )
2
sen x dx
π
∞
∫
( )
0
cos x dx
−∞
∫
( )
2
1
ln x
dx
x
∞
∫
a)
b)
c)
d)
e)
17
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
a)
b)
c)
d)
R.:
R.:
a) ∞
b) 0
c) –1
d) π
e) e
a) – (convergente)
b) ∞ (divergente)
c) arctg (θ) (convergente)
d) ∞ (divergente)
2	 Calcule	 as	 integrais	 a	 seguir	 e	 as	 classifique	 em	 convergente	 e	
divergente:
3 Dizemos que a Transformada de Laplace de uma função f é dada 
pela integral
3
4
2
1 dx
x−
∫
3
0
1 dx
x x∫
1
2
0
1
1
dx
x−∫
( )1
0
ln
 
x
dx
x∫
35
648
( ) ( )
0
.stF s f t e dt
∞
−= ∫
O domínio da função F é o conjunto de todos os pontos onde 
a integral converge. Determine o domínio da Transformada de 
Laplace das funções: 
18
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
a) f(t) = 2
b) f(t) = et
c) f(t) = t
a) Reais
b) Reais positivos
c) Reais
4 Uma função f positiva integrável é chamada de densidade de 
probabilidade se: 
( )
 
1.f x dx
∞
− ∞
=∫
Definimos	a	probabilidade	de	um	número	x estar entre os valores a e 
b por 
E	também	definimos	o	valor	esperado	do	número	x por:
Qual	é	a	probabilidade	de	um	número	x estar entre 0 e 1 e o valor espe-
rado	do	número	x, se a função é
5 Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral 
converge ou diverge:
R.: 25%
( ) ( )
b
a
P a x b f x dx< < = ∫
( ) ( )
 
 .E x x f x dx
∞
− ∞
= ∫
( )
22 , 0 
.
0, 0
xe se x
f x
se x
− ≥
= 
<
a)
1
1 xe dx
x
∞ −+
∫
19
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
a) diverge
b) converge
c) diverge
b)
c)
2
1
1
x dxx e
∞
+∫
2
1
xe dx
∞
∫
6 (Quadrix, 2018) Considera-se um sólido dado pela rotação em torno 
do	eixo	Ox	da	região	limitada	pelo	gráfico	de	f(x) = e pelas retas x = 
1, x = t e y = 0, onde t > 1. O volume desse sólido é uma função V(t), 
que depende de t. Nesse caso, se t	tende	para	o	infinito,	o	volume 
V(t) tende para:
a) ( ) 1
b) ( ) In(π)
c) ( ) π
d)	(	x	)	π2
e) ( ) ∞
7 (ENC - 2003) Um quadrado de lado 2 gira em torno de um de seus lados, 
gerando um sólido de revolução. O volume deste sólido é igual a:
a) ( ) 
b) ( ) 2π
c) ( x )
d) ( ) 4π 
e) ( ) 8π
1
x
4
3
π
4
3
π8
20
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
TÓPICO 3
1	 Determine	 o	 comprimento	 do	 gráfico	 da	 função	 (y – 1)³ = x² no 
intervalo	[0,8].	
R.: L = 9,073 u.c. 
2 Determine o comprimento da curva y = x3 do ponto (1,1) a (8,4). 
R.: L =7,6 u.c.
3 Calcule o comprimento da curva 8y = x4 + 2x - 2 do ponto onde x = 1 
ao ponto x = 2.
R.: L = 33/16 u.c
4 Determine, através da curva paramétrica x = t³/3 e y = t²/2 no intervalo 
[0,1],	o	comprimento	desta	curva.
R.: L = (2.√2 – 1)/3 ≅ 0,61 u.c.
5 Determine o comprimento da curva conhecida como hipociclóide, 
utilizando x = 2.sen³t e y = 2.cos³t, como parametrização para a 
mesma.
R.: L = 12 u.c.
6 (ENADE, 2014) A Construção da Usina Hidrelétrica de Itaipu, no rioParaná, na fronteira entre o Brasil e o Paraguai, iniciou-se na década de 
70, mais precisamente em Janeiro de 1975. Nessa época não existiam 
ferramentas computacionais para representar os desenhos referentes 
à	 planta	 de	 construção	 da	 usina	 e	 nem	 para	 realizar	 cálculos	 com	
tamanha exatidão e rapidez. Um Engenheiro Civil da época precisou 
apresentar os cálculos do comprimento da barragem da usina, sendo 
que após diversas análises, concluiu que era possível obter esta medida 
com base em conceitos de cálculo diferencial e integral que aprendeu 
durante o seu curso de graduação em Engenharia. Geometricamente, 
através do desenho da planta da Usina, constatou que a função 
matemática que mais se aproximava da curva representativa da 
barragem da Usina era f(x) = ln (cos x) em que f(x) é dado em km. Em 
cima destas informações, qual das alternativas abaixo representa o 
valor provável do comprimento da barragem da usina, sabendo-se que 
o	valor	de	x	da	função	f(x)	varia	de	π/4	a	π/6?
