SE 2019 - Aula 22 - Det e Sist Lineares

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Curso Sala de Ensino 
Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
Telefone: 3587-8376 
 
 
 
 1 
 
 
 
Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 22 – Det. e Sist. Lineares 
 
1. (Fgv 2017) As cidades A, B, C e D estão ligadas por uma rodovia, 
como mostra a figura seguinte, feita fora de escala. 
 
 
Por essa rodovia, a distância entre A e C é o triplo da distância entre C e 
D, a distância entre B e D é a metade da distância entre A e B, e a 
distância entre B e C é igual a 5 km. Por essa estrada, se a distância 
entre C e D corresponde a x% da distância entre A e B, então x é 
igual a 
a) 36. b) 36,5. c) 37. d) 37,5. e) 38. 
 
2. (Fgvrj 2017) Um fazendeiro compra semanalmente um saco de farelo de 
milho, um saco de farelo de soja e um saco de farelo de cevada, mas compra 
também um saco extra de um desses três produtos. Quando o saco extra é o 
de milho, o peso total dos quatro sacos é de 110 kg, quando o saco extra é 
o de soja, o peso total dos quatro sacos é de 106 kg e quando o saco extra 
é o de cevada, o peso total dos quatro sacos é de 104 kg. Os pesos dos 
sacos de cada produto são sempre iguais. 
 
Determine o peso de um saco de cada produto. 
 
3. (Enem PPL 2017) Uma pessoa encheu o cartão de memória de sua 
câmera duas vezes, somente com vídeos e fotos. Na primeira vez, conseguiu 
armazenar 10 minutos de vídeo e 190 fotos. Já na segunda, foi possível 
realizar 15 minutos de vídeo e tirar 150 fotos. Todos os vídeos possuem a 
mesma qualidade de imagem entre si, assim como todas as fotos. Agora, essa 
pessoa deseja armazenar nesse cartão de memória exclusivamente fotos, 
com a mesma qualidade das anteriores. 
 
Disponível em: www.techlider.com.br. Acesso em: 31 jul. 2012. 
 
O número máximo de fotos que ela poderá armazenar é 
a) 200. b) 209. c) 270. d) 340. e) 475. 
 
4. (Famema 2017) Uma pessoa comprou 2 pacotes de algodão, 5 rolos de 
gaze e 3 rolos de esparadrapo. Na farmácia onde realizou a compra, o preço 
de um pacote de algodão mais um rolo de gaze e mais um rolo de 
esparadrapo é R$ 16,00. Um rolo de esparadrapo custa R$ 2,00 a 
menos que um pacote de algodão e R$ 1,00 a mais que um rolo de gaze. 
Sabendo que essa pessoa pagou a compra com uma nota de R$ 50,00, o 
valor do troco recebido foi 
a) R$ 0,50. b) R$ 1,00. c) R$ 1,50. d) R$ 2,50. e) R$ 2,00. 
 
5. (Unicamp 2017) Um paralelepípedo retângulo tem faces de áreas 
22 cm , 23 cm e 24 cm . O volume desse paralelepípedo é igual a 
a) 
32 3 cm . b) 
32 6 cm . c) 
324 cm . d) 
312 cm . 
 
6. (Uerj 2017) Observe a matriz: 
3 t 4
3 t 4
+ − 
 
− 
 
Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor real de t deve 
ser igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 
 
7. (Unigranrio - Medicina 2017) Considere as funções 
x 0 x
f(x) 1 x 2
2 1 1
= e 
x 11 4
g(x) 10 11 x .
1 2 0
−
= Desta forma, pode-se afirmar que o ponto de 
interseção das funções f(x) e g(x), é: 
a) (6, 30) b) (9, 90)− c) (9, 72) d) (6, 42)− e) (6, 42) 
 
8. (Famerp 2017) No estudo da dinâmica de populações é comum ser 
necessário determinar o número real λ na equação det(M I) 0,λ− = em 
que M é uma matriz quadrada, I é a matriz identidade, da mesma ordem de 
M, e det representa o determinante da matriz (M I).λ− 
Se, em um desses estudos, tem-se 
0 17 2
M 2 0 0 ,
1 0 0
 
 
=
 
  
 o valor positivo de 
λ é igual a 
a) 5. b) 8. c) 9. d) 12. e) 6. 
 
9. (Mackenzie 2017) Para a matriz quadrada 
cos17 0 sen17
M 1 1 1
sen28 0 cos28
  
 
=
 
   
 o valor do determinante de 
10M é 
a) 
1
16
 b) 
1
32
 c) 
1
64
 d) 
1
128
 e) 
1
256
 
 
10. (Fgvrj 2017) Considere quatro números inteiros positivos. A cada um 
desses quatro números soma-se a média aritmética dos outros três, obtendo-
se como resultados os números 48, 42, 32 e 34. 
Um dos números originais é: 
a) 34 b) 31 c) 30 d) 33 e) 32 
 
