SE 2019 - Aula 25 - Análise Combinatória-II

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Estrada Francisco da Cruz Nunes, 6501, Shopping Itaipu Multicenter – sala 311 
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Aluno: Data: __/__/_____ 
/___/__ 
Profº. Carlos Henrique(Bochecha) – Aula 25 – Análise Combinatória II 
 
1. (Ufjf-pism 3 2018) Em uma festa havia 21 pessoas presentes. Ao 
chegarem, cumprimentaram com um aperto de mão uma única vez cada uma 
das outras pessoas. Quantos apertos de mão ocorreram ao todo? 
a) 42 b) 84 c) 105 d) 210 e) 420 
 
2. (Uepg 2018) Um grupo de profissionais é formado por seis advogados e 
oito engenheiros. Considerando que serão formadas comissões com cinco 
destes profissionais, assinale o que for correto. 
01) Podem ser formadas menos que 55 comissões sem nenhum advogado. 
02) Em 420 dessas comissões apenas um advogado participa. 
04) Em 1946 dessas comissões pelo menos um advogado participa. 
08) Podem ser formadas 120 comissões com apenas um engenheiro. 
16) Podem ser formadas mais de duas mil comissões distintas. 
 
 
 
3. (Pucrs 2018) Uma família mudou-se da zona rural para uma cidade grande, 
onde os pais e seus 10 filhos deverão morar numa casa de três quartos. Os 
dez filhos deverão ocupar dois quartos, sendo 6 filhos num quarto e 4 filhos 
em outro quarto. 
 
De quantos modos os filhos poderão ser separados dessa forma? 
a) 6! 4!+ b) 6!4! c) 
10!
6!4!
 d) 
10!
6!
 
 
4. (Ebmsp 2017) Cada uma das 12 pessoas inscritas para participar de um 
trabalho voluntário recebeu um crachá com um número de identificação 
distinto – de 1 a 12 – de acordo com a ordem de inscrição. 
 
Desejando-se organizar grupos formados por três pessoas que não estejam 
identificadas por três números consecutivos, o número máximo possível de 
grupos distintos que se pode formar é 
a) 230 b) 225 c) 220 d) 215 e) 210 
 
5. (Uece 2017) O número de cordas determinadas por 12 pontos distintos 
colocados sobre uma circunferência é 
a) 54. b) 66. c) 72. d) 78. 
 
6. (Pucrj 2017) O técnico da seleção brasileira de futebol precisa convocar 
mais 4 jogadores, dentre os quais exatamente um deve ser goleiro. 
 
Sabendo que na sua lista de possibilidades para essa convocação existem 
15 nomes, dos quais 3 são goleiros, qual é o número de maneiras 
possíveis de ele escolher os 4 jogadores? 
a) 220 b) 660 c) 1.980 d) 3.960 e) 7.920 
 
7. (Espm 2017) Em uma competição de vôlei de praia participaram n duplas. 
Ao final, todos os adversários se cumprimentaram uma única vez com apertos 
de mãos. Sabendo-se que foram contados 180 apertos de mãos, podemos 
concluir que n é igual a: 
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 
 
8. (Unigranrio - Medicina 2017) Considere 5 pontos distintos sobre uma reta 
r e 4 pontos distintos sobre uma reta s, de forma que r seja paralela a s. 
O número de triângulos com vértices nesses pontos é igual a: 
a) 10 b) 12 c) 20 d) 50 e) 70 
 
9. (Upf 2017) Um jogo consiste em um prisma triangular reto com uma 
lâmpada em cada vértice e um quadro de interruptores para acender essas 
lâmpadas. Sabendo que quaisquer três lâmpadas podem ser acesas por um 
único interruptor e que cada interruptor acende precisamente três lâmpadas, o 
número de interruptores que existem no quadro é 
a) 4 b) 20 c) 24 d) 120 e) 720 
 
10. (Ufjf-pism 3 2017) Para concorrer à eleição a diretor e a vice-diretor de 
uma escola, há 8 candidatos. O mais votado assumirá o cargo de diretor e o 
segundo mais votado, o de vice-diretor. Quantas são as possibilidades de 
ocupação dos cargos de diretor e vice-diretor dessa escola? 
a) 15 b) 27 c) 34 d) 56 e) 65 
 
11. (Fgvrj 2017) As cinco faces de uma pirâmide quadrangular regular serão 
pintadas e cada face terá uma só cor. Tintas de 5 cores diferentes estão 
disponíveis e duas faces vizinhas da pirâmide não poderão ter a mesma cor. 
 
 
 
De quantas maneiras diferentes a pirâmide poderá ser pintada? 
 
Obs.: pinturas que coincidem por rotação da pirâmide são consideradas 
iguais. 
 
