Exercício 1-06-09-2020

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Exercício: ∫ x
x2+x+1
dx
∫ x
x2+x+1
dx . chamando de u=x2+x+1 e du= 2x+1, podemos multiplicar a fração integranda 
por 
2
2
=1 (elemento neutro da multiplicação).
Então:
∫ x
x2+x+1
dx = 
2
2∫
x
x2+x+1
dx = 
1
2∫
2 x
x2+x+1
dx .
Para chegarmos a du= 2x+1, podemos somar e subtrair (1) do numerador, uma vez que ao fazermos 
isso não alteramos o resultado, pois (1-1)=0, e 0 é elemento neutro da adição.
1
2∫
2 x
x2+x+1
dx = 
1
2∫
2 x+1−1
x2+x+1
dx
Podemos, agora separar em duas integrais, já que 2x+1−1=(2 x+1)+(−1)
1
2∫
2 x+1−1
x2+x+1
dx = 
1
2∫
2x+1
x2+x+1
dx +
1
2∫
−1
x2+x+1
dx ou
1
2∫
2 x+1−1
x2+x+1
dx = 
1
2∫
2x+1
x2+x+1
dx – 
1
2∫
1
x2+x+1
dx
I = I1 - I2
Resolvendo cada integral separadamente:
I1 = 
1
2∫
2x+1
x2+x+1
dx = 
1
2∫
du
u
= 
1
2
ln|u| .
OBS: u=x2+x+1 e du=2x+1
Substituindo: 
I1 = 
1
2
ln|x2+ x+1|
E
I2 = 
1
2∫
1
x2+x+1
dx
vamos lembrar que (a+b)2=a2+2ab+b2 . 
Se 2ab=1 x e a=x , então b=1
2
. Logo b2= 1
4
Assim, o numerador pode ser escrito da seguinte forma:
1
2∫
1
x2+x+1
dx = 
1
2∫
1
x2+x+( 1
4
)−( 1
4
)+1
dx .
Mas: x2+x+ 1
4
 = (x+ 1
2
)
2
E 
−1
4
+1=−1+4
4
= 
3
4
I2 = 
1
2∫
1
[x+( 1
2
)]
2
+( 3
4
)
dx
Observe que se elevarmos o segundo termo ao quadrado e extrairmos a raiz, não alteramos o 
resultado. Então:
1
2∫
1
[x+( 1
2
)]
2
+( 3
4
)
dx = 
1
2∫
1
[x+( 1
2
)]
2
+[√( 34 )]
2
dx
Fazendo:
(x+ 1
2
)
2
=u e [√( 34 )]
2
=a temos:
1
2∫
1
[x+( 1
2
)]
2
+[√( 34 )]
2
dx = 
1
2∫
1
[u2]+[a]2
dx = 
Relembrando:
∫ 1
[u2]+[a]2
dx = 
1
a
arctg
u
a
Então: 
1
2∫
1
[u2]+[a]2
dx = (1
2
) 1
[√( 34 )]
arctg
x+( 1
2
)
[√( 34 )]
= (1
2
) 1
[ √(3)
√(4)
]
arctg
x+( 1
2
)
[ √(3)
√(4)
]
(1
2
) 1
[ √(3)
√(4)
]
arctg
x+( 1
2
)
[ √(3)
√(4)
]
= (1
2
) 1
[ √(3)
2
]
arctg
x+( 1
2
)
[ √(3)
2
]
=
(1
2
) 1
[ √(3)
2
]
arctg
x+( 1
2
)
[ √(3)
2
]
= 
1
√(3)
arctg
2(x+(1
2
))
√(3)
= √3
√(3) .√(3)
arctg
2(x+( 1
2
))
√(3)
= …
I2= 
√3
√(3) .√(3)
arctg
2(x+( 1
2
))
√(3)
= √3
(3)
arctg
2x+1
√(3)
Por fim: I = I1 - I2
∫ x
x2+x+1
dx = 
1
2
ln|x2+ x+1| – √3
(3)
arctg
2x+1
√(3)
+ C