11. (Pucrj 2016) Considere o sistema 
2x ay 3
x 2y 1
+ =

+ =
 e assinale a 
alternativa correta: 
a) O sistema tem solução para todo a . 
b) O sistema tem exatamente uma solução para a 2.= 
c) O sistema tem infinitas soluções para a 1.= 
d) O sistema tem solução para a 4.= 
e) O sistema tem exatamente três soluções para a 1.= − 
 
12. (Espm 2016) Ao organizar uma caixa contendo porcas e parafusos num 
total de 95 peças, um marceneiro pretendia encontrar uma porca adequada 
para cada parafuso. Observou, então, que o número de porcas que ficaram 
sem parafusos era 10 vezes maior que o número de parafusos que ficaram 
sem porcas. Sendo N o número de conjuntos porca-parafuso que ele 
conseguiu montar, podemos afirmar que o menor valor e o maior valor que N 
pode assumir são, respectivamente: 
a) 7 e 39 
b) 11 e 42 
c) 7 e 84 
d) 11 e 84 
e) 9 e 42 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
13. (Insper 2016) 
 
 
No plano cartesiano 0xy, equações lineares com duas incógnitas, do tipo 
ax by c,+ = representam retas. Já em relação a um sistema de 
coordenadas cartesianas 0xyz no espaço, equações lineares com três 
incógnitas representam planos. Por exemplo, na figura acima, pode-se ver a 
representação da equação 2x y z 4+ + = em relação ao sistema de 
coordenadas 0xyz. 
 
 
A solução gráfica de um sistema de equações lineares 3 3 é a região do 
espaço correspondente à intersecção dos planos definidos pelas três 
equações lineares que compõem o sistema. Sendo assim, das representações 
gráficas numeradas acima, correspondem a sistemas lineares 3 3 com 
infinitas soluções apenas 
a) 5, 7 e 8. b) 1, 3 e 7. c) 4, 6 e 8. d) 2, 5 e 7. e) 1, 2, 3, 5 e 7. 
 
14. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2016) Juntas, Clara e Josefina realizaram 
certo trabalho, pelo qual Clara recebeu, a cada hora, R$ 8,00 a mais do 
que Josefina. Se, pelas 55 horas que ambas trabalharam, receberam o total 
de R$ 1760,00, a parte dessa quantia que coube a Clara foi 
a) R$ 660,00. b) R$ 770,00. c) R$ 990,00. d) R$ 1100,00. 
 
15. (Enem 2ª aplicação 2016) Na figura estão representadas três retas no 
plano cartesiano, sendo P, Q e R os pontos de intersecções entre as 
retas, e A, B e C os pontos de intersecções dessas retas com o eixo x. 
 
Essa figura é a representação gráfica de um sistema linear de três equações e 
duas incógnitas que 
a) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos P, Q e 
R, pois eles indicam onde as retas se intersectam. 
b) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos pontos A, B e 
C, pois eles indicam onde as retas intersectam o eixo das abscissas. 
c) possui infinitas soluções reais, pois as retas se intersectam em mais de um 
ponto. 
d) não possui solução real, pois não há ponto que pertença simultaneamente 
às três retas. 
e) possui uma única solução real, pois as retas possuem pontos em que se 
intersectam. 
 
16. (Fac. Albert Einstein - Medicin 2016) Saulo sacou R$ 75,00 do caixa 
eletrônico de um Banco num dia em que este caixa emitia apenas cédulas de 
R$ 5,00 e R$ 10,00. De quantos modos poderiam ter sido distribuídas 
as cédulas que Saulo recebeu? 
a) 6 b) 7 c) 8 d) Mais do que 8. 
 
17. (Unicamp 2016) Considere o sistema linear nas variáveis reais x, y, z 
e w, 
x y 1,
y z 2,
w z 3.
− =

+ =
 − =
 
Logo, a soma x y z w+ + + é igual a 
a) 2.− b) 0. c) 6. d) 8. 
 
18. (Espm 2016) Bia é 6 anos mais velha que Carla. Há 2 anos, a idade de 
Bia era o triplo da idade de Ana e daqui a 1 ano seráigual à soma das idades 
de Ana e Carla. Podemos afirmar que: 
a) Ana tem 7 anos. 
b) Bia tem 12 anos. 
c) Ana é mais velha que Carla. 
d) Carla tem 6 anos. 
e) Ana e Carla têm a mesma idade. 
 
19. (Pucsp 2016) 
 
Seja o par ordenado (a, b), em que a e b são números inteiros positivos, 
uma solução da equação mostrada na tira acima. Em quantas das soluções, a 
soma a b+ é um número primo compreendido entre 15 e 30? 
a) Menos do que três. b) Três. c) Quatro. d) Mais do que quatro. 
 
20. (Unicamp 2016) Considere a matriz quadrada de ordem 3, 
cosx 0 sen x
A 0 1 0 ,
sen x 0 cosx
− 
 
=
 
  
 onde x é um número real. 
Podemos afirmar que 
a) A não é invertível para nenhum valor de x. 
b) A é invertível para um único valor de x. 
c) A é invertível para exatamente dois valores de x. 
d) A é invertível para todos os valores de x. 
 
