Lista7_Trigonometria_Geral (1)

Prévia do material em texto

1ª Lista de Trigonometria no Triângulo Retângulo 
 
1. No triângulo retângulo determine as medidas x e y indicadas. 
(Use: sen65º = 0,91; cos65º = 0,42 e tg65º = 2,14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Determine no triângulo retângulo ABC as medidas a e c indicadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Sabendo que sen40º = 0,64; cos40º = 0,77 e tg40º = 0,84 calcule as medidas x e y 
indicadas no triângulo retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Considerando o triângulo retângulo ABC, determine as medidas a e b 
indicadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Em um triângulo retângulo isósceles, cada cateto mede 30cm. Determine a 
medida da hipotenusa desse triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
6. A diagonal de um quadrado mede 26 cm, conforme nos mostra a figura. 
Nessas condições, qual é o perímetro desse quadrado? 
 
 
 
 
 
7. Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 45º com 
o solo. O comprimento do fio é 80m. Determine a altura da pipa em 
relação ao solo. Dado 2 = 1,41 
 
 
 
 
 
 
 
8. Qual é o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de altura 
quando o sol está 30º acima do horizonte? Dado 3= 1,73 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Determine a altura do prédio da figura seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. Para determinar a altura de um edifício, um observador coloca-
se a 30m de distância e assim o observa segundo um ângulo de 30º, 
conforme mostra a figura. Calcule a altura do edifício medida a partir 
do solo horizontal. Dado 3 = 1,73 
 
 
 
 
 
 
11. Observe a figura e determine: 
 
a) Qual é o comprimento da rampa? 
 
 
b) Qual é a distância do inicio da rampa ao barranco? 
 
 
 
 
 
 
12. A uma distância de 40m, uma torre é vista sob um ângulo α , 
como mostra a figura. Determine a altura h da torre se α = 30º. 
 
 
 
 
 
13. Em um triângulo ABC, retângulo em A, o ângulo B mede 30º e a hipotenusa mede 5cm. 
Determine as medidas dos catetos AC e AB desse triângulo. 
 
1	)				Determine	as	medidas	dos	catetos	do	triângulo	retângulo	abaixo.																																									
	
							Use	:		Sen	37º	=	0,60						Cos	37º	=	0,80						tg	37º	=	0,75	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
2	)				Determine	as	medidas		x		e		y		indicadas	no	triângulo	retângulo	abaixo.																														
								(	dados	sen	35º	=	0,574							cos	35º	=	0,819	)	
	
3	)				Observe	a	figura	seguinte	e	determine:		 3603
330 00 == tgtg 																																			
	
50 cm 
37º 
A 
B 
C 
x 
y 
6 cm 
35º 
x 
y 
x 
C 
a)				a	medida		x		indicada	
	
b)				a	medida		y		indicada	
	
c)				a	medida	do	segmento	AD	
	
	
	
	
	
4	)				Uma	rampa	lisa	com	10	m	de	comprimento	faz	ângulo	de	15º	com	o	plano	horizontal.	Uma	
pessoa	que	sobe	a	rampa	inteira	eleva-se	verticalmente	a	quantos	metros?	
							(	use:		sen.15º	=	0,26		,		cos	15º	=	0,97		)	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
5	)			Determine	as	medidas	dos	catetos	do	triângulo	retângulo	abaixo.																							
		
								Sen	30º	=	0,50			Cos	30º	=	0,86				Tg	30º	=	0,57	
	
x 
	
	
10 m 
15º 
50 cm 
30º 
A 
x 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
6	)				Usando	as	razões	trigonométricas,	determine	as	medidas		x		e		y		indicadas	na	figura.	A	seguir,	
determine	a	área	do	losango	ABCD.		(	As	medidas	estão	em	cm	)	
										Sen	30º	=	 2
1
						Cos	30º	=	 2
3
							
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
30º	A	
B	
C	
D	
x	
y	
40		
	
	
	
	
7	)				Determine	as	medidas	dos	catetos	do	triângulo	retângulo	abaixo.																																									
									Sen	30º	=	0,50						Cos	30º	=	0,86						tg	30º	=	0,57	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
8	)				No	triângulo		ABC	da	figura	seguinte,	as	medidas	dos	lados	estão	em		cm.	Determine	a	medida	x	
da	base	BC.																																																																																																																	(		cos	60º	=	0,5		)	
	
	
	
	
80 cm 
30º 
A 
B 
C 
x 
y 
A 
B C 
x 5 
60º 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
9	)				Determine	as	medidas	dos	catetos	do	triângulo	retângulo	abaixo.																																									
	
							Use	:		sen	30º	=	0,50						cos	30º	=	0,86							
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
10	)				No	triângulo	retângulo	abaixo,	determine	o	valor	de		x	+	y.																																																		
	
100 cm 
30º 
A 
B C 
x 
y 
7 cm 
A 
x 
									Use		Sen	40º	=	0,64				Cos	40º	=	0,77					
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
11	)				Calcule	as	medidas	x	e	y	indicadas	no	triângulo	retângulo	isósceles	da	figura.							
																																																																																																																																																																																																																																																																																						
(tg	45º	=	1,	tg	60º	=	0,86	)	
	
	
	
	
	
	
	
	
12	)				A	uma	distância	de	40	m,	uma	torre	é	vista	sob	um	ângulo	de	20º,	como	nos	mostra	a	figura.	
Determine	a	altura	h	da	torre.			(		sen	20º	=	0,34	,			cos	20º	=	0,	94	.	tg	20º	=	0,	36	)	
	
	
60º 
45º 
A 
C 
9 cm B 
X 
Y 
20º 
h 
	
	
	
	
	
 
 
 
EXERCÍCIOS – Redução ao 1º Quadrante - GABARITO 
1) Calcule a 1ª determinação de cada arco e indique em que quadrante está sua extremidade: 
 
a) -1395º: 1ª determinação: 45º; 1º quadrante b) 2
13π : 1ª determinação: π/2; está sobre o eixo 
Solução. Encontrando a 1ª determinação em cada caso, temos: 
a) )º45º360º315(º315resto;3360º1395 =+−≡−=−=÷− b) 
22
12
2
13 π
+
π
=
π
 
 
2) Calcule o seno, cosseno e a tangente dos ângulos abaixo: 
 
Solução. Encontrando as 1ª determinações em cada caso e reduzindo ao 1º quadrante, temos: 
 
a) º45resto;1360º405 ==÷ b) º120resto;2360º840 ==÷ 
 
c) º210resto;3360º1290 ==÷ d) º300resto;4360º1740 ==÷ 
 
e) Já é a 1ª determinação. f) Já é a 1ª determinação. 
 
g) Já é a 1ª determinação. h) 
6
5
6
36
6
41 π
+
π
=
π . 
 
a) 405º: 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
1º45tg
2
2º45cos
2
2º45sen
 b) 840º: 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
−=
=
3º120tg
2
1º120cos
2
3º120sen
 c) 1290º: 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−=
−=
3
3º210tg
2
3º210cos
2
1º210sen
 
 
d) 1740º: 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
=
−=
3º300tg
2
1º300cos
2
3º300sen
 e) rad
3
2π : 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=π
−=π
=π
33
2tg
2
1
3
2cos
2
3
3
2sen
 f) rad
3
4π : 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=π
−=π
−=π
33
4tg
2
1
3
4cos
2
3
3
4sen
 
 
g) rad
4
7π : 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−=π
=π
−=π
14
7tg
2
2
4
7cos
2
2
4
7sen
 h) rad
6
41π : 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=π
−=π
=π
3
3
6
5tg
2
3
6
5cos
2
1
6
5sen
 
 
3) Se 
17
15sen −=β e 
2
3π < β < 2π, calcule βcos e βtg . 
Solução. Aplicando a relação fundamental, temos: 
 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=−=
−
=
β
β
=β
→=β
⇒
⇒=
−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=β⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=β
=β+β
8
15
8
17.
17
15
17
8
17
15
cos
sentg
quadranteº4:)positivo(
17
8cos
289
64
289
225289
17
151cos
17
15sen
1cossen 222
. 
 
 
4) Sabendo que 
5
3senx = e 
5
4xcos −= , calcule ( ) ( )xcosx2sen +π++π 
Solução. Repare que adicionando uma volta completa, encontramos um arco côngruo na mesma 
posição e adicionando meia volta, a extremidade se posicionará simétrica em relação ao centro 
da circunferência trigonométrica. 
 
( )
( )
( ) ( )
5
7
5
4
5
3
5
4
5
3xcossenxxcosx2sen
xcosxcos
senxx2sen
=+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=−=+π++π⇒
⎩
⎨
⎧
−=+π
=+π
. 
 
 
5) Resolva as equações indicando a solução completa (incluindo os arcos côngruos). 
 
a) 
2
3senx −= b) 1tgx −= 
Solução. Identificando os arcos cujos senos são iguais, (1º e 2º quadrantes) e (3º e 4º quadrantes), 
e cujas tangentes são iguais (múltiplos de 180º), temos:a) 
Zk;
kº360º300
ou
kº360240
x:grausEm
Zk;
k2
3
5
ou
k2
3
4
x
2
3senx
∈
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
=
∈
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
π+
π
π+
π
=⇒−=
.																															b) 
Zk;kº180º135x:grausEm
Zk;k
4
3x1tgx
∈+=
∈π+
π
=⇒−= . 
 
6) Determine tgx sabendo que ππ 2
2
3
≤≤ x e 13
5
=senx - . 
Solução. O valor corresponde ao arco no 4º quadrante. 
 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
−=−=
−
=
β
β
=β
→=β
⇒
⇒=
−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=β⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=β
=β+β
12
5
12
13.
13
5
13
12
13
5
cos
sentg
quadranteº4:)positivo(
13
12cos
169
144
169
25169
13
51cos
13
5sen
1cossen 222
. 
 
7) Calcule o valor de º90cosº585tgº300senº510cosY −−+= . 
Solução. Substituindo os arcos pelas suas primeiras determinações, temos: 
 
130)1(
2
3
2
3º90cosº225tgº300senº150cosY
º225º585
º150º510
−−=−−−−=−−+=⇒
⎩
⎨
⎧
≡
≡
. 
 
8) Se 
5
23cos −=x e 
6
14
−=tgx , qual o valor de senx ? 
Solução. Aplicando a relação trigonométrica envolvendo seno, cosseno e tangente, temos: 
 
5
7
30
72.3
30
283
5
23.
6
14senx
5
23
senx
6
14
xcos
senxtgx ===⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=⇒
−
=−⇒= . 
 
9) Calcule o valor das expressões. 
Solução. Calculando os valores das primeiras determinações, temos: 
 
a) 
º180cos
º330senº120cosE += b) 
º1080senº630sen
º900cosº810cosE
+
+
= 
 
a) 1
1
1
1
2
1
2
1
º180cos
º330senº120cosE =
−
−
=
−
−−
=
+
= . 
 
b) 1
01
10
º0senº270sen
º180cosº90cos
º1080senº630sen
º900cosº810cosE =
+−
−
=
+
+
=
+
+
= . 
 
c) 
3
19cos
6
37senº1500cosE π+π+= d) 
π+
+
=
3cosº765sen
º126senº1380cosE 0 
 
c) 
2
3
2
1
2
1
2
1
3
cos
6
senº60cos
3
19cos
6
37senº1500cosE =++=π+π+=π+π+= . 
 
d) 
2
22
42
22
22
22.
22
1
22
1
22
2.
2
1
2
22
2
1
2
2
0
2
1
cosº45sen
º18senº300cos
3cosº765sen
º126senº1380cosE
+
−=
−
+
=
+
+
−
=
−
=
=
−
=
−
=
−
+
=
π+
+
=
π+
+
=
1
00
. 
 
e) º330tgº150cosº240senE +−= f) 
6
11cos
6
cos
2
3cos.
3
tgE
π
π
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
= 
e) 
3
3
3
3
2
3
2
3º330tgº150cosº240senE −=−⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−=+−= . 
 
f) ( ) 1
2
3
2
3
0.
3
3
6
11cos
6
cos
2
3cos.
3
tgE =+⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
π
π
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
= . 
 
g) 
6
15sen
3
8tg
3
2cos
6
17sen
6
7senE π+π+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
−+
π
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
−= 
 
g) 
2
3213
2
1
13
2
1
2
1
2
1
6
15sen
3
8tg
3
2cos
6
17sen
6
7senE
−
=−=
=+−−−=
π
+
π
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
−+
π
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
−=
. 
 
	
	
	
	
	
	
	
 
Lista de Trigonometria – Medidas de Arcos e Ângulos – 2011 - GABARITO 
 
1. (PUC-MG) Na figura, o raio da circunferência mede r. A função f que expressa a medida da área 
do triângulo de vértices A, B e C em função de r é: 
 
a) 2r
4
1)r(f = b) 2r
3
1)r(f = c) 2r
2
1)r(f = d) 
2r)r(f = e) 2r2)r(f = 
 
Solução. O triângulo ABC é retângulo e a área é: 
2
r
2
r.rA
2
== . 
 