FONTE: http://www.enade.estacio.br/pdf/2simulado/Engenharia%20
El%C3%A9trica.pdf. Acesso em: 22 mar. 2019.
21
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
TÓPICO 4 - AUTOATIVIDADE
Note que a integral anterior foi resolvida de modo direto. Como dica, a 
técnica utilizada foi a da substituição simples, com u = 1 + x. Será que 
você	consegue	resolvê-la	e	chegar	no	mesmo	resultado?
R.: 9 J
a) ( x ) 0,3320 km
b) ( ) 0,8813 km
c) ( ) 0,5493 km
d) ( ) 1,4306 km
e) ( ) 0,6640 km
1 Determine o trabalho realizado sobre um corpo de 50kg por uma 
distância vertical de 12m.
R.: 6000 J
2 Uma partícula desenvolve movimento retilíneo através de uma força 
variável dada pela função:
F(x) = ex³ · x 2,
para realizar o deslocamento do ponto x = 0 até x = 5. Determine o 
trabalho realizado neste processo.
R.: 
125 1
3
e −
3 Supondo que 5 J de trabalho foram necessários para estender uma 
mola de 20 cm de comprimento para 36 cm de comprimento, deter-
mine o trabalho necessário para estender uma mola com as mesmas 
características de 15 cm para 30 cm de comprimento.
R.: 3,76 J
22
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Considerando a função f(x,y) = 4x2 + 3xy + 5, calcule:
a) f(2,–1)
b) f(4,2)
c) f(2,x)
d) 
e) 
R.: a) 15 b) 93 c) 6x + 21 d) 4h + 8x + 3y e) 3x
2	Represente	graficamente	o	domínio	das	funções	a	seguir:
a) 
4 A face de uma barragem é um retângulo perfeito com altura de 50 
metros	e	extensão	de	60	metros.	Determine	a	força	total	que	um	fluido	
de densidade 31,2 kg/m³ exerce no ponto mais alto da barragem.
R.: 2,34 x 107 N
5 Uma chapa com formato representado por um triângulo isósceles 
possui base de 15 m e altura de 6 m. Esta chapa é imersa a uma 
profundidade	de	2	m.	O	fluido	é	óleo	com	densidade	de	20	kg/m³.	
Determine a força hidrostática sobre esta chapa.
R.: 2,16 x 104 N
( ) ( ), ,f x h y f x y
h
+ −
( ) ( ), ,f x y k f x y
k
+ −
( ) 2 2
4 3 ,
2 4
y xf x y
x y
−
=
+ −
23
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
R.:
( ) 3,
2 4
xf x y
x y
=
+
( ) 1,
 4
f x y
x y
=
+ +
( ) 2, 2f x y x y= −
( ) ( )2 , ln 2 5f x y x y= + −
( ) 2 2 2 , , 9f x y z x y z= + + −
24
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
c)
d)
e)
25
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
a)
b)
c)
R.: a) Sim, grau 2. b) Sim, grau 3. c) Sim, grau 1.
f)
3	 Verifique	se	são	homogêneas	e	determine	o	grau	de	homogeneidade	
das funções abaixo:
( ) 2 2, 9f x y x y= + −
( )
5 3 2
2 2
4, x y xf x y
x y
+
=
+
( )
5 3 32 3
,
3
xy x y
f x y
xy
−
=
26
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
4 Suponha que uma função f:  2 → 	é	homogênea	de	grau	2	e	que	
vale a seguinte igualdade: 
f(a, b) = a
Para todo ponto (a, b) que satisfaz a2 + b2	=	1.	Assinale	qual	é	a	única	
sentença	que	podemos	afirmar	ser	verdadeira:
a) ( ) f(1,1) = 1
b) ( ) f(0,3) = 0
c) ( x ) f(1,0) = 1
d) ( ) f(2,0) = 2
e) ( ) f(1,3) = 1
5 Determine o domínio e as curvas de nível das funções abaixo:
a) f(x,y) = 1 – x2 – y2
b) f(x,y)	=	√4	–	x2 – 4y2
c) f(x,y) = x + y + 2
d) f(x,y) = x + 4y
e) f(x,y) = x2
R.:
a) D = {(x,y) ϵ  2}, circunferência centradas na origem.
b) D = {(x,y) ϵ  2; x2 + 4y2 ≤ 4}, elipses centradas na origem.
c) D = {(x,y) ϵ  2} retas. 
d) D = {(x,y) ϵ  2}, retas. 
e) D = {(x,y) ϵ  2}, retas paralelas ao eixo y. 