21. (Uerj 2016) Considere uma matriz A com 3 linhas e 1 coluna, na qual 
foram escritos os valores 1, 2 e 13, nesta ordem, de cima para baixo. 
Considere, também, uma matriz B com 1 linha e 3 colunas, na qual foram 
escritos os valores 1, 2 e 13, nesta ordem, da esquerda para a direita. 
Calcule o determinante da matriz obtida pelo produto de A B. 
 
 
 
 
 3 
 
 
 
22. (Enem PPL 2015) Um técnico precisa consertar o termostato do aparelho 
de ar-condicionado de um escritório, que está desregulado. A temperatura T, 
em graus Celsius, no escritório, varia de acordo com a função 
T(h) A B sen (h 12) ,
12
π 
= + − 
 
 sendo h o tempo, medido em horas, a 
partir da meia-noite (0 h 24)  e A e B os parâmetros que o técnico 
precisa regular. Os funcionários do escritório pediram que a temperatura 
máxima fosse 26 C, a mínima 18 C, e que durante a tarde a 
temperatura fosse menor do que durante a manhã. 
 
Quais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos funcionários 
seja atendido? 
a) A 18 e B 8= = b) A 22 e B 4= = − c) A 22 e B 4= = 
d) A 26 e B 8= = − e) A 26 e B 8= = 
 
23. (Mackenzie 2015) Um teste de matemática tem questões valendo 1 
ponto, 2 pontos e 3 pontos. Se um estudante obteve 55 pontos em 30 
questões desse teste e acertou 5 questões de 2 pontos a mais do que o 
número de questões de 1 ponto que ele acertou, o número de questões de 
3 pontos, respondidas corretamente por ele, foi 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
24. (Enem PPL 2015) Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões 
dará um prêmio de R$20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o 
alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo deverá pagar R$10,00. 
Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros e, 
ao final, recebeu R$100,00. 
Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo? 
a) 30 b) 36 c) 50 d) 60 e) 64 
 
25. (Unesp 2015) Em uma floricultura, os preços dos buquês de flores se 
diferenciam pelo tipo e pela quantidade de flores usadas em sua montagem. 
Quatro desses buquês estão representados na figura a seguir, sendo que três 
deles estão com os respectivos preços. 
 
 
 
De acordo com a representação, nessa floricultura, o buquê 4, sem preço 
indicado, custa 
a) R$ 15,30. b) R$ 16,20. c) R$ 14,80. d) R$ 17,00. e) R$ 15,50. 
 
26. (Fgv 2014) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma sociedade com um 
capital de R$ 100.000,00. B entrou com uma quantia igual ao dobro da 
de A, e a diferença entre a quantia de C e a de A foi R$ 60.000,00. 
O valor absoluto da diferença entre as quantias de A e B foi: 
a) R$ 10 000,00 b) R$ 15 000,00 c) R$ 20 000,00 
d) R$ 25 000,00 e) R$ 30 000,00 
 
27. (Espm 2014) Se a matriz 
3 x
4 x 1
 
 
+ 
for multiplicada pelo valor do seu 
determinante, este ficará multiplicado por 49. Um dos possíveis valores de 
x é: 
a) 5 b) –3 c) 1 d) –4 e) 2 
 
 
28. (Uerj 2013) A ilustração abaixo mostra seis cartões numerados 
organizados em três linhas. Em cada linha, os números estão dispostos em 
ordem crescente, da esquerda para a direita. Em cada cartão, está registrado 
um número exatamente igual à diferença positiva dos números registrados 
nos dois cartões que estão imediatamente abaixo dele. Por exemplo, os 
cartões 1 e Z estão imediatamente abaixo do cartão X. 
 
 
Determine os valores de X, Y e Z. 
 
29. (Enem 2013) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados 
de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz 
amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde 
permaneça acesa igual a 
2
3
 do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A 
luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y 
segundos. 
Qual a expressão que representa a relação entre X e Y? 
a) 5X – 3Y + 15 = 0 b) 5X – 2Y + 10 = 0 c) 3X – 3Y + 15 = 0 
d) 3X – 2Y + 15 = 0 e) 3X – 2Y + 10 = 0 
 
30. (Mackenzie 2013) Sendo senx cos xA
cos x senx
=
−
 e 2 2
log 256 log 0,25
B 1 1
2 4
=
 
números reais, o valor da expressão 1A B−−  é 
a) 3− b) 
1
3
− c) 
1
5
− d) 1 e) 5 
 
31. (Espm 2012) Carlinhos possui certa quantidade de bolinhas de gude e 
algumas latinhas onde guardá-las. Ao colocar 4 bolinhas em cada lata, 
sobraram 2 bolinhas, mas quando colocou 5 bolinhas em cada lata, a última 
ficou com apenas 2 bolinhas. Podemos afirmar que todas as latas ficariam 
com o mesmo número de bolinhas se ele tivesse: 
a) 36 bolinhas b) 42 bolinhas c) 49 bolinhas d) 55 bolinhas e) 63 bolinhas 
 
32. (Uerj 2012) Uma família comprou água mineral em embalagens de 20 L, 
de 10 L e de 2 L. Ao todo, foram comprados 94 L de água, com o custo total 
de R$65,00 . Veja na tabela os preços da água por embalagem: 
 
