TRABALHO 2 DE CÁLCULO INFINITESIMAL

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Maurício Justino Amade
Francisco André Mualimo
Castro Raimundo Cadeira
Daurino Timaleque
Silvino Artur Calavete
 
DERIVADA E DIFERENCIAL
(Licenciatura em Ensino de Física com Habilitações em Matemática, 3º Ano)
Universidade Rovuma
Nampula
2021
Maurício Justino Amade
Francisco André Mualimo
Castro Raimundo Cadeira
Daurino Timaleque
Silvino Artur Calavete
DERIVADA E DIFERENCIAL
 (
Trabalho de carácter avaliativo da Cadeira de Cálculo Infinitesimal leccionada no Curso de Licenciatura em Ensino de Física 3º Ano a ser entregue ao docente: dr. Jamal Daúda Jamal
)
Universidade Rovuma
Nampula
2021
Índice
Introdução	3
1.	CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS	4
2.	DERIVADAS LATERAIS	7
3.	REGRAS DE DERIVAÇÃO	10
4.	REGRA DE CADEIA (DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA)	12
5.	DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES	13
5.1.	Derivada da função exponencial	13
5.2.	Derivada da função logarítmica	14
5.3.	Derivada das funções trigonométricas e inversas	14
5.3.1.	Derivada da função Seno	14
5.3.2.	Derivada da função Cosseno	14
5.3.3.	Derivada de função Tangente	15
5.3.4.	Derivada da função Cotangente, secante e cossecante	15
5.4.	Derivadas de funções hiperbólicas	16
Conclusão	18
Bibliografia	19
Introdução
O Cálculo Diferencial torna-se um instrumento poderosíssimo e cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade nos mais diversos campos da Ciência. Por exemplo, as derivadas são muito usadas em Engenharia, Física, Economia, Medicina e Ciência da Computação.
Este trabalho por objectivo abordar conteúdos contidos no Cálculo Diferencial com maior foco na Continuidade de funções diferenciáveis; Derivadas laterais; Regras de Derivação; Regra de Cadeia; Derivada das funções elementares.
Para a elaboração deste trabalho, os autores apoiaram-se em consultas bibliográficas (livros) cujas referências estão devidamente mencionadas na última página. Quanto à estrutura, para além desta parte introdutória onde são descritos os tópicos que serão abordados, o trabalho apresenta desenvolvimento (detalhes de cada tópico) e conclusão. Faz também como parte integrante a ficha de referências bibliográficas. 
CONTINUIDADE DE FUNÇÕES DERIVÁVEIS
Teorema: Toda função derivável num ponto é contínua nesse ponto.
Uma função é contínua em todos os pontos onde ela é derivável. Mas vale lembrar que, existem funções contínuas que não são deriváveis em um valor .
Seja uma função derivável em deve obedecer as seguintes regras: 
i. existe;
ii. existe;
iii. 
Por hipótese, é derivável em . Logo, existe e, pela fórmula
, 
Concluímos que deve existir para que o limite tenha significado.
Além disso, temos 
Portanto, .
Valem então as condições (i), (ii) e (iii) e conclui-se que é contínua em .
Exemplo 1:
Dada a função . Trace o gráfico da função, verifique se a função é contínua no número indicado e determine se a função é diferenciável (derivável) nesse ponto.
Solução:
i. 
ii. , primeiro vamos determinar os limites laterais no ponto 
Como , então , isto é, o limite existe.
iii. 
A função é contínua no ponto . Na verdade, toda função polinomial, independentemente do seu grau, é contínua em seu domínio. 
iv. 
Portanto, a função é contínua no ponto , mas não é diferenciável nesse ponto, visto que .
Exemplo 2:
Seja a função definida por: 
a) Mostre que a função é contínua e derivável no ponto .
b) Faça esboço do gráfico.
Solução:
i. 
ii. ,
Vamos determinar os limites laterais
· Esquerda: 
· Direita: 
iii. Como , logo não existe e consequentemente a função não é contínua.
iv. 
· 
Veja que , isto é, a função é derivável no ponto , entretanto ela não é contínua nesse ponto.
Esboço do gráfico da função :
Derivadas laterais
Definição 1. Se a função está definida em , então a derivada à direita a de em , denotada por , é definida por:
ou
caso este limite exista.
Definição 2. Se a função está definida em , então a derivada à esquerda de em , denotada por , é definida por:
ou
caso este limite exista.
Teorema: Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais.
Quando as derivadas laterais (direita e esquerda) existem e são diferentes em um ponto , dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função.
Exemplo 1:
Seja f a função definida por 
a) Encontre e .
b) Faça o esboço do gráfico de .
Solução: lembre-se que para determinar a derivada de uma funçao em um ponto e dado por:
a) Derivada lateral à esquerda ():
Derivada lateral à direita (): 
Concluímos, então, que não existe porque .
b) Esboço do gráfico da funçăo 
Exemplo 2: Seja f a função definida por 
i. Encontre e e determine 
ii. Faça o esboço do gráfico de .
Solução:
5
Derivada lateral à esquerda ():
Derivada lateral à direita ():
Veja que , isto significa que a função é derivável no ponto .
Esboço do gráfico:
Regras de derivação
Aqui são deduzidas várias regras, chamadas regras de derivação, que permitem determinar as derivadas das funções sem o uso da definição.
a) Derivada de uma Constante 
Proposição: Se c é uma constante e para todo , então .
Exemplo:
=0
b) Regra da Potência
Proposição: Se n é um número inteiro positivo e , então 
Exemplo:
· 
· 
· 
c) Derivada do Produto de uma Constante por uma Função
Proposição: Sejam uma função, uma constante e a função definida por Se existe, então 
Exemplo:
Se então 
d) Derivada de uma Soma
Proposição: Sejam f e g duas funções e h a função definida por . Se e existem, então 
A proposição se aplica para um número finito de funções, isto é, a derivada da soma de um número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se estas existirem.
Exemplo:
Seja . Então,
e) Derivada de um Produto 
Proposição: Sejam f e g funções e h a função definida por Se e existem, então
Exemplo:
· 
· 
+
f) Derivada de um Quociente
Proposição :Sejam f e g funções e h a função definida por , onde . Se e existem, então
Exemplo:
Proposição:
Se , onde é um inteiro negativo e , então 
Regra de Cadeia (derivada de função composta)
Consideremos duas funções deriváveis e onde e 
Para todo tal que está no domínio de , podemos escrever , isto é, podemos considerar a função composta .
Por exemplo, uma função tal como pode ser vista como a composta das funções e 
A seguir apresentamos a regra da cadeia, que nos dá a derivada da função composta g 0 f em termos das derivadas de f e g.
Proposição: Se , ) e as derivadas e existem, então a função composta tem derivada que é dada por:
 ou 
Exemplo 1:
Dada a função determinar .
Solução:
Vimos anteriormente que podemos escrever , onde .
Assim, pela regra da Cadeia,
Exemplo 2:
Dada a função , encontrar .
Solução:
Aplicando a regra de cadeia temos:
Seja 
Proposiçao: Se é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo, então 
Exemplo:
Dada a função , determinar .
Solução: 
Podemos escrever
DERIVADA DAS FUNÇÕES ELEMENTARES 
Temos como derivadas das funções elementares as seguintes: exponencial, logarítmica, trigonométricas, trigonométricas inversas, hiperbólicas e hiperbólicas inversas.
Derivada da função exponencial
Se , ( e ) então ,( e )
Caso Particular:
Se então, onde é o número neperiano.
Exemplos:
Determinar a derivada das funções:
a) 
Solução:
Fazendo , temos . Portanto, 
Derivada da função logarítmica
Se , então , (
Caso Particular:
Se , então 
Exemplo: calcule a derivada da função logarítmica: 
Solução:
Temos , onde . Portanto, 
 