6 Determine o domínio das funções abaixo, faça a representação 
gráfica	utilizando	algum	software	e	determine	a	superfície	de	nível	
para c = 0 e c = 1:
a) f(x,y,z)	=	√1	–	x2 – y2 – z2
b) f(x,y,z) = x
c) f(x,y,z) = In(x2 + y2 + z2)
d) f(x,y,z) = 4x2 + y2 + z2
27
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
R.:
 
a) D = {(x,y,z) ϵ  3; x2 + y2 + z2 ≤ 1}, esferas centradas na origem.
b) D = {(x,y,z) ϵ  3}, planos.
c) D = {(x,y,z) ϵ  3; x2 + y2 + z2 > 0}, esferas centradas na origem.
d) D = {(x,y,z) ϵ  3}, elipsoides centradas na origem.
7 Suponha que a distribuição de temperatura numa placa é dada pela 
função:
T(x,y) = 4x2 + 9y2.
No caso das curvas de nível de uma função temperatura, essas curvas 
são	 chamadas	 de	 isometrias,	 ou	 seja,	 regiões	 da	 placa	 que	 têm	 a	
mesma	temperatura.	Qual	das	afirmações	abaixo	está	INCORRETA?
a) ( ) A isometria correspondente à temperatura igual a 36ºC é a elipse 
2 2
1
9 4
x y
+ = 
b)	(	x	)	 Todas	as	isometrias	são	circunferências	de	centro	(0,0,0).
c) ( ) Nenhuma das isometrias se interceptam. 
d) ( ) Todas as isometrias são elipses de centro em (0,0,0).
8 Um paraboloide é uma superfície que é determinada por duas 
variáveis. Um dos casos particulares de paraboloides é quando em 
uma direção (x ou y ou z)	suas	curvas	de	nível	são	circunferências,	
neste caso chamamos de paraboloide circular. Determine qual 
função determina o paraboloide a seguir:
.
x
y3
4
z
FIGURA – PARABOLOIDE DE RAIO 3
FONTE: Flemming e Gonçalves, (2007, p. 87)
28
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
TÓPICO 2 - AUTOATIVIDADE
Caro	acadêmico!	Seguindo	a	ordem	e	as	observações	feitas,	reescreva	
as	definições	1	e	2	anteriores,	para	funções	de	n variáveis reais.
R.: Resposta pessoal. Cada acadêmico reescreverá de uma maneira. 
1	 Use	a	definição	de	limite	para	mostrar	que:
( ) ( )2 24, 9f x y x y= +
( ) ( )2 24, 9f x y x y= − +
( ) ( )2 24, 4 9f x y x y= − +
( ) ( )2 24, 4 9f x y x y= + +
R.:
R.: Verdadeiro.
a) ( )
b) ( )
c) ( x )
a)
b)
d) ( )
( ) ( )
2
, 2,1
lim 3 2 4 12.
x y
x xy
→
+ − =
2 Calcule os limites se existirem, caso contrário, prove que não existem:
( ) ( ) 2 2, 1,0
lim
x y
x
x y→ +
( ) ( ) 2 3, 0,1
2 2lim
3x y
x xy
x xy y→
− +
+ −
29
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
R.: a) Sim. b) Não. c) Sim. d) Sim. 
c)
a)
b)
c)
d)
d)
e)
f)
( ) ( )
2 2
, 3, 4
lim 2
x y
x y
→ −
+
( ) ( )
2
2 2, 0,0
lim
 x y
x
x y→ +
( ) ( )
3
2 2, 0,0
lim
 x y
x
x y→ +
( ) ( ), 0,0
lim
 x y
xy
x y→ −
R.: a) 1 b) –2 c) √34 d) 0 e) 0 f) Não existe.
