Exercicios sobre _Series

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Exerćıcios - Séries Numéricas
1. Estude a natureza das séries seguintes e, no caso de estas serem convergentes, calcule o
valor das suas somas.
a) 1− 2 + 3− 4 + 5− ...; b)
∞∑
n=0
3−(5n+1);
c)
∞∑
n=1
sin
π
n
− sin π
n + 2
; d)
∞∑
n=1
2n + 3n
6n
;
e)
∞∑
n=1
1
n2 + 2n
; f)
∞∑
n=0
πn+1e−2n−1;
2. Indique, justificando, os valores de x para os quais são convergentes as séries seguintes.
a)
∞∑
n=1
1
(1 + |x|)n
b)
∞∑
n=1
(log x)n
c)
∞∑
n=1
(
tan
(x
3
))n
3. Estude a natureza das séries seguintes.
a)
∞∑
n=1
(−1)n arctan
(
1
1 + 2n
)
; b)
∞∑
n=1
(−1)n
(
1− cos
(
1
n
))
;
c)
∞∑
n=1
(−1)n 3n + 1
n(n + 1)
; d)
∞∑
n=1
(−1)n log n
n
;
1
Análise Matemática (II)
4. Determine a natureza das seguintes séries por um critério de comparação.
a)
∞∑
n=1
√
n + n
√
n 5
√
n2 + 3 + n2
; b)
∞∑
n=1
cos n− 2
5n
;
c)
∞∑
n=1
√
n
n2 + 3
arcsin
1
n
; d)
∞∑
n=1
log
(
1 +
1
n
)
;
e)
∞∑
n=1
1
n
log
(
1 +
1
n
)
;
5. Use o critério da Razão ou o critério de d’Alembert para determinar a natureza das séries.
a)
∞∑
n=1
2n(2n)!
nn
; b)$
∞∑
n=1
1.3...(2n + 1)
4.8...(4n + 4)
c)
∞∑
n=0
2.4...(2n + 2)
1.3...(2n + 3)
6. Use o critério da Raiz ou o critério da Raiz de Cauchy para determinar a natureza da
série.
a)
∞∑
n=1
(
1
2
+
1
n2
)n2
b)
∞∑
n=1
(
sin
(π
n
))n
c)
∞∑
n=1
1
n.4n
2
Análise Matemática (II)
7. Estude quanto à convergência simples e absoluta as séries seguintes:
a)
∞∑
n=1
1 +
√
2 + ... +
√
n
n2 + 1
; b)
∞∑
n=1
5n − 3
3n + 5
;
c)
∞∑
n=1
1.3.5...(2n− 1)
2.4.6...2n
; d)
∞∑
n=3
sin
(π
2
+ nπ
)
tan
(π
n
)
;
e)
∞∑
n=1
log n2n
nn
; f)
∞∑
n=1
n!
2n + nn
;
g)
∞∑
n=1
1 + n(−1)n
1 + 2n3
; h)
∞∑
n=1
an, an =

1
nn
, se n par;(
n
1− 3n
)3
, se n ı́mpar
.
8. Determine a soma das seguintes séries:
a)
∞∑
n=2
(−1)n22n+1
20
n
2
; b)
∞∑
n=0
3n + 5n
7n
;
c)
∞∑
n=0
1
(3n + 1)(3n + 4)
; d)
∞∑
n=1
2n + 1
n2(n + 1)2
;
e)
∞∑
n=2
(
2n
3n
+
1
(2n + 3)(2n + 5)
)
; f)
∞∑
n=1
1
n(n + 1)(n + 2)
;
g)
∞∑
n=2
log (1 + 1
n
)
(log n)(log (n + 1))
; h)
∞∑
n=1
(−1)3n+1
5
n+1
3 32n−1
;
i)
∞∑
n=1
1
n(n + 3)
; j)
∞∑
n=1
(−1)n2−2n + 3n2
4n
;
3
Análise Matemática (II)
9. Determine a natureza das seguintes séries:
a)
∞∑
n=0
n2
1 + n2
; b)
∞∑
n=1
n2
1 + 2n
;
c)
∞∑
n=0
(
1
n
− 1
n2
)
; d)
∞∑
n=0
4n2 − 1
n4 + n3 − 1
;
e)
∞∑
n=2
1√
n log n
; f)
∞∑
n=0
1 + 2n
1 + 3n
;
g)
∞∑
n=1
log n
log (1 + n3)
; h)
∞∑
n=1
(2n)!
n2(n!)2
;
i)
∞∑
n=1
n
√
1 +
1
n
; j)
∞∑
n=0
1
2n + 3n
;
k)
∞∑
n=1
1
sin n
; l)
∞∑
n=0
(
2n− 1
n + 3
)2n
;
4
Análise Matemática (II)
Exerćıcios - Séries de Funções
1. Diga, justificando, para que valores de x convergem ou divergem as séries seguintes. No
caso de estas serem convergentes verifique se a convergência é simples ou absoluta.
a)
∞∑
n=1
1
2n(3n− 1)
(x− 3)n; b)
∞∑
n=1
4× 8× · · · × (4n)
(n + 4)!
enx;
c)
∞∑
n=1
(2n)!
1× 8× · · · × n3
xn; d)
∞∑
n=1
cos
(
π + 1
n
)
(8n + 3)2
(
2x2 − 5
3
)n
;
e)
∞∑
n=1
(2 + (−1)n)n
(
1
x− 5
)n
; f)
∞∑
n=1
log(n)
enn2
(|x| − e)n.