 
 
2. (UEPB) Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio que marca 16h44min. 
 
Solução. O relógio representa a circunferência dividida em 12 partes iguais. Logo os números 
estão distantes entre si de arcos de 30º. O único momento em que os ponteiros estão sobre os 
números é na hora exata. A partir desse momento, somente o ponteiro grande está nessa 
situação. Temos as relações: 
i) O ponteiro pequeno (horas) leva 60 minutos para percorrer os 30º. Enquanto isso, o grande 
(minutos) dá uma volta completa, 360º. 
 
º22
60
)30)(44(x
xmin44
º30min60
==⇒
⎩
⎨
⎧
−
−
. 
 
ii) Cinco minutos correspondem aos 30º para o ponteiro grande. 
 
º24
5
)30)(4(x
xmin4
º30min5
==⇒
⎩
⎨
⎧
−
−
. 
 
Entre o número 4 (16h) e o 8 (40min), há um arco de 120º. Os 4 minutos correspondem a 24º. 
Logo, o ângulo total seria 120º + 24º = 144º. Mas, em 44 minutos o ponteiro pequeno percorreu 
22º no mesmo sentido. Logo o ângulo pedido â = 144º - 22º = 122º. 
 
3. (UF-AM) Um setor circular de raio 5cm tem arco de comprimento 8cm. Calcule sua área em cm2. 
 
Solução1. O comprimento do arco de uma circunferência é calculado pela fórmula C = α.r, 
onde “α” é o ângulo central em radianos e “r”, o raio. Logo, 
rad6,1
5
8)5(8rC ==α⇒α=⇒α= . Um ângulo central de 2π rad corresponde a 
circunferência completa com área A = πr2. Fazendo a correspondência, vem: 
2
2
cm20)25)(8,0(
2
)25)(6,1(x
x6,1
)5(2
==
π
π
=⇒
⎩
⎨
⎧
−
π−π . 
 
Solução2. Fazendo a regra de três com as informações sobre o comprimento da 
circunferência, temos: 
2
22
cm20
10
200
10
)25)(8(x
x8
2510
x8
)5()5(2
xr
rr2
==
π
π
=⇒
⎩
⎨
⎧
−
π−π
⇒
⎩
⎨
⎧
−
π−π
⇒
⎩
⎨
⎧
−α
π−π . 
 
4. (Unimontes-MG) Quando os ponteiros de um relógio marcam 1h50min, qual a medida do menor 
ângulo central formado por eles? 
 
Solução. Se os ponteiros estivessem sobre os números 1 e 10, o ângulo menor 
entre eles seria de 90º. Mas, em 50 minutos o ponteiro pequeno deslocou-se de 
“x” graus: º25
60
)30)(50(x
xmin50
º30min60
==⇒
⎩
⎨
⎧
−
−
. 
 
Logo, o menor ângulo será 90º + 25º = 115º. 
 
 
5. (UFMT) Um relógio analógico marca, num certo instante, 1h15min. Admita que o ponteiro dos 
minutos se movimente 36º. Nessas condições, calcule o novo horário apresentado por esse relógio. 
 
Solução. O ponteiro dos minutos (grande) percorre 360º em 60 minutos. Logo, 36º serão 
percorridos em 6 minutos. A hora será, então, 1h15min + 6min = 1h21min. 
 
6. (PUC–PR) Sendo O centro da circunferência de raio unitário calcule a área do triângulo retângulo 
ABC que tem o cateto AC no diâmetro, sabendo que α = 30º. 
 
Solução. O ângulo de 30º é inscrito e vale a metade do ângulo central. Logo o ângulo BOC = 
60º. Neste triângulo retângulo “h” é o cateto oposto e “x” o adjacente: 
 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⇒=
=⇒=
2
1x
1
xº60cos
2
3h
1
hº60sen
. 
 
A área do triângulo ABC é: 
8
33
2
4
33.
2
2
3.
2
11
2
)BC)(AC(A ==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
== . 
 
7. Expresse: a) 60º em radianos b) rad
9
10π em graus c) 210º em 
radianos 
Solução. Em cada caso, usa-se a regra de três para as representações: 
 
a) rad
3180
)rad)(60(x
º60x
º180rad π
=
π
=⇒
⎩
⎨
⎧
−
−π
 c) rad
6
7
180
)rad)(210(x
º210x
º180rad π
=
π
=⇒
⎩
⎨
⎧
−
−π
 
 
b) ( ) º200
rad
rad10)º20(
rad
rad
9
10)º180(
x
x
9
10
º180rad
=
π
π
=
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
π
−π
 
 
8. Numa circunferência de 32cm de diâmetro, marca-se um arco AB de 8cm de comprimento. Qual a 
medida desse arco em radianos? 
 
Solução. O raio da circunferência mede 16cm. O comprimento do arco C, é calculado pelo 
produto (α.r), onde “α” é o ângulo central em radianos e “r” o raio. Temos: 
 
rad5,0
16
8)16(8rC ==α⇒α=⇒α= . 
 
OBS: Repare que se o arco correspondesse a um ângulo central de 1 radiano, mediria 16cm (o 
raio). 
 
9. Expresse em graus e radianos a medida do arco que corresponde a 
5
2 da medida da 
circunferência. 
Solução. A medida da circunferência em graus corresponde a 360º e em radianos, 2π. O valor 
pedido corresponde a: 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
π
=π
==
rad
5
4)rad2(
5
2
º144)º72)(2()º360(
5
2
. 
 
10. (UFOP-MG) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500km em torno de uma pista 
circular de raio 200m. Calcule o número aproximado de voltas que ele deve dar. (Use 14,3=π ). 
 
Solução. O comprimento da pista é C = 2(200)(π) = 400(3,14) = 1256m. 
 
O ciclista percorrerá 500km = 500000m. 
 
Isto corresponde a: voltas398
1256
500000:voltasdeºN ≅ . 
 
 
11. Encontre a medida do comprimento do arco AB, indicado na figura. (Use 14,3=π ). 
 
Solução1. O ângulo 150º expresso em radianos vale: 
 
rad
3
5
180
)rad)(150(x
º150x
º180rad π
=
π
=⇒
⎩
⎨
⎧
−
−π . 
 
Logo, o comprimento do arco AB vale: 
 
( ) ( ) ( ) cm5,78)14,3)(25()5)(4,31)(5(30.
6
14,3530.
6
5)AB(m ===⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
= . 
 
Solução2. Pela regra de três: cm5,78)14,3)(25(
6
)14,3(105
º360
)60)(º150(x
xº150
)30(2º360
===
π
=⇒
⎩
⎨
⎧
−
π− . 
 
12. Quantas voltascompletas um móvel dá e em que quadrante pára, partindo da origem dos arcos, 
na circunferência trigonométrica, percorrendo um arco de: 
a) 1810º? b) 2350º? c) -1200º? d) rad
8
17π ? 
Solução. Voltas completas em graus são múltiplos de 360º e em radianos, múltiplos de 2π. 
Dividindo os valores pelas respectivas voltas completas e observando os restos, temos: 
 
a) º10:restoe5º360º1810 =÷ . Logo são 5 voltas e pára no 1º quadrante. 
 
b) º190:restoe6º360º2350 =÷ . Logo são 6 voltas e pára no 3º quadrante. 
 
c) º120:restoe3º360º1200 −−=÷− . Logo são 3 voltas no sentido horário e pára no 3º 
quadrante. 
 
d) 
8
2
88
16
8
16
8
17 π
+π=
π
+
π
=
π+π
=
π . Logo é 1 volta e pára no 1º quadrante. 
 
13. Quantos centímetros percorre um corpo de descreve um arco de 600º numa circunferência de raio 
10cm? (Use 14,3=π ). 
 
Solução. O arco de 600º corresponde a 1 volta completa e um arco de 240º. Temos: 
i) cm8,62)20).(14,3()10)(14,3(2r2C:volta1 1 ===π= . 
 
ii) cm87,41
3
6,125
3
)14,3(40
º360
)20)(º240(x
xº240
)10(2º360
º240 ≅==π=⇒
⎩
⎨
⎧
−
π−
→ . 
 
Logo, o total percorrido é (62,8 + 41,87) = 104,67cm. 
 
14. Determine o quadrante onde está a 1ª determinação positiva dos seguintes arcos: 
a) -1640º b) 2630º c) rad
4
2487π d) 1550º e) rad
4
23π f) -2165º 
Solução. A 1ª determinação positiva corresponde ao arco entre 0º ≤ x < 360º com orientação 
anti-horária. Significa encontrar os restos nas divisões por 360º ou 2π. 
 
a) º200:restoe4º360º1640 −−=÷− . A 1ª determinação positiva é 160º. Fica no 2º quadrante. 
 
b) º110:restoe7º360º2630 =÷ . A 1ª determinação positiva é 110º. Fica no 2º quadrante. 
 
c) 
4
7620
4
7
4
2480
4
2487 π
+π=
π
+
π
=
π . A 1ª determinação positiva é rad
4
7π . Fica no 4º 
quadrante. 
 
d) º110:restoe4º360º1550 =÷ . A 1ª determinação positiva é 110º. Fica no 2º quadrante. 
 
e) 
4
74
4
7
4
16
4
23 π
+π=
π
+
π
=
π . A 1ª determinação positiva é rad
4
7π . Fica no 4º quadrante. 
 
f) º5:restoe6º360º2165 −−=÷− . A 1ª determinação positiva é 355º. Fica no 4º quadrante. 
 
 
15. Represente, no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos cujas medidas são dadas pela 
expressão: 
 
a) Zk,k
3
x ∈π+π= b) Zk,
2
k
8
x ∈π+π−= c) Zk,º90.kº90x ∈+= d) 
Zk,º360.kº120x ∈+−= 
 
Solução. As extremidades dos arcos podem diferir entre si de várias formas. Só serão 
coincidentes se os arcos forem côngruos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16. (MACK-SP) O segmento AO descreve um ângulo de 30º em torno da origem, como indica a 
figura. Adotando 3=π , calcule a distância percorrida pelo ponto A. 
 
Solução. O segmento OA é a hipotenusa, r, do triângulo de catetos 3 e 4. Essa 
hipotenusa é o raio de uma circunferência centrada em O e o ponto A descreveu 
um arco correspondente ao ângulo central de 30º. 
 
5,2
12
30
º360
)30)(º30(x
xº30
)5)(3(2º360
xº30
r2º360
525169r43r 222
===⇒
⎩
⎨
⎧
−
−
⇒
⎩
⎨
⎧
−
π−
==+=⇒+=
. 
 
	
17. (UFRJ) Na figura a seguir, os círculos de centros O1 e O2 são tangentes em B e têm raios 1cm e 
3cm. 
Determine o comprimento da curva ABC. 
 
Solução. Traçando uma paralela a AC pelo centro da circunferência menor, 
determina-se os ângulo “a” e “b” no triângulo retângulo de cateto 2cm e 
hipotenusa 4cm. Logo, 
2
1
4
2acos == . Neste caso a = 60º e b = 30º. A curva 
ABC terá comprimento a medida da soma das curvas BC e AB. A curva AB é 
calculada pelo ângulo central de 90º + 30º = 120º. 
 
cm
3
5
3
2ABC
3
2
º360
)2)(º120(x
xº120
)1)((2º360
:AB
º360
)6)(º60(x
xº60
)3)((2º360
:BC
π
=
π
+π=⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
π
=
π
=⇒
⎩
⎨
⎧
−
π−
π=
π
=⇒
⎩
⎨
⎧
−
π−
. 
 
 
18. (UNESP) Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como 
mostra a figura. A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 
radiano. Calcule o perímetro do “monstro” em cm. 
 
Solução. Pela definição do radiano, o comprimento da boca do monstro mede 
o valor do raio, isto é, 1cm. Isto devido ao fato do ângulo central medir 1 
radiano. 
O perímetro do monstro será a soma dos comprimentos S1 + S2 + S3. 
i) S1 = 1cm ii) S2 = 1cm 
iii) S3 = cm28,5128,63S28,6)1)(14,3(2C
1r
r.2C
=−=⇒==⇒
⎩
⎨
⎧
=
π=
. 
Logo, o perímetro do monstro será: (1 + 1 + 5,28) = 7,28cm ou 12 +π . 
	