Volume da embalagem 
(L) 
Preço 
(R$) 
20 10,00 
10 6,00 
2 3,00 
 
Nessa compra, o número de embalagens de 10 L corresponde ao dobro do 
número de embalagens de 20 L, e a quantidade de embalagens de 2 L 
corresponde a n. 
O valor de n é um divisor de: 
a) 32 b) 65 c) 77 d) 81 
 
33. (Fuvest 2011) Uma geladeira é vendida em n parcelas iguais, sem juros. 
Caso se queira adquirir o produto, pagando-se 3 ou 5 parcelas a menos, ainda 
sem juros, o valor de cada parcela deve ser acrescido de R$ 60,00 ou de R$ 
125,00, respectivamente. Com base nessas informações, conclui-se que o 
valor de n é igual a 
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 
 
34. (Espm 2011) Dadas as matrizes x 2 1 xA e B
1 1 1 2
   
= =   
−   
a diferença 
entre os valores de x, tais que det(A B) 3x, = pode ser igual a: 
a) 3 b) -2 c) 5 d) -4 e) 1 
 
35. (Fgv 2011) O sistema linear nas incógnitas x, y e z : 
 
x y 10 z
y z 5 x
z x 7 y
− = +

− = −
 + = +
 
pode ser escrito na forma matricial AX = B , em que: 
 
x 10
X y e B 5 .
z 7
   
   
= =
   
      
 
Nessas condições, o determinante da matriz A é igual a: 
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
36. (Uerj 2010) Um conjunto de 100 copos descartáveis, dispostos em um 
suporte, será usado em uma festa. 
 
Considere, agora, as seguintes informações: 
 
- sempre se tenta retirar apenas 1 copo de cada vez desse suporte; 
- quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 2 saem juntos, 1 deles é 
desperdiçado; 
- quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 3 saem juntos, 2 deles são 
desperdiçados; 
- quando se tenta retirar 1 copo, nunca saem 4 ou mais de 4 juntos; 
- foram retirados todos os copos desse suporte, havendo desperdício de 
35% deles. 
- a razão entre o número de vezes em que foram retirados exatamente 2 
copos juntos e o número de vezes em que foram retirados exatamente 3 
juntos foi de 
3
.
2
 
O número de vezes em que apenas 1 copo foi retirado do suporte é igual a: 
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 
 
37. (Uerj 2010) Ao final deum campeonato de futebol, foram premiados todos 
os jogadores que marcaram 13, 14 ou 15 gols cada um. O número total de 
gols realizados pelos premiados foi igual a 125 e, desses atletas, apenas 
cinco marcaram mais de 13 gols. 
Calcule o número de atletas que fizeram 15 gols. 
 
38. (Enem 2ª aplicação 2010) Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas 
para se obter arroz e feijão com maiores teores de ferro e zinco e tolerantes à 
seca. Em média, para cada 100 g de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5 mg 
e o de zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o teor de ferro e de 
3 mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades diárias dos dois 
micronutrientes para uma pessoa adulta é de aproximadamente 12,25 mg de 
ferro e 10 mg de zinco. 
 
Disponível em: http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado). 
 
Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades 
diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e feijão. Suponha que seu 
organismo absorva completamente todos os micronutrientes oriundos desses 
alimentos. 
Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de 
arroz e feijão, respectivamente? 
a) 58 g e 456 g b) 200 g e 200 g c) 350 g e 100 g 
d) 375 g e 500 g e) 400 g e 89 g 
 
39. (Uerj) Observe a equação química que representa a fermentação do 
açúcar: 
xC6H12O6 → yCO2 + zC2H5OH 
 
Uma das formas de equilibrar essa equação é igualar, em seus dois membros, 
as quantidades de átomos de cada elemento químico. Esse processo dá 
origem ao seguinte sistema linear: 
6x y 2z
12x 6z
6x 2y z
= +

=
 = +
 
Determine o conjunto-solução do sistema e calcule os menores valores 
inteiros positivos de x, y e z que formam uma das soluções desse sistema. 
 
40. (Unesp) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, 
com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em 
função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em 
quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde 
 
Com base na fórmula p(x) = det A, determine: 
a) o peso médio de uma criança de 5 anos; 
b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg. 
 
41. (Fgv) A matriz mostrada na figura a seguir 
 
admite inversa, se e somente se: 
a) x ≠ 5 b) x ≠ 2 c) x ≠ 2 e x ≠ 5 d) x ≠ 4 e x ≠ 25 e) x ≠ 4 
 
42. (Uerj) Observe a matriz a seguir. 
 
Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte resultado: 
a) 1 b) sen x c) sen2 x d) sen3 x 
 
43. (Ufrrj) Dada a matriz A = (aij)2x2, tal que 
 
aij = 2, se i < j 
aij = 3i + j, se i ≥ j, 
 
encontre o DETERMINANTE da matriz At. 
 
