AULA-PRATICA-DE-INTEGRAIS-DE-LINHA-EM-CAMPOS-VETORIAIS-06-05-2020

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INTEGRAL DE LINHA 
Em matemática, integral de linha ou integral curvilínea é uma integral em que a função 
a ser integrada é calculada ao longo de uma curva. Tal função pode ser um campo escalar 
ou um campo vetorial. O valor do integral de linha é a soma dos valores do campo em 
todos os pontos na curva, ponderado por uma função escalar na curva (geralmente de 
comprimento de arco ou, para um campo de vetores, o produto escalar do campo de 
vetores com um vetor diferencial na curva). As integrais de linha têm importantes 
aplicações, como no cálculo de energia potencial, fluxo do calor e circulação de fluidos. 
Podemos utilizá-la também para encontrar o trabalho feito em um objeto que se move 
através de um campo elétrico ou gravitacional, por exemplo. 
1-Integral de Linha de um campo escalar: 
Se C for uma curva lisa no espaço bi ou tridimensional, então, a integral de linha de f em 
relação a 's' ao longo de C é: 
( ) ( )( ) ( )dttrtrFdrrF
b
aC
'. = onde · é o produto escalar e R : [a, b] → C é uma 
parametrização da curva C de tal modo que r (a) e r (b) são os pontos de extremidade de 
C. 
Em outras palavras, a integral do campo vetorial ao longo de uma curva tem o mesmo 
valor que a integral do componente tangencial do campo vetorial ao longo da curva. Além 
disso, as integrais de linha de campos vetoriais independem da parametrização r em valor 
absoluto, mas eles dependem de sua orientação. Especificamente, uma inversão na 
orientação da parametrização muda o sinal da linha integral. Em um caminho fechado, o 
ponto de partida é igual ao ponto de chegada. 
 
. 
CENTRO UNIVERSITÁRIO SANTO AGOSTINHO – UNIFSA 
NÚCLEO DE APOIO PEDAGÓGICO - NUAPE 
PROF.ESP. GERALDINO DE SOUSA. 
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
 
 
Vejamos alguns exemplos: 
Ex1: Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças ( ) xzkyzjxyizyxF ++=,, 
na partícula que se move ao longo da curva C: r(t) = ti +t²j + t³k ( )10  t 
( )( )
( )( )
( ) ( )
cu
dtdt
dtktjikji
dtktjiktjit
tt
ttttt
tttt
ttttt
.
28
27
28
207
7
5
4
1
7474
74
532
321.
321....
7
0.5
4
0
7
1.5
4
1
7
5
4
1
0
1
0
631
0
663
21
0
453
21
0
3322
=
+
=+==
==+=++
++++
++++












+−





+






+


 
EX2: Calcule C drF. ao longo da curva C. 
a) ( ) xyjiyxF x +=
2
, C: r(t) = 3costi + 2sentj ( ) t0 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
cu
sentdtdu
sentdtdu
dutu
dtsenttdttsentsentt
dttjsentijsentti
tu
u
t
.
3
38
3
19
3
19
3
19
3
19
33
3
3
1919cos
.²cos19²cos8.²cos27
cos23.2.cos2
11
3
0cos19
3
cos19
3
cos19
cos3
33
0
3
2
00
0
2
−
=−−
=−=
=−
−=
===
−=+−
+−



 +
−
















−























 
b)F(x,y) = x²yi + 4j C: r(t) = e
t
i + e
t−
j ( )10  t 
( )( )
( )( ) ( )
=−−+
==−
−
=−=+
+












+−





+





+





+












−
−−
−
−−
−−
4
2
14
2
0
0.2
1
1.222
2
.4.4
.4.
1
2
1
0
1
0
1
0
1
0
21
0
1
0
2
4
2
4
2
4
2
4
2
1
4
2
.1
.1
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
ee
eeeee
eeee
t
t
t
t
tt
dtdtjiji
dtjiji
ttttt
tttt
 
 
c)F(x,y) = 2xyi+(x² + y)j C: r(t) = ti + cos(t)j ( )10  t 
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )dtsentttsentt
dtjtsenijtitt
t
t
 −

−
−++
1
0
2
1
0
2
.coscos.2
1.coscos.2
 
(I) (II) (III) 
( ) ( ) ( )( )dtsentttsentt t − −
1
0
2
.coscos.2 
 
(I) 
( )
( ) 2'
2
=
=
tf
ttf
 
( ) ( )
( ) ( )tsentg
ttg
=
= cos'
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
 
+=
−=
ttsentdttt
dttsentsentdttt
cos2.2cos.2
2.2cos.2
 
 
(II) 
( )
( ) ttf
tf t
2'
2
−=
−=
 
( ) ( )
( ) ( )ttg
tsentg
cos
'
−=
=
 
( ) ( ) ( ) − −= dtttttdttsen tt cos2cos
22
 
( )
( ) 1' =
=
tf
ttf
 
( ) ( )
( ) ( )tsentg
ttg
=
= cos'
 
( ) ( ) ( ) ( )  − −−= dttsentsentttdttsen tt 1.2cos
22
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )−
 −
−−=
+−=
ttsentttdttsen
dttsentsentttdttsen
tt
tt
cos2.2cos
2.2cos
22
22
 
 
 
(III) 
( ) ( )
( )
( )
( )tdu
udutsenu
dttsent
sentu
cos
22
cos
2
2
=
−=−=−=
−


 
 
JUNTANDO AS INTEGRAIS (I) , (II) E (III) TEREMOS: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) =−−+
















−−+−








−−+






−−+






−−−++
2
1
1.21cos1.2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0.0.2cos00.0.2
2
1
1.1.21cos11.1,2
2
.2cos.2
2
cos2.2coscos2.2
1
0
1
0
1
0
sen
sensen
sen
senttsen
sen
sensen
sent
tsenttttsent
sent
ttsenttttttsent