19. (COL NAVAL) As quatro circunferências da figura abaixo têm raios r = 0,5. O comprimento da 
linha que as envolve é aproximadamente igual a: 
 
a) 6,96 b) 7,96 c) 8,96 d) 9,96 e) 10,96 
	
Solução. O comprimento da linha será a soma das curvas C1, C2 e C3, 
com as retas R1, R2 e R3. Observando os valores dos ângulos 
calcula-se os comprimentos das curvas: 
 
78,0
4
14,3
42
.
2
1
2
.r3C
18,11C2C
18,1
8
)14,3(3
8
3
4
3.
2
1
4
3.r1C
=≅
π
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
π
=
==
=≅
π
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
π
=
.	
	
As retas R1 e R2 são hipotenusas dos triângulos isósceles e R3 vale 4r: 
	
2
2
14r43R
41,11R2R
41,12
4
1.8
2
1.8r.8)r2()r2(1R
2
222
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
==
≅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==+=
.	
	
Total: 2(1,18) + 2(1,41) + 0,78 + 2 = 7,96. 
	
20. (UEL) Considere o sistema de roldanas circulares, de centros A e B, respectivamente, e as 
medidas dadas no esquema a seguir. As roldanas estão envolvidas pela correia CDEFC, bem 
ajustada, que transmite o movimento de uma roldana para outra. Calcule o comprimento dessa 
correia em centímetros. 
	
Solução. O comprimento da correia será calculado pela soma 
dos segmentos DC = EF com os comprimentos dos arcos DE e 
CF, externos, cujos ângulos centrais são, respectivamente, 
240º e 120º. 
 
( )
( )
310DCEF
310300100400)10()20(DC
2
3
2.3
3
2.rCFArco
3
52
3
4.13
3
4.rDEArco
22
==
==−=−=
π=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
=
π
=
π
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
=
π
=
.	
	
Logo, o comprimento será: ( ) cm320
3
58310.22
3
52
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
π
=+π+
π .	
	
	
21. (UFF) A figura mostrada, representa duas circunferências C e C' de mesmo raio r. Se MN é o 
lado comum de hexágonos regulares inscritos em C e C', calcule o perímetro da região sombreada.: 
 
Solução. Serão retirados dois comprimentos de arcos determinados pelos ângulos centrais de 
60º, referente ao hexágono regular. 
 
3
r.10
3
r.2r12
3
r.2r4
3
r.2)r2(2:Perímetro
r2:nciaCircunferê
3
r.
3
.rMNArco
rad
3
º60
π
=
π−π
=
π
−π=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
−π
π
π
=
π
=
π
→
	
	
22. (PUC-PR) Dois diâmetros AB e CD são perpendiculares em um círculo de raio 1dm. Calcule a 
área da superfície comum a esse círculo e ao círculo de centro A e raio AC 
em dm2. 
Solução. O raio AC é a hipotenusa do triângulo retângulo isósceles de 
catetos 1dm: dm211AC 22 =+= . A área determinada por esse 
raio AC é a quarta parte da área desta circunferência, pois subtende um 
ângulo central de 90º. Logo, essa área vale ( ) 2
2
dm
24
2
4
2
A π=π=
π
= . 
 
As áreas S1 são segmentos circulares. Valem a diferença entre a quarta parte da área 
circunferência de raio 1dm e a área do triângulo isósceles de catetos 1dm: 
( ) 22 dm
2
1
42
)1)(1(
4
11S ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
=−
π
= . 
 
A área pedida é: A + 2S1 = ( ) 2dm11
222
2
4
2
22
1
4
2
2
−π=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
+
π
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
+
π
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
π
+
π . 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
ARCOS E ÂNGULOS (TRIGONOMETRIA BÁSICA) – QUESTÕES - GABARITO 
 
1)	Verifique	em	que	quadrante	estão	as	extremidades	dos	arcos		abaixo:	
a)	240o																																			b)	144o36’44”																						c)	3678o																					d)	1386o																										e)	
4
17π 	
Solução.	Encontrando	a	1ª	determinação	positiva,	se	necessário,	temos:	
	
a)	240°	é	um	arco	maior	que	180°	e	menor	que	270°.	Logo,	se	situa	no	3°	quadrante.	
	
b)	144o36’44”	é	um	arcomaior	que	90°	e	menor	que	180°.	Logo,	se	situa	no	2°	quadrante.	
	
c)	 3678°	 ÷	 360°	 =	 10	 (voltas),	 resto	 78°.	 A	 primeira	 determinação	 positiva	 é	 78°.	 Se	 situa	 no	 1°	
quadrante.	
	
d)	 1386°	 ÷	 360°	 =	 3	 (voltas),	 resto	306°.	A	primeira	determinação	positiva	 é	 306°.	 Se	 situa	no	4°	
quadrante.	
	
e)	
4
)2(4
44
16
4
17 π
π
πππ
+=+= voltas .	 A	 primeira	 determinação	 positiva	 é	
4
π
.	 Se	 situa	 no	 1°	
quadrante.	
	
2)	Escreva	as	expressões	gerais	de	cada	arco	definido	no	exercício	anterior.	
Solução.	A	expressão	geral	será	de	acordo	com	a	primeira	determinação	indicada	em	cada	item.	
	
a)	 Zkk ∈°+° ,.360240 ;																				b)	 Zkk ∈°+° ,.360"44'36144 ;																		c)	 Zkk ∈°+° ,.36078 ;	
	
d)	 Zkk ∈°+° ,.360306 ;																				e)	 Zkk ∈+ ,..2
4
π
π ;	
	
3)	Em	um	círculo	da	raio	8	cm,		um	arco	de		 		rad	mede	quantos	centímetros?		
Solução.	O	comprimento	do	arco	de	uma	circunferência	é	produto	do	raio	pela	medida	do	arco	em	
radianos:		 cmC
3
40
3
5).8( ππ =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛= .	
	
4)	Qual	a	expressão	geral	dos	arcos	x	tais	que:	
A) sen	x		=	1										D)	cos	x	=	-	1				G)	tg	x	=	0								J)	sen	x	= 	
B) sen	x	=	0											E)	cos	x	=	1							H)	tg	x	=	1							K)	cos	x	=	-	 	
C) sen		x	=	-	1								F)		cos	x	=	0							I)	tg	x	=	-	1						L)		tg		x	=	-	 	
	
Solução.	Encontrando	os	arcos	da	primeira	determinação	que	satisfazem	às	equações,	temos:	
A)	 Zkkxsenx ∈+=⇒= ,..2
2
1 ππ ;	B)	 Zkkxsenx ∈=⇒= ,.0 π ;	C)	 Zkkxsenx ∈+=⇒−= ,..2
2
31 ππ ;	
	
D)	 ( ) Zkkxx ∈+=⇒−= ,.1..21cos π ;	E)	 Zkkxx ∈=⇒= ,..21cos π ;	F)	 Zkkxx ∈+=⇒= ,.
2
0cos ππ ;	
	
G)	 Zkkxtgx ∈=⇒= ,.0 π ;	H)	 Zkkxtgx ∈+=⇒= ,.
4
1 ππ ;	I)	 Zkkxtgx ∈+−=⇒−= ,.
4
1 ππ ;	
	
J)	
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∈+=
∈+=
⇒=
Zkkx
ou
Zkkx
senx
,..2
6
5
,..2
6
2
1
π
π
π
π
;	 K)	
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∈+=
∈+=
⇒−=
Zkkx
Zkkx
x
,..2
6
7
,..2
6
5
2
3cos
π
π
π
π
;	 L)	
Zkkxtgx ∈+=⇒−= ,.
6
5
3
3
π
π ;	
	
5)	Um	arco	mede	150o	em	uma	circunferência	de	 raio	18	cm.	Qual	o	comprimento	deste	arco,	em	
centímetros?	
Solução.	Estabelecendo	a	regra	de	três	associando	graus	e	radianos,	temos:	
	
cmx
xr
π
π
π
15
360
)18..2).(150(150
..2
360
=
°
°
=⇒
°
=
°
.	
	
6)	A	roda	de	uma	bicicleta	tem	80	cm	de	diâmetro.	Qual	o	número	aproximado	de	voltas	que	cada	
roda	deve	dar	para	completar	1	km?	
Solução.	O	raio	da	roda	é	de	40	cm.	Calculando	o	comprimento	de	uma	volta	e	o	número	de	voltas	
pedidas,	temos:	
voltas
cm
cm
cm
kmvoltasTotalii
cmrodavoltai
398
2,251
000100
2,251
1)()
2,251)14,3.(8080)40.(2)(1)
≅==
≅≅== ππ
.	
	
7)	Os	arcos	a	=	4x	+90o	e	b	=	2x	+	30o		são	côngruos.	Determine	o	menor	valor	positivo	de	x.	
	
Solução.	Arcos	côngruos	diferem	de	múltiplos	de	360°.	Como	queremos	o	menor	valor,	temos:	
	
°=
°
=⇒
⇒°−°=⇒°=°−−°+⇒°=°+−°+⇒°=−
150
2
300
603602360302904360)302(904360
x
xxxxxba
.	
	
8)	Sabendo	que	
2
2)º123( =−xsen 		,	determine	a	expressão	geral		de	x.	
Solução.	Resolvendo	a	equação,	temos:	
	
ZkkoukxExpressão
kxkxkx
ou
kxkxkx
xsen
∈°+°°+°=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
°+°
=⇒°+°+°=⇒°+°=−
°+°
=⇒°+°+°=⇒°+°=−
⇒=−
,.12049,.12019:
3
.360147.360121353.360135º123
3
.36057.36012453.36045º123
2
2)º123(
.	
	
9)	Calcule	o	valor	da	expressão:	
°°
°
°°
°
25cos.70.7
23cosº.75.4.
10cos.67.5
80º.20cos.3
sen
sen
sen
sen
.				
	
Solução.	Observando	a	propriedade	dos	ângulos	complementares,	temos:	
	
35
12
7
4.
5
3
25cos.70.7
67º.25cos.4.
10cos.67.5
10cos.70.3
25cos.70.7
23cosº.75.4.
10cos.67.5
80º.20cos.3)
67º23cos;25cos75;7020cos;10cos80)
==
°°
°
°°
°°
=
°°
°
°°
°
°=°=°°−°°=°
sen
sen
sen
sen
sen
sen
sen
senii
sensensenseni
.	
	
10)	Sabendo	que	
23
23 −
=
kxsen 		determine	quantos	valores	inteiros		k	pode	assumir.	
Solução.	Os	valores	do	seno	de	um	ângulo	variam	entre	–	1	e	1.	Temos:		
	
[ ] númerosTotalkeZksposta
kkkk
kkkkk
kii
xseni
161)7(8:8,7:Re
3
25232323231
23
23
7
3
2123232323
23
231
1
23
231)
11)
=+−−→−∈∈
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤⇒+≤⇒≤−⇒≤
−
−≥⇒−≥⇒−≥⇒−≥−⇒
−
≤−
⇒≤
−
≤−
≤≤−
.	
11)	(UERJ)	Um	ciclista	pedala	uma	bicicleta	em	trajetória	circular	de	modo	que	as	direções	dos	
deslocamentos	das	rodas	mantêm	sempre	um	ângulo	de	60°.	O	diâmetro	da	roda	traseira	dessa	
bicicleta	é	igual	à	metade	do	diâmetro	de	sua	roda	dianteira.	O	esquema	a	
seguir	mostra	a	bicicleta	vista	de	cima	em	um	dado	instante	do	percurso.		
Admita	que,	para	uma	volta	completa	da	bicicleta,	N1	é	o	número	de	voltas	
dadas	pela	roda	traseira	e	N2	o	número	de	voltas	dadas	pela	roda	dianteira	
em	torno	de	seus	respectivos	eixos	de	rotação.		
A	razão	
2
1
N
N
é	igual	a:	
	
a)	1																																	b)	2																												c)	3																								d)	4	
	
Solução.	Considere	r,	R	os	raios	da	menor	e	maior	trajetória	de	1	volta	das	rodas.	Considere	ainda,	
RT	e	RD	os	raios	das	rodas	traseiras	e	dianteiras.		
	
i)	Uma	volta	da	 roda	 traseira	possui	 comprimento	 TT R..2C π= .	O	comprimento	da	 trajetória	Tr	
efetuada	 pela	 roda	 traseira	 será	 T1r R.2.NT π= .	 Mas	 esse	 valor	 é	 comprimento	 da	 trajetória	
menor:	 r.2Tr π= .	Temos:	
TT
1T1 R
r
R.2
r.2Nr.2R.2.N =
π
π
=⇒π=π .	
	
ii)	A	roda	dianteira	completa	uma	volta	em	seu	eixo	de	comprimento	 DD R..2C π= .	A	trajetória	Td	
da	 roda	 dianteira	 será	 D2d R.2.NT π= .	 Mas	 esse	 valor	 é	 comprimento	 da	 trajetória	 maior:	
R.2Td π= .		
	
Temos:	
DD
2D2 R
R
R.2
R.2NR.2R.2.N =
π
π
=⇒π=π .	
	