44. (Unirio) O valor de 
 
é igual a: 
a) 0 b) 4(y + 3z) c) 4(3x + y + 3z) d) 4x + 2y + 3z e) 12(x + z) 
 
 
Gabarito: 1: [D] 2: milho = 30kg, soja = 26kg e cevada = 24kg 3: [C] 4: [B] 
 
5: [B] 6: [A] 7: [D] 8: [E] 9: [B] 10: [D] 11: [B] 12: [E] 13: [A] 14: [D] 15: [D] 
 
16: [C] 17: [D] 18: [E] 19: [C] 20: [D] 21: det(A B) 0. = 22: [B] 23: [E] 24: [A] 
25: [A] 26: [A] 27: [D] 28: X = 5, Y = 9 e Z = 6 29: [B] 30: [B] 31: [D] 32: [C] 
 
33: [A] 34: [C] 35: [B] 36: [C] 37: Sejam: 
x = número de atletas que marcaram 13 gols 
y = número de atletas que marcaram 14 gols 
z = número de atletas que marcaram 15 gols 
Logo: 
13x + 14y + 15z = 125 
y + z = 5  z = 5 − y e 0 ≤ y ≤ 5 
13x + 14y + 15(5 – y) = 125  13x + 14y + 75 – 15y = 125 
 13x − y = 50  13x –50 = y 
0 ≤ y ≤ 5  0 ≤ 13x − 50 ≤ 5  50 ≤ 13x ≤ 55  50 55x x 4
13 13
   = 
Portanto:y = 13x – 50 = 13 x 4 – 50 = 2 
z = 5 – y = 3 
O número de atletas que fizeram 15 gols é igual a 3. 
 
38: [C] 39: S = {(α, 2α, 2α) │ α ∈ IR}; x = 1, y = 2, z = 2 
 
40: a) 18 kg b)11 anos 41: [C] 42: [D] 43: det (At) = 18 44: [A] 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [D] 
 
Sejam y e z, respectivamente, a distância entre A e B e a distância 
entre C e D, pela rodovia. Logo, vem 
y 5 3z
y 3z 5
y
y 2z 105 z
2
y 40km
.
z 15km
+ =
= −
 
= ++ = 

=

=
 
Portanto, segue que 
15
100% 37,5%
40
 = e, assim, a resposta é 37,5. 
 
Resposta da questão 2: 
 
 Calculando: 
( )
( )
( )
( )
x peso milho
y peso soja
z peso cevada
2x y z 110
x 2y z 106
x y 2z 104
4 x y z 320 x y z 80
x x y z 110 x 80 110 x 30 kg
y x y z 106 y 80 106 y 26 kg
z 80 104 z 24 kgz x y z 104
=
=
=
+ + =

+ + =
 + + =
 + + =  + + =
 + + + = + =  =
 
+ + + =  + =  = 
  + =  =+ + + = 
 
 
Resposta da questão 3: [C] 
 
Sejam x a memória ocupada por um minuto de vídeo e y a memória 
ocupada por uma foto. Logo, temos 
10x 190y 15x 150y x 8y.+ = +  = 
Portanto, a capacidade total do disco é 10 8y 190y 270y + = e, assim, 
o resultado é 270. 
 
Resposta da questão 4: [B] 
 
Considerando que x é o preço do pacote de algodão, y o preço do rolo de 
gaze e y o preço do rolo de esparadrapo, temos o seguinte sistema: 
x y z 16 x y z 16
z x 2 x z 2
z y 1 y z 1
+ + = + + = 
 
= −  = + 
 = + = − 
 
 
Resolvendo o sistema por substituição, temos a seguinte equação: 
z 2 z 1 z 16 3z 15 z 5+ + − + =  =  = 
Portanto, temos: 
z 5, x 7= = e y 4.= 
O valor do troco será dado por: 
50 (2x 5y 4z) 50 (2 7 5 4 3 5) 1,00− + + = −  +  +  = 
O troco recebido foi de R$ 1,00. 
 
Resposta da questão 5: [B] 
 
( )
22 2 2
3
V a b c
ab 2
bc 3
ac 4
ab bc ac a b c 2 3 4 a b c 24
V 24 2 6 cm
=  
=

=
 =
  =   =   →   =
= =
 
 
Resposta da questão 6: [A] 
 
Tem-se que 
3 t 4
0 (t 3)(t 4) 12 0
3 t 4
t(t 1) 0
t 0 ou t 1.
+ −
=  + − + =
−
 − =
 = =
 
Portanto, como 1 0, segue que a resposta é 1. 
 
