TRABALHO 1 DE CÁLCULO INFINITESIMAL_CASTRO RAIMUNDO CADEIRA

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	CASTRO RAIMUNDO CADEIRA
 SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
(Licenciatura em Ensino de Física com Habilitações em Matemática, 3º Ano)
Universidade Rovuma
Nampula
2020
CASTRO RAIMUNDO CADEIRA
SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
 (
Trabalho de carácter avaliativo da Cadeira de Cálculo Infinitesimal leccionada no Curso de Licenciatura em Ensino de Física 3º Ano a ser entregue ao docente:
 dr. Jamal Daúda Jamal
)
Universidade Rovuma
Nampula
2020
Índice
Introdução	4
1.	SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS	5
1.1.	Conceito de sucessão	5
1.2.	Definição de uma sucessão de números reais	5
1.3.	Sucessão Harmónica	6
1.4.	Sucessões monótonas	6
1.5.	Sucessões limitadas	7
1.6.	Progressão Aritmética	8
1.7.	Soma dos Termos da PA	9
1.8.	Progressão Geométrica (PG)	10
1.9.	Convergência e divergência de Sucessões	12
1.10.	Limites de sucessões	13
2.	FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL	14
Definição de uma função - Noção	14
Operações com Funções	14
Soma e diferença de funções	14
Multiplicação de funções	15
Divisão de funções	15
Funções Especiais	15
Função constante	15
Função identidade	16
Função do 1º Grau	16
Função módulo	17
Função Quadrática	18
Função Polinomial	18
Funções Racionais	19
Funções periódicas	20
Função Inversa	20
Algumas Funções elementares	22
Função exponencial	22
Função Logarítmica	22
Funções Trigonométricas	23
Funções Hiperbólicas	23
Limites e continuidade de funções	24
Limites laterais	25
Continuidade de funções	25
Derivada de uma função num ponto	26
Derivada de uma função	27
Conclusão	29
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS	30
Introdução
Na matemática, a sucessão numérica ou sequência numérica corresponde a uma função dentro de um agrupamento de números. De tal modo, os elementos agrupados numa sequência numérica seguem uma sucessão, ou seja, uma ordem no conjunto.
Este trabalho apresenta duas partes, a primeira tem por objectivo apresentar um resumo sobre as Sucessões de números reais tendo como foco o Conceito de sucessão, as Formas de definir uma sucessão, a Sucessão Harmónica, as Sucessões monótonas, as Sucessões limitadas, a Progressão Aritmética (PA), a Soma de n Primeiros termos de uma PA, a Progressão Geométrica (PG), a Soma dos n primeiros termos de uma PG, a Convergência e divergência de Sucessões, Limites de sucessões. A segunda parte aborda sobre Funções Reais de variável real.
Importa referir que para a elaboração deste trabalho, o autor apoiou-se em obras cujas referências constam na última página.
SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
 Conceito de sucessão 
Uma sucessão corresponde a uma função dentro de um agrupamento de números. De tal modo, os elementos agrupados numa sequência numérica seguem uma sucessão, ou seja, uma ordem no conjunto.
Definição de uma sucessão de números reais
Uma sucessão de números reais é uma função de em , isto é, uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais e as imagens são números reais.
As sucessões podem ser finitas ou infinitas, por exemplo:
)
Note que quando as sequências são infinitas, elas são indicadas pelas reticências no final. Além disso, vale lembrar que os elementos da sequência são indicados pela letra . Por exemplo:
1° elemento: 
4° elemento: 
O último termo da sequência é chamado de enésimo, sendo representado por . Nesse caso, o  da sequência finita acima seria o elemento 8.
Assim, podemos representá-la da seguinte maneira:
· Lei de Formação
A Lei de Formação ou Termo Geral é utilizada para calcular qualquer termo de uma sequência, expressa pela expressão: 
· Lei de Recorrência
A Lei da Recorrência permite calcular qualquer termo de uma sucessão a partir de elementos antecessores: 
Exemplo: Seguindo o padrão da sequência numérica, qual o próximo número correspondente nas sequências abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
Solução:
a) Trata-se de uma sequência de número ímpares, donde o próximo elemento é o 13.
b) Sequência de números pares, cujo elemento sucessor é o 12.
c) Sequência de razão 3, donde o próximo elemento é 15.
d) O próximo elemento da sequência é o 25, donde: 
