Aula_6_Centro_massa_Impulso_Momento

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Física I para Engenharia
1º Semestre de 2014
Instituto de Física- Universidade de São Paulo
Aula – 6 Centro de Massa – Momento – Impulso
Professor: Valdir Guimarães
E-mail: valdirg@if.usp.br 
Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a
massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças
externas estivessem aplicadas sobre ele.
Centro de Massa
Para um corpo constituído de N partículas, o Centro de Massa é 
dado por 
kzjyixr cmcmcmcm
ˆˆˆ 

  





 
i
iicm rm
M
rmrm
M
r


 11
2211
onde
























i
iicm
i
iicm
i
iicm
zm
M
z
ym
M
y
xm
M
x
1
1
1
e
Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a 
massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças 
externas estivessem aplicadas sobre ele.
Centro de Massa
Para duas partículas unidas por uma haste de comprimento d
 2211
1
xmxm
M
xcm 
 
21
2
1
1211 )(
1
mm
dm
xx
dxmxm
M
x
cm
cm



 
21
2
2
1
mm
dm
dm
M
xcm


Colocando o referencial na 
partícula 1 
então x1=0
Centro de Massa da molécula de água (H20).
Com mO= 16,0 uma e mH= 1,0 uma, distância entre o 
oxigênio e o hidrogênio de 96,0 pm e ângulo de 
abertura da molécula de 104,5°.
Exemplos
Para 3 partículas, temos
M
xm
x
ii
cm


OHH
OOHHHH
cm
OHH
OOHHHH
cm
mmm
ymymym
y
mmm
xmxmxm
x






21
2211
21
2211





25,52sin1096
25,52cos1096
0
12
12
21
21
xyy
xxx
yx
HH
HH
OO
mjixrcm )
ˆ0ˆ1053,6( 12  

M
ym
y
ii
cm


Centro de Massa de uma folha uniforme de madeira. Com densidade superficial s.
Exemplos
Vamos determinar o 
centro de massa de cada parte
ss
ss


04,0
32,0
22
11
Am
Am
Onde a massa de cada parte é
my
mx
my
mx
cm
cm
cm
cm
50,0
70,0
20,0
40,0
2
2
1
1




my
mx
cm
cm
23,0
43,0


21
2211
21
2211
mm
ymym
y
mm
xmxm
x
cm
cm






Centro de Massa de um corpo é um ponto que se move como se toda a
massa do corpo estivesse nele concentrada e como se todas as forças
externas estivessem aplicadas sobre ele.
Centro de Massa – distribuição de massa
Para um corpo extenso com 
distribuição contínua de massa
 dmrM
rcm
 1
onde
 dmM
Se o corpo possuir simetrias geométricas, o 
centro de massa estará no centro de simetria.






 
i
iicm rm
M
r
 1
Centro de Massa de uma barra uniforme de 
comprimento L e densidade linear de massa λ.
Exemplos
A massa total M está distribuida ao longo 
do comprimento L, portanto a densidade 
linear de massa λ=M/L.
Para um pedaço infinitezimal dx, temos 
uma massa dm=λdx
Para o centro de massa temos
 dmrM
rcm
 1
 dmM
LdxdmM
LL
  
00
idxx
M
dmix
M
r
LL
cm
ˆ)
1
(ˆ
1
00
  

i
L
M
ixdx
M
r
L
cm
ˆ)
2
1
(ˆ)
1
(
2
0
  

i
L
i
L
L
rcm
ˆ
2
ˆ)
2
1
(
2
 


ixr ˆ

dxdm 
Centro de Massa de um anel
semicircular uniforme de raio R
e densidade linear de massa λ.
Exemplos
A massa total M está distribuida ao longo do comprimento πR, portanto a 
densidade linear de massa λ=M/ πR.
Para um pedaço infinitezimal ds, temos uma massa dm=λds
Mas, um pedaço ds pode ser escrito como Rdθ
RRddsdmM
LL