Observando	o	triângulo	retângulo	(30º,	60º	e	90º),	temos:	 r2R
2
1.Rrº60cos
R
r
=⇒⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⇒= .		
O	problema	informa	que	RD	=	2.RT.		
Substituindo	e	calculando	a	razão,	temos:	 1
r2
R2.
R
r
R
R.
R
r
R
R
R
r
N
N t
t
d
t
d
t
2
1 ==== . 
	
12)	(UERJ)	Uma	máquina	possui	duas	engrenagens	circulares,	sendo	a	distância	entre	seus	centros	A	
e	B	igual	a	11cm,	como	mostra	o	esquema.	Sabe-se	que	a	engrenagem	menor	dá	1000	voltas	no	
mesmo	tempo	em	que	a	maior	dá	375	voltas,	e	que	os	comprimentos	dos	dentes	de	ambas	têm	
valores	desprezíveis.	A	medida,	em	centímetros,	do	raio	da	engrenagem	
menor	equivale	a:	
	
a)	2,5																														b)	3,0																							c)	3,5																												d)	4,0	
	
Solução.	 Considere	 r	 o	 raio	 da	 engrenagem	menor	 e	 R	 o	 raio	 da	 engrenagem	maior.	No	mesmo	
tempo,	temos:	
 
3
1375
412541253751000
37541251000)11(3751000
1111
3751000
11
)375).(2()1000).(2(
==⇒=+⇒
⇒−=⇒−=
⇒
⎩
⎨
⎧
−=⇒=+
=
⇒
⎩
⎨
⎧
=+
=
rrr
rrrr
rRRr
Rr
Rr
Rr ππ
. 
	
	
13)	 Seja	 	 	 um	 ângulo	 do	 segundo	 quadrante	 tal	 que	
5
3
=αsen .	 Determine	 as	 demais	 linhas	
trigonométricas	do	ângulo	 	
	
Solução.	No	2º	quadrante,	 cosseno,	 tangente,	 cotangente	e	 secante	 são	negativos.	Utilizando	as	
relações	trigonométricas,	temos:	
	
3
51seccos)
4
5
cos
1sec)
3
41cot)
4
3
4
5.
5
3
5
4
5
3
cos
5
4cos
5
3
)
5
4
25
16
25
925cos
25
91cos1cos
5
3
5
3
1cos
) 22
2
22
==
−==
−==
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
−
==⇒
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=
=
−==
−
=⇒−=⇒=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
ααα
α
αα
sen
v
iv
tg
giii
sentg
sen
ii
sen
sen
i
.	
	
14)	 Sabe-se	
12
5cot −=αg 	 e	 que	 	 pertence	 ao	 quarto	 quadrante.	 Determine	 todas	 as	 demais	
linhas	trigonométricas	do	ângulo	 	
	
Solução.	No	4º	quadrante,	 seno,	 tangente,	 cotangente	e	 cossecante	 são	negativos.	Utilizando	as	
relações	trigonométricas,	temos:	
	
5
13
cos
1sec)
13
5
12
5.
13
12
5
12
13
12
cos
cos
13
12
5
12
cos
)
5
121cot)
13
121seccos)
12
13
144
169
144
251seccosseccos
12
51
12
5cot
seccoscot1
) 2
2
22
==
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−−=
−
−
=⇒
−
=−⇒=
−=⇒=
−=⇒=
−==+=⇒=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=+
α
α
α
αα
α
α
α
α
α
α
α
α
αα
α
αα
v
sentgiv
tg
tg
giii
sen
sen
ii
g
g
i
.	
	
15)		A	expressão		 			com	 	k 	+	 		é	igual	a:	
	
a)	senα																																																				b)	senα	+	1																														c)		1																			d)	tg	α	.cos	α																
e)	0	
	
Solução.	Substituindo,	temos:	
	
	
( )( )
α
α
αα
α
αα
α sen
sen
sensen
sen
sen
sen
+=
−
+−
=
−
−
=
−
1
1
1.1
1
1
1
cos 22
.	
	
	
16)	A		expressão			 				é	equivalente		a:	
	
a)	sen 																																											b)	cotg 																												c)	sec	α																						d)	tg	α																			e)	
cossec 	
	
Solução.	Desenvolvendo,	temos:	
	
α
α
α
αα
α
α
αα
α
αα
α
αα
α
α
α
α tgsen
sen
sensen
sen
sen
sen
sen
sen
==
+
+
=
+
+
=
+
+
cos.cos1
.
cos
.cos1
.cos1
cos
.cos1
cos1
cos
1
.	
	
	
	
	
	
 
Unidades de medidas de ângulos 
	
Existem algumas unidades conhecidas com as quais podemos medir um ângulo. A mais conhecida é 
o grau, mas há também o radiano. 
• Grau: Dividindo uma circunferência em 360 partes iguais, ligamos o centro a cada um desses 
pontos marcados nessa circunferência. Com essa operação conseguimos determinar 360 ângulos 
centrais. Cada um desses ângulos é chamado de 1 grau. 
 
• Radiano: Outra unidade é chamada de radiano. Essa é uma das mais importantes e é a que mais 
faremos uso no nosso curso de trigonometria. Sejamos práticos: Desenhamos no chão uma 
circunferência de raio r. Agora fazemos uma formiga andar sobre essa circunferência (sobre a curva) 
o equivalente à r. Marcamos o lugar que ela pára. Agora marcamos o ângulo central que corresponde 
à esse arco que a formiga andou. Esse ângulo central formado mede 1 radiano (1 rd). 
 
A Conversão entre os sistemas é feita por meio de uma regra de três. 
180º ↔ π rad 
Comprimento de um arco 
 
Da circunferência da figura, obtemos a relação: 
 
 
 
 
α = ⇒ S = αR, com α em radianos. 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Transforme os ângulos abaixo para radianos. 
 
a) 120º b) 270º c) 45º d) 160º 
 
2) Transforme os ângulos abaixo para graus. 
 
a) rad b) rad c) rad d) rad 
 
3) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos? 
 
4) Um veículo percorre uma pista circular de raio 300 m, com velocidade constante de 10 m/s, 
durante um minuto. Dentre os valores abaixo, o mais próximo da medida, em graus, do arco 
percorrido é: 
 
a) 90 b) 115 c) 145 d) 75 e) 
170 
 
5) Qual o comprimento de um arco de 150º numa circunferência de raio 10 cm? 
 
6) Dentre os desenhos abaixo, aquele que representa o ângulo que tem medida mais próxima de 1 
radiano é: 
 
 
 
7) Em um jogo eletrônico, o "monstro" tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a 
figura. 
 
A parte que falta no círculo é a boca do "monstro", e o ângulo de abertura mede 1 radiano. Determine 
o perímetro do "monstro". 
 
 
 
 
8) Na figura, tem-se duas circunferências coplanares e concêntricas. Sendo OA = 4 cm, CD = 6 cm e 
o comprimento do arco AC = 6 cm, o comprimento do arco BD, em cm, é: 
 
a) 8 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
 
 
 
 
Círculo Trigonométrico ou Ciclo Trigonométrico 
	
A circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico é de extrema importância para o nosso 
estudo da Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas serão deduzidos. 
Trata-se de uma circunferência com centro na origem do sistema de eixos coordenados e de raio 1, 
como é mostrado na figura abaixo: 
 
 
 
Os eixos dividem a circunferência em 4 partes iguais denominados quadrantes. 
Convenciona-se que o sentido anti-horário é o sentido positivo na circunferência trigonométrica. 
 
Expressão geral dos arcos 
	
Imagine a seguinte situação: estamos caminhando sobre uma pista circular, logo, sairemos de um 
marco zero e vamos prosseguindo de tal forma que num determinado momento chegamos ao mesmo 
ponto de partida. A posição (sobre a pista circular) é a mesma daquela que começamos a caminhada, 
porém os arcos são diferentes, pois no início não tínhamos andado nada e agora temos um segundo 
arco que vale 2π. Veja a figura: 
 
 
Quando acontecem de termos dois arcos diferentes que terminam na mesma posição da 
circunferência, dizemos que esses arcos são arcos côngruos. 
 
Exemplos: 
 
i) e são côngruos ii) e são côngruos 
 
Assim, podemos ver que qualquer arco β é côngruo com outros infinitos arcos definidos pela soma de 
β com múltiplos de 2π , ou seja, se estamos sobre o arco β e andamos mais 2π sobre a circunferência 
voltamos para a mesma posição e se andarmos mais 2π voltamos novamente para a mesma posição 
original e se formos andando mais múltiplos de 2π estaremos sempre voltando para a mesma 
posição assim, podemos escrever que qualquer arco côngruo de β é da forma: 
 
 
 
OBS: │k│ é o número de voltas e o sinal de k indica o sentido (horário-negativo ou anti-horário-
positivo) do giro. 
Apresentamos abaixo a figura da circunferência trigonométrica em que são evidenciados os ângulos 
mais notáveis expressos em radianos e em graus. 
 
 
 
 
Exercícios. 
 
1) Encontre a menor determinação positiva e o quadrante dos arcos abaixo: 
 
a) 140º b) 870º c) 1260º d) -400º e) -
1580º 
 
f) rad g) rad h) rad i) rad 
 
2) Encontre o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio nas horas abaixo; 
 
 
a) 2h30min 
 
b) 10h20min 
 
c) 11h45min 
 
3) Um relógio analógico marca, num certo instante, 10h25min. Admita que o ponteiro dos minutos se 
movimente 72º. Nessas condições, calcule o novo horário apresentado por esse relógio. 
 
4) Represente, no ciclo trigonométrico, as extremidades dos arcos cujas medidas são dadas pela 
expressão: 
 
b) Zkkx ∈+−= ,
8
π
π 
 
a) Zkkx ∈+= ,2
6
π
π 
c) Zkkx ∈+= ,º90.º120 
 
d) Zkkx ∈+−= ,º360.º150 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
 
Lista de Trigonometria – Arcos e Ângulos - GABARITO 
 
1.	Complete	a	tabela.	
	
Solução.	Em	cada	caso,	basta	efetuar	uma	regra	de	três	simples	da	forma:		
	
)(
º180
grausângulox
rad
→
→π
	
	
Observe	os	resolvidos.	Os	demais	seguem	o	mesmo	procedimento.	
	
i)	30º:		
6º180
))(º30(
º30
º180 radradx
x
rad πππ
==⇒
⎩
⎨
⎧
→
→
	
	
ii)	120º:		
3
2
º180
))(º120(
º120
º180 radradx
x
rad πππ
==⇒
⎩
⎨
⎧
→
→
	
	
	
iii)	315º:		
4
7
20
35
º180
))(º315(
º315
º180 radradradx
x
rad ππππ
===⇒
⎩
⎨
⎧
→
→
	
	
2.	Expresse	em	graus:	a)	 rad
9
10π
											b)	 rad
8
11π
											c)	 rad
9
π
										d)	 rad
20
π
										e)	 rad
3
4π
	
Solução.	 Esse	 cálculo	 também	 poderia	 ser	 realizado	 pela	 regra	 de	 três,	 mas	 outra	 forma	 é	 substituir	
radπ pelo	seu	correspondente	em	graus,	180º,	e	simplificar	a	fração.	
	
						a)	 	 º200
2
º1800
9
)º180(10
9
10
===radπ 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 b)		
'30º247
4
)º45(11
8
)º180(11
8
11
===radπ 	
	
c)	 	 º20
9
)º180(
9
==radπ 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 d)	 	 º9
20
)º180(
20
==radπ 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 	 e)	
º240
3
º720
3
)º180(4
3
4
===radπ 	
	
3.	Determine	em	radianos	a	medida	do	ângulo	formado	pelos	ponteiros	de	um	relógio	às	4	horas.		
	
Solução.	 Os	 ponteiros	 de	 um	 relógio	 estão	 ambos	 na	 direção	 dos	 números	 somente	 na	 hora	
exata.	 Após	 esse	 momento,	 o	 único	 a	 ficar	 na	 direção	 é	 o	 ponteiro	 dos	 minutos	 (grande).	 O	
relógio	representa	uma	circunferência	dividida	em	12	partes	 iguais.	Logo,	cada	número	dista	de	
um	arco	que	mede	30º.		
Às	4h	o	menor	ângulo	central	formado	pelos	ponteiros	corresponde	a	
3
2º120 radπ→ .		
O	maior	corresponde	a	
3
4º240 radπ→ 	
4.	 (UFRGS)	 Se	o	ponteiro	menor	de	um	 relógio	percorre	um	arco	de	
12
π
	 radianos,	que	arcoponteiro	maior	
percorre?	
Solução.		Em	graus	a	medida	percorrida	pelo	menor	corresponde	a	15º.	Esse	valor	corresponde	à	metade	da	
distância	 entre	 dois	 números	 consecutivos.	 O	 tempo	 para	 percorrer	 essa	 distância	 pelo	menor	 é	 de	meia	
hora.	Enquanto	isso	o	ponteiro	maior	dá	meia	volta	completa,	isto	é,	180º.		
Logo,	o	ponteiro	maior	percorre	 	 radπ→º180 .	Resultado	também	obtido	pela	regra	de	três	simples	em	
relação	ao	ponteiro	grande.	
	
radradradx
x
rad
π
πππ
===⇒
⎩
⎨
⎧
→
→
min60
min))(60(
min60
min)2)(30(
min30
min602
	
5.	(UNICAMP)	Um	relógio	foi	acertado	exatamente	ao	meio-dia.	Determine	as	horas	e	os	minutos	que	estará	
marcando	esse	relógio	após	o	ponteiro	menor	ter	percorrido	um	ângulo	de	42º.	
	
