Avaliação Matematica Financeira

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Resposta ao Procedimento para elaboração do Trabalho de Disciplina:  
1- Os juros compostos são usados em rendimentos onde os juros são calculados em cima de um montante acumulado, chamado juros sobre juros (rendimento exponencial). As variáveis que os investidores devem ficar atentos é o tempo e a rentabilidade, onde quanto maiores, melhor serão os retornos da aplicação pois a rentabilidade se dá no montante onde já sofreu juros em cima dos períodos anteriores. 
Fórmula e variáveis usadas para Juros Compostos:
M = C (1 + i) t
Montante (M): é o valor total da operação, ou seja, valor inicial + juros;
Principal (P): 	é o valor inicial da operação. Na fórmula para calcular juros simples, essa variável é chamada de capital (C);
Taxa (i): 	é o fator que será usado para multiplicar o capital. Na fórmula, é representado pela letra i, que vem da expressão em inglês interest rate, isto é, a taxa de juros; e
Tempo (t): 	é o período pelo qual a taxa incidirá sobre o valor inicial. Na fórmula dos juros simples, é representado pela letra t.
 
Valor Futuro (FV): 	O valor futuro é o preço que um determinado montante terá em uma data futura, se for investido, que vem da expressão em inglês, future value;
Valor Presente (PV): 	Define quanto um montante vale atualmente (do inglês, present value) - em uma empresa equivale ao somatório dos fluxos de caixa futuros descontados por uma taxa de desconto que represente a percepção de risco, ou a exigência de retorno;
Taxa (i): 	taxa de juros (do inglês, interest rate); e
Tempo (n): 	tempo da aplicação (como se trata de um valor exponencial, ele é expresso com a letra n).
Situação problema:
Sobre a aplicação de Juros Compostos, regime de capitalização mais utilizado no sistema financeiro, e conhecido como: “JUROS SOBRE JUROS”, vamos resolver as seguintes situações:
Situação 1
Uma pessoa aplicou um capital de R$ 50.000,00 durante 40 meses no regime de capitalização composto. Sabendo que nos 10 primeiros meses a taxa foi de 2% a.m, nos 15 meses seguintes foi de 1,5% a.m e nos últimos 15 meses foi de 2,5% a.m, qual o valor de resgate deste capital aplicado?
- Cálculo para descobrir o montante ao final do 1º ao 10º mês com taxa de 2% a.m.
M = C (1 + i) t
M = 50.000 (1 + 0,02)10 = 50.000 (1,02)10 = 50.000 (1,218994) = R$ 60.949,72
- Cálculo para descobrir o montante ao final do 11º ao 25º mês com taxa de 1,5% a.m.
M = C (1 + i) t
M = 60.949,72 (1 + 0,015)15 = 60.949,72 (1,015)15 = 60.949,72 (1,250232)=R$ 76.201,29
- Cálculo para descobrir o montante ao final do 26º ao 40º mês finais com taxa de 2,5% ao mês.
M = C (1 + i) t
M = 76.201,29 (1 + 0,025)15 = 76.201,29 (1,025)15 = 76.201,29 (1,448298) = R$110.362,17
Resposta:
Aplicando o capital inicial de R$ 50.000,00 no regime de capitalização composto por 40 meses terá um rendimento de R$ 60.362,17, com valor de resgate de R$ 110.362,17.
Situação 2
A Concessionário Vende Tudo S/A está oferecendo um automóvel por R$ 35.000,00 à vista, ou entrada de R$ 20% e mais uma parcela de R$ 31.000,00, no fim de 5 meses. Sabendo-se que outra opção seria aplicar esse capital à taxa de 3,5% ao mês no mercado financeiro, determinar a melhor opção para o interessado que possua os recursos disponíveis, comprá-lo pelo método do valor presente e pelo método do valor futuro.
- Preço à vista – R$35.000,00
- A prazo - 	Entrada de 20% de R$ 35.000 = R$35.000 x 0,2 = R$ 7.000,00 + R$ 31.000,00 (após 5 meses)
- Taxa – 3,5%
· Valor presente (PV): 
PV = FV / (1+i)n
PV = 7.000 + 31.000 = 7.000 + 31.000 = 7.000 + 26.101,17 = R$ 33.101,17
	 1,0355	1,187686
· Valor futuro (FV): 
FV = PV . (1 + i)n 
FV = 7000 x 1,0355 + 31.000 = 7000 x 1,187686 + 31.000 = 8.313,80 + 31.000 = R$ 39.313,80
Aplicação no mercado financeiro do restante do valor a prazo 
31.000 x 1,0355 = 31.000 x 1,187686 = R$ 36.818,27
36.818,27 - 31.000,00 = R$ 5.818,27 (terá um ganho aplicando no mercado financeiro)
Resposta:
A melhor opção é comprar a prazo pelo método do valor presente.
Situação 3
Um investidor resgatou a importância de R$ 255.000,00 nos bancos Alfa e Beta. Sabe-se que resgatou 38,55% do Banco Alfa e o restante no banco Beta, com as taxas mensais de 8% e 6%, respectivamente. O prazo de ambas as aplicações foi de 1 mês. Quais foram os valores aplicados nos Bancos Alfa e Beta?
Total do Resgate – R$ 255.000,00
Valor de resgate no Banco Alfa – 38,55% – R$255.000 x 0,3855 = R$ 98.302,50
Valor de resgate no Banco Beta - 61,45% – R$255.000 x 0,6145 = R$ 156.697,50
M = montante no final 
C = capital inicial	
i = taxa de juros do período	(Alfa = 8% - Beta = 6%)		
t = número do período	(1 mês)
	