Resposta da questão 7: [D] 
2 2 2
2 2
2 2 2
2
x 0 x
f(x) 1 x 2 x x 2x 2x x x
2 1 1
x 11 4
g(x) 10 11 x 11x 80 44 2x 2x 11x 36
1 2 0
2x 11x 36 x x x 12x 36 0 x 6
f(x) y x x 36 6 y 42
= = + − − = − −
−
= = − + − = − + −
− + − = − −  − + =  =
= = − − = − −  = −
 
 
Resposta da questão 8: [E] 
 
Tem-se que 
0 17 2 1 0 0
M I 2 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 1
17 2
2 0 .
1 0
λ λ
λ
λ
λ
   
   
− = −   
     
− 
 
= − 
 − 
 
Logo, vem 
 
17 2
det(M I) 0 2 0 0
1 0
( 6)( 6) 0
6 ou 0 ou 6.
λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ λ λ
−
− =  − =
−
 − + =
 = − = =
 
 
A resposta é, portanto, 6.λ = 
 
Resposta da questão 9: [B] 
 
De 
cos17 0 sen17
M 1 1 1 ,
sen28 0 cos28
  
 
=
 
   
 
 
cos17 0 sen17
detM 1 1 1 .
sen28 0 cos28
 
=
 
 
 
Pela regra de Sarrus, 
 
( ) ( )
( )
detM cos17 1 cos28 0 1 sen28 sen17 1 0 sen17 1 sen28 cos17 1 0 0 1 cos28
detM cos17 cos28 sen17 sen28
detM cos 17 28
detM cos45
2
detM
2
=     +    +    −     +    +   
=   −  
=  + 
= 
=
 
Então, 
10
10
5
10
10
10
2
detM
2
2
detM
2
1
detM
32
 
=   
 
=
=
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
Resposta da questão 10: [D] 
 
Calculando: 
b c d 3a b c d
a 48 48 3a b c d 144
3 3
a c d a 3b c d
b 42 42 a 3b c d 126
3 3
a b d a b 3c d
c 32 32 a b 3c d 96
3 3
a b c a b c 3d
d 34 34 a b c 3d 102
3 3
3a b c d 144
a 3b c d 126
a b 3c d 96
a b c 3d 102
+ + + + +
+ =  =  + + + =
+ + + + +
+ =  =  + + + =
+ + + + +
+ =  =  + + + =
+ + + + +
+ =  =  + + + =
+ + + =

+ + + =

+ + + =
+ + + =
a 33
b 24
c 9
d 12
=
=

=
 =
 
 
Resposta da questão 11: [B] 
O sistema é possível e determinado se, e somente se, 
2 a
,
1 2
 ou seja, 
a 4. Se a 4,= temos 
2 4 3
1 2 1
=  e, portanto, o sistema é impossível. 
Logo, o sistema não é indeterminado para nenhum valor real de a. Desse 
modo, segue o resultado. 
 
Resposta da questão 12: [E] 
 
Calculando: 
X Y 2N 95 95 11y
11Y 2N 95 N
X 10Y 2
95 11
Se y 1 N 42
2
95 77
Se y 7 N 9
2
95 88
Se y 8 N 3,5
2
95 99
Se y 9 N 2
2
+ + = −
→ + = → =
=
−
= → = =
−
= → = =
−
= → = = 
−
= → = = − 
 
 
Resposta da questão 13: [A] 
 
As representações5, 7 e 8 são as únicas que apresentam, como intersecção 
dos três planos, uma região com infinitos pontos. Portanto 5, 7 e 8 
representam sistemas lineares com infinitas soluções. 
 
Resposta da questão 14: [D] 
 
Equacionando as informações dadas no enunciado, tem-se: 
Valor recebido por Clara C
Valor recebido por Josefina J
C J 8
55J (J 8) 55 1760 55J 55J 440 1760 110J 1320 J 12
C 12 8 C 20
20 55 horas R$ 1100,00
=
=
= +
+ +  = → + + = → = → =
= + → =
 =
 
 
Resposta da questão 15: [D] 
 
É imediato que o sistema não possui solução real, pois não há ponto que 
pertença simultaneamente às três retas. 
 
Resposta da questão 16: [C] 
 
Considerando que foram retiradas x notas de R$5,00 e y notas de 
R$10,00, temos a seguinte equação: 
5x 10y 75+ = 
 
Ou seja: 
x 2y 15
x 15 2y
+ =
= −
 
 
o que nos leva a concluir que x poderá ser qualquer inteiro de 0 (zero) até 
7, para que x seja um número inteiro não negativo. Temos portanto, 8 
possibilidades para se sacar o dinheiro utilizando apenas notas de R$5 e 
de R$10. 
 
Resposta da questão 17: [D] 
 
Somando todas as equações do sistema, vem x w 6.+ = Logo, somando 
essa equação à segunda, obtemos x y z w 6 2 8.+ + + = + = 
 
Resposta da questão 18: [E] 
 
Calculando: 
( )
( ) ( )
B C 6 B C 6
C 6 2 3A 6
B 2 3 A 2 B 2 3A 6
C 6 1 A C
B 1 A CB 1 A 1 C 1
C 3A 10
C 5 B 11
A 5
 = + = +
 + − = − 
− =  − → − = − →  
+ − = +  − = ++ = + + + 
= −
→ = → =
=
 
 
Resposta da questão 19: [C] 
 
De acordo com o texto, temos: 
+ =a b 17 ou 
+ =a b 19 ou 
+ =a b 23 ou 
+ =a b 29 
 
Sabemos que + =2a b 30, ou seja, = −b 30 2a. 
 
Logo, + = + −  + = −a b a 30 2a a b 30 a. 
 