e) Trata-se de uma sequência de números primos, sendo o próximo elemento 13.
Sucessão Harmónica
Sucessões monótonas
Uma sucessão diz-se monótona quando for crescente ou decrescente obedecendo as seguintes condições:
· A sucessão é monótona crescente quando , .
· A sucessão é monótona decrescente quando , 
Exemplo:
a) Mostre que a sucessão é monótona 
Solução:
A fracção acima é sempre positiva para todo e qualquer . Logo, a sucessão dada e monótona crescente.
b) 
A sucessão é decrescente .
Sucessões limitadas
Uma sucessão diz-se limitada se o conjunto dos seus termos for majorado e minorado, ou seja, se existem números reais e tais que , onde e são minorante e majorante respectivamente.
Exemplo: Mostre que a sucessão é monótona e limitada, 
Dado que é monótona crescente como se demonstrou no exemplo da a) sobre sucessões monótonas, vamos encontrar o minorante e o majorante
 é minorante.
Achando o majorante: 
 é majorante.
Logo a sucessão é limitada pelo minorante e majorante, 
Progressão Aritmética
A Progressão Aritmética (PA)  é uma sequência de números reais determinada por uma constante , denominada de razão da PA ou diferença comum.
De tal modo, a razão da progressão aritmética é encontrada pela soma entre um número e outro (excepto o primeiro) que compõem a sequência numérica.
Em resumo, a partir do segundo elemento da sequência, os números que surgem são resultantes da soma da constante com o valor do elemento anterior.
Isso é o que a diferencia da progressão geométrica (PG), pois nesta os números são multiplicados pela razão, enquanto na progressão aritmética, eles são somados.
Para entender melhor o conceito, vejamos os exemplos abaixo de PA finita e infinita:
· PA finita de razão 
· PA infinita de razão 
· PA finita de razão 
Observe que para calcular a razão da PA basta calcular a diferença entre um dos termos (a partir do segundo) e o termo que o antecede:
Sendo assim, 
Classificação das Progressões Aritméticas
Segundo o valor da razão das progressões aritméticas, elas são classificadas em:
· Na Progressão Aritmética (PA) constante, a razão (r) será sempre zero (), por exemplo: . A sequência tem termos.
· Na Progressão Aritmética (PA) crescente a razão (r) é maior que zero (), por exemplo: com razão 5. A sequência tem 6 termos.
· Na Progressão Aritmética (PA) decrescente a razão (r) será menor que zero a). Por exemplo: (12, 9, 6, 3, 0, -3). A sequência tem 6 termos e a razão é .
Fórmula do Termo Geral
A fórmula do termo geral da PA nos permite conhecer qualquer termo da progressão aritmética, dado pela seguinte expressão:
Onde,
: último termo da PA
: primeiro termo da PA
n: posição do termo
r: razão
Soma dos Termos da PA
Para encontrar a soma dos termos de uma PA finita, basta utilizar a fórmula:
Onde,
: soma dos n primeiros termos da PA
:: primeiro termo da PA
: ocupa a enésima posição na sequência
n: posição do termo
Exemplos: 
Calcule o 10° termo da PA: 
Antes de mais nada, devemos atentar aos valores de  e a razão (r) da PA. Assim, temos:
Feito isso, colocamos os valores na fórmula do termo geral:
Exemplo 2: Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA (2,6,10, ….)
Solução:
Queremos calcular a soma de 50 termos primeiros termos, então, .
Observando a sequência, deduzimos que e .
Para utilizarmos a fórmula, precisamos do 50º termo; recorremos,
então, à fórmula do termo geral: 
 Portanto,
A soma dos 50 primeiros termos da PA (2,6,10, ….) é de 5000.
Progressão Geométrica (PG)
A Progressão Geométrica (PG) é uma sequência numérica cuja razão (r) constante é determinada pela multiplicação de um elemento com o quociente (q) ou razão da PG. Ela corresponde a uma sequência numérica cujo quociente (q) ou razão entre um número e outro (excepto o primeiro) é sempre igual.
Em outras palavras, o número multiplicado pela razão (q) estabelecida na sequência, corresponderá ao próximo número, por exemplo:
PG: (2,4,8,16, 32, 64,...)
No exemplo acima, podemos constatar que na razãoou quociente (q) da PG entre os números, o número que multiplicado pela razão (q) determina seu consecutivo, é o número 2:
; 	; 	;		 ; 	
Vale lembrar que a razão de uma PG é sempre constante e pode ser qualquer número racional (positivos, negativos, fracções) excepto o número zero (0).
Classificação das Progressões Geométricas