· Cálculo do Capital Inicial investido no Banco ALFA:
M = C (1 + i) t
98.302,50 = C (1 + 0,08)1
C = 98.302,50
 (1,08) 1
C α = R$ 91.020,83
· Cálculo do Capital Inicial investido no Banco BETA:
M = C (1 + i) t
156.697,50 = C (1 + 0,06)1
C = 156.697,50
 (1,06) 1
C β = R$ 147.827,83
Total do Capital Inicial → R$ 91.020,83 + R$ 147.827,83 = R$ 238.848,66
Resposta:
Valor aplicado no Banco Alfa = R$ 91.020,83
Valor aplicado no Banco Beta = R$ 147.827,83
Situação 4
Quantos dias serão necessários para que um investidor consiga triplicar uma aplicação financeira de 6% ao ano, pelo regime de juros compostos? E quantos meses seriam necessários para duplicar um capital investido a uma taxa de juros compostos de 3,5% ao semestre?
· Cálculo da Aplicação Financeira
M = C (1 + i) t
M = 3 x C1
n1 = ? dias
i1 = 0,06 ao ano.
3 C1 = C1 x (1 + 0,06) n1 (corta os C1)
1,06 n1 = 3 (expoente com numero deve calcular o log)
log 1,06 n1 = log 3
n1 x log 1,06 = log 3
n1 = log 3 = 0,477121 = 18,85 x 365 dias 6.881 dias
	log 1,06 0,025306
· Cálculo do Investimento 
M = C (1 + i) t
M2 = 2 x C2
n2 = ? dias
i2 = 0,035 ao semestre
2 C2 = C2 x (1 + 0,035)n2 (corta os C2)
1,035 n2 = 2
log 1,035 n2 = log 2
n2 = log 2 = 0,302029 20,15 x 6 meses = 120,9 121meses 
	log 1,035 0,14940
Resposta: 	Para triplicar uma aplicação financeira a 6% ao ano seráo necessários 6.881 dias e para duplicar um capital a 3,5% ao semestre serão necessários 121 meses.
Situação 5
Um investidor aplicou R$100.000,00 em um CDB prefixado e resgatou R$110.000,00 após 63 dias úteis. Determine a taxa anual de juros desta aplicação, de acordo com o regime composto de capitalização.
C = 100.000
M = 110.000
t = 63 dias (63 /360) = 0,175 anos
i = x ao ano
M = C (1 + i) t
110.000 = 100.000 x (1+i)0,175
110.000 = (1+i)0,175 (cortar os zeros ficando 1,1)
100.000
1,1 = (1+i)0,175 
O,175√¯1,11 = 1 + i
1,1^ = 1 + i
1,1 5,7142857 = 1 + i
1,723969704 = 1 + i
i = 1,723969704 – 1
i = 0,723969704
Transformar em porcentagem → 0,723969704 x 100 72,40%
Resposta: 
A taxa anual de juros desta aplicação, de acordo com o regime composto de capitalização é de 72,40%