Lista P3

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Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas
Departamento de Matemática
4a Lista - MAT146 - Cálculo I 2020/4
1) Um fabricante de caixas de papelão de base quadrada deseja fazer caixas abertas de pedaços de papelão de 12 m de lado,
cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados. Encontre o comprimento do lado do quadrado que se
deve cortar para obter uma caixa cujo volume seja o maior posśıvel.
2) Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio, e não se exige cerca ao longo do rio. Se o material da
cerca custa R$ 2, 00 por metro para os extremos e R$ 3, 00 por metro para o lado paralelo ao rio, encontre as dimensões
do campo de maior área posśıvel que pode ser cercado com um custo de R$ 480, 00.
3) Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio reto que mede 3 km de largura. O ponto C está na
mesma margem que B, mas a 6 km, rio abaixo, de B. Uma companhia telefônica deseja estender um cabo de A a C. Se o
custo por km de cabo é 25% mais caro sob a água do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia?
4) (Lata ciĺındrica) Se uma lata fechada de estanho, de volume espećıfico, deve ter a forma de um cilindro circular reto,
encontre o quociente da altura pelo raio da base se em sua fabricação será usada a menor quantidade de material posśıvel.
5) Uma folha de papel para um cartaz tem 1 metro quadrado de área. As margens superior e inferior valem 10 cm e as
margens laterais 5 cm. Achar as dimensões da folha, sabendo que a área impressa é máxima.
6) Uma ilha está situada no ponto A, 8 km de distância da praia medidos a partir do ponto B mais próximo num trecho
reto de litoral. Uma mulher na ilha deseja ir ao ponto C, 9 km praia abaixo a contar do ponto B. A mulher pode alugar
um barco por R$ 1, 00 o quilômetro e viajar por mar até um ponto P situado entre B e C, e dáı tomar um táxi a R$
0, 60 o quilômetro e viajar por uma estrada retiĺınea de P a C. Calcule a rota menos dispendiosa do ponto A ao ponto C.
7) Deve-se construir um canteiro com a forma de um setor circular. Sabendo que dispomos de 360 m de fio para cercá-lo
com três voltas, qual deve ser o raio do setor para que a área do canteiro seja a maior posśıvel? Qual é essa área máxima?
8) Uma pessoa se acha em um bote a 2 km de distância do ponto mais próximo em uma praia retiĺınea e deseja-se atingir
uma casa a 6 km praia abaixo. Se a pessoa pode remar a razão de 3 km/h e andar a razão de 5 km/h, determine o tempo
mı́nimo que levará para atingir a casa.
9) Uma pessoa deseja construir e cercar um jardim retangular com 400 m2. Ela necessita saber a largura do terreno de tal
forma que a quantidade de material para cercá-lo seja mı́nimo.
10) De todos os retângulos com área 10000 m2, qual é o que tem menor peŕımetro?
11) De todas as latas ciĺındricas de volume 300 m3, qual a que pode ser fabricada com menor quantidade de material?
12) Dois postes verticais de 2 m e 2, 5 m de altura distam 3 m um do outro. Determine o comprimento do menor cabo que,
partindo do topo de um poste, toque o solo e termine no topo do outro poste.
13) Faça a antidiferenciação. Verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
a)
∫
3x4 dx
b)
∫
1
x3
dx
c)
∫
5u
3
2 du
d)
∫
2
3
√
x
dx
e)
∫
6t2
√
t dt
f)
∫
4x3 + x2 dx
g)
∫
y3(2y2 − 3) dy
h)
∫
3− 2t− t2 dt
i)
∫
8x4 + 4x3 − 6x2 − 4x+ 5 dx
j)
∫ √
x(x+ 1) dx
k)
∫
x
3
2 − x dx
l)
∫
2
x3
+
3
x2
+ 5 dx
m)
∫
x2 + 4x− 4√
x
dx
1
n)
∫
3
√
x+
1
3
√
x
dx
o)
∫
e−x dx
p)
∫
x2 ln 100 dx
14) Determine a função y = y(x), y ∈ R tal que
a)
dy
dx
= 3x− 1 , y(0) = 2
b)
dy
dx
= x3 − x+ 1 , y(1) = 1
c)
d2y
dx2
= e−x , y(0) = 0 e y′(0) = −1
15) Calcule:
a)
∫
e3x dx
b)
∫
x+ 3ex dx
c)
∫
cos(3x) dx
d)
∫
sin(5x) dx
e)
∫
e2x + e−2x dx
f)
∫
x2 + sinx dx
g)
∫
3 + cosx dx
h)
∫
ex + e−x
2
dx
i)
∫
1
e3x
dx
j)
∫
sin(3x) + sin(5x) dx
k)
∫
1
x
+ ex dx, x > 0
l)
∫
sin
x
2
dx
m)
∫
cos
x
3
dx
n)
∫
3
√
x+ cos(3x) dx
o)
∫
x+ e3x dx
16) Resolva:
a)
∫
(3x− 2)3 dx
b)
∫ √
3x− 2 dx
c)
∫
1
3x− 2
dx
d)
∫
1
(3x− 2)2
dx
e)
∫
x sin(x2) dx
f)
∫
xex
2
dx
g)
∫
x2ex
3
dx
h)
∫
sin(5x) dx
i)
∫
x3 cos(x4) dx
j)
∫
cos(6x) dx
k)
∫
cos3(x) sin(x) dx
l)
∫
sin5(x) cos(x) dx
m)
∫
2
x+ 3
dx
n)
∫
5
4x+ 3
dx
o)
∫
x
1 + 4x2
dx
p)
∫
3x
5 + 6x2
dx
q)
∫
x
(1 + 4x2)2
dx
r)
∫
x
√
1 + 3x2 dx
s)
∫
ex
√
1 + ex dx
t)
∫
1
(x− 1)3
dx
u)
∫
sin(x)
cos2(x)
dx
v)
∫
xe−x
2
dx
17) Calcule:
2
a)
∫
xex dx
b)
∫
x sin(x) dx
c)
∫
x2ex dx
d)
∫
x ln(x) dx
e)
∫
ln(x) dx
f)
∫
x2 ln(x) dx
g)
∫
x sec2(x) dx
h)
∫
x(ln(x))2 dx
i)
∫
(ln(x))2 dx
j)
∫
xe2x dx
k)
∫
ex cos(x) dx
l)
∫
e−2x sin(x) dx
m)
∫
x3ex
2
dx
n)
∫
x3 cos(x2) dx
o)
∫
e−x cos(2x) dx
p)
∫
x2 sin(x) dx
18) Resolva as integrais.
