Função Quadrática

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Função Quadrática
2020/2021
Sumário
1 Função Quadrática 3
2 Gráfico da Função Quadrática 4
Função Quadrática 3
1 Função Quadrática
Tendo em vista que já falamos sobre equações do 2° grau, abordando neste tópico o sufici-
ente - mesmo que implicitamente - sobre função quadrática, faremos apenas uma revisão
rápida que já é conhecido. Comecemos então pela seguinte
Definição 1.1
Sejam a, b e c ∈ R, com a 6= 0. Dizemos que uma função f : R → R é quadrática se a
casa valor de x for possı́vel o obter f(x) = ax2 + bx+ c. Em outras palavras
f : R→ R
x 7→ f(x) = ax2 + bx+ c.
Como duas funções f e g são iguais quando tem mesmo domı́nio, contra-domı́nio e
mesma lei de formação, se tivermos que f(x) = g(x), com f(x) = ax2 + bx + c e g(x) =
a ′x2 + b ′x+ c ′, devemos ter que a = a ′, b = b ′ e c = c ′.
Exemplo 1.1
As funções f(x) = x2 + 3x + 2 e g(x) = 2 · 1
2
x2 + 6 · 1
2
x + 4 · 1
2
são funções quadráticas e
são tais que f(x) = g(x).
A função quadrática pode ser expressa na forma canônica:
f(x) = ax2 + bx+ c
= a
(
x2 +
b
a
x
)
+ c
= a
[(
x+
b
2a
)2
−
b2
4a2
]
+ c
= a
(
x+
b
2a
)2
−
b2
4a
+ c
= a
(
x+
b
2a
)2
+
−b2 + 4ac
4a
.
Claro que, se f(x) = 0, temos
a
(
x+
b
2a
)2
=
b2 − 4ac
4a
e
(
x+
b
2a
)2
=
b2 − 4ac
4a2
.
Gráfico da Função Quadrática 4
Em que
x =
−b−
√
b− 4ac
2a
ou x =
−b+
√
b− 4ac
2a
.
É comum escrevermos ∆ = b2 − 4ac, o qual é denominado de discriminante da equação
do 2° grau. Veja que ∆ = b2 − 4ac > 0, caso contrário ax2 + bx+ c = 0 não tem raı́zes reais.
Note que, quando a > 0 a forma canônica da função quadrática mostra que para x =
− b
2a
, f atinge se menor valor, isto é, f(− b
2a
) = −b
2+4ac
4a
. Já quando a < 0 e x = − b
2a
, f atinge
seu maior valor, isto é, f(− b
2a
) = −b
2+4ac
4a
.
A forma canônica de f no ajuda ainda a determinar para quais valores de x e x ′, em que
x 6= x ′, temos f(x) = f(x ′), isto é
(
x+
b
2a
)2
=
(
x ′ +
b
2a
)2
.
Que, por sua vez, ocorre quando
x+ x ′
2
= −
b
2a
;
em outras palavras, quando x e x ′ são equidistantes.
2 Gráfico da Função Quadrática
Veremos nesta seção que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
Definição 2.1
Uma parábola é um conjunto de pontos do plano que equidistam de um ponto F (cha-
mado foco) e uma reta d (chamada diretriz), que não o contém.
A reta perpendicular à diretriz, baixada a partir do foco, chama-se o eixo da parábola.
O ponto da parábola mais próximo da diretriz chama-se o vértice dessa parábola. Ele é
Gráfico da Função Quadrática 5
o ponto médio do segmento cujas extremidades são o foco e a interseção do eixo com a
diretriz. Lembremos que a distância de um ponto a uma reta é o comprimento do segmento
perpendicular baixado do ponto sobre a reta.
Exemplo 2.1
O gráfico da função quadrática f(x) = x2 é a parábola cujo foco é F = (0, 1/4) e a diretriz
é a reta y = −1/4. Com efeito, veja que a distância de um ponto (x, x2) do gráfico de
f(x) = x2 ao foco F = (0, 1/4) é igual a
√
x2 + (x2 − 1/4)2.
A distância do mesmo ponto (x, x2) à reta y = −1/4 é igual a x2 + 1/4.
Abaixo vemos a representações gráfica da discussão do exemplo acima.
Exemplo 2.2
Se a 6= 0, o gráfico da função quadrática f(x) = ax2 é uma parábola cujo foco é F =
(0, 1/4a) e cuja diretriz é a reta y = −1/4a. Basta verificar que para todo x real, vale
x2 +
(
ax2 −
1
4a
)2
=
(
ax2 +
1
4a
)2
,
em que o primeiro membro da igualdade é a distância de P = (x, ax2) do gráfico de
f(x) = ax2 ao foco F = (0, 1/4a) e o segundo membro é o quadrado da distância de P à
diretriz y = −1/4a (veja a figura logo abaixo.). Além do mais, conforme seja a > 0 ou
Gráfico da Função Quadrática 6
a < 0, a parábola f(x) = ax2 tem sua concavidade voltada para cima ou voltada para
baixo.