Fórmula do Termo De acordo com o valor da razão (q), podemos dividir as Progressões Geométricas (PG) em 4 tipos:
Na PG crescente a razão é sempre positiva formada por números crescentes, por exemplo:
 onde 
Na PG decrescente, a razão é sempre positiva e diferente de zero (0) formada por números decrescentes.
Ou seja, os números da sequência são sempre menores do que seus antecessores, por exemplo:
 onde 
Na PG oscilante, a razão é negativa (q
, onde 
Na PG constante, a razão é sempre igual a 1 formada pelos mesmos números a, por exemplo:
 onde 
Termo Geral da PG
Para encontrar qualquer elemento da PG, utiliza-se a expressão:
Onde:
: número que queremos obter
: o primeiro número da sequência
: razão elevada ao número que queremos obter, menos 1
Exemplo: Assim, para identificar o termo 20 de uma PG de razão (q) 2 e número inicial 2, calcula-se:
PG:
Soma dos Termos da PG
Para calcular a soma dos números presentes numa PG, utiliza-se a seguinte fórmula:
Onde:
: Soma dos números da PG
: primeiro termo da sequência
q : razão
n: quantidade de elementos da PG
Dessa forma, para calcular a soma dos 10 primeiros termos por exemplo da seguinte PG 
Convergência e divergência de Sucessões
Uma das formas de saber se uma sucessão é convergente ou divergente é substituir alguns termos para saber a tendência da sucessão. Neste sentido, as sucessões que crescem ou decrescem para um valor real à medida que aumenta dizem-se convergente.
Exemplo 1: 
Nota-se que cada vez que aumenta a sucessão tende para um. Portanto, a sucessão é convergente para 1.
Exemplo 2: 
Nota-se que cada vez que aumenta a sucessão tende para o infinito. Portanto, a sucessão é divergente.
Limites de sucessões
Conceito de limite
Diz-se que uma sucessão , tende para um número (ou tem por limite ), se à medida que o índice tende para infinito, a sucessão converge para o valor. Isto é, a sucessão tem como limite se a diferença , é infinitesimal.
Uma sucessão que não tem limite diz-se uma sucessão divergente.
Algumas propriedades das sucessões convergentes:
Uma sucessão não pode ter mais que um limite;
O limite de uma sucessão constante é a própria constante.
Exemplo: 
a) 
b) 
c) 
FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
Definição de uma função - Noção
Chama-se função real de variável real toda a aplicação de um subconjunto de em .
As funções reais de variável real podem representar-se por gráficos cartesianos. O gráfico de uma função real de variável real é o conjunto dos pontos do plano cartesiano que têm como coordenadas.
Exemplos:
Operações com Funções
As funções podem ser definidas como sendo: soma, diferença, produto e quociente de várias expressões.
Soma e diferença de funções
Dadas duas funções de variável real , chama-se soma (diferença) de e e designa-se por à função com as seguintes características:
· O domínio é a intersecção dos domínios de e de : 
· 
Exemplos: sendo e , vamos efectuar a soma e a diferença das duas funções e indicar o domínio.
Solução:
Multiplicação de funções
Dadas duas funções de variável real e , chama-se produto de e e designa-se por à função com as seguintes características:
· O domínio e a intersecção dos domínios de e de : 
· 
Exemplo: Considere as funções anteriores e efectue a multiplicação.
Divisão de funções
Dadas duas funções de variável real e , chama-se divisão de por e designa-se por à função com as seguintes características:
· e , 
Exemplo: 
, 
Funções Especiais
Função constante
Uma aplicação de em recebe o nome de função constante quando a cada elemento
 associa sempre o mesmo elemento .
. O gráfico da função constante é uma repta paralela ao eixo dos passando pelo ponto . A imagem é o conjunto 
Exemplo: 
Função identidade
Uma aplicação f de em recebe o nome de função identidade quando a cada elemento
 associa o próprio , isto é: .
O gráfico da função identidade é uma recta que contém as bissectrizes do 1º e 3º quadrante.
A imagem é o conjunto .
Função do 1º Grau
Uma aplicação de em recebe o nome de função do 1 grau ou linear quando a cada elemento em que é um número real dado, isto é:
, 
Demonstra-se que o gráfico da função linear é uma recta que passa pela origem. A imagem é o conjunto .
 De facto, quaquer que seja o , existe , , tal que:
Exemplo: Construir o gráfico da função 
Solução:
	