3	 Verifique	se	a	função	é	contínua	em	todos	os	pontos	do	seu	domínio: 
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 , , 0,05,
0, , 0,0
xy se x y
x yf x y
se x y
 ≠ += 
 =
( )
2
2 2
4 3,
1
x x yf x y
x y
− +
=
+ −
( )
2
4 2 ,
x yf x y
x y
=
+
( )
2 2
,
1
x yf x y
x y
−
=
− −
30
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
4 Com relação ao limite e continuidade de funções de várias 
variáveis	reais,	classifique	as	sentenças	a	seguir	como	verdadeira	
(V) ou falsa (F): 
a) (V) (0,0) é um ponto de acumulação do conjunto A = {(x,y) ϵ  2; y > x}.
b) (F) Todo ponto de acumulação de um conjunto pertence a esse conjunto.
c) (F) Todos os pontos de um conjunto são pontos de acumulação desse 
conjunto.
d) (V)  2 é um conjunto aberto.
e) (V) O conjunto vazio não tem pontos de acumulação.
5	 A	definição	de	ponto	de	acumulação	é	essencial	para	podermos	definir	
limite de funções de várias variáveis. Os pontos de acumulação são 
os pontos do domínio da função em que é possível calcular o limite 
e,	por	consequência,	derivadas.	Considere	o	conjunto	e	responda	
quais dos pontos não é um ponto de acumulaçãode A:
( ) 2 2 2{ , ;0 2 1 1}A x y x y y= ∈ < + + + <
a) ( ) (0,–1)
b) ( ) (–1,–1)
c) ( ) (0,0)
d) ( x ) (1,1)
TÓPICO 3
1 Nos exercícios a seguir, calcule as derivadas parciais e das 
funções:
a) f(x,y) = 2x2 – 3y – 4
b) f(x,y) = (x2 – 1)(y + 2)
c) f(x,y) = (xy – 1)2
d) f(x,y) = 
e) f(x,y) = ex+y+1
f) f(x,y) = In(2x + y)
R.:
1
x + y
31
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
a)
b)
c)
d)
2
( , ) 4
( , ) 2 3 4
( , ) 3
f x y x
xf x y x y
f w y
y
∂ =∂= − − ⇒ ∂ = −
∂
( ) ( )2( , ) 1 2f x y x y= − ⋅ +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
12
( , ) 1 2
1 0 2 2
2 4
xyf x y x y
x x x
x x y
xy x
∂ −∂ +∂
= − ⋅ + ⋅ +
∂ ∂ ∂
= − ⋅ + ⋅ +
= +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
12
( , ) 1 2
1 1 0 2
1
xyf x y x y
y y y
x y
x
∂ −∂ +∂
= − ⋅ + ⋅ +
∂ ∂ ∂
= − ⋅ + ⋅ +
= −
2( , ) ( 1)f x y xy= −
( 1)( , ) 2( 1)
2 ( 1)
f xyx y xy
x x
y xy
∂ ∂ −
= − ⋅
∂ ∂
= ⋅ ⋅ −
( 1)( , ) 2( 1)
2 ( 1)
f xyx y xy
y y
x xy
∂ ∂ −
= − ⋅
∂ ∂
= ⋅ ⋅ −
( ) 11( , )f x y x y
x y
−= = +
+
1 1
2
2
( )( , ) 1( )
( ) 1
1
( )
f x yx y x y
x x
x y
x y
− −
−
∂ ∂ +
= − + ⋅
∂ ∂
= − + ⋅
−
=
+
1 1
2
2
( )( , ) 1( )
( ) 1
1
( )
f x yx y x y
y y
x y
x y
− −
−
∂ ∂ +
= − + ⋅
∂ ∂
= − + ⋅
−
=
+
32
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
e)
R.:
a)
b)
f)
1( , ) x yf x y e + +=
1
1
( 1)( , ) x y
x y
f x yx y e
x x
e
+ +
+ +
∂ ∂ + +
= ⋅
∂ ∂
=
1
1
( 1)( , ) x y
x y
f x yx y e
y y
e
+ +
+ +
∂ ∂ + +
= ⋅
∂ ∂
=
( )( , ) ln 2f x y x y= +
1 2( , ) 2
2 2
f x y
x x y x y
∂
= ⋅ =
∂ + +
1 1( , ) 1
2 2
f x y
y x y x y
∂
= ⋅ =
∂ + +
2 Calcule as derivadas parciais de segunda ordem 
2
2
f
x
∂
∂
, 
2 f
x y
∂
∂ ∂
, 
2 f
y x
∂
∂ ∂
 
e 2
2
f
y
∂
∂
 das funções:
a) f(x,y) = e3xsen(y)
b) f(x,y) = xey + y + 1
3( , ) ( )xf x y e sen y=
3( , ) 3 ( )xf x y e sen y
x
∂
= ⋅ ⋅
∂
2
3
2 ( , ) 9 ( )
xf x y e sen y
x
∂
= ⋅ ⋅
∂
2
3( , ) 3 cos( )xf x y e y
y x
∂
= ⋅ ⋅
∂ ∂
3( , ) cos( )xf x y e y
y
∂
= ⋅
∂
2
3( , ) 3 cos( )xf x y e y
x y
∂
= ⋅ ⋅
∂ ∂
2
3
2 ( , ) ( )