12. (Uel 2016) Leia o texto a seguir. 
 
O movimento Free Hugs começou em 2001 com um único indivíduo, em 
Sidney, Austrália, conhecido pelo pseudônimo de Juan Mann. Ao se ver em 
situação desconfortável, com vários problemas pessoais e familiares, Mann 
decidiu sair sozinho, caminhando pelas ruas e oferecendo abraços às pessoas 
em lugares públicos como um gesto hipoteticamente neutro e sem interesses. 
Ele usava um cartaz de papelão nas mãos com a mensagem “Free Hugs” 
para oferecer abraços a desconhecidos. Nos dias de hoje, várias vezes ao 
ano e em diferentes cidades no mundo, agentes voluntários saem, sozinhos 
ou em grupos organizados, pelas ruas, repetindo a ação inicial de Mann para 
propor a troca de abraços com desconhecidos. 
 
(Adaptado de: MARTINS, F. G. P.; GUSHIKEN, Y. Free Hugs: dinâmicas de 
troca, dádiva e estranhamento na intervenção urbana. Comunicação, mídia 
e consumo. ano 9. v.9. n.24. maio 2012. p.179-198.) 
 
 
Em um determinado dia, uma apresentadora de um programa de TV, após 
exibir reportagem sobre o movimento “Free Hugs”, propôs aos espectadores 
da plateia que saudassem a todos os demais (uns aos outros) com um 
abraço. Considere que: 
 
- todos aceitaram o abraço; 
- os abraços ocorreram apenas entre pessoas da plateia; 
- cada abraço envolveu apenas duas pessoas; 
- duas pessoas se abraçaram apenas uma vez; 
- quando terminaram as saudações, o total de abraços foi de 496. 
 
Quantas pessoas formavam a plateia do programa naquele dia? 
Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados na resolução 
desta questão. 
 
13. (G1 - ifpe 2016) O auditório do IFPE, campus Vitoria de Santo Antão, tem 
formato retangular e dispõe de quatro aparelhos de ar-condicionado, sendo 
um ar-condicionado instalado em cada uma das suas quatro paredes. Em 
todos os eventos, pelo menos um aparelho deve estar ligado para a 
refrigeração do ambiente. 
 
De quantos modos diferentes este auditório pode ser refrigerado? 
a) 4 
b) 16 
c) 8 
d) 64 
e) 15 
 
 
 
 
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14. (Enem 2016) O tênis é um esporte em que a estratégia de jogo a ser 
adotada depende, entre outros fatores, de o adversário ser canhoto ou destro. 
Um clube tem um grupo de 10 tenistas, sendo que 4 são canhotos e 6 
são destros. O técnico do clube deseja realizar uma partida de exibição entre 
dois desses jogadores, porém, não poderão ser ambos canhotos. 
 
Qual o número de possibilidades de escolha dos tenistas para a partida de 
exibição? 
 
a) 10! 4!
2! 8! 2! 2!
−
 
 
b) 10! 4!
8! 2!
− 
c) 10! 2
2! 8!
−

 
d) 6! 4 4
4!
+  
e) 6! 6 4
4!
+  
 
 
15. (Pucrj 2016) Uma escola quer fazer um sorteio com as crianças. Então, 
distribui cartelas que têm cada uma 3 números distintos de 1 a 20. No dia 
da festa, trarão uma urna com 20 bolas numeradas de 1 a 20 e serão 
retiradas (simultaneamente) três bolas. A criança que tiver a cartela com os 
três números ganhará uma viagem. 
Quantas cartelas diferentes são possíveis? 
a) 1.140 
b) 2.000 
c) 6.840 
d) 8.000 
e) 4.400 
 
16. (Pucrs 2016) O número de triângulos que podem ser formados unindo o 
vértice A a dois dos demais vértices do paralelepípedo é 
 
a) 15 b) 18 c) 21 d) 24 e) 27 
 
17. (Fgvrj 2016) Em um departamento de uma universidade, trabalham 4 
professoras e 4 professores e, entre eles, estão Astreia e Gastão, que são 
casados. Um grupo de 3 desses professores(as) deverá ir a um congresso, 
sendo, pelo menos, um homem. Obrigatoriamente, um dos elementos do 
casal deverá estar no grupo, mas não ambos. 
De quantas maneiras diferentes esse grupo poderá serorganizado? 
 
18. (Uemg 2015) Observe a tirinha abaixo: 
 
 
 
Passando por uma sorveteria, Magali resolve parar e pedir uma casquinha. Na 
sorveteria, há 6 sabores diferentes de sorvete e 3 é o número máximo de 
bolas por casquinha, sendo sempre uma de cada sabor. 
 