Derivada das funções trigonométricas e inversas
Derivada da função Seno
Se então .
Exemplo: 
Derivada da função Cosseno
Se , então .
Exemplo: Diferencie a função 
Solução:
Fazendo , temos que
Derivada de função Tangente
Se então 
Exemplo: Diferencie a função 
Solução:
Fazendo , temos que 
Derivada da função Cotangente, secante e cossecante
· Se , então 
· se então 
Exemplo:
· então 
Exemplo: 
,
Usando a regra da cadeia, obtemos as fórmulas gerais. Acrescentamos os seguintes itens na tabela de derivadas.
· 
· 
· 
· 
· 
· 
· 
· 
· 
· 
Derivadas de funções hiperbólicasComo as funções hiperbólicas são definidas em termos da função exponencial, podemos facilmente determinar suas derivadas, usando as regras de derivação já estabelecidas.
Por exemplo, se , então 
Exemplo: Determinar a derivada da seguinte função: 
Solução: 
Similarmente, obtemos as derivadas das demais funções hiperbólicas
· 
· 
· 
· 
· 
· 
Conclusão
Uma função é contínua em todos os pontos onde ela é derivável. Mas vale lembrar que, existem funções contínuas que não são deriváveis em um valor e obedece as seguintes regras: 
· existe;
· existe;
· 
Uma função é derivável em um ponto, quando as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais.
A derivada das funções compostas é dada por : ou as demais funções pode-se achar as suas derivadas aplicando a definição ou mesmo a derivação por tabela.
Bibliografia
FIGUEIRA, M. 1996. Fundamentos de Analise Infinitesimal, Textos de Matematica. Lisboa : Texto editora, 1996. Vol. 5.
MUALACUA, Isidro Ramos. 2016. Manual de Cálculo Diferencial e Integral em R. Moçambique : UCM - CED, 2016.
NHÊZE, Ismael Cassamo e PAULO, Luís do Nascimento. 2009. Manual de Preparação para o Ensino Superior. Maputo : Plural Editores, 2009.
VUMA, José Pedro. 2008. PRÉ-UNIVERSITÁRIO MATEMÁTICA 12. Maputo : Longman Moçambique, 2008.
 
 
 
Maurício Justino Amade
 
Francisco André Mualimo
 
Castro Raimundo Cadeira
 
Daurino Timaleque
 
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DERIVADA E DIFERENCIAL
 
(Licenciatura em Ensino de Física com Habilitações em Matemática, 3º Ano)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Nampula
 
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