01 - Equações Diferenciais

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Prof. Daniele Gonçalves
2º Semestre / 2020
Cálculo Diferencial e Integral III
Apresentação da Disciplina
Estudo de Integrais de Linha e de Superfície. Conceituação e associação
dos Teoremas de Green, Gauss e de Stokes. Conceituação e aplicação das
Equações Diferenciais Ordinárias de primeira e segunda ordem,
descrevendo seus métodos de resolução. Aprofundamento do estudo das
Equações Diferenciais não lineares de primeira ordem. Conceituação,
análise e aplicação da Transformada de Laplace e associação entre suas
inversas.
Referência Básica:
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 2. 7. ed.
Acesso em: https://www.dropbox.com/s/zxxqflw3dtd0z19/C%C3%A1lculo%20-%20James%20Stewart%20-
%207%20Edi%C3%A7%C3%A3o%20-%20Volume%202%20ebook.pdf?dl=0
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson 
Makron Books, 2001. v. 1. 3. ed.
https://www.dropbox.com/s/zxxqflw3dtd0z19/C%C3%A1lculo%20-%20James%20Stewart%20-%207%20Edi%C3%A7%C3%A3o%20-%20Volume%202%20ebook.pdf?dl=0
ZILL, D. G.; CULLEN, M. R. Equações diferenciais. São Paulo: Pearson 
Makron Books, 2001. v. 1. 3. ed.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 2. 7. ed.
Equação Diferencial
Definição:
Uma equação diferencial é aquela em que a função incógnita aparece
sob a forma de sua derivada.
Exemplos:
1. Se 𝑥(𝑡) representa a posição de uma partícula, tem-se a velocidade
dada por 𝑣 𝑡 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
2. Pela 2ª Lei de Newton,
𝐹 = 𝑚. 𝑎 ou 𝐹 = 𝑚 .
𝑑𝑣
𝑑𝑡
ou 𝐹 = 𝑚 .
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
Classificação
Equações diferenciais são classificadas de acordo com o tipo, a
ordem e a linearidade.
Classificação pelo Tipo
- Equação diferencial ordinária (EDO): contém somente derivadas
ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes, com relação a uma
única variável independente.
Exemplos:
a)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 5𝑦 = 1
b) 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑥 + 4𝑥 𝑑𝑦 = 0 ↔ 𝑦 − 𝑥 + 4𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
c)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
−
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑥
d)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
− 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 0
Classificação pelo Tipo
- Equação diferencial parcial (EDP): envolve derivadas parciais de uma
função de duas ou mais variáveis.
Exemplos:
a)
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
b) 𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝑢
c)
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2
=
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2
− 2
𝜕𝑢
𝜕𝑡
Classificação pela Ordem
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior
ordem que aparece na equação.
Exemplos:
a)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
− 5𝑦 = 1 2ª ordem
b) 𝑦 − 𝑥 𝑑𝑥 + 4𝑥 𝑑𝑦 = 0 ↔ 𝑦 − 𝑥 + 4𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 1ª ordem
c)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
−
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 𝑥 1ª ordem
d)
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
− 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 0 2ª ordem
Classificação pela Linearidade
Uma equação diferencial é chamada linear quando pode ser escrita na
forma
𝑎𝑛 𝑥
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
+ 𝑎𝑛−1 𝑥
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑥𝑛−1
+ … + 𝑎2 𝑥
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Propriedades:
i) A variável 𝑦 e todas as suas derivadas são do primeiro grau;
ii) Cada coeficiente depende apenas da variável independente 𝑥.
Uma equação que não é linear é chamada de não-linear.
Exemplos:
a) 𝑥 𝑑𝑦 + 𝑦 𝑑𝑥 = 0 ↔ 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 0 linear
b) 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0 linear
c) 𝑥3
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
− 𝑥2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
+ 3𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 5𝑦 = 𝑒𝑥 linear
d) 𝑦 𝑦′′ − 2𝑦′ = 𝑥 não-linear
e)
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
+ 𝑦2 = 0 não-linear
Exercícios
Referência Básica:
Página 11 1 a 10
Solução para uma Equação Diferencial
É qualquer função 𝑓, definida em um intervalo 𝐼, que satisfaz a equação
diferencial.
Exemplo 1
Verifique que 𝑦 =
𝑥4
16
é uma solução para a equação diferencial não-linear
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥𝑦 ൗ
1
2
no intervalo −∞,+∞ .
Exemplo 2
Verifique se a função 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 é uma solução para a equação linear
𝑦" − 2𝑦′ + 𝑦 = 0
no intervalo −∞,+∞ .
Exemplo 3
As equações diferenciais de primeira ordem
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
+ 1 = 0 e (𝑦′)2+𝑦2 + 4 = 0
não possuem soluções. Por quê?
Soluções explícitas e implícitas
Se a solução de uma equação diferencial pode ser escrita na forma 𝑦 = 𝑓(𝑥),
trata-se de uma solução explícita. Uma relação 𝐺 𝑥, 𝑦 = 0 é uma solução
implícita.
Exemplo 4
Para −2 < 𝑥 < 2, a relação 𝑥2 + 𝑦2 − 4 = 0 é uma solução implícita para a
equação diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑦
Número de soluções
Uma equação diferencial geralmente possui infinitas soluções.
Exemplo 5
Para qualquer valor de 𝑐, a função 𝑦 =
𝑐
𝑥
+ 1 é uma solução da equação
diferencial de primeira ordem
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 1
no intervalo 0,+∞ .
Exemplo 6
As funções 𝑦 = 𝑐1 cos 4𝑥 e 𝑦 = 𝑐2 sen 4𝑥, em que 𝑐1e 𝑐2 são constantes
arbitrárias, são soluções para a equação diferencial
𝑦" + 16𝑦 = 0
A soma de duas soluções também é solução de uma EDO.
Exemplo 7
Encontre algumas soluções para a equação diferencial linear
𝑦" − 𝑦 = 0
Exercícios
Referência Básica:
Página 11 11 a 21 (ímpares)