Então, 
− =  =30 a 17 a 13 e =b 4 
− =  =30 a 19 a 11 e =b 8 
− =  =30 a 23 a 7 e =b 16 
− =  =30 a 29 a 1 e =b 28 
 
Portanto, temos quatro resultados possíveis para o par ordenado (a, b). 
(13, 4), (11, 8), (7,16) e (1, 28). 
 
Resposta da questão 20: [D] 
 
Calculando o determinante da matriz A, encontramos 
 
2 2
cosx 0 senx
det A 0 1 0 cos x sen x 1.
senx 0 cosx
−
= = + = 
 
Portanto, como det A 0 para todo x real, segue-se que A é invertível 
para todos os valores de x. 
 
Resposta da questão 21: 
 Desde que 
1
A 2
13
 
 
=  
 
 
 e ( )B 1 2 13 ,= temos 
 
( )
1 1 2 13
A B 2 1 2 13 2 4 26 .
13 13 26 169
   
   
 =  =   
   
   
 
 
Portanto, observando que a matriz A B apresenta filas proporcionais, 
podemos concluir que det(A B) 0. = 
 
 
 
 
 
 7 
 
 
 
Resposta da questão 22: [B] 
 
Substituindo os valores na equação por 26 C pela manhã, às 6h e 18 C 
às 18h, tem-se: 
T(h) A B sen (h 12)
12
T(6) 26 A B sen (6 12) 26 A B sen 26 A B
12 2
T(18) 18 A B sen (18 12) 18 A B sen 18 A B
12 2
A B 26
A B 18
2A 44 A 22 B 4
π
π π
π π
 
= + − 
 
   
= = + − → = + − → = −   
   
   
= = + − → = + → = +   
   
− =

+ =
= → = → = −
 
 
Resposta da questão 23: [E] 
 
Suponhamos que o estudante tenha pontuado em todas as 30 questões. 
Logo, se x, y e z denotam, respectivamente, o número de questões de 1 
ponto, o número de questões de 2 pontos e o número de questões de 3 
pontos que o estudante acertou, então 
 
x 2y 3z 55 x 2y 3z 55
x y z 30 y 2z 25
x y 5 y z 20
x 2y 3z 55
y 2z 25 .
z 5
+ + = + + = 
 
+ + = + = 
 − + = + = 
+ + =

+ =
 =
 
 
Portanto, a resposta é 5. 
 
Resposta da questão 24: [A] 
 
Sendo x o número de acertos e y o número de erros, montando um 
sistema de equações, tem-se: 
20x 10y 100
x y 80
20x 10 (80 x) 100
20x 800 10x 100
30x 900
x 30
− =

+ =
−  − =
− + =
=
=
 
 
Resposta da questão 25: [A] 
 
De acordo com as figuras, temos 
 
2x y z 12,9
x 2y z 12,1.
2x 2z 14,6
+ + =

+ + =
 + =
 
 
Queremos calcular o valor de 2x 2y z.+ + 
 
Multiplicando a segunda equação por 2, encontramos 
2x 4y 2z 24,2.+ + = Mas 2x 2z 14,6+ = e, portanto, segue que 
4y 9,6,= implicando em y 2,4.= 
 
Em consequência, a resposta é 
 
1ª equação
2x 2y z 2x y z y 12,9 2,4 R$ 15,30.+ + = + + + = + = 
 
 
 
 
Resposta da questão 26: [A] 
 
Sejam a, b e c, respectivamente, as quantias com que os sócios A, B e 
C entraram na sociedade. Tem-se que 
 
a b c 100000 a 2a a 60000 100000
b 2a b 2a
c a 60000 c a 60000
a 10000
b 20000.
c 70000
+ + = + + + = 
 
=  = 
 − = = + 
=

 =
 =
 
 
Portanto, o resultado é | a b | | a 2a | a R$ 10.000,00.− = − = = 
 
Resposta da questão 27: [D] 
 
Seja k o determinante da matriz 
3 x
.
4 x 1
 
 
+ 
 Sabendo que 
ndet( A) det A,λ λ =  com λ sendo um número real e n a ordem da 
matriz quadrada A, vem 
 
2 249 k k k k (k 49) 0
k 0 ou k 7 ou k 7.
 =    − =
 = = − =
 
 
Desse modo, se k 0,= então 
 
3 x
0 3x 3 4x 0 x 3.
4 x 1
=  + − =  =
+
 
 
Se k 7,= − então 
 
x 3 7 x 10.− + = −  = 
 
Se k 7,= então 
 
x 3 7 x 4.− + =  = − 
 
Por conseguinte, um dos possíveis valores de x é 4.− 
 
Resposta da questão 28: 
 
 De acordo com as informações, obtemos 
 
Y X 4 X Z 1
Z 1 X Y Z 3
15 Z Y Y 15 Z
X 5
Y 9.
Z 6
− = = − 
 
− = = + 
 − = = − 
=

=
 =
 
 
Resposta da questão 29: [B] 
 
Seja Z o tempo que a luz vermelha fica acesa. Logo, temos 
2Z 3X
X Z
3 2
=  = 
 
e, portanto, 
3X
Y 5 X Z Y 5 X
2
5X 2Y 10 0.
= + +  = + +
 − + =
 
 
 