O número de formas diferentes com que Magali poderá pedir essa casquinha 
é igual a 
a) 20. 
b) 41. 
c) 120. 
d) 35. 
 
19. (Enem 2015) Uma família composta por sete pessoas adultas, após 
decidir o itinerário de sua viagem, consultou o site de uma empresa aérea e 
constatou que o voo para a data escolhida estava quase lotado. Na figura, 
disponibilizada pelo site as poltronas ocupadas estão marcadas com X e as 
únicas poltronas disponíveis são as mostradas em branco. 
 
 
O número de formas distintas de se acomodar a família nesse voo é calculado 
por 
a) 
9!
2!
 b) 
9!
7! 2!
 c) 7! d) 
5!
4!
2!
 e) 
5! 4!
4! 3!
 
 
20. (Uema 2014) Uma professora de educação infantil de uma escola, 
durante a recreação de seus 6 alunos, organiza-os em círculos para brincar. 
Considere a seguinte forma de organização dos alunos pela professora: são 
três meninas e três meninos e cada menina ficará ao lado de um menino, de 
modo alternado. As possibilidades de organização dos seus alunos são 
a) 4. b) 6. c) 9. d) 12. e) 16. 
 
21. (Enem 2013) Considere o seguinte jogo de apostas: 
 
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 
números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O 
apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os 
números escolhidos por ele numa mesma cartela. 
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de 
números escolhidos. 
 
Quantidade de números escolhidos 
em uma cartela 
Preço da cartela (R$) 
6 2,00 
7 12,00 
8 40,00 
9 125,00 
10 250,00 
 
Cinco apostadores, cada um com R$500,00 para apostar, fizeram as 
seguintes opções: 
- Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; 
- Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números 
escolhidos; 
- Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números 
escolhidos; 
- Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; 
- Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos. 
 
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são 
a) Caio e Eduardo. 
b) Arthur e Eduardo. 
c) Bruno e Caio. 
d) Arthur e Bruno. 
e) Douglas e Eduardo. 
 
22. (Pucrj 2013) Em uma sorveteria, há sorvetes nos sabores morango, 
chocolate, creme e flocos. 
De quantas maneiras podemos montar uma casquinha, com dois sabores 
diferentes, nessa sorveteria? 
a) 6 maneiras b) 7 maneiras c) 8 maneiras d) 9 maneiras e) 10 maneiras 
 
23. (Pucrj 2013) Em uma sorveteria há sorvetes nos sabores morango, 
chocolate, creme e flocos. 
De quantas maneiras podemos montar uma casquinha com duas bolas nessa 
sorveteria? 
a) 10 maneiras b) 9 maneiras c) 8 maneiras d) 7 maneiras e) 6 maneiras 
 
24. (Uerj 2012) Todas as n capitais de um país estão interligadas por 
estradas pavimentadas, de acordo com o seguinte critério: uma única estrada 
liga cada duas capitais. 
Com a criação de duas novas capitais, foi necessária a construção de mais 21 
estradas pavimentadas para que todas as capitais continuassem ligadas de 
acordo com o mesmo critério. 
Determine o número n de capitais, que existiam inicialmente nesse país. 
 
 
 
 
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25. (Uerj 2010) Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, 
uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente 4 dos 9 sábados 
disponíveis nos meses de outubro e novembro de 2009, com a condição de 
que não fossem utilizados 4 sábados consecutivos. 
Para atender às condições de reposição das aulas, o número total de 
conjuntos distintos que podem ser formados contendo 4 sábados é de: 
a) 80 b) 96 c) 120 d) 126 
 
26. (Pucpr 2010) No jogo da Mega Sena, um apostador pode assinalar entre 
6 e 15 números, de um total de 60 opções disponíveis. O valor da aposta é 
igual a R$ 2,00 multiplicado pelo número de sequencias de seis números que 
são possíveis, a partir daqueles números assinalados pelo apostador. 
 
Por exemplo: se o apostador assinala 6 números, tem apenas uma sequencia 
favorável e paga R$ 2,00 pela aposta. Se o apostador assinala 7 números, 
tem sete sequencias favoráveis, ou seja, é possível formar sete sequencias de 
seis números a partir dos sete números escolhidos. Neste caso, o valor da 
aposta é R$ 14,00. 
 
Considerando que se trata de uma aplicação de matemática, sem apologia a 
qualquer tipo de jogo, assinale a única alternativa CORRETA. 
 
a) A aposta máxima custará R$ 5.005,00. 
 
b) Uma aposta com 14 números assinalados custará entre R$ 3.000,00 e R$ 
3.050,00. 
 
c) Apostar dois cartões com dez números assinalados, ou cinco cartões com 
nove números assinalados, são opções equivalentes em termos de custo e 
de chance de ser ganhador do prêmio máximo. 
 
d) O custo de uma aposta com 12 números assinalados será inferior a R$ 
1.830,00. 
 
e) Apostar um cartão com 13 números assinalados custará o dobro da aposta 
de um cartão com 12 números assinalados. 
 
