Fismod 2 Schorodinger

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Mecânica Quântica
Ondulatória –
A equação de 
ShcrÖdinger
Se elementos como partículas estão associados de
alguma forma a uma onda, surge imediatamente a
pergunta: qual a função de onda que representa este
vínculo?
Em 1926 o Físico austríaco Erwin Schrödinger propôs
uma equação diferencial cuja solução proporciona a
tal função de onda. Para uma dimensão esta equação
é dada por:
Os primeiros anos da década de 1920 assistiram a
muitas mudanças na física. Não apenas a natureza
corpuscular da luz foi confirmada por meio de
experimentos, mas descobriu-se experimentalmente
que as partículas materiais possuem propriedades
ondulatórias.
A Mecânica Quântica
Na equação de onda de Schrödinger, o que se chama
de “onda” é a amplitude de onda, que é imaterial –
uma entidade matemática chamada de função de
onda, representada pelo símbolo  (a letra grega psi).
A função de onda dada pela equação de Schrödinger
representa as possibilidades do que pode acontecer
para um determinado sistema.
Por exemplo, a localização de um elétron num átomo
de hidrogênio pode estar em qualquer lugar, desde o
centro do núcleo até uma distância radial afastada. A
posição possível de um elétron e sua posição provável
num dado instante de tempo não são a mesma coisa.
Um físico pode calcular sua posição provável
multiplicando a função de onda por si mesma (||2).
Isso produz uma segunda entidade matemática
chamada função densidade de probabilidade, que nos
dá a probabilidade por unidade de volume, num
determinado instante de tempo, de cada uma das
possibilidades representadas por  .
Embora fosse apropriado simplesmente postular a equação de Schrödinger, podemos ter uma ideia do que esperar
considerando primeiro a equação de onda para fótons, com a velocidade v=c e com a função y(x,t) substituída pelo
campo elétrico (x,t):
A equação de Schrödinger
Da mesma forma que a equação de onda clássica, a equação de Schrödinger relaciona as derivadas da função de onda em relação ao
tempo e em relação à posição. O raciocínio seguido por Schrödinger é um tanto difícil e não é importante para nossos propósitos.
Entretanto, deve ser enfatizado que não podemos derivar a equação de Schrödinger, assim como não podemos derivar as leis do
movimento de Newton. Sua validade, como a de qualquer equação fundamental, está em sua concordância com os resultados
experimentais.
E conforme já estudado em Física 2 e/ou 3, uma solução 
particularmente importante para essa equação é (poderia ser com a 
função seno também): 
Diferenciando a equação acima duas vezes, obtemos:
Ao substituir as derivadas na função obtemos: =kc
(em relação ao tempo)
(em relação à posição)
Na equação anterior, =kc, =2f e k=/2 e lembrando também que 
A equação de Schrödinger
= h/2 , chegamos em E=pc, que é a relação 
entre energia e momentum de um fóton.
Vamos agora aplicar as relações de de Broglie a uma partícula como o elétron e determinar uma relação entre  e k que 
seja análoga a =kc para fótons. Poderemos então usar o resultado para verificar qual deve ser a diferença entre a eq. de 
onda para elétrons e a equação de onda clássica. A energia total de uma partícula de massa m é dada por:
Onde V é a energia potencial. Usando as eq. De de Broglie obtem-se:
E=hf e =h/p
f=/2, p=h/ e =k/2
Observam-se duas diferenças importantes entre a última equação e a equação de onda clássica: a presença da energia potencial V e
o fato de a frequência  não variar linearmente com k. Obtivemos um fator de  ao diferenciar a função e onda harmônica em
relação ao tempo e um fator de k quando diferenciamos a mesma função em relação à posição. Esperamos que a função de onda
para elétrons (ondas de matéria) relacione a primeira derivada em relação ao tempo à segunda derivada em relação à posição e que
também envolva a energia potencial da partícula. A função de onda também deve ser linear em relação a , para poder empregar o
princípio da superposição (interferência ondulatória).