Solução.	Sabendo	que	ele	percorre	30º	em	60	minutos,	aplicando	a	regra	de	três,	temos:	
	
min84min)2)(42(
º30
min)60)(º42(
º42
min60º30
===⇒
⎩
⎨
⎧
→
→
x
x
	
	
Logo	se	passaram	84	minutos	após	o	meio-dia,	que	corresponde	às	1h24min.	Que	é	a	hora	marcada.	Observe	
que	este	horário	é	vespertino.	Logo,	pode	ser	indicado	como	13h24min.	
	
6.	(CEFET–MG)	Qual	a	medida,	em	graus,	do	menor	ângulo	central	formado	pelos	ponteiros	de	um	relógio	que	
está	marcando	9h	30min?	
	
Solução.	 Ao	 marcar	 9h	 em	 ponto,	 os	 ponteiros	 estavam	 na	 direção	 dos	 números	 como	
indicado	na	linha	pontilhada.	Mas	às	9h30min	o	ponteiro	pequeno	deslocou-se	de	um	ângulo	
“x”.	 Aplicando	 a	 regra	 de	 três	 descobrimos	 quantos	 graus	 ele	 se	 afastou	 da	 direção	 do	
número	9	em	30	minutos.	
	
º15
2
º30
min60
min)30)(º30(
min30
min60º30
===⇒
⎩
⎨
⎧
→
→
x
x
	
	
Entre	 os	 números	 6	 e	 9	 forma-se	 um	 ângulo	 de	 90º.	 O	 ponteiro	 pequeno	 está	 distante	mais	 15º.	 Logo	 o	
menor	ângulo	central	entre	os	ponteiros	é	de	90º	+	15º	=	105º.	
	
7.	 (PUC)	Um	 relógio	 foi	 acertado	 exatamente	 às	 6h.	 Que	 horas	 o	 relógio	 estará	marcando	 após	 o	 ponteiro	
menor	(das	horas)	ter	percorrido	um	ângulo	de	72º?	
	
Solução.	Às	6h	os	ponteiros	menor	e	maior	estavam,	respectivamente,	sobre	os	número	6	e	12	no	relógio.	O	
ponteiro	menor	 percorreu	 um	 ângulo	 de	 72º.	 Sabendo	 que	 ele	 percorre	 30º	 em	 60	minutos,	 aplicando	 a	
regra	de	três,	temos:	
	
min144min)2)(72(
º30
min)60)(º72(
º72
min60º30
===⇒
⎩
⎨
⎧
→
→
x
x
	
	
Logo	se	passaram	144	minutos	que	corresponde	às	2h24min.	Logo,	o	relógio	marca	6h	+	2h24min	=	8h24min.	
	
8.	 (CESGRANRIO)	Um	mecanismo	 liga	o	velocímetro	 (marcador	de	velocidade)	a	uma	das	rodas	dianteiras	de	
um	 automóvel,	 de	 tal	 maneira	 que,	 quando	 essa	 roda	 gira	 rad.72π ,	 uma	 engrenagem	 que	 compõe	 o	
velocímetro	gira	 rad.2π .	Quando	a	roda	gira	 rad.
5
18π
,	essa	engrenagem	gira	quantos	graus?	
Solução.	Aplicando	a	regra	de	três	simples,	temos:	
	
º18
10
º180
1072
1
5
36
72
5
18)2(
5
18
272
=→=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
→
→ radrad
rad
radrad
xxrad
radrad ππ
π
π
π
π
ππ
.	
	
9.	Um	engenheiro	civil	precisa	 fazer	uma	planilha	de	custos	para	uma	obra	e	um	dos	 itens	a	 ser	 resolvido	é	
quantos	 metros	 de	 cerca	 de	 arame	 farpado	 devem	 ser	 comprados	 para	 cercar	 o	
terreno.	 Sabe-se	 que	 o	 terreno	 tem	 a	 geometria	 da	 figura.	O	 preço	 por	metro	 de	
cerca	é	de	R$	3,00.	Quanto	será	gasto	nessa	cerca?	
Dados:	 4,12 = ,	 7,13 = ,	 2,25 = 	e	 3=π .																										
Solução.	Calculando	cada	dimensão	do	terreno	marcado	na	figura,	temos:	
 
i)	Arco	C1: mrC rad 53
3)5(
3
)5(.1 =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==
π
α 	
	
ii)	Arco	C2: mrC rad 5,7)5,1(52
3)5(
2
)5(.2 ==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛==
π
α 	
	
iii)	C3:	 mmm 7512 =− 												iv)	C4	(diagonal	do	quadrado	de	lado	10):	 mlC 14)4,1(1024 === 	
 
Gasto	na	cerca:	Perímetro	x	(R$3,00)	=	(5	+	7,5	+	7	+	14)m	x	R$3,00	=	33,5m	x	R$3,00	=	R$100,50.	
10. Determine. 
Solução. O comprimento do arco “S” será o produto da medida do ângulo central em radianos pelo raio. 
a) o comprimento de um arco de circunferência (em cm), sabendo que ela tem 12cm de raio e o ângulo central 
correspondente mede 20°. 
 
a) 
( ) cmcmrS
radradradx
x
rad
rad 08,434,0)12(.
34,0
9
)14,3(
180
)14,3(20
º20
º180
===
≅==⇒
⎩
⎨
⎧
→
→
α
π
 
 
b) o ângulo central (em radianos) correspondente a um arco de 15cm de comprimento, sabendo que ela tem raio 
de 20cm. 
 
b) rad
cm
cmcmcm
cmS
rS
cmr
radradrad 75,020
15)).(20(15
15
.
20
==⇒=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
ααα 
 
c) a medida do raio de uma circunferência (em cm), sabendo que nela um ângulo central de 15° corresponde a 
um arco de 30cm. 
c) 
( ) cmrrcm
cmS
rS
radradradx
x
rad
rad 4,115
26,0
3026,0)(30
30
.
26,0
12
)14,3(
180
)14,3(15
º15
º180
≅=⇒=⇒
⎩
⎨
⎧
=
=
≅==⇒
⎩
⎨
⎧
→
→
α
π
 
 
11. A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio. Quantos metros ela percorre ao dar 5.000 voltas? 
Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420m? 
Solução. O comprimento total da circunferência é de 6,28r. Logo, a roda possui 6,28 x (40cm) = 251,20cm. 
Uma volta desta roda percorre 251,20cm. Então 5000 voltas percorrerão 
mcm 125601256000)2,251).(5000( == . 
Se em 1 volta ela percorre 251,20cm = 2,512m, então para percorrer 9420m ela dará 
)(3750
1520,2
9420 voltas
m
m
= . 
12.	As	rodas	de	um	automóvel	têm	70cm	de	diâmetro.	Determine	o	número	de	voltas	efetuadas	pelas	rodas	
quando	o	automóvel	percorre	9.891km.	Adote	 14,3=π .		
Solução.	 O	 raio	 da	 roda	 vale	 35cm.	 Logo	 o	 comprimento	 da	 roda	 é	 de	 6,28r	 =	 6,28(35cm)	 =	 219,8cm	
correspondendo	a	1	volta	completa.	Logo	em	9891km	ela	dará	 )(4500000
8,219
989100000 voltas
cm
cm
= 	
13.	Obtenha	as	menores	determinações	não	negativas	dos	arcos.	
a)	1300º																	b)	1440º												c)	170º															d)	 rad
2
11π
														e)	 rad
5
43π
														f)	–	1200º	
Solução.	 Encontra-se	 o	 número	 de	 voltas	 completas	 que	 é	 múltiplo	 de	 360º	 ou	 de	 2п.	 As	 menores	
determinações	 não	 negativas	 serão	 os	 arcos	 encontrados	 nos	 restos	 percorridos	 no	 sentido	 positivo.	 São	
chamadas	1ª	determinações.	
	
a)	 )º220()(3º360º1300 restovoltas →=÷ .	Logo	a	1ª	determinação	de	1300º	é	220º.	
	
b)	 )º0()(4º360º1440 restovoltas →=÷ .	Logo	a	1ª	determinação	de	1440º	é	0º.	
	
c)	170º	<	360º	não	completando	uma	volta.	Logo	a	1ª	determinação	é	o	próprio	170º.	
	
d)	 radvoltasradradrad
2
3)(4
2
3
2
8
2
11 ππππ
+=+= .	Logo	a	1ª	determinação	de	1440º	é	 rad
2
3π
.	
	
e)	 radvoltasradradrad
5
3)(8
5
3
5
40
5
43 ππππ
+=+= .	Logo	a	1ª	determinação	de	1440º	é	 rad
5
3π
.	
	
f)	 )º120()(3º360º1200 −→−=÷− restovoltas .	 Logo	 a	 1ª	 determinação	 de	 -1200º	 é	 240º	 (sentido	
positivo).	
	
14.	Dê	as	expressões	gerais	dos	arcos	côngruos	a:	
a)	1700º																								b)	–	700º																					c)	 rad
4
49π
																								d)	 rad.11π 																				e)	 rad
8
33π
− 							
Solução.	A	expressão	geral	será	determinada	pela	1ª	determinação	dos	ângulos	adicionadas	por	múltiplos	de	
360º	ou	2п	positivos	ou	negativos.	
	
a)	 )º260()(4º360º1700 restovoltas →=÷ .	Logo	a	expressão	geral	é	 Zkk ∈+ ),º360(º260 .	
	
b)	 )º340()(2º360º700 −→−=÷− restovoltas .	Logo	a	expressão	geral	é	 Zkk ∈+ ,º360(º20 .	
	
c)	 radvoltasradradrad
4
)(12
44
48
4
49 ππππ
+=+= .	 Logo	 a	 expressão	 geral	 é	
Zkkrad ∈+ ,2
4
π
π
.	
	
d)	 radvoltasradradrad ππππ +=+= )(51011 .	Logo	a	expressão	geral	é	 Zkkrad ∈+ ,2 ππ .	
	
e)	 radvoltasradradrad
8
)(4
88
32
8
33 ππππ
−=−−=− .		
	
A	1ª	determinação	será	 radradrad
8
15
8
2 πππ =− .	Logo	a	expressão	geral	é	 Zkkrad ∈+ ,2
8
15
π
π
.	
	