 
 
 8 
 
 
 
Resposta da questão 30: [B] 
 
( )
( )
2 2 2 2
2 2
1 1
A sen x cos x sen x cos x 1
1 1 1 1
B log 256 log 0,25 8 – 2 2 1 3
4 2 4 2
1
Então, A B 1 3 .
3
− −
      
= − − = + =
= − = − = + =
−
−


 = −
         
    
=
 


 
 
Resposta da questão 31: [D] 
 
Vamos considerar x bolinhas e y latinhas. De acordo com o sistema, temos: 
x 4y 2
x 5.(y 1) 2
= +

= − +
 temos y = 5 e x = 22. 
Temos, então, 5 latas e 22 bolinhas. 55 é a resposta correta, pois é o único 
múltiplo de 5. 
 
Resposta da questão 32: [C] 
 
Sejam x, y e z, respectivamente, os números de embalagens de 
20 L,10 L e 2 L. 
Do enunciado e da tabela, obtemos 
 
20x 10y 2z 94 20x z 47
10x 6y 3z 65 22x 3z 65
y 2x y 2x
60x 3z 141
22x 3z 65 .
y 2x
+ + = + = 
 
+ + = + = 
 = = 
− − = −

+ =
 =
 
Adicionando as duas primeiras equações do último sistema, vem: 
38x 76 x 2.− = −  = 
 
Logo, da segunda equação do sistema, encontramos 
3z 65 22x 3z 65 22 2 z 7.= −  = −   = 
Portanto, como z n 7= = e 77 7 11,=  segue que n é um divisor de 
77. 
 
Resposta da questão 33: [A] 
 
Sejam n número de parcelas e v o valor de cada parcela, então: 
n.v = (n - 3).(v + 60) ou n.v = (n - 5) .(v + 125). 
Desenvolvendo as equações e resolvendo o sistema 
 
60n 3v 180
125n 5v 625
− =

− =
 , temos: n = 13 
 
Resposta da questão 34: [C] 
 
De acordo com o Teorema Binet, segue que 
 
2
det(A B) 3x det A detB 3x
(x 2) (x 2) 3x
x 3x 4 0
x 1ou x 4.
 =   =
 −  + =
 − − =
 = − =
 
 
Portanto, a diferença entre os valores de x, tais que det(A B) 3x, = 
pode ser igual a 4 ( 1) 5− − = . 
 
Resposta da questão 35: [B] 
 
Reescrevendo o sistema dado, obtemos: 
 
x y 10 z x y z 10
y z 5 x x y z 5 .
z x 7 y x y z 7
− = + − − = 
 
− = − + − = 
 + = + − + =  
 
Desse modo, 
1 1 1
A 1 1 1
1 1 1
− − 
 
= −
 
 −  
e, portanto, 
det A 1 1 1 ( 1 1 1) 4.= + + − − + − =
 
 
Resposta da questão 36: [C] 
x retiradas de 1 copo 
y retiradas de 2 copos → y copos desperdiçados 
z retiradas de 3 copos → 2z copos desperdiçados 
 
Então temos o seguinte sistema: 
x 2y 3z 100
y 2z 35
y 3
z 2

 + + =

+ =

 =

 
 
Resolvendo o sistema temos: 
z 10, y 15= = e x 40.= 
 
Portanto, 40 retiradas de apenas um copo. 
 
Resposta da questão 37: 
 Sejam: 
 
x = número de atletas que marcaram 13 gols 
y = número de atletasque marcaram 14 gols 
z = número de atletas que marcaram 15 gols 
 
Logo: 
 
13x + 14y + 15z = 125 
y + z = 5  z = 5 − y e 0 ≤ y ≤ 5 
13x + 14y + 15(5 – y) = 125  13x + 14y + 75 – 15y = 125 
 13x − y = 50  13x –50 = y 
0 ≤ y ≤ 5  0 ≤ 13x − 50 ≤ 5  50 ≤ 13x ≤ 55 

50 55
x x 4
13 13
   = 
Portanto: 
 
y = 13x – 50 = 13 x 4 – 50 = 2 
z = 5 – y = 3 
 
O número de atletas que fizeram 15 gols é igual a 3. 
 
Resposta da questão 38: [C] 
 
Sejam a e f, respectivamente, os números de porções de 100 gramas de 
arroz e de feijão que deverão ser ingeridas. 
De acordo com o enunciado, obtemos o sistema 
+ = + = =  
  
+ = − − = − =  
1,5a 7f 12,25 6a 28f 49 a 3,5
.
2a 3f 10 6a 9f 30 f 1
 
Portanto, as quantidades de arroz e feijão que deverão ser ingeridas são, 
respectivamente,  =3,5 100 350 g e  =1 100 100 g. 
 
Resposta da questão 39: 
 S = {(α, 2α, 2α) │ α ∈ IR}; x = 1, y = 2, z = 2 
 
Resposta da questão 40: a) 18 kg b) 11 anos 
 
Resposta da questão 41: [C] 
 
Resposta da questão 42: [D] 
 
Resposta da questão 43: det (At) = 18 
 
Resposta da questão 44: [A]