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6/9/2008
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Cap.1 - Introdução
1.2. Equações Diferenciais
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A. Introdução
` Qualquer circuito linear e invariante no tempo pode ser descrito por uma
equação diferencial com coeficientes constantes, tendo a forma geral:
onde y(t) é a saída de interesse, x(t) é a entrada e os termos aj e bj são
coeficientes constantes.
` Como a entrada x(t) é conhecida, então o lado direito da equação é uma
f ã h id d t d i d f ã f t d t d f(t)
xb
dt
dxb...
dt
xdb
dt
xdya
dt
dya...
dt
yda
dt
yd
011m
1m
1mm
m
011n
1n
1nn
n
++++=++++ −
−
−−
−
−
função conhecida do tempo, denominada função forçante, denotada por f(t).
Assim:
)t(fya
dt
dya...
dt
yda
dt
yd
011n
1n
1nn
n
=++++ −
−
−
2
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2
` Se f(t) = 0 tem-se uma equação diferencial homogênea, i.e.
0ya
d
dya...
d
yda
d
yd
011n
1n
1nn
n
=++++
−
−
` Se f(t) ≠ 0 a equação diferencial é dita não-homogênea, tendo a forma:
` Observações:
y
dtdtdt 011n1nn −
)t(fya
dt
dya...
dt
yda
dt
yd
011n
1n
1nn
n
=++++ −
−
−
ç
` Se os coeficientes forem dependentes do tempo, o circuito é variante no
tempo.
` Se os coeficientes dependerem da entrada x(t) ou da saída y(t), o circuito
é não-linear.
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B. Propriedades
1. A equação diferencial homogênea tem n soluções linearmente indepen-
dentes y1(t), y2(t), ..., yn(t). A Solução mais geral é dada por:
)t(k)t(k)t(k)t(
onde os k’s são constantes arbitrárias.
2. A solução da equação diferencial não-homogênea ou solução completa é
dada por:
)t(yk...)t(yk)t(yk)t(y nn2211h +++=
)t(y)t(y)t(y +=
onde:
yh(t): Solução da equação homogênea (basta fazer f(t) = 0).
yp(t): Solução particular da equação não-homogênea (sem ctes arbitrárias).
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)t(y)t(y)t(y ph +=
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C. Solução da Equação Diferencial Homogênea
1. Desenvolvimento:
Admita que soluções tenham a forma onde r é uma constante a ser
determinada. Assim, na equação diferencial, tem-se:
rtey =
Desenvolvendo:
Para isto é preciso que:
0e)ara...rar( rt01
1n
1n
n =×++++ −−
0ea
dt
dea...
dt
eda
dt
ed rt
0
rt
11n
rt1n
1nn
rtn
=++++ −
−
−
Para isto, é preciso que:
Esta é chamada equação característica e suas raízes r1, r2, ..., rn permitem
conhecer as soluções:
5
0ara...rar 01
1n
1n
n =++++ −−
A solução geral da equação homogênea será:
tr
n
tr
2
tr
1 n21 e)t(y ... e)t(y e)t(y ===
ç g q ç g
i) Se
ii) Se
n321 r...rrr ≠≠≠≠
tr
n
tr
3
tr
2
tr
1h n321 ek...ekekek)t(y ++++=
trtrtr n31 kk)tkk()t( +++
n321 r...rrr ≠≠=
iii) Se
6
tr
n
t
3
tr
21h n31 ek...eke)tkk()t(y ++×+=
n4321 r...rr ,rjr ,jr ≠≠≠β−α=β+α=
[ ] trntr321th n3 ek...ek)t(senk)tcos(ke)t(y ++β+β= α
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2. Sistematização:
Seja, por exemplo, determinar a solução da equação homogênea:
dd2
1º passo: Obter a equação característica usando o operador D = d/dt
2º passo: Obter as raízes da equação característica
0y2
dt
dy3
dt
yd
2
2
=++
02D3D 0y)2D3D( 22 =++⇒=++
3º passo: Montar a solução geral
7
1D e 2D 21 −=−=
t
2
t2
1h
tD
2
tD
1h ekek)t(y ekek)t(y 21
−− +=⇒+=
3. Resumo:
Para equações de 1ª e 2ª ordens, tem-se:
Raízes da Eq. Característica Forma da Solução Homogênea
D
D1 ≠ D2
Dt
h ke(t)y =
tD
2
tD
1h 21 ekek(t)y +=
8
D1 = D2 = D
D1 = α+jβ e D2 = α–jβ
( ) Dt21h etkk(t)y ×+=
[ ])t(senk)tcos(ke(t)y 21th β+β= α
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D. Solução da Equação Diferencial Não-Homogênea
` Para se obter a solução particular, pode-se usar o método dos coeficientes a
determinar, que consiste em examinar a função forçante f(t) e estimar a
forma de yp(t). Os coeficientes da solução proposta devem ser ajustados
t ti f à ã dif i l i i l A ipara que esta satisfaça à equação diferencial original. Assim:
Forma da Função Forçante Forma da Solução Particular
a A
at+b At+B
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at+b At+B
btae btAe
)tcos(aou )t(sena φ+ω×φ+ω× )tcos(B)t(senA φ+ω×+φ+ω×
1. Exemplo:
Obter a solução geral da equação diferencial:
dyyd2
` Solução Homogênea:
` S l ã P ti l
ty5
dt
dy2
dt
yd
2 =++
2j1D 2j1D 05D2D 0y)5D2D( 21
22 −−=+−=⇒=++⇒=++
[ ])t2(senk)t2cos(ke)t(y 21th += −
` Solução Particular:
Na equação diferencial ⇒
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BAt(t)y t)t(f p +=⇒=
tB)5(AtB)(At
dt
d2B)(At
dt
d
2
2
=+++++
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Igualando os termos semelhantes:
tB55At2A0 =+++
Logo:
25
2B 
5
1A 
1A5
0B52A −==⇒

=
=+
25
2
5
t(t)y p −=
Assim, a solução geral da equação diferencial é:
11
[ ]
25
2
5
t)t2(senk)t2cos(ke(t)y(t)yy(t) 21
t
ph −++=+= −
E. Determinação das Constantes Arbitrárias
` O número de constantes arbitrárias a serem determinadas corresponde à
ordem da equação diferencial e seu cálculo é feito com base nas condições
iniciais do problema. De um modo geral:
Ordem da Equação Diferencial Condições Iniciais
1ª y(0+)
2ª y(0+) e y’(0+)
` Para exemplificar a determinação das ctes arbitrárias, reconsidere a eq.
2
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Com as condições iniciais: y(0+) = 1/5 e y’(0+) = 0
ty5
dt
dy2
dt
yd
2
2
=++
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Do exemplo anterior, tem-se:
[ ]
25
2
5
t)t2(senk)t2cos(key(t) 21
t −++= −
Assim:
Logo: Resolvendo:
[ ] [ ]
5
1)t2(senk)t2cos(ke)t2cos(k2)t2(senk2e(t)y' 21
t
21
t ++−+−= −−




=+−=+
=−=+
0
5
1kk2)(0y'
5
1
25
2k)y(0
12
1
25
1k 
25
7k 21 ==
Finalmente:
13
 5
25
2
5
t)t2(sen
25
1)t2cos(
25
7ey(t) t −+

 += −