PROVA PRESENCIAL CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

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Questão 1
O processo de integração, por vezes, é imediato, a depender da função que se queira integrar. Em alguns casos é necessário o uso de técnicas de integração que tornam o processo de integrar certas funções, antes complexo, mais simples. Com base em informações nessas técnicas de integração avançadas analise as asserções que seguem.
I-A integral da função 
é resolvida utilizando o método de integração por mudança de variável.
PORQUE
II- A integral 
é do tipo 
em que
 
A respeito destas asserções, assinale a alternativa correta.
A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
C) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
D) As asserções I e II são falsas.
E) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
Questão 2
Uma função de duas variáveis reais é uma lei que associa cada par ordenado de números reais (x,y), de um conjunto D, à único valor f(x,y). Ao conjunto D denominamos de domínio da função. Com base em informações sobre o domínio de funções, analise a função que segue
Assinale a alternativa que contém o domínio dessa função.
A)
B) 
C) 
D) 
E)
Questão 3
O estudo das integrais definidas pode auxiliar a resolver problemas em diversos ramos, como na economia, física entre outras áreas. Problemas que envolvem áreas sob curvas podem ser resolvido utilizando as integrais definidas.
Considere que uma peça metálica seja limitada pelas retas
e pelo gráfico da função
Assinale a alternativa que contém a área da superfície dessa peça metálica.
A) 4 u.a.
B) 2 u.a.
C) 3 u.a.
D) 0 u.a.
E) 1 u.a.
Questão 4
O cálculo das integrais duplas requer que seja identificado corretamente a região de integração e os respectivos limites de integração. Com base em informações sobre o cálculo de integrais duplas, calcule a integral da função f(x,y) = 1 sobre a região R. Em que R=[1,3]x[2,4]. Assinale a alternativa que contém o resultado dessa integral.
A) 2.
B) 1.
C) 4.
D) 3.
E) 0.
Questão 5
Em matemática é comum utilizarmos outras coordenadas, além das cartesianas, para resolvermos determinados problemas. Temos relações entre esses tipos de sistemas de coordenadas, por exemplo, conseguimos mudar de coordenada cartesiana para polar ou de polar para cartesiana. Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta corretamente as coordenadas cartesianas (x,y) do ponto A sabendo que suas coordenadas polares são .
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
Questão 6
Para resolvermos as integrais de uma variável real, muitas vezes, é necessário o emprego de métodos de integração, visto que, a função a ser integrada não é imediata. Com base nesses métodos de integração, analise a integral
Assinale a alternativa que contém o método a ser utilizado para resolver essa integral.
A) Integração por partes.
B) Integral imediata.
C) Integração trigonométrica.
D) Mudança de variável.
E) Substituição trigonométrica.
Questão 7
O gradiente de uma função f, é a função vetorial cujas componentes são as derivadas parciais da função. Com base em informações sobre esse vetor, assinale a alternativa que contém o vetor gradiente da função f(x,y) = 3x + 2y.
A) O vetor gradiente é (3, 2).
B) O vetor gradiente é (2, 3).
C) O vetor gradiente é (0, 2).
D) O vetor gradiente é (3x, 2y)
E) O vetor gradiente é (0, 0).
Questão 8
Uma empresa de componentes eletrônicos constatou que o custo marginal (reais/ unidade) na construção de um chip é dada por
Sabendo que o custo para a construção de um chip é de R$150,00, analise os itens que seguem.
I- Para encontrar a função custo primeiro é necessário encontrar integral indefinida da função custo marginal e depois substituir os valores iniciais na antiderivada encontrada, encontrando assim o valor C que satisfaz a situação.
II- O custo em relação a quantidade de componentes produzidos é dado pela função 
III- O custo em relação a quantidade de componentes produzidos é dado pela função
 .
Assinale a alternativa correta.
A) Apenas os itens I e III estão corretos.
B) Apenas o item II está correto.
C) Apenas o item I está correto.
D) Apenas o item III está correto.
E) Apenas os itens I e II estão corretos.
Questão 9
A variação do lucro de uma empresa é dada pela função
Em que t é a dado em anos e L(t) em milhões de reais. Essa empresa passou por mudança na fabricação de algumas peças que gerou imediatamente um lucro de 2 milhões de reais. Com base nessas informações, assinale a alternativa que contém o lucro da empresa, em milhões, daqui a 5 anos.
A) 70.
B) 100.
C) 205.
D) 302.
E) 150.
Questão 10
Considerando as principais categorias segundo as quais podemos classificar as matrizes, complete as lacunas das seguintes afirmações, tornando-as informações corretas a respeito desse tema:
I. Toda matriz __________ pode também ser classificada como triangular inferior.
II. Toda matriz __________ pode ser classificada como diagonal.
III. A transposta de uma matriz __________ corresponde a uma matriz coluna.
Assinale a alternativa que indica os termos que completam corretamente as lacunas das afirmações apresentadas:
A) I – triangular superior; II – identidade; III – linha.
B) I – identidade; II – coluna; III – linha.
C) I – diagonal; II – identidade; III – linha.
D) I – diagonal; II – identidade; III – coluna.
E) I – identidade; II – triangular superior; III – coluna.
Questão 11
Em alguns casos resolver uma integral dupla em coordenadas cartesianas é demasiadamente complicado, assim podemos recorrer ao cálculo dessas integrais em coordenadas polares. Logo, é fundamental a identificação da região de integração e da função a ser integrada em coordenadas polares.
Deseja-se calcular a integral
onde D é a região do primeiro quadrante contida no círculo
Assinale a alternativa que representa corretamente a integral dada em coordenadas polares.
A)
B)
C)
D)
E)
Questão 12
Problemas que envolvem derivadas parciais, podem solicitar tanto as derivadas de primeira quanto de segunda ordem. Com base em informações sobre as derivadas parciais, analise os itens que segue.
I. Seja f(x,y) = xy então fxx(x,y) =1.
II. Seja f(x,y) = y2 então fxx(x,y) =0.
III. Seja f(x,y) = xy então fxy(x,y) =1.
Assinale a alternativa correta.
A) Apenas o item II está correto.
B) Apenas os itens II e III estão corretos.
C) Apenas o item III está correto.
D) Apenas o item I está correto.
E) Apenas os itens I e II estão corretos.