Função módulo
Uma aplicação de em recebe o nome de função módulo ou modular quando a cada associa o elemento .
Exemplo: Construa o gráfico da função real definida por 
Soluçao:
Utilizando o conceito de módulo de um número real, a função modular pode ser definida
também da seguinte forma:
O gráfico da função modular é a reunião de duas semi-rectas de origem O, que são as bissectrizes do 1º e 2º quadrante.
A imagem desta função é , isto é, a função modular somente assume valores reais não negativos.
Função Quadrática
Uma aplicação de em recebe o nome de função quadrática ou do 2º grau quando associa a cada o elemento , em que , e são números reais dados e .
, 
O gráfico da função quadrática é uma parábola. Se , a concavidade da parábola está voltada para cima. Se , a concavidade da parábola está voltada para baixo.
Exemplo: Construa o gráfico da função definida em .
Função Polinomial
Uma função polinomial definida de em pode ser do primeiro grau (, ) ou do segundo grau (, ). O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau passa pelos pontos de coordenadas (x, y)
Exemplo: ; 
Funções Racionais
As funções definidas de em do tipo , onde e são números reais chamam-se funções racionais ou homográficas se .
O domínio de uma função homográfica é: 
Exemplo:,		 
Funções pares e ímpares
Uma função diz-se par quando para todo , e ímpar quando , para todo .
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas. O gráfico de uma função impar é simétrico em relação à origem dos eixos coordenados.
Exemplos: vamos verificar se as seguintes funções são pares, ímpares ou nenhuma delas.
· 
Verificação: 
Como então a função é par.
· 
Verificação:
, Como a igualdade satisfaz a condição , então a função é impar.
· 
Verificação:
A função não é par, pois não satisfaz a condição .
A função também não é ímpar, pois não satisfaz a condição .
Logo, a função não é par e não é impar.
Funções periódicas
Uma função é periódica se existir um número satisfazendo a condição 
 O menor valor de que satisfaz a condição acima é chamado período de . O gráfico da função periódica se caracteriza por apresentar um elemento de curva que se repete.
Observação: as funções trigonométricas são chamadas de funções periódicas.
Exemplos: ; 
As duas funções acima são periódicas e o seu período é .
Função Inversa
Se f é uma função bijectora de A em B, a relação inversa de f é uma função de B em A que denominamos função inversa de f e indicamos por .
Observações: Os pares ordenados que formam podem ser obtidos dos pares ordenados de , permutando-se os elementos de cada par, isto é:
Como regras para a determinação da função inversa temos:
· Na sentença fazemos uma mudança de variável, isto é, trocamos por e por , obtendo 
· Transformamos algebricamente a expressão expressando em função de para obtermos ).
Exemplos:
a) Qual é a função inversa da função , bijectora em R, definida por ?
Solução:
Aplicando a regra prática temos:
1. Trocamos as variáveis: 
2 Expressamos em função de :
A inversa da função é 
b) 
Solução:
Seguindo as mesmas regras anteriores temos: 
Logo, 
Algumas Funções elementares
Função exponencial
Definição: Dado um número real , tal que , chamamos função exponencial de base a função de em que associa a cada real o número .
Em simbolos: 	
		