A equação de Schrödinger
Agora estamos prontos para o postulado da equação de Schrödinger para uma partícula de massa m, em uma dimensão:
Propriedades a serem satisfeitas para : 
(i) deve ser unívoca; (ii) deve ser contínua; 
(iii) a primeira derivada deve ser contínua.
produto da função de onda  por seu 
complexo conjugado *
Com o postulado de sua equação diferencial Schrödinger cria
uma teoria ondulatória para a Mecânica Quântica. Sob a luz
dessa teoria, toda grandeza física é representada por um tal
operador aplicado à função de onda determinada pela solução
da equação de Schrödinger. A tabela abaixo reúne as grandezas
físicas básicas na Mecânica e seus respectivos operadores:
A equação de Schrödinger
Para uma dada grandeza física “A”, representada pelo seu
correspondente operador, o valor esperado desta grandeza em dado
intervalo [a,b] é dado por:
A equação de Schrödinger 
independente do tempo
Para nos habituarmos com a Mecânica Quântica de Schrödinger
é necessário o exercício dos procedimentos matemáticos
através de situações clássicas em que a função de onda pode
ser obtida sem maiores problemas. As dificuldades geralmente
estão associadas ao tipo de potencial que a partícula está
submetida. Ou seja, quanto mais elaborado for o potencial,
maior a dificuldade matemática em se encontrar a função de
onda. Um bom alívio no trabalho matemático acontece quando
o potencial é independente do tempo. Outra situação favorável
ocorre quando a função de onda pode ser fatorada em dois
termos: um dependente exclusivamente da posição e outro
exclusivamente dependente do tempo. Nessas situações a
equação original de Schrödinger se transforma em duas
equações diferenciais independentes. Vejamos, seja a equação
de Schrödinger para uma dimensão:
em muitas situações de interesse podemos fatorar (x,t ) de forma que:
então, retornando à equação de Schrödinger, temos:
constante
A equação de Schrödinger 
independente do tempo
equação de Schrödinger independente do tempo
Vamos primeiro resolver a equação da parte 
temporal que não envolve o potencial V:
Solução geral
que também pode ser 
escrita na forma:
Esta é uma função oscilatória de frequência f=C/h.
mas de acordo com a relação de de Broglie, f=E/h,
portanto C=E (energia total da partícula). Então:
Da parte espacial, com potencial V independente do tempo, 
multiplicando por , e substituindo C por E, resulta:
Condições que uma função de onda deve satisfazer:
1)(x) deve existir e satisfazer a eq. De Schrödinger ;
2) (x) e d/dx devem existir e ser contínuas;
3) (x) e d/dx devem ser finitas;
4) (x) e d/dx devem ser unívocas;
5) (x) deve tender a zero com suficiente rapidez, quando 
x→, para que a integral de normalização seja finita.
Poço Quadrado Infinito – O problema da partícula em uma caixa
Exemplos básicos de aplicação da Eq. De Schrödinger
Vamos analisar o problema de uma
partícula presa em uma caixa, que no
caso 1D será representada por duas
“paredes de potencial” infinitas,
localizadas em x =0 e x = L.
Note que, neste caso, a partícula nunca
será encontrada fora da caixa, de forma
que a função de onda que descreve o
sistema (e que será determinada ao
resolvermos a equação de Schrödinger)
deve se anular para x 0 e x L .
Em particular, (x =0) = 0 e (x =L) = 0 são as condições de contorno a
serem satisfeitas para que a solução que venhamos a encontrar tenha
coerência física. Note também que na região de interesse 0  x  L, a
energia potencial do sistema é nula V=U=0. Portanto, da equação de
Schrödinger
Essa eq. Diferencial admite as soluções:
A solução geral será a combinação linear destas
soluções particulares:
sendo que as constantes A’ e B’ podem ser complexas
O passo seguinte é aplicar as condições de contorno 
do problema:
O Poço Quadrado 
Infinito 
O Poço Quadrado 
Infinito 
Para cada um dos estados de energia, há uma função de onda 
correspondente dada pela equação
O Poço Quadrado 
Infinito 
cuja distribuição de probabilidade de se encontrar a partícula 
em uma posição x dentroda caixa é:
Poço quadrado infinito
O poço de potencial finito
O poço de potencial finito
Note que sobraram ainda quatro constantes para
serem determinadas. Três delas são obtidas
impondo a continuidade das funções de onda e
suas derivadas
A última constante será finalmente
determinada impondo a normalização da
função de onda.
Barreira de potencial e tunelamento
A seguir Equação de Schrödinger aplicada ao átomo de hidrogênio