 
27. (Enem 2ª aplicação 2010) Considere que um professor de arqueologia 
tenha obtido recursos para visitar 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora 
do país. Ele decidiu restringir sua escolha aos museus nacionais e 
internacionais relacionados na tabela a seguir. 
 
Museus nacionais Museus internacionais 
Masp — São Paulo Louvre — Paris 
MAM — São Paulo Prado — Madri 
Ipiranga — São Paulo British Museum — Londres 
Imperial — Petrópolis Metropolitan — Nova York 
 
De acordo com os recursos obtidos, de quantas maneiras diferentes esse 
professor pode escolher os 5 museus para visitar? 
a) 6 
b) 8 
c) 20 
d) 24 
e) 36 
 
28. (Uerj 2010) 
 
 
Considere como um único conjunto as 8 crianças – 4 meninos e 4 
meninas – personagens da tirinha. A partir desse conjunto, podem-se formar 
n grupos, não vazios, que apresentam um número igual de meninos e de 
meninas. 
O maior valor de n é equivalente a: 
a) 45 
b) 56 
c) 69 
d) 81 
29. (Uerj) Um estudante possui dez figurinhas, cada uma com o escudo de 
um único time de futebol, distribuídas de acordo com a tabela: 
 
Para presentear um colega, o estudante deseja formar um conjunto com cinco 
dessas figurinhas, atendendo, simultaneamente, aos seguintes critérios: 
 
- duas figurinhas deverão ter o mesmo escudo; 
- três figurinhas deverão ter escudos diferentes entre si e também das outras 
duas. 
 
De acordo com esses critérios, o número máximo de conjuntos distintos entre 
si que podem ser formados é igual a: 
a) 32 b) 40 c) 56 d) 72 
 
30. (Fuvest) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão bem, com exceção de 
Andréia, que vive brigando com Manoel e Alberto. 
Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a 
exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros. 
Quantas comissões podem ser formadas? 
a) 71 b) 75 c) 80 d) 83 e) 87 
 
31. (Ufjf) Um cientista recebeu 5 cobaias para usar em seu estudo sobre uma 
nova vacina. Seus cálculos indicaram que o número de maneiras possíveis de 
escolher pelo menos 3 cobaias é: 
a) 10. b) 16. c) 50. d) 120. e) 60. 
 
32. (Ufrrj) Maria determinou o número de triângulos que pode se formar com 
os vértices de um polígono de 7 lados. Esse número encontrado por Maria é 
a) 7. b) 21. c) 28. d) 35. e) 70. 
 
33. (Uff) Niterói é uma excelente opção para quem gosta de fazer turismo 
ecológico. Segundo dados da prefeitura, a cidade possui oito pontos turísticos 
dessa natureza. 
 
 Um certo hotel da região oferece de brinde a cada hóspede a possibilidade 
de escolher três dos oito pontos turísticos ecológicos para visitar durante a 
sua estada.O número de modos diferentes com que um hóspede pode 
escolher, aleatoriamente, três destes locais, independentemente da ordem 
escolhida, é: 
a) 8 b) 24 c) 56 d) 112 e) 336 
 
34. (Uerj) Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem 
escolher: 
- um dentre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo; 
- um dentre os tamanhos: pequeno e grande; 
- de um até cinco dentre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto 
e salame, sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche. 
 
Calcule: 
a) quantos sanduíches distintos podem ser montados; 
 
b) o número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não 
gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em 
cada sanduíche. 
 
 
35. (Unifesp) O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é composto por 
12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças 
que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de 
assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira 
que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões 
distintas podem ser formadas nestas condições? 
a) 792. b) 494. c) 369. d) 136. e) 108. 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
36. (Unifesp) Em um edifício residencial de São Paulo, os moradores foram 
convocados para uma reunião, com a finalidade de escolher um síndico e 
quatro membros do conselho fiscal, sendo proibida a acumulação de cargos. 
A escolha deverá ser feita entre dez moradores. 
De quantas maneiras diferentes será possível fazer estas escolhas? 
a) 64. b) 126. c) 252. d) 640. e) 1260. 
 
37. (Ufmg) Um aposentado realiza diariamente, de segunda a sexta-feira, 
estas cinco atividades: 
a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola; 
b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica; 
c) passeia com o cachorro da família; 
d) pega seu neto Pedrinho, às 17 horas, na escola; 
e) rega as plantas do jardim de sua casa. 
 
Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na mesma ordem, ele 
resolveu que, a cada dia, vai realizá-las em uma ordem diferente. 
Nesse caso, o número de maneiras possíveis de ele realizar essas cinco 
atividades, EM ORDEM DIFERENTE, é 
a) 24 b) 6 c) 72 d) 120 
 
38. (Pucrj) De um pelotão com 10 soldados, quantas equipes de cinco 
soldados podem ser formadas se em cada equipe um soldado é destacado 
como líder? 
a) 1260. b) 1444. c) 1520. d) 1840. e) 1936. 
 
39. (Ufrj) Uma estante de biblioteca tem 16 livros: 11 exemplares do livro 
"Combinatória é fácil" e 5 exemplares de "Combinatória não é difícil". 
Considere que os livros com mesmo título sejam indistinguíveis. 
 
Determine de quantas maneiras diferentes podemos dispor os 16 livros na 
estante de modo que dois exemplares de "Combinatória não é difícil" nunca 
estejam juntos. 
 
40. (Ufrj) Em todos os 53 finais de semanas do ano 2.000, Júlia irá convidar 
duas de suas amigas para sua casa em Teresópolis, sendo que nunca o 
mesmo par de amigas se repetirá durante o ano. 
 
a) Determine o maior número possível de amigas que Júlia poderá convidar. 
b) Determine o menor número possível de amigas que ela poderá convidar. 
 
41. (Pucrj) Um torneio de xadrez no qual cada jogador joga com todos os 
outros tem 351 partidas. O número de jogadores disputando é: 
a) 22. b) 27. c) 26. d) 19. e) 23. 
 
42. (Ufrrj) Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar com 8 rapazes 
e 4 moças, de modo que tenhamos pelo menos 2 moças em cada comissão? 
 
43. (Ufrj) Um campeonato de futebol foi disputado por 10 equipes em um 
único turno, de modo que cada time enfrentou cada um dos outros apenas 
uma vez. 
O vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha ponto 
algum; em caso de empate, cada equipe ganha 1 ponto. 
Ao final do campeonato, tivemos a seguinte pontuação: 
 
Equipe 1 - 20 pontos 
Equipe 2 - 10 pontos 
Equipe 3 - 14 pontos 
Equipe 4 - 9 pontos 
Equipe 5 - 12 pontos 
Equipe 6 - 17 pontos 
Equipe 7 - 9 pontos 
Equipe 8 - 13 pontos 
Equipe 9 - 4 pontos 
Equipe 10 - 10 pontos 
 
Determine quantos jogos desse campeonato terminaram empatados. 
 
44. (Ufrrj) Numa recepção há 50 homens e 30 mulheres. O número de 
apertos de mão possíveis, sabendo-se que 70% das mulheres não se 
cumprimentam entre si, é 
a) 3160. b) 1435. c) 2950. d) 1261. e) 2725. 
 
 
45. (Mackenzie) Os polígonos de k lados (k múltiplo de 3), que podemos obter 
com vértices nos 9 pontos da figura, são em número de: 
 
a) 83 b) 84 c) 85 d) 168 e) 169 
 
46. (Ufrgs) Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 
vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se que a locomotiva 
deve ir à frente, e que o vagão restaurante não pode ser colocado 
imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de montar a 
composição é 
a) 120 b) 230 c) 500 d) 600 e) 720 
 
47. (Fuvest) Num programa transmitido diariamente, uma emissora de rádio 
toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na mesma ordem. Para 
esgotar todas as possíveis sequências dessas músicas serão necessários 
aproximadamente: 
a) 100 dias. b) 10 anos. c) 1 século. d) 10 séculos. e) 100 séculos. 
 
48. (Upf 2018) Uma equipe esportiva composta por 5 jogadoras está 
disputando uma partida de dois tempos. No intervalo do primeiro para o 
segundo tempo, podem ser feitas até 3 substituições, e, para isso, o técnico 
dispõe de 4 jogadoras na reserva. O número de formações distintas que 
podem iniciar o segundo tempo é: 
a) 120 b) 121 c) 100 d) 40 e) 36 
 
49. (Unifesp) As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas 
em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um 
dicionário. A 73a palavra nessa lista é 
a) PROVA. b) VAPOR. c) RAPOV. d) ROVAP. e) RAOPV. 
 
