Aula 05 - Logaritmos - Versão Aula pt4

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Logatitmo 
 
 
 
Autor: 
Marcos Rodrigo Carneiro 
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23 de maio, 2020 
@M.R.C.0 
@Matemática Em Cores 
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“Grandes feitos nunca acontecem sem esforços” 
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PROPRIEDADES 
 
i) Propriedade fundamental: 
log𝑏 𝑎 = 𝑦 → 𝑏
𝑦 = 𝑎 
 
 
ii) Produto em soma: 
log𝑏(𝑝𝑞) = log𝑏 𝑝 + log𝑏 𝑞 
Demonstração: 
 
Seja 𝑥 = log𝑏(𝑝𝑞), 𝑦 = log𝑏 𝑝 e 𝑧 = log𝑏 𝑞. Pela propriedade fundamental, temos que: 
 
𝑏𝑥 = 𝑝𝑞, 𝑏𝑦 = 𝑝, 𝑏𝑧 = 𝑞 
 
Logo 
𝑏𝑥 = 𝑏𝑦 ∙ 𝑏𝑧 → 𝑏𝑥 = 𝑏𝑦+𝑧 
 
Como as bases são iguais, os expoentes devem ser iguais 
 
𝑥 = 𝑦 + 𝑧 
 
 
iii) Divisão em subtração: 
log𝑏 (
𝑝
𝑞
) = log𝑏 𝑝 − log𝑏 𝑞 
Demonstração: 
 
Seja 𝑥 = log𝑏(
𝑝
𝑞
), 𝑦 = log𝑏 𝑝 e 𝑧 = log𝑏 𝑞. Pela propriedade fundamental, temos que: 
 
𝑏𝑥 =
𝑝
𝑞
, 𝑏𝑦 = 𝑝, 𝑏𝑧 = 𝑞 
 
Logo 
𝑏𝑥 =
𝑏𝑦
𝑏𝑧
→ 𝑏𝑥 = 𝑏𝑦−𝑧 
 
Como as bases são iguais, os expoentes devem ser iguais 
 
𝑥 = 𝑦 − 𝑧 
 
 
iv) Expoente no logaritmando 
log𝑏 𝑎
𝑛 = 𝑛 log𝑏 𝑎 
 
 
v) Expoente na base 
log𝑏𝑛 𝑎 =
1
𝑛
log𝑏 𝑎 
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vi) Expoentes 
log𝑏𝑞 𝑎
𝑝 =
𝑝
𝑞
log𝑏 𝑎 
 
v) Mudança de base 
log𝑏 𝑝
log𝑏 𝑞
= log𝑞 𝑝 
Escrevendo na forma de produto: 
log𝑞 𝑝 ∙ log𝑏 𝑞 = log𝑏 𝑝 
 
Demonstração 
 
Seja 𝑥 = log𝑏 𝑝, 𝑦 = log𝑏 𝑞 e 𝑧 = log𝑞 𝑝. Assim, temos que 
 
𝑝 = 𝑏𝑥, 𝑞 = 𝑏𝑦, 𝑝 = 𝑞𝑧 
 
Dessas relações, temos que: 
𝑝 = 𝑞𝑧 = (𝑏𝑦)𝑧 = 𝑏𝑦𝑧 
Mas como 𝑝 = 𝑏𝑥, então: 
𝑏𝑥 = 𝑏𝑦𝑧 
Ou seja 
𝑥 = 𝑦𝑧 
Logo 
log𝑏 𝑝 = log𝑞 𝑝 ∙ log𝑏 𝑞 
 
vi) Inverso do logaritmo 
1
log𝑏 𝑎
= log𝑎 𝑏 
Demonstração: 
 
A demonstração é imediata da propriedade de mudança de base: 
 
log𝑏 𝑏
log𝑏 𝑎
= log𝑎 𝑏 
 
 
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31) (FUVEST – 2014) Sobre a equação (𝑥 + 3) ∙ 2𝑥
2−9
∙ log|𝑥2 + 𝑥 − 1| = 0, é correto afirmar que 
 
a) ela não possui raízes reais 
b) sua única raiz real é -3 
c) duas de suas raízes reais são 3 e -3 
d) suas únicas raízes reais são -3,0 e 1 
e) ela possui cinco raízes reais distintas. 
 
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32) (UNICAMP – 2016) A solução da equação na variável real 𝑥, log𝑥(𝑥 + 6) = 2, é um número 
 
a) primo 
b) par 
c) negativo 
d) irracional 
 
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33) (FUVEST – 2004) Se 𝑥 é um número real, 𝑥 > 2 e log2(𝑥 − 2) − log4 𝑥 = 1, então o valor de 𝑥 é 
 
a) 4 − 2√3 
 
b) 4 − √3 
 
c) 2 + 2√3 
 
d) 4 + 2√3 
 
e) 2 + 4√3 
 
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34) (FUVEST – 2010) Determine a solução (𝑥, 𝑦), 𝑦 > 1, para o sistema de equações 
 
{
log𝑦(9𝑥 − 35) = 6
log3𝑦(27𝑥 − 81) = 3
 
 
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35) (FUVEST – 2009) O número real 𝑎 é o menor dentre os valores de 𝑥 que satisfazem a equação 
 
2log2(1 + √2𝑥) − log2(√2𝑥) = 3 
 
Então, log2 (
2𝑎+4
3
) é igual a 
 
a) 
1
4
 
 
b) 
1
2
 
 
c) 1 
 
d) 
3
2
 
 
e) 2 
 
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36) (ITA – 2014) Determine as soluções reais da equação em 𝑥 
 
(log4 𝑥)
3 − log4(𝑥
4) − 3
log10 16𝑥
log100 16
= 0 
 
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37) (ITA – 2013) Se os números reais 𝑎 e 𝑏 satisfazem, simultaneamente, as equações 
 
√𝑎√𝑏 =
1
2
 
e 
ln(𝑎2 + 𝑏) + ln 8 = ln 5 
 
um possível valor de 𝑎/𝑏 é 
 
a) √2/2 
b) 1 
c) √2 
d) 2 
e) 3√2 
 
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38) (Fuvest – 2017) Uma quantidade fixa de um gás ideal é mantida a temperatura constante, e seu volume 
varia com o tempo de acordo com a seguinte fórmula: 
 
𝑉(𝑡) = log2(5 + 2 sen(𝜋𝑡)), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 
 
em que 𝑡 é medido em horas e 𝑉(𝑡) é medido em m³. A pressão máxima do gás no intervalo de tempo [0 , 2] 
ocorre no instante 
 
a) 𝑡 = 0,4 
b) 𝑡 = 0,5 
c) 𝑡 = 1 
d) 𝑡 = 1,5 
e) 𝑡 = 2 
 
 
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39) (IME – 2011) O valor de 𝑦 real positivo na equação (5𝑦)log𝑥 5 − (7𝑦)log𝑥 7 = 0, onde 𝑥 é um número real 
maior do que 1 é: 
 
a) 70 
b) 35 
c) 1 
d) 1/35 
e) 1/70 
 
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40) (IME – 2012) Se log10 2 = 𝑥 e log10 3 = 𝑦, então log5 18 vale 
 
a) (𝑥 + 2𝑦)/(1 − 𝑥) 
b) (𝑥 + 𝑦)/(1 − 𝑥) 
c) (2𝑥 + 𝑦)/(1 + 𝑥) 
d) (𝑥 + 2𝑦)/(1 + 𝑥) 
e) (3𝑥 + 2𝑦)/(1 − 𝑥) 
 
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