alga 2 Lista de exercícios 1

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1a Lista de exerćıcios - Tipos de Matrizes e Operações com
Matrizes
Exerćıcio para Entregar: 12
1 Indique explicitamente a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)3×3 tal que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖− 𝑗.
2 Determinar 𝑥, 𝑦, 𝑧 e 𝑡 de modo que se tenha(︃
𝑥2 2𝑥 𝑦
4 5 𝑡2
)︃
=
(︃
𝑥 𝑥 3
𝑧 5𝑡 𝑡
)︃
.
3 Seja 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)2×3 a soma das matrizes 𝐴 =
(︃
0 1 2
3 4 5
)︃
e 𝐵 =
(︃
6 7 8
9 10 11
)︃
.
Calcular a soma 𝑐21 + 𝑐22 + 𝑐23.
4 Determinar 𝑥 e 𝑦 de modo que se tenha(︃
𝑦3 3𝑥
𝑦2 4𝑥
)︃
+
(︃
−𝑦 𝑥2
2𝑦 𝑥2
)︃
+
(︃
−1 1
2 2
)︃
=
(︃
5 1
10 −1
)︃
.
5 Resolver a equação matricial 𝑋 − 𝐴−𝐵 = 𝐶, onde
𝐴 =
(︃
1 0
7 2
)︃
, 𝐵 =
(︃
1 5
2 4
)︃
e 𝐶 =
(︃
−1 −2
3 5
)︃
.
6 Obter 𝑋 tal que
𝑋 +
⎛⎜⎝ 14
7
⎞⎟⎠ =
⎛⎜⎝ 57
2
⎞⎟⎠+
⎛⎜⎝ 1−1
2
⎞⎟⎠ .
7 Calcular 𝐴𝐵,𝐵𝐴,𝐴2 e 𝐵2, sabendo que 𝐴 =
(︃
2 1
−4 −2
)︃
e 𝐵 =
(︃
2 1
1 0
)︃
.
8 Resolver as seguintes equações matriciais:
(a)
(︃
1 3
−2 2
)︃(︃
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
)︃
=
(︃
5 7
−5 9
)︃
.
(b)
⎛⎜⎝ 𝑎 𝑏 𝑐𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
⎞⎟⎠
⎛⎜⎝ 1 1 10 1 1
0 0 1
⎞⎟⎠ =
⎛⎜⎝ 1 0 01 1 0
2 1 1
⎞⎟⎠ .
9 Determinar a matriz 𝑋 tal que:
(a) 𝑋 +
(︃
1 2
5 1
)︃
=
(︃
0 0
2 3
)︃𝑡
, (b) 3𝑋 𝑡 =
(︃
1 1
2 7
)︃
−
(︃
1 4
7 2
)︃
.
1
10 Provar que se 𝐴 e 𝐵 são matrizes simétricas de ordem 𝑛, então 𝐴 + 𝐵 também é
simétrica.
11 Dê um exemplo de cada tipo de matriz abaixo:
(a) Matriz coluna; (b) Matriz quadrada; (c) Matriz identidade;
(d) Matriz triangular superior; (e) Matriz simétrica;
12 Sejam 𝐴 =
(︃
4 3 0
5 0 1
)︃
, 𝐵 =
(︃
1 3 4
2 0 −1
)︃
e 𝐶 =
(︃
7 3 −4
8 0 3
)︃
. Calcule:
(a) 3𝐴− 1
2
𝐵 (b) 𝑥 e 𝑦 tais que 𝑥𝐴− 3𝑦𝐵 = 𝐶
(c) 𝐵𝑡 (d) 𝐴 ·𝐵𝑡
2