50. (Ufmg 2010) Para montar a programação de uma emissora de rádio, o 
programador musical conta com 10 músicas distintas, de diferentes estilos, 
assim agrupadas: 4 de MPB, 3 de Rock e 3 de Pop. 
Sem tempo para fazer essa programação, ele decide que, em cada um dos 
programas da emissora, serão tocadas, de forma aleatória, todas as 10 
músicas. 
Assim sendo, é CORRETO afirmar que o número de programas distintos em 
que as músicas vão ser tocadas agrupadas por estilo é dado por 
a) 4! x 3! x 3! x 3! b) 10!
7!
 c) 4! x 3! x 3! d) 10!
7!x3!
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1: [D] 2: 02 + 04 + 08 + 16 = 30. 3: [C] 4: [E] 5: [B] 6: [B] 7: [C] 8: [E] 
 
9: [B] 10: [D] 11: 30 + 60 + 30 = 120 12: n = 32 13: [E] 14: [A] 15: [A] 
 
16: [C] 17: 15 + 12 = 27 18: [B] 19: [A] 20: [D] 21: [A] 22: [A] 23: [A] 
 
24: n=10 25: [C] 26: [C] 27: [D] 28: [C] 29: [B] 30: [A] 31: [B] 32: [D] 
 
33: [C] 34: a) 186 b) 20 35: [D] 36: [E] 37: [B] 38: [A] 
 
39: 792 maneiras. 40: a) no máximo 106 amigas b) no mínimo 11 amigas 
 
41: [B] 42: 456 comissões 43: 17 44: [C] 45: [E] 46: [D] 47: [E] 
 
48: [B] 49: [E] 50: [A] 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: [D] 
 
O total de apertos de mão na situação descrita é dado por: 
21 20
210
2!

= 
 
Resposta da questão 2: 02 + 04 + 08 + 16 = 30. 
 
[01] Falsa. Na verdade, temos 
8 8!
56
5 5! 3!
 
= = 
 
 possibilidades de formar 
uma comissão sem nenhum advogado. 
[02] Verdadeira. De fato, existem 
6 8 8!
6 420
1 4 4! 4!
   
 =  =   
   
 
possibilidades de formar uma comissão em que figura apenas um 
advogado. 
[04] Verdadeira. Com efeito, há 
14 14!
2002
5 5! 9!
 
= = 
 
 maneiras de 
formar uma comissão de 5 pessoas com quaisquer dos 14 
profissionais. Logo, o número de possibilidades de formar uma 
comissão com pelo menos um advogado é 2002 56 1946.− = 
[08] Verdadeira. De fato, existem8 6 6!
8 120
1 4 4! 2!
   
 =  =   
   
 
possibilidades de formar uma comissão em que figura apenas um 
engenheiro. 
[16] Verdadeira. Com efeito, existe um total de 2002 possibilidades. 
 
Resposta da questão 3: [C] 
 
Devemos considerar o número de maneiras distintas de se colocar 6 filhos 
no primeiro quarto. Para isto devemos fazer uma combinação de 10 
elementos tomados 6 a 6. 
10,6
10!
C
6! 4!
=

 
 
Resposta da questão 4: [E] 
 
De 1 até 12, temos 10 números consecutivos, pois o primeiro deles não 
pode ser o 11 e nem o 12. 
Total de grupos formados por 3 pessoas: 
12,3
12!
C 220
3! 9!
= =

 
Portanto, o número máximo de grupos que se pode formar de modo que os 
crachás nãos sejam identificados por três números consecutivos será: 
220 10 210.− = 
 
Resposta da questão 5: [B] 
 
O resultado é dado por 
12 12!
66.
2 2! 10!
 
= = 
 
 
 
Resposta da questão 6: [B] 
 
Do enunciado, temos: 
Há 3 possibilidades para a escolha do goleiro. 
O total de maneiras de escolher os outros três jogadores, após a escolha do 
goleiro é dado por: 
( )12,3
12,3
12,3
12,3
12!
C
3! 12 3 !
12!
C
3! 9!
12 11 10 9!
C
3 2 1 9!
C 220
=
 −
=

  
=
  
=
 
 
Assim, o total de maneiras de escolher os quatro jogadores, pelo princípio 
fundamental da contagem é: 
3 220 660 = 
 
Resposta da questão 7: [C] 
 
Se todos os atletas se cumprimentassem, então o número de apertos de mãos 
seria igual a 
2n
.
2
 
 
 
 Mas, como apenas adversários se cumprimentam, 
devemos descontar desse total o número de apertos de mãos trocados entre 
atletas de uma mesma dupla, qual seja n. 
 
Portanto, segue que o resultado é tal que 
2
2n (2n)!
n 180 n 180
2 2!(2n 2)!
n n 90 0
n 10.
 
− =  − = 
− 
 − − =
 =
 
 
Resposta da questão 8: [E] 
 
Calculando: 
5,2
4,2
1) 2 pontos em r,1 ponto em s :
5!
C 10
2! (5 2)!
T 10 4 40
2) 1 ponto em r, 2 pontos em s :
4!
C 6
2! (4 2)!
T 6 5 30
Total 40 30 70 triângulos


= =
 −
=  =
= =
 −
=  =
 = + =
 
 
Resposta da questão 9: [B] 
 
O número de interruptores será igual ao número de combinações de 6 
elementos (lâmpadas) tomados de 3 em 3. 
6,3
6!
C 20
3! 3!
= =

 
 
Resposta da questão 10: [D] 
 
Calculando: 
( )8, 2
8! 8 7 6!
A 56
8 2 ! 6!
 