Exemplos de funçoes exponenciais em : ; 
Função LogarítmicaDefinição: Dado um número real (), chamamos função logarítmica de base a função de em que associa a cada o número .
Em símbolos:			 
				
Exemplos de funções logarítmicas em:
Funções Trigonométricas
Definição: As funções trigonométricas são funções periódicas reais de variável real definida de definida de em que associa a cada real o real OP
Exemplos de funções trigonométricas: e 
Funções Hiperbólicas
São funções reais de variável real definidas de em cujas características do gráfico são as mesmas que os das funções homográficas ou racionais.
Exemplos: esboçar os gráficos das funções: , 
Limites e continuidade de funções 
A ideia intuitiva de limite é aproximar-nos o máximo possível de um valor numérico e, mesmo assim, nunca alcançá-lo.
Antes, porém, é conveniente observar que a existência do limite de uma função para um valor numérico quando tende para um valor numérico , não exige que a função esteja definida no ponto . Na verdade quando calculamos um limite, consideramos os valores da função tão próximos quando desejamos do ponto , não coincidente com , ou seja, consideramos os valores da função na vizinhança do ponto .
Definição: Seja f (x) definida num intervalo aberto I, contendo a, excepto possivelmente no próprio a. Dizemos que o limite de f (x) quando x aproxima-se de a e L, e escrevemos: se para todo , existe um , tal que sempre que .
Exemplos:
a) 
b) 
Limites laterais
Definição. Seja f urna função definida em um intervalo aberto (a, c). Dizemos que um numero L é o limite à direita da função f quando x tende para a, e escrevemos: , se para todo , existe um , tal que sempre que .
Se , dizemos que tende a quando tende para a pela direita. Usamos o simbolo para indicar que os valores de sao sempre maiores do que .
De maneira análoga, definimos limite à esquerda.
Definição. Seja uma função definida em um intervalo aberto Dizemos que um número é o limite à esquerda da função , quando tende para , e escrevemos, se para todo , existe um , tal que sempre que 
Neste caso, o simbolo indica que os valores de considerados são sempre menores do que .
Neste caso, o símbolo x —> a indica que os valores de x considerados são sempre menores do que a.
Exemplos:
Dada a função determinar, se possível e 
A função dada só e definida para . Assim, não existe .
Para calcular podemos aplicar as propriedades. Temos,
Continuidade de funções
Dizemos que uma função f e continua no ponto a se as seguintes condições forem satisfeitas:
· é definida no ponto ;
· existe;
· 
Exemplos: 
· Sejam e 
As funções f e g não são contínuas no ponto . A função f não esta definida neste ponto e a função g, embora esteja definida em , não cumpre a condição, pois 
· Seja 
 é contínua em todos os pontos. De facto, seja . Se , temos .
Se , temos 
.
Logo, .
Derivada de uma função num ponto
A derivada de uma função no ponto , denotada por ), (lê-se linha de , no ponto ), é definida pelo limite , quando este limite existe.
Também podemos escrever 
Exemplos:
a) Dada , encontre 
Solução:
Usando a definição da derivada da função num ponto temos:
b) Dada , encontre 
Soluçao: 
Derivada de uma função
A derivada de uma função é a função denotada por , (lê-se linha de ), tal que, seu valor em qualquer é dado por , quando este limite existe.
Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada em todos os pontos de seu domínio.
Outras notações podem ser usadas no lugar de 
i. (lê-se derivada de em relação a ).
ii. (lê-se derivada de em relação a ).
iii. (lê-se a derivada de em relação a ).
Exemplo:
Dada , encontre .
Solução:
Usando a definição temos: 
Conclusão
Depois de abordar as duas unidades (SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS E FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL) cheguei a concluir que as duas unidades estão definidas no campo dos reais, visto que uma sucessão de números reais é uma função de em , isto é, uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais e as imagens são números reais. E toda função real de variável real é toda a aplicação de um subconjunto também definidas de em .
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BOSQUILHA, Alessandra; CORRÊA, Marlene Lima Pires; VIVEIRO, Tânia Cristina Neto G. MATEMÁTICA Ensino Médio – Teoria e Pratica, EDITORA RIDEEL, 2ª Edição. São Paulo, 2003
FIGUEIRA, M. - Fundamentos de Analise Infinitesimal, Textos de Matematica,
IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos – FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR - CONJUNTOS E FUNÇÕES, 9ª edição, São Paulo, Atual Editora LTDA, 2013.
IEZZI, Gelson. FUNDAMENTOS DE MATEMATICA ELEMENTAR- Trigonometria. Atual Editora;9ª edição, São Paulo,2013
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI Carlos. FUNDAMENTOS DE MATEMATICA ELEMENTAR 2. ATUAL EDITORA;10ª ediçã	o, São Paulo,2013
MATACA, Coutinho João. Manual de Análise Harmónica e Complexa.UCM-CED
NHÊZE, Ismael Cassamo, PAULO, Luís do Nascimento, LANGA, Heitor. Manual de Preparação para o Ensino Superior, 10ª à 12ª classe, Plural editores, Lda, Maputo, 2009.
SÁ, Ana; LOURO, Bento. ANÁLISE MATEMATICA I – Teoria de exercícios, 2003
vol. 5, Departamento de Matemática, Faculdade de Ciencias da Universidade de Lisboa, 1996.
VUMA, José Pedro. PRÉ-UNIVERSITÁRIO MATEMÁTICA 12, Longman Moçambique
VUMA, José Pedro; CHERINDA, Marcos. PRÉ-UNIVERSITÁRIO MATEMÁTICA 11, Longman Moçambique









x
y
y = x^2









x
y
f(x)=2^x
f(x)=(1/2)^x









x
y
f(x)
g(x)









x
y
f(x)=sin(x)
f(x)=cos(x)









x
y
h(x)
f(x)
 
 
CASTRO 
RAIMUNDO
 
CADEIRA
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS
 
FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
 
(Li
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3º Ano)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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