	15.	Marque	um	“X”	nos	pares	que	representam	arcos	côngruos.						
	
(	x	)	740º	e	1460º														(			)	400º	e	940º															(	x	)	 rad
3
38π
e		 rad
3
26π
																(			)	 rad
5
74π
e			
rad
5
19π
	
Solução.	 Para	 que	 representem	 arcos	 côngruos,	 as	 extremidades	 deverão	 ser	 as	 mesmas.	 Isto	 pode	 ser	
verificado	comparando	as	1as	determinações	de	cada	par:	
	
i)	
⎩
⎨
⎧
→=÷
→=÷
)º20()(4º360º1460
)º20()(2º360º740
restovoltasrestovoltas
																					ii)	
⎩
⎨
⎧
→=÷
→=÷
)º220()(2º360º940
)º40()(1º360º400
restovoltas
restovoltas
	
	
iii)	
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+=+=+=
+=+=+=
radvoltasradradradradrad
radvoltasradradradradrad
3
2)(4
3
28
3
2
3
24
3
26
3
2)(6
3
212
3
2
3
36
3
38
ππ
π
πππ
ππ
π
πππ
		
	
	iv)	
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+=+=+=
+=+=+=
radvoltaradradradradrad
radvoltasradradradradrad
5
9)(1
5
92
5
9
5
10
5
19
5
4)(7
5
414
5
4
5
70
5
74
ππ
π
πππ
ππ
π
πππ
		
	
16.	Os	arcos	da	forma	 30.)1(º180. kk −+ ,	 Zk ∈ ,	têm	extremidades	em	que	quadrantes?	
Solução.	Atribuindo	alguns	valores	para	“k”,	observa-se	a	regularidade	dos	quadrantes:	
	
Qou
Qk
Qk
Qk
Qk
Qk
Qk
Qk
º2º1
)º2(º150º510º30º540º30.)1(º180).3(3
)º1(º30º390º30º360º30.)1(º180).2(2
)º2(º150º30º180º30.)1(º180).1(1
)º1(º30º30.)1(º180).0(0
)º2(º150º210º30º180º30.)1(º180).1(1
)º1(º30º330º30º360º30.)1(º180).2(2
)º2(º150º210º570º30º540º30.)1(º180).3(3
3
2
1
0
1
2
3
⇒
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
→≡=−=−+⇒=
→≡=+=−+⇒=
→=−=−+⇒=
→=−+−⇒=
→≡−=−−=−+−⇒−=
→≡−=+−=−+−⇒−=
→≡−≡−=−−=−+−⇒−=
−
−
−
	
	
17.	Determine	os	valores	de:	
	
a)	 º180º902º540cos3 tgseny +−= 																					b)	 º720secº630cos2º9004 +−= seny 	
Solução.	 Encontram-se	os	arcos	 côngruos,	 reduzindo	ao	1º	quadrante	para	determinações	dos	valores	das	
funções	e	atribuindo	seus	respectivos	sinais	de	acordo	com	os	quadrantes.	
	
a)	 5230)1(2)1(3
0º180
1º90
1º180cosº540cos
−=−−=+−−=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
−==
y
tg
sen 	
	
b)	 11001)0(2)0(4
1º0secº360secº720sec
0º270cosº630cos
0º180º900
=+−=+−=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
===
==
==
y
sensen
	
	
18.	Determine	os	valores	máximos	e	mínimos	das	expressões:	
	
a)	
3
1cos4 +
=
xy 																					b)	
5
52 senxy −= 																					c)	 23 2 +−= xseny 	
Solução.	As	funções	seno	e	cosseno	variam	de	no	intervalo	[	–	1	1]	onde	(–	1)	é	mínimo	e	(1)	o	máximo.	No	
caso	das	funções	estarem	ao	quadrado,	o	valor	mínimo	passa	a	ser	(0),	pois	nenhum	número	ao	quadrado	
pode	ser	negativo.		
Atenção:	Se	 1111 ≤−≤⇒≤≤− senxsenx 	e	se	 1cos11cos1 −≤−≤⇒≤≤− x .	
	
a)	
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−=
−
=
+−
=
=
+
=
⇒
+
=
1
3
3
3
1)1(4:
3
5
3
1)1(4:
3
1cos4
ymínimo
ymáximo
xy 	
	
b)	
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−
=
−
=
=
−−
=
⇒
−
=
5
3
5
_)1(52:
5
7
5
_)1(52:
5
52
ymínimo
ymáximo
senxy 	
	
c)	
⎩
⎨
⎧
−=+−=
=+−=
⇒+−=
12)1(3:
22)0(3:
23 2
ymínimo
ymáximo
xseny 	
			
19.	Que	valores	de	m	satisfarão	a	ambas	as	condições:	 msenx 3= 	e	 1cos −= mx .	
Solução.	Aplicando	a	relação	fundamental	relacionando	senos	e	cossenos,	temos:	
	
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒=⇒=−
=
⇒=−⇒
⇒=−⇒=+−+⇒=−+⇒=+
5
115015
0
0)15(2
021011291)1()3(1cos 2222222
mmm
m
mm
mmmmmmmxxsen
	
	
20.	 Determine	 o	 valor	 positivo	 de	 m	 que	 satisfaz	 simultaneamente	 às	 condições:	 12sec −= mx 	 e	
42 += mtgx .	
Solução.	Aplicando	a	relação	fundamental	relacionando	secante	e	tangente,	buscando	“m”	positivo,	temos:	
	
( )
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<−=−=
−
=
→>=
+
=
⇒
±
=
+±
=
−−−±−−
=⇒
⇒=−−⇒+−=++⇒−=++⇒=+
.0
3
2
6
4
6
84
02
6
84
6
644
6
48164
)3(2
)4)(3(4)4()4(
044314441)12(41sec1
2
2222
2
222
m
okm
m
mmmmmmmxxtg
	
21.	Sendo	x	um	arco	do	2º	quadrante	e	
5
3
=senx ,	determine:	a)	 xcos 								b)	 tgx 						c)	 xsec 	
Solução.	 No	 2º	 quadrante	 o	 cosseno	 é	 negativo,	 tangente	 é	 negativa	 e	 a	 secante	 negativa	 (inverso	 do	
cosseno).	Aplicando	as	relações	fundamentais,	temos:	
a)	
5
4
25
16
25
925cos
25
91cos1cos
5
31cos 22
2
22 −=−=
−
−=⇒−=⇒=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⇒=+ xxxxxsen 	
b)	
4
3
4
5.
5
3
5
4
5
3
cos
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
−
==
x
senxtgx 	
c)	
4
5
5
4
1
cos
1sec −==
−
==
x
x 	
22.	(U.	F.	VIÇOSA-MG)	Sabendo	que	
3
1
=senx 	e	 ππ << x
2
,	o	valor	de	
1cot
secseccos
−
−
gx
xx
é:	
(				)	
4
23
																										(				)	
3
22
																				(	x	)	
4
23
− 																									(				)	
3
22
− 																				(				)	3	
Solução.	 O	 arco	 “x”	 está	 localizado	 no	 2º	 quadrante.	 Cossecante	 positiva	 (inverso	 do	 seno),	 cotangente	
negativa	(inversa	da	tangente)	e	secante	negativa	(inverso	do	cosseno).	
	
4
23
28
221
)18(4
231212224
1cot
secseccos
)122(
)122(.
)122(4
2312.
)122(4
2312
122
4
2312
122
4
233
1cot
secseccos:
223.
3
22
3
1
3
22
coscot
4
23
2.2
23
2
2.
22
3
22
3
cos
1sec
3
22
9
8
9
19cos
9
11cos1cos
3
11cos
31seccos
3
1
22
2
22
−=
−
=
−−
−+−
=
−
−
⇒
⇒
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+
=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+
=
−−
+
=
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
=
−
−
−=−=
−
==
−=−=−=−==
−=−=
−
−=⇒−=⇒=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛⇒=+
==⇒=
gx
xx
gx
xxLogo
senx
xgx
x
x
xxxxxsen
senx
xsenx
	
	
OBS:	Outra	solução	seria	desenvolver	a	expressão	antes	da	substituição.	
	
xsenxx
senx
xsenx
senxx
senx
senxx
xsenx
senxx
senx
x
xsenx
gx
xx
cos
1
cos
.
cos.
cos
cos
cos.
cos
1cos
cos
11
1cot
secseccos
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
	
	
Calculando	o	cosseno	pela	relação	fundamental,	basta	invertê-lo	e	encontrar	a	secante.	
	
	
23.	(F.	M.	Triângulo	Mineiro	–	MG)	Se	 π≤< x0 	e	 3cos3 =+ senxx ,	pode-se	afirmar	que:	
	
(				)	 1−<tgx 																		(				)	
2
11 −<≤− tgx 												(				)	
2
1
2
1
<≤− tgx 																									(	x	)		 1
2
1
<≤ tgx 		
Solução.	Dividindo	toda	a	equação	por	(cosx)	encontramos	um	valor	para	a	tangente.		
	
	
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒=⇒=−
=
⇒=−⇒
=−⇒=+−−−⇒+=++⇒
=+
=++⇒
⇒=+⇒=+⇒=+⇒÷→=+
4
334034
0
0)34(2
06809969)1(969
sec1:
sec969
)sec3()3(sec.33
cos
33)cos(3cos3
22222
22
22
22
tgxtgxtgx
tgx
tgxtgx
tgxxtgtgxxtgxtgxtgxtgtgx
xxtgOBS
xxtgtgx
xtgxxtgx
x
tgxxsenxx
	
	
A	tangente	não	assume	valores	negativos.	Logo	das	alternativas	mostradas,	só	a	última	satisfaz.	
	
24.	Relacione.	
	
(a)		 º5240cos 														(b)	 º1200sen 																(c)	 )º210(−sen 													(d)	 º330cosº1202º150 −+ sentg 	
(	c	)	
2
1
																												(	a	)		 º20cos− 															(	d	)	
6
3
																											(	b	)	 º30cos 	
Solução.	Encontrando	o	arco	côngruo	correspondente,	avalia-se	o	sinal	da	função.	
	
a)	 º200cosº5240cos = .	Este	arco	está	no	2º	quadrante	na	mesma	direção	do	arco	de	20º.	O	cosseno	é	
módulo	é	o	mesmo.	Mas	o	cosseno	no	2º	quadrante	é	negativo.	
	
b)	
2
3º30cosº60º120º1200 ==== sensensen 	
	
c)	
2
1º30º150)º210( ===− sensensen 	
	
d)	
6
3
6
333632º330cosº1202º150
2
33
3
3
2
33
º30cos
º30º30cos
2
32
º150cos
º150º330cosº1202º150
=
−+−
=−+
−+−=−+
−
=−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=−+
sentg
sensensentg
	
	
25.	(UF-AL)	A	expressão	
)º120cos(º540
º3001
−+
+
tg
sen
	é	igual	a:	
(				)	
3
3
− 																						(				)	
4
3
																	(				)	
4
32 −
														(				)	 32 + 																				(	x	)	 32+− 	
Solução.	Encontrando	o	arco	côngruo	correspondente,	avalia-se	o	sinal	da	função.	
	
( ) 322.
2
32
2
1
2
32
2
10
2
31
)º120cos(º540
º3001
2
1º120cos)º120cos(
0º180º540
2
3º60º300
+−=−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
−
−
=
−
−
=
−+
+
⇒
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
−==−
==
−=−=
tg
sentgtg
sensen
	
	
 
Exercícios de Trigonometria 
 
1º A medida de um ângulo é 225º. Em radianos, a medida do mesmo ângulo é: 
a) 
5
4π 
b) 
4
5π 
c) 
4
3π 
d) 
4
7π 
e) 
3
2π 
 
2º) O valor de sen +
4
π
cos
4
π
cos ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
42
ππ
é: 
a) 2 
b) 
2
2 
c) 
2
23 
d) 2 2 
e) n.r.a 
 
3º O domínio e o conjunto imagem da função definida por y = tg 2x, sendo D o domínio e I o 
conjunto imagem, são representados por: 
a) D = { x ∈ IR / x ≠ 
4
π } e I = IR* 
b) D = { x ∈ IR / x ≠ 
4
π e x ≠
4
3π } e I = IR* 
c) D = IR e I = IR 
d) D = { x ∈ IR / x ≠
2
K
4
π
+
π , K ∈Z} 
e) D = IR* e I = IR 
 
4º O valor de log ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4
5πtg é: 
a) -2 
b) –1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
5º Seja a função f, de IR em IR definida por f(x) = 1 + 4 sen x. O conjunto imagem dessa 
função é o intervalo: 
a) ⎣ ⎦5,3− 
b) ⎣ ⎦5,3 
c) ⎣ ⎦4,3− 
d) ⎣ ⎦4,3 
e) ⎣ ⎦1,1− 
 
6º O conjunto imagem da função f : IR è IR, definida por f(x) = 2 sen x – 3, é o intervalo: 
a) [-1, 1] 
b) [-5, 5] 
c) [-5, 1] 
d) [-1, 5] 
e) [-5,-1] 
 
7º O período da função dada por y = sen ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
4
2
πx é: 
a) π 
b) 2π 
c) 
4
π 
d) 
2
π 
e) 
8
π 
 
8º O período da função: f(x) = 4cos ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ 3
4
1 x é: 
a) 8π 
b) 7π 
c) 6π 
d) 3π 
e) 2π 
 
9º Calcular os valores de k que verificam simultaneamente as igualdades: 
sen x = k – 1 e cos x = 23 k− 
a) 1 
b) 0 
c) 
2
3 
d) 2 
e) –1 
 
10º O domínio da função f(x) = sec ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+ X
2
π
 é: 
a) IR 
b) 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
π+
π
≠ k
2
x 
c) { }Zk,kx ∈π≠ 
d) {x ≤ -1 ou x ≥ 1} 
e) n.r.a. 
 
11º O valor da expressão xtg
x
xsen 2
2
2
cos
2
−
−
 é: 
a) -1 
b) –2 
c) 2 
d) 1 
e) 0 
 
12º A função trigonométrica equivalente a 
xx
xsenx
cosseccos
sec
+
+
é: 
a) sen x 
b) cotg x 
c) sec x 
d) cossec x 
e) tg x 
 
13º No círculo trigonométrico um ângulo é tal que seu seno vale 
5
3 e encontra-se no 
segundo quadrante. A tangente deste ângulo vale: 
a) 
4
3
− 
b) 
3
4
− 
c) –1 
d) 
4
3 
e) 
3
4 
 
14º Se sec x = 3 e tg x < 0, então sem x vale: 
a) 
3
22 
b) 
2
23− 
c) 
3
22− 
d) 
2
23 
e) 
2
2− 
 
15º O valor da expressão x = 
θ
θ
21
2
tg
tg
−
 quando cos
7
3
−=θ e tg θ < 0 é: 
a) 
31
104 
b) 
31
1012 
c) 
15
102 
d) 
7
103 
e) n.r.a. 
 