= = =
−
 
Perceba que a ordem (diretor e vice) é importante, por isso usa-se arranjo. 
 
Resposta da questão 11: 
 
2
4
1) Usando 3 cores :
Base 5 possibilidades
4 3
Faces laterais (opostas) C 6 possibilidades
2
Total 5 6 30
2) Usando 4 cores :
Base 5 possibilidades
2 Faces laterais opostas 4 possibilidades
2 Faces laterais opostas 3 possibilida
=

= = =
=  =
=
=
= des
Total 5 4 3 60
2) Usando 5 cores :
Base 5 possibilidades
Faces laterais 3! 6 possibilidades
Total 5 6 30
Total possibilidades 30 60 30 120
=   =
=
= =
=  =
= + + =
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
Resposta da questão 12: 
 Se n (n ) é o número de pessoas que formavam a plateia, então 
n n!
496 496
2 2! (n 2)!
n (n 1) 32 31
n 32.
 
=  = 
 − 
  − = 
 =
 
 
Resposta da questão 13: [E] 
 
4,1 4,2 4,3 4,4
4! 4! 4! 4!
c c c c 4 6 4 1 15
1! 3! 2! 2! 3! 1! 4! 0!
+ + + = + + + = + + + =
   
 
 
Resposta da questão 14: [A] 
 
Desde que o número de maneiras de escolher dois tenistas quaisquer é 
10 10!
,
2 2! 8!
 
= 
 
 e o número de modos de escolher dois tenistas canhotos é 
4 4!
,
2 2! 2!
 
= 
 
 tem-se que o resultado é dado por 
10! 4!
.
2! 8! 2! 2!
−
 
 
 
Resposta da questão 15: [A] 
 
O número de cartelas possíveis é dado por 
20 20!
1.140.
3 3!17!
 
= = 
 
 
 
Resposta da questão 16: [C] 
 
O resultado corresponde ao número de combinações simples de 7 vértices 
tomados 2 a 2, isto é, 
7 7!
21.
2 2! 5!
 
= = 
 
 
 
Resposta da questão 17: 
 
Grupos com Gastão. 
Considerando que um dos lugares é de Gastão sobram 2 lugares para 
colocarmos 6 pessoas, já que Astreia não pode participar. 
6,2
6!
C 15
2! 4!
= =

 
 
 
Grupos com Astreia, 
Como Astreia participa do grupo, Gastão não poderá participar, portanto 
teremos 6 pessoas para dois lugares, mas não podemos esquecer que o 
grupo não poderá ser formado apenas por mulheres, para isso vamos retirar a 
quantidade de grupos formados apenas por mulheres. 
6,2 3,2
6! 3!
C C 15 3 12
2! 4! 2! 1!
− = − = − =
 
 
 
Logo, o total de grupos será dado por: 
15 12 27.+ = 
 
Resposta da questão 18: [B] 
 
Como uma casquinha pode ter no máximo 3 bolas e os sabores devem ser 
distintos, segue-se que o resultado pedido é dado por 
 
6 6 6 6! 6!
6
1 2 3 2! 4! 3! 3!
6 15 20
41.
     
+ + = + +                 
= + +
=
 
 
Resposta da questão 19: [A] 
 
O resultado pedido corresponde ao número de arranjos simples de 9 objetos 
tomados 7 a 7, isto é, 9, 7
9!
A .
2!
= 
Resposta da questão 20: [D] 
 
Há (3)PC 2! 2= = modos de organizar as meninas em círculo. Definidas 
as posições das meninas, teremos três espaços para colocar os meninos. 
Portanto, como os meninos podem ser dispostos de 3P 3! 6= = maneiras, 
segue, pelo Princípio Multiplicativo, que o resultado é 2 6 12. = 
 
Resposta da questão 21: [A] 
 
Supondo que duas cartelas de um mesmo jogador não possuem 6 dezenas 
iguais, segue-se que Arthur, Bruno, Caio, Douglas e Eduardo possuem, 
respectivamente, as seguintes possibilidades de serem premiados: 
 
250; 
7
41 4 291;
6
 
 + = 
 
 
8
12 10 346;
6
 
 + = 
 
 
9
4 336
6
 
 = 
 
 e 
10
2 420.
6
 
 = 
 
 
 
Portanto, como o número de casos possíveis para o resultado do sorteio é o 
mesmo para todos, podemos concluir que Caio e Eduardo são os que têm as 
maiores probabilidades de serem premiados. 
 