A figura abaixo é para ilustrar e melhorar o entendimento do próximo exemplo.
Exemplo 2.3
Para todo a 6= 0 e todo m ∈ R, o gráfico da função quadrática f(x) = a(x −m)2 é uma
parábola cujo foco é o ponto F = (m, 1/4a) e cuja diretriz é a reta diretriz y = −1/4a
(veja a figura abaixo). Para se chegar a esta conclusão, tem-se duas opções. Ou se
Gráfico da Função Quadrática 7
verifica que, para todo x ∈ R, vale a igualdade
(x−m)2 +
[
a(x−m)2 −
1
4a
]2
=
[
a(x−m)2 +
1
4a
]2
ou então observa-se simplesmente que o gráfico de f(x) = a(x−m)2 resulta do gráfico
de g(x) = ax2 pela translação horizontal (x, ax2) 7→ (x +m,a(x −m)2) que leva o eixo
x = 0 ao eixo x = m.
A figura abaixo é para ilustrar e melhorar o entendimento do próximo exemplo.
Exemplo 2.4
Dados a,m, k ∈ R, com a 6= 0, o gráfico da função quadrática f(x) = a(x − m)2 + k
é a parábola cujo foco é o ponto F = (m, k + 1/4a) e cuja diretriz é a reta horizontal
y = k−1/4a. A afirmação anterior resulta imediatamente do exemplo anterior, levando
em conta que o gráfico da função quadrática f(x) = a(x −m)2 + k é obtido do gráfico
de g(x) = a(x −m)2 por meio da translação vertical (x, a(x −m)2) 7→ (x, a(x −m)2 + k)
que leva o eixo OX na reta y = k e a reta y = −1/4a na reta y = k− 1/4a.
Vê-se deste último exemplo que o gráfico da função quadrática
f(x) = ax2 + bx+ c
Gráfico da Função Quadrática 8
é uma parábola cuja diretriz é reta é a reta
y =
4ac− b2 − 1
4a
e cujo foto é ponto
F =
(
−b
2a
,
4ac− b2 + 1
4a
)
Exercı́cios
Exercı́cio 2.1. Encontre função quadrática que passa pelos pontos (5, 13) e (3, 5), sendo este
último o vértice da parábola;
Exercı́cio 2.2. Para cada uma das funções quadráticas abaixo, escreva-a na forma f(x) =
a(x−m)2 + k. A seguir, calcule suas raı́zes (se existirem), o eixo de simetria de seu gráfico
e seu valor mı́nimo ou máximo.
a) f(x) = x2 − 8x+ 23;
b) f(x) = 8x− 2x2.
Exercı́cio 2.3. Encontre os valores mı́nimo e máximo assumidos pela função f(x) = x2−4x+3
em cada um dos intervalos abaixo:
a) [1, 4];
b) [6, 10].
Exercı́cio 2.4. Sejam α e β as raı́zes da equação ax2 + bx+ c = 0, em que a 6= 0. Mostre que
α+ β = −b
a
e α · β = c
a
. (Estas relações envolvendo as raı́zes e os coeficientes são chamadas
de relações de Girard.)
Exercı́cio 2.5. Sejam α e β as raı́zes da equação ax2 + bx+ c = 0, em que a 6= 0. Mostre que
a(x− α)(x− β) = 0.
Exercı́cio 2.6. Um corpo arremessado tem sua trajetória representada pelo gráfico da função
quadrática esboçado na figura acima. Qual é a altura máxima atingida por esse corpo?
Gráfico da Função Quadrática 9
Exercı́cio 2.7. A trajetória de um projétil, lançado da beira de um penhasco sobre um
terreno plano e horizontal, é parte de uma parábola com eixo de simetria vertical, como
ilustrado na figura abaixo. O ponto P sobre o terreno, pé da perpendicular traçada a
partir do ponto ocupado pelo projetil, percorre 30 m desde o instante do lançamento ate
o instante em que o projétil atinge o solo. A altura máxima do projétil, de 200 m acima
do terreno, é atingida no instante em que a distância percorrida por P, a partir do instante
do lançamento, é de 10 m. Quantos metros acima do terreno estava o projétil quando foi
lançado?
Exercı́cio 2.8. A função f(x) = kx2 − 8x + k tem como conjunto imagem ] −∞, 0]. Qual é o
valor de k?
Exercı́cio 2.9. Todos os elementos do domı́nio da função f(x) = (m + 1)x2 − 2(m − 2)x +m
têm imagens positivas. Sendo assim, qual é o menor valor inteiro que m pode assumir?
Exercı́cio 2.10. Com 80 metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma área retangular
junto a um rio para confinar alguns animais. Quais devem ser as medidas do retângulo
para que a área cercada seja a maior possı́vel?
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