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21 � Exercícios propostos 21) Calcular dy da função 2 ( ) xy f x e−= = no ponto 0 0x = para 0,01x∆ = . 22) Obtenha a diferencial de ( ) 1 x y f x x = = − no ponto 0 2x = para 0,1x∆ = . 23) Seja a função 2( ) 5y f x x x= = − . Calcular y∆ e dy para 0 1x = − e 0,01x∆ = . Aplicações: Funções marginais Em Administração e Economia, dada uma função ( )f x , costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em ( )f x por uma pequena variação de x . Chama-se função marginal de ( )f x à função derivada de ( )f x . Assim, a função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante. Nesta seção veremos algumas funções marginais. � Função custo marginal Suponha que ( )C x seja o custo total de produção de x unidades de certo produto, com 0x ≥ e ( ) 0C x ≥ . A função C é chamada de função custo total e temos a seguinte definição. Definição. Se ( )C x é o custo total de produção de x unidades de um produto, então o custo marginal quando 0x x= , é dado por 0'( )C x , caso exista. A função '( )C x é chamada função custo marginal. Assim, pela seção anterior, 0 0 0'( ) ( 1) ( )C x C C x C x≅ ∆ = + − . Portanto, o custo marginal é aproximadamente igual à variação do custo, decorrente da produção de uma unidade adicional, a partir de 0x unidades. Na definição acima, 0'( )C x pode ser interpretada como a taxa de variação do custo total quando 0x x= unidades são produzidas. Exemplo 5.19. Suponhamos que ( )C x seja o custo total de fabricação de x pares de calçados da marca WW dado pela equação 2( ) 110 4 0,02C x x x= + + . Determinar o custo marginal quando 50x = . 22 Resolução: Vamos calcular a derivada da função 2( ) 110 4 0,02C x x x= + + , ou seja, '( ) 4 0,04C x x= + e '(50) 4 0,04 50 6C = + ⋅ = . Assim sendo, a taxa de variação do custo total, quando 50 pares de calçados da marca WW são fabricados, é R$6,00 por par fabricado. O custo de fabricação do qüinquagésimo primeiro par de calçado é '(50) (51) (50)C C C C≅ ∆ = − e ( ) ( )2 2(51) (50) 110 4 51 0,02 51 110 4 50 0,02 (50)C C− = + ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ 366,02 360 6,02= − = Assim, '(50) (51) (50)C C C C≅ ∆ = − = 6,02. Logo, '(50)C é o custo aproximado da produção do qüinquagésimo primeiro par de calçado da marca WW. Portanto, o custo marginal quando 50x = é ( )' 50 6C = . Exemplo 5.20. Consideremos a função custo 3 2( ) 0,02 0, 4 400 200C x x x x= − + + , determinar o custo marginal para 20x = . Resolução: Inicialmente, vamos calcular a derivada da função 3 2( ) 0,02 0, 4 400 200C x x x x= − + + , ou seja, 2'( ) 0,06 0,8 400C x x x= − + e 2'(20) 0,06 (20) 0,8 20 400 408C = ⋅ − ⋅ + = . Como '(20) (21) (20)C C C C≅ ∆ = − , vem ( )3 2'(20) 0,02 (21) 0,4 (21) 400 21 200C ≅ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ( )3 20,02 (20) 0,4 (20) 400 20 200− ⋅ − ⋅ + ⋅ + 8.608,82 8.200 408,82≅ − = . Logo, '(20)C é o custo aproximado da produção do vigésimo primeiro item. Portanto, o custo marginal quando 20x = é '(20) 408C = . 23 � Função receita marginal Suponha que ( )R x seja a receita total obtida pela venda de x unidades de um produto e temos a seguinte definição. Definição. Se ( )R x é a receita obtida quando x unidades de um produto são demandadas, então a receita marginal, quando 0x x= , é dado por 0'( )R x , caso exista. A função '( )R x é chamada função receita marginal. 