16º A expressão: 
( )
( ) ( )xtgx
xxsen
−⋅+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−
ππ
π
π
2cos
2
cos
 vale: 
a) -2 
b) –1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
17º Simplificando a expressão y = 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+
−⋅−
xsenxsen
xx
2
)(
)cos()2cos(
π
π
ππ
, temos: 
a) y = tg x 
b) y = cotg x 
c) y = sen x ⋅ cos x 
d) y = - sen x 
e) y = - cos x 
 
18º Simplificando-se a expressão 
)cos()cos(
)()(
baba
basenbasen
−++
−++
 resulta: 
a) cotg a 
b) tg a 
c) tg b 
d) cotg (a + b) 
e) n.r.a. 
 
 
19º cos(75º) é igual a: 
a) 
2
3
2
2
⋅ 
b) 
2
2
2
3
− 
c) 
2
1
2
3
− 
d) 
4
2
4
6
⋅ 
e) 
4
2
4
6
− 
 
20º Sendo πγβα =++ , então cos ( γα + ) vale: 
a) sen β 
b) cos β 
c) –sen β 
d) –cos β 
e) n.r.a. 
 
GABARITO DE TRIGONOMETRIA 
 
01. B 
02. B 
03. D 
04. C 
05. A 
06. E 
07. A 
08. A 
09. C 
10. C 
11. C 
12. E 
13. A 
14. C 
15. B 
16. E 
17. B 
18. B 
19. E 
20. D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
COLÉGIO	PEDRO	II	-	CAMPUS	SÃO	CRISTÓVÃO	
III	
APROFUNDAMENTO	DE	MATEMÁTICA	–	2016	
PROFESSORES:	GODINHO	/	MARCOS	
 
AULA 4: Trigonometria 
	
	 	
 
 
 
 
TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tendo como base o triângulo retângulo da figura acima, podemos definir algumas relações que 
envolvem os ângulos do triângulo retângulo. São elas: o seno, o cosseno e a tangente. Definimos 
essas linhas (ou razões) trigonométricas da seguinte forma: 
 
seno = 
hipotenusa
opostocateto
 
 
cosseno = 
hipotenusa
adjacentecateto
 
 
tangente = 
adjacentecateto
opostocateto
 
 
 
ÂNGULOS NOTÁVEIS 
 30° 45° 60° 
SENO 
 
COSSENO 
 
TANGENTE 
 
1 
 
RELAÇÕES ENTRE SENO, COSSENO E TANGENTE 
• sen²	x	+	cos²x	=	1	
• tgx	=	
xcos
senx
		
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
•Definições 
Do ciclo trigonométrico da figura, definimos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
 seno = cosseno = 
 
tangente = 
 
 
Paridade e periodicidade 
 
Função Par ou ímpar Período Sinais Domínio Imagem 
 
 
 
sen x 
 
 
Ímpar 
sen (-x)= - sen x 
 
 
 
2π 
 
 
 
IR 
 
 
 
[-1, 1] 
sen x = 
 
cos x = 
 
tg x = 
 
 
 
 
cos x 
 
 
Par 
cos x= cos (-x) 
 
 
 
2π 
 
 
 
IR 
 
 
 
[-1, 1] 
 
 
tg x 
 
 
Ímpar 
tg(-x) = - tg x 
 
 
π 
 
 
 
x ≠ + Kπ 
 
 
IR 
	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SENO, COSSENO E TANGENTE NO CICLO TRIGONOMÉTRICO 
	
	
	
GRÁFICOS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
1) FUNÇÃO SENO 
 
2) FUNÇÃO COSSENO 
 
 
3) FUNÇÃO TANGENTE 
 
 
FÓRMULAS DE ADIÇÃO DE ARCOS 
1) SENO DA SOMA 
 
 
2) SENO DA DIFERENÇA 
 
 
3) COSSENO DA SOMA 
 
 
4) COSSENO DA DIFERENÇA 
 
 
5) TANGENTE DA SOMA 
 
 
6) TANGENTE DA DIFERENÇA 
 
 
 
 
ARCOS DUPLOS 
1) SENO ARCO DUPLO 
 
 
2) COSSENO DO ARCO DUPLO 
 
 
3) TANGENTE DO ARCO DUPLO 
 
 
Lei dos cossenos 
Em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados é igual à soma dos quadrados dos outros dois 
lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. A 
saber: 
 
	
 
 
Lei	dos	senos	
Seja um triângulo qualquer, com lados a, b e c, que são os lados opostos aos ângulos A, B e C, 
respectivamente. O quociente entre a medida de cada lado e o seno do ângulo oposto a este lado é 
uma constante igual a 2r, em que r é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é: 
 
 
 
 
QUESTÕES RESOLVIDAS 
 
1) (UERJ) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em uma 
estrutura composta por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso 
acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo 
acionamento desse parafuso. Observe a figura: 
 
Considere as seguintes medidas: AM = AN = BM = BN = 4dm; 
MN = x dm; AB = y dm. O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a: 
(A) 2x416 − (B) 2x64 − (C) 
2
x416 2−
 (D) 
2
x264 2−
 
Gabarito: B 
 
 
22222
22
2
22
x64yx64y64xy16
4
x
4
y4
2
x
2
y
−=⇒−=⇒=+⇒=+⇒=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ 
 
2) (UERJ) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica. Os centros das rodas estão a uma distância 
PQ igual a 120 cm e os raios PA e QB medem respectivamente 25 cm e 52 cm. De acordo com a 
tabela, qual o valor do ângulo POA
⌢
? 
 
 
(A) 10º (B) 12º (C) 13º (D) 14º 
 
Gabarito: C 
 
 
º.13x,tabelaacomacordoDe
225,0
40
9
120
27senx
:temos,acimafiguraconforme,ABsegmentoaoparalelaumaTraçando
=
=== 
 
3) (UERJ) Um atleta faz seu treinamento de corrida em uma pista circular que tem 400 metros de 
diâmetro. Nessa pista, há seis cones de marcação indicados pelas letras A, B, C, D, E e F, que 
dividem a circunferência em seis arcos, cada um medindo 60 graus. Observe o esquema mostrado. 
O atleta partiu do ponto correspondente ao cone A em direção a cada um dos outros cones, sempre 
correndo em linha reta e retornando ao cone A. Assim, seu percurso correspondeu a 
ABACADAEAFA. Considerando 7,13 = , o total de metros percorridos pelo atleta nesse treino foi 
igual a: 
 
(A) 1480 (B) 2960 (C) 3080 (D) 3120 
 
Gabarito: B 
 
 
m2960400680800680400
)AF.(2)AE.(2)AD(2)AC.(2)AB.(2:serátotaldistânciaa,totanPor
m340)7,1(200
2
3).400(AC
AD
ACº60sen:)ACD(
m200
2
1).400(AB
AD
ABº30sen:)ABD(
:Logo
.diâmetrooéladosseusdeeumnciacircunferênainscritosestãopois,retângulossãoACDeABDtriângulosOs
=++++
++++
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
===→=
==→=
 
 
 
 
4) (UERJ) Observe a matriz a seguir. Resolvendo seu determinante, será obtido o seguinte 
resultado: 
 
(A) 1 (B) sen x (C) sen2 x (D) sen3 x 
 
Gabarito: D 
 
( ) ( )
( ) ( ) xsenx²sensenxx²cos1senxx²cos.senx0xcos.senxsenx0xcos.senx
x²cos.senx0xcos.senxsenx0xcos.senx
1senx
xcossenx
xcossenx
11senx
0xcossenx
1xcossenx
3
22
==−=−+−++
=++−++= 
 
5) (UERJ) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre 
perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do 
ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir. Se o ponto B dista 20 
metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a: 
 
(A) 60° (B) 45° (C) 30° (D) 15° 
 
Gabarito: B 
	
º45y1tgy
3
13
3
tgy13
3
152
3
tgy3tgy10
5
3
2tgytgy.
3
10tgy
3
2tgy.
3
2.555
tgy.
3
21
tgy
3
2
5)yx(tg
tgy.tgx1
tgytgx)yx(tg
5
30
150
AB
BD)yx(tg:)ABD(T
3
2
30
20
AB
BCtgx:)ABC(T
=→=→−
=
−
→
−
=
−−
⇒−=−−→+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−→=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
−
+
=+
→
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
===+
===
	
	
 
6) (UERJ)	 Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com 
inclinações diferentes. As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas AB = CD = EF, contidas 
nas retas de maior declive de cada rampa. Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida 
A, C e E são, respectivamente, h1, h2 e h3, conclui-se que h1 + h2 é igual a: 
 
(A) 3h3 (B) 2h3 (C) 3h2 (D) 3h 
 
 
Gabarito: D 
( )
( )
321
3
21
3
2
1
hhh
4
26ah
4
26a
4
2226a
4
22
4
26a
2
2
4
26ahh
4
26
2
2.
2
1
2
3.
2
2º45cosº30senº30cosº45senº30senº45senº75sen
a
h
2
2º45sen
a
h
4
26
2
2.
2
1
2
3.
2
2º45cosº30senº30cosº45senº30senº45senº15sen
a
h
=+→
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=+
+
=+=+=+==
==
−
=−=−=−==
 
 
7) (UERJ) Um piso plano é revestido de hexágonos regulares congruentes cujo lado mede 10 cm. Na 
ilustração de parte desse piso, T, M e F são vértices comuns a três hexágonos e representam os 
pontos nos quais se encontram, respectivamente, um torrão de açúcar, uma mosca e uma formiga. 
Ao perceber o açúcar, os dois insetos partem no mesmo instante, com velocidades constantes, para 
alcançá-lo. Admita que a mosca leve 10 segundos para atingir o ponto T. Despreze o espaçamento 
entre os hexágonos e as dimensões dos animais. A menor velocidade, em centímetros por segundo, 
necessária para que a formiga chegue ao ponto T no mesmo instante em que a mosca, é igual a: 
 
(A) 3,5 (B) 5,0 (C) 5,5 (D) 7,0 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: D 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
s/cm7
s10
cm70
T
Dv
s10Tempo
cm70Distância
704900d15003400d
2
1.30002500900d)º120cos(50)30(25030d
2
2222
===→
⎩
⎨
⎧
=
=
==→+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−+=→−+=
 
 
 
8) (UERJ) Considere uma placa retangular ABCD de acrílico, cuja diagonal AC mede 40 cm. Um 
estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e 
AC, de modo que DÂE = 45º e BÂC = 30º, conforme ilustrado a seguir: 
 
Após isso, o estudante descartou a parte triangular CAE, restando os dois esquadros. 
Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que = 1,7, a área, em cm², do triângulo 
CAE equivale a: 
(A) 80 
(B) 100 
(C) 140 
(D) 180 
Gabarito: C 
 
 
 
 
2cm140
2
2014
2
ADECA :vale CAE triângulo do áreaA 
14cm. = 20 - 34 = EC = z Logo 
 ADE.isósceles retângulo triângulo do cateto é pois 20cm, = y = DE )iii
3. de raiz pela domultiplica hipotenusa da metade a Vale
 ABC.triângulo do 60º de ângulo ao oposto é pois,.cm34)7,1.(20320x)ii
 AEC.triângulo do altura da valor o será Também
 ABC.retângulo triângulo no 30º de ângulo ao oposto cateto é pois, 20cm = y i)
=
×
=
×
=
===
 
 
9) (UERJ) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica 
quando ele se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m, como mostra o 
esquema: 
A altura da torre, em metros, equivale a: 
 
 
(A) 96 (B) 98 (C) 100 (D) 102 
Gabarito: A 
 
m96h9216²h78410000²h²2810000²h
:vem)III(emdoSubstituin
28xx2005600²x10000²xx2001000025600:temos),II(em)III(doSubstituin
)III²(x10000²h
)II²(h)²x100(²160
)I²(h²x²100
:Logo.retângulossãoacimafiguranaABDeABCtriângulosOs
=→=→−=→−=
=→=→−+++=
−=→
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
++=
+=
 
 
Respostas: 1) B; 2) C; 3) B; 4) D; 5) B; 6) D; 7) D; 8) C; 9) A 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - GABARITO 
 