 
000
jRrcm
ˆ2



jRiRjyixR ˆsinˆcosˆˆ  
  dmRM
dmr
M
rcm
 11
Rddm
Para o centro de massa temos
 


0
)ˆsinˆ(cos
1
RdjiR
M
rcm

 


0
2
)ˆsinˆ(cos dji
M
R
rcm

)ˆˆ( cossin
00
ji
R
rcm   

Podemos decompor o movimento de um corpo como o movimento do
Centro de Massa mais o movimento individual das partículas
constituintes em relação ao Centro de Massa.
Movimento do Centro de Massa






 
i
iicm rm
M
r
 1












 
i
ii
i
i
i
cm
cm vm
Mdt
rd
m
Mdt
rd
v


 11derivando
derivando 











 
i
ii
i
i
i
cm
cm am
Mdt
vd
m
Mdt
vd
a


 11






 
i
iicm vm
M
v
 1
Mas, da terceira Lei de Newton, as forças 
internas aparecem aos pares e se cancelam.






 
i
iicm am
M
a
 1






 
i
i
i
icm ext
FF
M
a

int
1
 
i
Ricm extext
F
M
F
M
a
 11
O Centro de Massa de um sistema se move como uma partícula 
pontual com a massa total do sistema, sob a influência da força 
externa resultante que atua sobre o sistema.






 
i
icm F
M
a
 1
Um projétil é disparado em uma trajetória que o faria pousar 56 m adiante. 
Ele explode no topo da trajetória, partindo-se em dois pedaços iguais. Um 
dos fragmentos tem velocidade nula. Onde aterriza o outro pedaço?
Exemplos
X2= 84 m
R
R
Rx
x
R
R
xxx
mxmxmx
xmxmMx
cm
cm
cm
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
21
21
2211





Pedro (80 kg) e Davi (120 kg) estão em um barco de massa 60 kg. Davi está na proa
e Pedro na popa, a 2,0 m de Davi. O barco está em repouso e ele trocam de lugar.
De quanto o barco se move, devido à troca de lugares?
Exemplos
1111 bbddppcm xmxmxmMx 
Situação inicial
Situação final
2222 bbddppcm xmxmxmMx 
bbddppcm xmxmxmxM 
Supondo que o barco se moveu d e o 
CM não se altera.
L
mmm
mm
d
bpd
pd



dmLdmLdm bdp  )()(0
md 31,0
Suponha que você esteja sobre um carro inicialmente em repouso em um
trilho com muito pouco atrito. Você arremessa bolas contra um anteparo
rigidamente montado sobre o carro. Se as bolas retornam para trás e para a
direita como mostrado na figura, o carro é posto em movimento?
1. Sim, ele se move para a direita.
2. Sim, ele se move para a esquerda.
3. Não. Ele permanece no lugar.
Quantidade de Movimento
Derivando-se esta expressão, temos:
vmp


Quantidade de Movimento Linear (ou Momento Linear) de uma partícula.
unidades: kg.m/s
am
dt
vd
m
dt
vmd
dt
pd 


)(
a massa foi suposta constante.
dt
pd
Fres


definição de Newton 
para a sua segunda lei.
Quantidade de Movimento
Para um sistema de partículas, temos:
Do conceito de posição do Centro de massa, temos:
 
i
i
i
iisis pvmP

Momento Linear total de um sistema.
Igual a soma dos momentos 
individuais.






 
i
iicm rm
M
r
 1
cm
i
ii
i
i
i
cm vvm
Mdt
rd
m
Mdt
rd 













 
11
derivando
  





 
i
iicm rm
M
rmrm
M
r


 11
2211
siscm
i
ii PvMvm


Quantidade de Movimento
Para um sistema de partículas, temos:
 
i
i
i
iisis pvmP

A variação do Momento Linear de um sistema
depende das Forças Externas ao sistema
cmsis vMP



i
extcm
cmcmsis FaM
dt
vd
M
dt
vMd
dt
Pd 

)(
Na ausência de Forças Externas o MomentoLinear de um sistema se conserva.
 
