Aula 11 30 2020-Progressão Aritmética-Propriedades e Soma dos Termos

Prévia do material em texto

Progressão Aritmética: Propriedades e Soma dos Termos
Prof. Jackson
Propriedades de uma Progressão Aritmética
Em uma PA qualquer, de n termos e razão r, observam-se as seguintes propriedades:
I) Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, é a média aritmética entre o anterior e o posterior, isto é:
Propriedades de uma Progressão Aritmética
Exemplo 1: Encontre o valor de x na PA . 
Propriedades de uma Progressão Aritmética
II) Em toda PA , tem-se que a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 
Portanto:
Propriedades de uma Progressão Aritmética
Exemplo 2: Na PA , tem-se:
 
Propriedades de uma Progressão Aritmética
Obs.: Em uma PA, de número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média aritmética dos extremos desta PA. 
Exemplo 3: Encontre o termo central da PA . 
Soma dos termos de uma Progressão Aritmética
Carl Friedrich Gauss é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Nascido em Brunswick, Alemanha, de família muito simples, foi uma criança prodígio.
Conta-se que antes de completar 10 anos de idade, em uma aula, seu professor, querendo manter os alunos por um bom tempo em silêncio, pediu que somassem todos os números de 1 a 100, isto é . Para surpresa do professor, depois de alguns minutos Gauss disse que a soma era 5050. Para descobrir o resultado tão rapidamente, Gauss utilizou o seguinte raciocínio:
Soma dos termos de uma Progressão Aritmética
Ao agrupar os termos dessa adição de forma conveniente, o resultado dá sempre 101.
Assim, .
Soma dos termos de uma Progressão Aritmética
Para compreender como Gauss chegou ao resultado, representa-se por S essa soma. Depois, escreve-se a mesma soma na ordem inversa e, em seguida, soma-se as duas parcelas, termo a termo:
De modo geral, se a sequência é um PA, de razão r, pode-se escrevê-la na forma: 
Calcula-se a soma dos n primeiros termos dessa PA, que se indica por .
Exercícios Resolvidos
1) Calcule a soma dos dez primeiros termos de um PA .
Exercícios Resolvidos
2) Uma PA tem 20 termos e a soma do segundo com o décimo nono termo é 10.
a) Quanto é ?
b) Qual é a soma de todos os termos da PA?
Exercícios Resolvidos
3) Obtenha a soma dos múltiplos de compreendidos entre e 
Exercícios Resolvidos
4) Calcule a soma:
a) dos 30 primeiros termos da PA (4, 10, ...);
b) dos 20 primeiros termos de uma PA em que o 1º termo é e ;
c) dos 200 primeiros números pares positivos.
Exercícios Resolvidos
5) A soma dos termos de uma PA finita é . Se o termo dessa PA é, calcule o termo.
Exercícios Resolvidos
6) Calcule o valor de x na igualdade , sabendo que os termos do 1º membro da igualdade estão em PA.
Exercícios Resolvidos
7) Considerando a P.A. , determine . 
Bons estudos!