0'( )R x pode ser positiva, negativa ou nula, e pode ser interpretada como a taxa de variação da receita total quanto 0x x= unidades são demandadas. Assim, pela seção anterior, 0 0 0'( ) ( 1) ( )R x R R x R x≅ ∆ = + − . Portanto, a receita marginal é aproximadamente igual à variação da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de 0x unidades. Exemplo 5.21. Suponha de ( )R x seja a receita total recebida na venda de x cadeiras da loja BBC, e 2( ) 4 2000R x x x= − + . Calcular a receita marginal para 40x = . Resolução: Inicialmente, vamos calcular a derivada da função 2( ) 4 2000R x x x= − + , ou seja, '( ) 8 2000R x x= − + e '(40) 8 40 2000 1.680R = − ⋅ + = . Como, '(40) (41) (40)R R R≅ − ( ) ( )2 24 41 2000 41 4 (40) 2000 40≅ − ⋅ + ⋅ − − ⋅ + ⋅ 75.276 73.600 1.676≅ − = . Logo, '(40)R é a receita efetiva da venda da quadragésima primeira carteira. Portanto, a receita marginal quando 40x = é '(40) 1.680R = . Exemplo 5.22. Consideremos a função receita total da venda de x estantes dada por 2 ( ) 500 2 x R x x= − . Calcular a receita marginal para 50x = . Resolução: Calculando a derivada da função 2 ( ) 500 2 x R x x= − , temos '( ) 500R x x= − e '(50) 500 50 450R = − = . Como ( )2 251 (50) '(50) (51) (50) 500 51 500.50 2 2 R R R ≅ − = ⋅ − − − 24.199,50 23.750 449,50≅ − = . 24 Logo, '(50)R é a receita efetiva da venda da qüinquagésima estante. Portanto, a receita marginal quando 50x = é '(50) 450R = . � Função produtividade marginal Consideremos uma função de produção P que dependa da quantidade x de um fator de produção variável. Chama-se função produtividade marginal do fator à derivada da função P em relação a x . Exemplo 5.23. A quantidade P (em toneladas) produzida por mês de certo produto e x o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora) é dada pela função produção ( ) 1016P x x= . Determinar a produtividade marginal quando 64x = . Resolução: Vamos calcular a derivada da função ( ) 1016P x x= em relação a x que é a função produtividade marginal do fator trabalho mensal, logo 1 2( ) 1016 1016P x x x= = 1 1 1 2 2 1 2 1 1 508 '( ) 1016 508 508 2 P x x x x x − − ⇒ = = = = , ou seja, 508 '( )P x x = . Calculando a produtividade marginal quando 64x = , temos 508 508 '(64) 63,5 864 P = = = . Assim, se o número de homens-hora passar de 64 para 65, o aumento na produção mensal será, aproximadamente, 63,5 toneladas. Portanto, a produtividade marginal da função produção ( ) 1.016P x x= ⋅ quando 64x = é 63,5 toneladas. Exemplo 5.24. Considere a função produção ( ) 500 6P H H H= ⋅ − , onde P é a produção mensal (em toneladas), e H , o número de homens-hora empregados. Calcular: a) função produtividade marginal, '( )P H ; b) '(100)P . Resolução: a) Vamos calcular a derivada da função P em relação a H , logo 1 2( ) 500 6 500 6P H H H H H= ⋅ − = ⋅ − 1 1 1 2 2 1 '( ) 500 6 250 6 2 P H H H − − ⇒ = ⋅ ⋅ − = ⋅ − 25 1 2 1 250 250 6 6 H H = ⋅ − = − , ou seja, 250 '( ) 6P H H = − . Portanto, a função produtividade marginal é 250 '( ) 6P H H = − . b) Agora, vamos calcular '(100)P , isto é, 250 250 '(100) 6 6 25 6 19 10100 P = − = − = − = . Portanto, '(100) 19P = . � Exercícios Propostos 24) O custo total da produção de x unidades de certo produto é dado por 2 ( ) 800 40 x C x x= − . Calcular: a) a função custo marginal; b) o custo marginal para 1.000x = ; c) o número de unidades produzidas quando o custo marginal é $ 600. 25) Dada a função custo 3 2( ) 0,3 2,5 20 200C x x x x= − + + , obtenha o custo marginal para 50x = e 100x = . 26) Dada a função custo 3 2( ) 0,3 2,5 20 200C x x x x= − + + , obtenha o custo médio para 10x = . Sugestão. O custo médio, CM, é dado por ( )C x CM x = . 27) Dada a função receita 2( ) 3 1.500R x x x= − + obtenha a receita marginal quando 250x = . 28) A receita total recebida da vendade x televisores em cores é dada por 3 ( ) 700 40 x R x x= − . Determinar: a) a função receita marginal; b) a receita marginal quando 20x = . 29) Dada da função receita total 2( ) 20 1500R x x x= − + , determinar a receita média para 10x = .
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