i
sis
ext
dt
Pd
F 0


 cm
i
iisis vMvmP

constante
Lei da conservação da Quantidade de Movimento 
sendo que
derivando
Um astronauta de 60 kg, atira um objeto de 3 kg, com uma velocidade
de 4 m/s. Qual é a velocidade de recuo do astronauta?
Considerando-se o sistema constituído
por objeto + astronauta, não existem
forças externas. Portanto, a Quantidade
de Movimento se conserva.
 
i
sis
ext
dt
Pd
F 0


.constvMvmP cm
i
iisis 

fobjobjfastrastriobjobjiastrastr vmvmvmvm )()()()(


fobjobjfastrastr vmvm )()(0


smv
m
m
v
ff obj
astr
obj
astr /2,0

A Quantidade de Movimento do 
sistema se conservou, mas a 
Energia Cinética aumentou !!!
Decaimento radioativo
Um núcleo radioativo de tório-227
(massa atômica 227 uma), em repouso,
decai em um núcleo de rádio-223,
emitindo uma partícula alfa (massa 4,0
uma). Sabendo-se que a energia cinética
da partícula alfa é 6,0 MeV. Qual é a
energia cinética de recuo do núcleo de
rádio?
Quantidade de Movimento se conserva
fradioradiofalfaalfa vmvm )()(0


MeVvmK alfaalfaalfa 0,6
2
1 2 
alfa
radio
alfa
radio v
m
m
v


m
K
v
22 
alfa
alfa
radio
alfa
radio
radio
m
K
m
m
m
K 22
2







MeVK
m
m
K alfa
radio
alfa
radio 107,0
sendo que
Impulso de uma Força
Forças impulsivas são forças intensas, não constantes, 
exercidas sobre curtos intervalos de tempo.
Podemos definir uma grandeza chamada Impulso.
O impulso de uma força é o produto da força 
pelo intervalo de tempo. 
tFI m

Para uma força variável: 
tFdtFdtFdtFI m
t
t
m
t
t
m
t
t
 
 2
1
2
1
2
1
força média 
durante o 
intervalo.
Como:
dtFI
t
t

2
1

Podemos definir um vetor chamado Impulso de uma 
força, dado pela a integral no tempo desta força.
unidades: N.s
dt
pd
Fres


12
2
1
2
1
2
1
pppddt
dt
pd
dtFI
t
t
t
t
t
t
resres


 
Teorema do Impulso-Quantidade de Movimento para uma partícula.
sis
t
t
extext PdtFI resres

 
2
1
Teorema do Impulso-Quantidade de Movimento para um sistema.
Teorema Impulso-Quantidade de Movimento
Golpe de karate
Com um eficiente golpe de karatê, um bloco de concreto é partido.
Considere a massa da mão m=0,70 kg e que ela se move a 5,0 m/s quando
atinge o bloco, parando 6,0 mm além do ponto de contato.
vmPI


jsNjsmkgI ˆ.5,3)ˆ/5).(70,0( 

(a) Qual é o impulso que o bloco exerce sobre a mão?
(b) Quais são o tempo aproximado de colisão e a
força média que o bloco exerceu?
Considerando a desaceleração constante, a velocidade média
é a média entre a velocidade inicial e a final (zero).
2/)( fimed vv
y
v
y
t





ms
sm
m
t 4,2
/5,2
006,0

jkN
sx
jsN
t
I
Fm
ˆ5,1
104,2
ˆ.5,3
3






Equivalente a uma massa de 150 kilos.
sNI
kgsI
s
m
.101.4
)0.90()0.34)(27.0(
2
2
1
2


N
t
I
Fmed
4
2
100.1
04.0
101.4





Equivalente a massa de 1.000 kilos.
st 04.0Superfícies rígidas. N
t
I
Fmed
3
2
100.2
2.0
101.4





Equivalente a massa de 200 kilos.
st 2.0Chifres flexíveis
Problema da luta dos carneiros
areamdtamdtFI
t
t
t
t
 
2
1
2
1