1) Calcular secx, sabendo que 0 com ,2sen 22 >>+
= ba
ba
abx . 
Solução. Sabendo que a secante vale o inverso do cosseno, basta calcular o valor do 
cosseno utilizando a relação fundamental e inverter o resultado: 
i) 
( )
( ) ( )
( )
( )
)(cos
24211cos
22
22
222
222
222
4224
222
222222
22
2
positivo
ba
ba
ba
bax
ba
bbaa
ba
baba
ba
abxsenx
+
−
=
+
−
=
+
−−
=
+
−+
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−=−=
 
 
ii) 22
22
22
22
1
cos
1sec
ba
ba
ba
bax
x
−
+
=
+
−
== 
 
2) Demonstre as seguintes identidades trigonométricas: 
 
a) 1
sec
cos
seccos
sen
=+
x
x
x
x
 b) 2)cotsec(cos
cos1
cos1 xx
x
x
−=
+
−
 
 
c) abbaba 22 coscos)sen().sen( −=−+ 
d)
x
xxxtg
2sen1
2sen1)45cot().45(
−
+
=−°+° 
 
Solução. 
 
a) .1cos
cos
1
cos
1sec
cos
seccos
22 =+=+=+ xxsen
x
x
senx
senx
x
x
x
senx
 
 
 
 
b) 
( )( )
( )( )
.)cotsec(coscos1coscos21coscos21
coscos21
cos1
coscos21
cos1.cos1
cos1.cos1
cos1
cos1
2
2
2
2
222
2
2
2
2
2
gxx
senx
x
senxxsen
x
xsen
x
xsenxsen
xx
xsen
xx
x
xx
xx
xx
x
x
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=+−=
+−
+−
=
−
+−
=
−+
−−
=
+
−
 
 
 
c) 
.coscoscos.coscoscos.coscos
cos)cos1(cos)cos1(coscos
)coscos)(coscos()().(
22222222
22222222
abbaabab
abbaabsenbasen
asenbbsenaasenbbsenabasenbasen
−=+−−
=−−−=−
=−+=−+
 
d) 
xsen
xsenxxtg
21
21)45cot().45(
−
+
=−°+° 
i) 
.
2cos
21
cos
cos2cos)45(
)).(cos(cos
)).(cos(cos
)(cos
2
2
)(cos
2
2
º45cosº45cos
º45coscosº45)45(
22
22
x
xsen
xsenx
xsenxsenxxxtg
senxxsenxx
senxxsenxx
senxx
senxx
senxsenx
senxxsenxtg
+
=
−
++
=+°
+−
++
=
−
+
=
−
+
=+°
 
 
ii) 
.
21
coscot
2cos
21
cos
cos2cos)45(
)).(cos(cos
)).(cos(cos
)(cos
2
2
)(cos
2
2
º45cosº45cos
º45coscosº45)45(
22
22
xsen
xgx
x
xsen
xsenx
xsenxsenxxxtg
senxxsenxx
senxxsenxx
senxx
senxx
senxsenx
senxxsenxtg
−
=⇒
−
=
−
+−
=+°
−+
−−
=
+
−
=
+
−
=−°
 
 
iii) .
21
21
21
cos.
2cos
21)45cot().45(
xsen
xsen
xsen
x
x
xsenxxtg
−
+
=
−
+
=−°+° 
 
3) Simplificar as expressões: 
a) 
)cos().2(
)
2
cos().sen(
xxtg
xx
−−
+−
ππ
π
 b) )7sen(.
2
15cos
2
9sen xx −⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
ππ
 
 
Solução. 
a) Temos: senxxsen −=− )( ; senxx −=+ )
2
cos(π ; tgxxtg −=− )2( π e xx cos)cos( −=−π . 
 
Logo, .
cos.
cos
)cos).((
)).((
)cos().2(
)
2
cos().( 22
senx
senx
xsen
x
x
senx
xsen
xtgx
senxsenx
xxtg
xxsen
===
−−
−−
=
−−
+−
ππ
π
 
 
b) Temos: 1)
2
4(
2
9
=+=
π
π
π sensen ; senxx =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
2
15cos π e senxxsen =− )7( π . 
 
Logo, .cos1)).((1)7(.
2
15cos
2
9 22 xxsensenxsenxxsenxsen =−=−=−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
ππ
 
 
 
4) Usando somas e diferenças, calcular: 
 
a) cos15° b) cot 165° c) cossec 
15° 
 
Solução. 
 
a)Escrevendo 15º = 60º - 45º, vem: 
4
62
2
2.
2
3
2
2.
2
1º15cos
º45cosº.60º45cosº.60cos)º45º60cos(º15cos
+
=+=
+=−= sen
 
 
b) Escrevendo 165º = 120º + 45º, vem: 
( )( ) .324
)32(4
26
)21226(
26.26
)26).(26(
26
4.
4
62º165cos
4
26
4
62
2
1.
2
2
2
2.
2
3
2
2.
2
3
2
2.
2
1
º120cosº45º45cosº120
º45º.120º45cosº.120cos
)º45º120(
)º45º120cos(º165cot
−−=
+−
=
−
++−
=
+−
++−
=
−
−−
=
−
−−
=
−
+
−
−
=
+
−
=
+
+
=
sensen
sensen
sen
g
 
c) Escrevendo 15º = 60º - 45º, vem: 
 
( )
( )( )
( ) .26
26
26.4
26.26
26.4
4
26
1º15cos
2
1.
2
2
2
2.
2
3
1
º60cosº45º45cosº60
1
)º45º60(
1
º15
1º15seccos
+=
−
+
=
+−
+
=
−
=
−
=
−
=
−
==
sensensensen
 
 
5) Sendo 
3
2sen =α , com 0 < α < π/2, calcule: a) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + α
π 2
2
sen b) 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +α
π
4
cos 
Solução. 
a) Temos: .
3
5
9
49
9
41
3
21cos
3
2 2
=
−
=−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=⇒= ααsen Desenvolvendo o 
seno pedido e substituindo, vem: 
.
9
1
9
4
9
5cos2
2
.2cos
2
cos22cos
2
2
2
22 =−=−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
ααα
π
α
π
αα
π
α
π
sensen
sensensen
 
 
b) Temos: ).(cos
2
2cos
4
cos
4
cos
4
cos αααπαπαπ sensen −=−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + Substituindo os 
valores, vem: .
6
2210
3
2
3
5
2
2
4
cos −=⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +α
π
 
 
6) Se π
π 2
2
3 e 
5
3cos <<= xx , calcular sen(3x).Solução. Temos: 
25
24
5
3.
5
4.2cos22
25
7
25
16
25
9cos2cos
)(
5
4
25
16
25
925
25
9-1
5
3-1senx 
5
3cos
22
2
===
−
=−=−=
==
−
==⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=⇒=
xsenxxsen
xsenxx
positivox
. 
Escrevendo sen(3x) = sen(2x + x) = sen2xcosx + senxcos2x e substituindo, vem: 
.
125
44
125
28
125
72)
25
7(
5
4
5
3.
25
243 =−=−+=xsen 
 
 
7) Resolva as equações trigonométricas em ℜ : 
 
a) 
2
23sen =x b) xx 3sen5sen = c) 
2
3cos −=x d) tg(3x)=1 
Solução. 
a) O ângulo cujo seno vale 
2
2 é 45º ou 135º e seus côngruos. Logo, é da forma 
π
π k2
4
+ ou π
π k2
4
3
+ , com π ∈ Z. Logo a solução será: 
.
3
2
4
2
4
33
3
2
12
2
4
3
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+=⇒+=
+=⇒+=
ππ
π
π
ππ
π
π
kxkxsen
ou
kxkxsen
 
 
b) Para que sen5x = sen3x, temos que 5x e 3x estarão sobre a mesma linha horizontal. 
8
).12(28
2)3(5
22235
π
ππ
ππ
πππ
+=⇒+=
+−=
=⇒=⇒+=
kxkx
kxx
ou
kxkxkxx
Em ambos os casos, k ∈ Z. 
c) O ângulo cujo cosseno vale 
2
3− é 150º ou 210º e seus côngruos. A solução, então 
é expressa da forma: .2
6
5
2
3cos ππ kxx +±=⇒−= k ∈ Z. 
 
d) O ângulo cuja tangente vale 1 é 45º e seus côngruos. A solução, então é expressa 
da forma: .
3124
313 ππππ kxkxxtg +=⇒+=⇒= k ∈ Z. 
 
8) Se 
2460º cos1110º
2205º
senM
tg
×
= , calcule M. 
Solução. Encontrando as extremidades dos ângulos com a divisão por 360º, temos: 
i) 2460º ~ 300º ii) 1110º ~ 30º iii) 2205º ~ 45º 
Substituindo, vem: .
4
3
1
2
3.
2
3
º45
º30cosº300
º2205
º1110cosº2460 −
=
−
===
tg
xsen
tg
xsenM 
9) Se sen x = 
3
5
− , com 4ºx quadrante∈ então qual o valor de tg x? 
Solução. Calculando o cossseno pela relação fundamentel, temos: 
.
5
4
25
16
25
91
5
311cos
2
2 ==−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−=−= xsenx Utilizando a fórmula da tangente, 
vem: 
.
4
3
4
5.
5
3
5
4
5
3
cos
−
=
−
=
−
=⇒= tgx
x
senxtgx 
10) Qual é o valor de: sec 60º+ sec 45º – cossec30º + cossec 315º? 
 
Solução. Substituindo as funções por senos e cossenos e calculando, temos: 
 
.0
2
222
2
222
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
º315
1
º30
1
º45cos
1
º60cos
1
=−−+=
−
+−+=+−+
sensen
 
 
11) Se x e y são dois arcos complementares, calcule A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 
 
Solução. Desenvolvendo os produtos e lembrando que x + y = 90º, vem: 
 
.2
)0(22
º90cos22
)cos(.211
)cos(cos2)cos()(cos
2coscoscos2cos
2222
2222
=
−=
−=
+−+=
−−+++=
++++−=
A
A
A
yxA
senxsenyyxyysenxsenxA
ysensenxsenyxsenyyxxA
 
 
 
12) Calcule sen2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3. 
 
Solução. A cotangente é o inverso da tangente. E podemos escrever sen2x = 
2senxcosx. Temos: 
.
3
22
3
1.2cos2
3
1cos
cos31
cos3cos3cos
cos
3 22
=⇒=⇒=
=
=+⇒=+⇒=+
xsenxsenxxsenx
xsenx
xsenxxxsen
senx
x
x
senxctgxtgx
 
 
 
78 
Índice 
PREÂMBULO ...................................................................................................................................................... 79 
ÂNGULOS ............................................................................................................................................................. 80 
1.1. Ângulo trigonométrico ............................................................................................................................. 80 
1.2. Classificação de ângulos .......................................................................................................................... 81 
1.3. Arcos de circunferência ............................................................................................................................ 82 
2. TRIÂNGULOS ................................................................................................................................................. 83 
1.1. Semelhança de triângulos ......................................................................................................................... 83 
1.2. Classificação de triângulos ....................................................................................................................... 84 
3. TRIGONOMETRIA E RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .................................................................... 85 
1.1. Teorema de Pitágoras ............................................................................................................................... 85 
1.2. Relações trigonométricas de ângulos ....................................................................................................... 87 
1.3. Fórmula fundamental da trigonometria .................................................................................................... 88 
1.4. Um problema de trigonometria ................................................................................................................ 89 
4. SENO, COSENO E TANGENTE COMO FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL ........................... 91 
5. PROPRIEDADES IMPORTANTES DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ....................................... 94 
5.1. Valores das funções trigonométricas para alguns ângulos-chave ............................................................ 94 
1.2. Paridade das funções trigonométricas ...................................................................................................... 95 
1.3. Sinal das funções trigonométricas ............................................................................................................ 96 
1.4. Monotonia das funções trigonométricas ................................................................................................... 97 
1.5. Redução ao primeiro quadrante .............................................................................................................. 100 
1.6. Periodicidade das funções trigonométricas ............................................................................................ 101 
1.7. Resumo das propriedades das principais funções trigonométricas ........................................................ 102 
6. RELAÇÕES IMPORTANTES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................. 107 
1.1. Fórmulas de adição e subtracção ............................................................................................................ 107 
1.2. Fórmulas de duplicação .......................................................................................................................... 108 
1.3. Fórmulas de bissecção ............................................................................................................................ 108 
1.4. Fórmulas de transformação .................................................................................................................... 109 
7. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS ........................................................................................ 111 
1.1. Arco seno: arcsen(a) ............................................................................................................................... 111 
1.2. Arco coseno: arccos(a) ........................................................................................................................... 112 
1.3. Arco tangente: arctg(a) ........................................................................................................................... 112 
1.4. Arco co-tangente: arccotg(a) .................................................................................................................. 112 
1.5. Resumo: domínio e contradomínio das funções trigonométricas inversas ............................................ 112 
8. RESOLUÇÃO DE ALGUMAS EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS .................................................... 114 
8.1. Resolução de equações de funções trigonométricas do tipo f(x) = y ...................................................... 114 
1.2. Exemplo ..................................................................................................................................................