xf x y e sen y
y
∂
= − ⋅
∂
( , ) 1yf x y xe y= + +
( , ) yf x y e
x
∂
=
∂
2
2 ( , ) 0
f x y
x
∂
=
∂
2
( , ) yf x y e
y x
∂
=
∂ ∂
( , ) 1yf x y xe
y
∂
= +
∂
2
2 ( , )
yf x y xe
y
∂
=
∂
2
( , ) yf x y e
x y
∂
=
∂ ∂
33
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
a) ( )
c) ( )
d) ( )
b) ( x )
3 Uma equação diferencial parcial é uma equação que envolve 
derivadas parciais de uma função. Se uma função satisfaz a uma 
equação diferencial parcial dizemos que ela é uma solução da 
equação diferencial parcial. Em relação a isso, podemos dizer que a 
função z = ey(x2 – y2) é solução de qual das equações diferenciais?
2 2 2
2 2
yz z z e
y x y y x
∂ ∂ ∂
+ − =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2
2 2
yz z z e
x x y y x
∂ ∂ ∂
+ − =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2
2 0
z z z
x x y y x
∂ ∂ ∂
+ − =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 2
2 2
yz z z e
y x y y x
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
4 Uma das condições para que uma função de duas variáveis reais 
seja diferenciável no ponto (x0,y0). é que exista as suas duas deri-
vadas parciais no ponto (x0,y0). Muitas vezes, a função pode até não 
estar	definida	em	(x0,y0),	porém	ser	diferenciável.	Verifique	qual	é	a	
única	função	a	seguir	que	não	tem	derivadas	parciais	no	ponto	(0,0)	
e	lembre-se	de	usar	a	definição	de	limite	para	verificar:
a) ( x ) f(x,y)	=	√x2 + y2
b) ( ) f(x,y) = 5xy – x2
c) ( ) f(x,y) = x2 – y2
d) ( ) f(x,y) = x + y
34
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
TÓPICO 4
1 Uma empresa possui sua função de produção modelada por:
P(K,L) = 5K0,2L0,8
O nível de investimento em capital é de R$ 15.000 (estrutura e 
maquinário) e R$ 20.000 em trabalho. Determine as produtividades 
marginais envolvidas no caso.
R.: 1,25 e 3,77
2	 A	indústria	FAZBEM	possui	sua	produtividade	modelada	por:
P(K,L) = 0,5K0,3L0,7
Atualmente, ela possui os seguintes investimentos: K = 10.000 e L = 
20.000. Pretende-se aumentar em R$ 3.000 o investimento em trabalho. 
Determine o ganho produtivo do processo.
R.: 0,24 unidades para cada unidade investida em estrutura e 0,28 unidades 
para cada unidade investida em força de trabalho.
3	 Mostre	 através	 da	 definição	 de	 elasticidade	 que,	 sendo	 a	 função	
de produção P(K,L) = 5K0,2L0,8 com os investimentos K = 25000, L 
= 10000, com K e L variando 1000 unidades cada, que realmente 
os	 coeficientes	 α e 1 – α da equação de Cobb-Douglas são as 
elasticidades ϵk e ϵL, respectivamente.
R.:
K � � � �
�0 48
25000
5 25000 10000
0 1998
0 2 0 8
, ,
, ,
L � � � �
�4 8
10000
5 25000 10000
0 7999
0 2 0 8
, ,
, ,
4 Um terreno tem a forma retangular. Estima-se que seus lados medem 
1.200 m e 1.800 m, com erro máximo de 10 m e 15 m, respectivamente. 
Determine o possível erro no cálculo da área do terreno.
R.: 36000 m^2 
35
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
5 Usando a diferencial, obtenha o aumento aproximado do volume de 
um cilindro circular reto, quando o raio da base varia de 3 cm para 
3,1 cm e a altura varia de 21 cm para 21,5 cm.
R.: 17,1 cm^3