a)
∫
sin2 x cosx dx
b)
∫
sin2 x cos3 x dx
c)
∫
cos3 x sin3 x dx
d)
∫
sinx
√
cosx dx
e)
∫
sin 2x
√
1 + cos2 x dx
f)
∫
sin 2x
√
5 + sin2 x dx
g)
∫
sin3 x dx
h)
∫
cos5 x dx
i)
∫
tan3 x sec2 x dx
j)
∫
tanx sec2 x dx
k)
∫
tanx sec3 x dx
l)
∫
tan3 x sec4 x dx
m)
∫
sinx
√
3 + cosx dx
n)
∫
sinx sec2 x dx
19) Calcule:
a)
∫ 1
0
(x+ 3) dx
b)
∫ 1
−1
(2x+ 1) dx
c)
∫ 4
0
1
2
dx
d)
∫ −2
−1
(
1
x2
+ x) dx
e)
∫ 4
0
√
x dx
f)
∫ 4
1
1√
x
dx
g)
∫ 8
0
3
√
x dx
h)
∫ 2
1
1 + x
x3
dx
i)
∫ 1
0
(x+ 1)2 dx
j)
∫ 4
1
1 + x√
x
dx
20) Calcule a integral definida usando os resultados:
∫ 2
−1 x
2 dx = 3,
∫ 2
−1 x dx =
3
2 ,
∫ π
0
sinx dx = 2,
∫ π
0
cosx dx = 0,∫ π
0
sin2 x dx = 12π.
a)
∫ 2
−1
(2x2 − 4x+ 5) dx
b)
∫ 2
−1
(x− 1)(2x+ 3) dx
c)
∫ π
0
(2 sinx+ 3 cosx+ 1) dx
d)
∫ π
0
(cosx+ 4)2 dx
3
21) Determine quais dos śımbolos ≥ ou ≤ devem ser inseridos onde indicado.
a)
∫ 3
−1
(2x2 − 4) dx. . . . . . . . .
∫ 3
−1
(x2 − 6) dx
b)
∫ 3
4
√
6− x dx. . . . . . . . .
∫ 3
4
√
x− 2 dx
22) Calcule:
a)
∫ 2
1
x2 + 1
x2
dx
b)
∫ 1
01
x
(x2 + 1)3
dx
c)
∫ 10
1
√
5x− 1 dx
d)
∫ 0
−2
3x
√
4− x2 dx
e)
∫ 2
1
x2
√
x3 + 1 dx
f)
∫ 1
0
2xex
2
dx
g)
∫ 1
−1
x3ex
4
dx
h)
∫ π
2
0
sin2 x dx
23) Desenhe o conjunto A dado e calcule a área.
a) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 3, pelo eixo 0x e pelo gráfico de y = x3.
b) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 4, y = 0 e pelo gráfico de y =
√
x.
c) A é a região do primeiro quadrante, limitada pela curva y = x
√
x2 + 5 pelo eixo x e pela reta x = 2.
d) A é a área da região limitada pela curva y = x2 − 4x pelo eixo x e pelas retas x = 1 e x = 3.
24) Desenho o conjunto A dado e calcule a área.
(a) A é o conjunto de todos (x, y) tais que x2 − 1 ≤ y ≤ 0.
(b) A é o conjunto de todos (x, y) tais que 0 ≤ y ≤ 4− x2.
(c) A é a região plana compreendida entre o eixo 0x e o gráfico de y = x2 − x, com 0 ≤ x ≤ 2.
(d) A é a região do plano limitado pela reta y = 0 e pelo gráfico de y = 3− 2x− x2, com −1 ≤ x ≤ 2.
25) Verifique que y =
√
1 + x2
1− x2
é uma solução da equação diferencial
(xy2 + x) + (x2y − y)y′ = 0.
26) Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais
a) y′ =
x2
y
b) y′ =
x2
y + yx3
c) y′ + y2 senx = 0
d) y′ =
3x2 − 1
3 + 2x
e) y′ = (cos2 x)(cos2(2y))
f)
dy
dx
=
x− e−x
y + ey
g)
dy
dx
=
x2
1 + y2
4