Resposta da questão 22: [A] 
 
O número de maneiras possíveis de montar uma casquinha, com dois sabores 
distintos, sabendo que existem quatro sabores disponíveis, é dado por 
 
 4 4! 6.
2 2! 2!
 
= = 
 
 
 
Resposta da questão 23: [A] 
 
 
Resposta da questão 24: 
 O número de estradas que ligam as n capitais é dado por 
n
.
2
 
 
 
 
Com as duas novas capitais, temos que o número de estradas passou a ser 
de 
n 2 n
21.
2 2
+   
= +   
   
 
 
Portanto, 
 
2 2
n 2 n (n 2)! n!
21 21
2 2 2! n! 2! (n 2)!
(n 2) (n 1) n (n 1)
21
2 2
n 3n 2 n n 42
n 10.
+ +   
= +  = +   
  −   
+  +  −
 = +
 + + = − +
 =
 
 
Resposta da questão 25: [C] 
 
Sejam 1 2 9S , S , , S os sábados de outubro e novembro de 2009. 
Há exatamente seis conjuntos distintos com quatro sábados consecutivos: 
1 2 3 4 2 3 4 5 6 7 8 9{S , S , S , S }, {S , S , S , S }, , {S , S , S , S }. 
Além disso, podemos formar 
9 9!
126
4 4!5!
 
= = 
 
 
conjuntos distintos com quaisquer quatro sábados. 
Portanto, o resultado pedido é: 
126 6 120.− = 
 
Resposta da questão 26: [C] 
 
a) Errada. C15,6 = 5005, logo custará R$10.010,00 
b) Errada. C14,6 = 3003, logo custará R$ 6.006,00 
c) Correta, 2.C10,6 = 2.210 = 420, e 5.C9,6 = 5.84 = 420 (420.2 = 840,00) 
d) Errada. C12,6 = 924, logo custará R$1848,00 
e) Errada. C13,6 = 1716, logo custará R$3432,00 (3432  2 x 1848,00) 
 
 
 
 
 7 
 
 
 
Resposta da questão 27: [D] 
O professor pode escolher 3 museus no Brasil de 
 
= 
 
4
4
3
 modos distintos 
 
e pode escolher 2 museus no exterior de 
 
= = 
 
4 4!
6
2 2!2!
 maneiras. 
Portanto, pelo PFC, o professor pode escolher os 5 museus para visitar de 
 =4 6 24 maneiras diferentes. 
 
Resposta da questão 28: [C] 
 
8 crianças (4 meninos e 4 meninas) 
 
1 menino e 1 menina 4,1 4,1C C 4 4 16→  =  = 
2 meninos e 2 meninas 4, 2 4, 2C C 6 6 36→  =  = 
3 meninos e 3 meninas 4, 3 4, 3C C 4 4 16→  =  = 
4 meninos e 4 meninas 4, 4 4, 4C C 1 1 1→  =  = 
 
Somando, temos: 16 36 16 1 69+ + + =Resposta da questão 29: [B] 
 
Resposta da questão 30: [A] 
 
Resposta da questão 31: [B] 
 
Resposta da questão 32: [D] 
 
Resposta da questão 33: [C] 
 
Resposta da questão 34: a) 186 b) 20 
 
Resposta da questão 35: [D] 
 
Resposta da questão 36: [E] 
 
Resposta da questão 37: [B] 
 
Resposta da questão 38: [A] 
 
Resposta da questão 39: 792 maneiras. 
 
_ F_F_F_F_F_F_F_F_F_F_F_ 
 
Colocando inicialmente os livros “Combinatória é fácil” com um espaço entre 
cada um deles, sobrariam 12 espaços para colocar os livros "Combinatória 
não é difícil". 
Temos, então, 12,5
12!
C 792 maneiras.
5!.7!
= = 
 
Resposta da questão 40: 
 
a) no máximo 106 amigas 
 
b) no mínimo 11 amigas 
 
 
Resposta da questão 41: [B] 
 
Resposta da questão 42: 456 comissões 
 
Resposta da questão 43: 17 
 
Resposta da questão 44: [C] 
 
Resposta da questão 45: [E] 
 
Resposta da questão 46: [D] 
 
Resposta da questão 47: [E] 
 
 
Resposta da questão 48: [B] 
 
Como podem ser feitas de zero a 3 substituições, segue que o resultado é 
dado por 
5 4 5 4 5 4
1 1 5 4 10 6 10 4
1 1 2 2 3 3
121.
           
+  +  +  = +  +  +            
           
=
 
 
Resposta da questão 49: [E] 
 
Resposta da questão 50: [A]