2. Determine o intervalo de convergência das seguintes séries de potências e estude a sua
natureza nos extremos (quando existam) desse intervalo:
a)
∞∑
n=1
xn
n +
√
n
; b)
∞∑
n=1
(n!)2
(2n)!
xn;
c)
∞∑
n=1
(x− 2)n√
n
; d)
∞∑
n=1
(x− 1)n;
e)
∞∑
n=1
(x + 3)2n
(n + 1)4n
; f)
∞∑
n=1
xn
nn
;
g)
∞∑
n=1
1 + 2n
n
xn; h)
∞∑
n=1
n(x− 1)n
2n(3n− 1)
;
i)
∞∑
n=1
xn
2n2 − n
; k)
∞∑
n=2
log n
n3
xn;
5
Análise Matemática (II)
3. Determine os pontos em que convergem, absoluta ou simplesmente, as séries de potências:
a)
∞∑
n=1
1
n2
(x− 2)x; b)
∞∑
n=1
nn(x− 1)2n;
c)
∞∑
n=1
1
n
(x2 − 1)n; d)
∞∑
n=0
(n− 1)!
1 + n!
xn;
e)
∞∑
n=2
log n
n
xn; f)
∞∑
n=1
(
n
2n− 1
)
(x + 2)n;
4. Considere a série
∞∑
n=1
(x− 2a)n
n2n
, em que a é um parâmetro real.
a) Determine o conjunto de pontos onde a série é convergente.
b) Para que valores de a esta série é convergente no ponto x = 0.
5. Considere a série de potências
∞∑
n=1
cn+1
n + 1
xn, em que c é um parâmetro real.
a) Determine o raio de convergência da série.
b) Estude a natureza da série é nos extremos do seu intervalo de convergência .
c) Justifique que existe um único valor de c para o qual a série é simplesmente convergente
no ponto x = −3, e determine-o.
6. Desenvolva em série de potências de x a função f(x) = x3 sin(x), indicando para que
valores de x o desenvolvimento é válido. Recorrendo ao desenvolvimento obtido, diga o
valor de f (12)(0) e f (13)(0).
7. Escreva o desenvolvimento em série de MacLaurin da função f(x) = 3x +
1
3 + 5x
. Indique
o conjunto em que este desenvolvimento é válido .
8. Escreva o desenvolvimento em série de Taylor da função f(x) =
1
x2 − 2x− 3
em torno do
ponto 2, indicando em que conjunto este desenvolvimento é válido.
9. Desenvolva em série de MacLaurin a função
x3
(1− x)2
, indicando o conjunto em que este
desenvolvimento é válido.
6
Análise Matemática (II)
10. Use o desenvolvimento da função log(x− 1) em série de potências de x− 2 para obter o
valor de log
(
1
2
)
como soma de uma série.
11. Considere a função f(x) = xe2x
a) Desenvolva f em série de MacLaurin e indique os valores de x para os quais o desen-
volvimento é válido.
b) Recorrendo à série das derivadas da série obtida na aĺınea anterior, calcule a soma da
série:
∞∑
n=0
4n(n + 1)
n!
12. Considere a função f(x) =
x3
1− x2
.
a) Estude e represente graficamente f(x).
b) Desenvolva f(x) em séries de potências de x. Deduza o termo geral, o intervalo de
convergência e o valor de f (4)(0).
13. Desenvolva em série de Taylor, na vizinhança do ponto indicado, as funções seguintes:
a) f(x) = log x, no ponto a = 1; b) f(x) =
−1
x
, no ponto a = −1;
c) f(x) = x2ex, no ponto a = 0; d) f(x) =
−2
(x + 1)(x + 2)
, no ponto a = 0;
14. a) Determine o raio de convergência da série de potências
∞∑
n=1
(x− 1)n
3n
√
n
xn e, indique,
justificando, em que postos a série converge absolutamente e em que pontos converge
simplesmente.
b) Supondo que a função g é definida por g(x) =
∞∑
n=1
(x− 1)n
3n
√
n
xn no conjunto de todos os
pontos em que a série é convergente, calcule g(1) e g′′(1) e escreva a série de Taylor no
7
Análise Matemática (II)
ponto x = 1 da função x + g′(x).
15. Seja f(x) = 1/(1− x)
a) Desenvolva em série de potências de x a função xf
′
(x), indicando o intervalo de con-
vergência da série.
b) Utilize o resultado da aĺınea anterior para provar que
∞∑
n=1
n
2n
= 2.
16. a) Escreva o desenvolvimento de ex em série de MacLaurin
b) Utilize a aĺınea a) para calcular a soma da série
∞∑
n=0
(
3
2nn!
+
3
2n
)
17. Seja f a função definida pela relação
f(x) =
∞∑
n=0
(−1)n n
n2 + 1
xn
a) Indique o intervalo onde f está definida pela série.
b) Calcule f (100)(0)
18. Considere a série
∞∑
n=0
e−n(x− 1)n.
a) Determine o seu intervalo de convergência e estude-a nos extremos desse intervalo.
b) Indique outra expressão anaĺıtica para a função f representada pela série no seu inter-
valo de convergência.
c) Determine a derivada de ordem n de f no ponto x = 1.
d) Escreva a série que representa f
′
e indique o respectivo intervalo de convergência.
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