Propriedades Geométricas na Estática

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ESTÁTICA
Eduardo Alcides Peter
 
Propriedades 
geométricas – parte I
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste capítulo, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Explicar o conceito de centro de gravidade e centro de massa.
 � Descrever o conceito de centroide de linha, área e volume.
 � Determinar a localização do centro de gravidade e do centroide para 
um sistema de partículas discretas de forma arbitrária.
Introdução
As propriedades geométricas possuem papel fundamental para o dimen-
sionamento de estruturas. Através das propriedades é possível determinar, 
por exemplo, a direção e o sentido das forças resultantes (para o cálculo 
das reações de apoio e a determinação das forças internas em elementos 
estruturais). É fundamental que o engenheiro seja capaz de entender, 
aplicar e trabalhar com os conceitos fundamentais das propriedades 
geométricas.
Neste capítulo, você aprenderá a explicar o conceito de centro de 
gravidade e centro de massa, bem como será capaz de descrever os 
conceitos de centroide de linha, área e volume. Você será capaz, ainda, 
de determinar a localização do centro de gravidade e do centroide para 
um sistema de partículas discretas com uma forma qualquer. 
Centro de gravidade e centro de massa
O centro de gravidade e o centro de massa são conceitos fundamentais da 
estática. Através desses conceitos é possível determinar a localização, a direção 
e o sentido de forças resultantes (um exemplo é a força peso resultante de um 
objeto: qual a sua direção e sentido?).
Centro de gravidade
O conceito de centro de gravidade (também chamado de baricentro, que 
designa o centro dos pesos) é relativamente simples: o centro de gravidade 
de um corpo representa o ponto onde pode ser considerada a aplicação da 
força da gravidade resultante de todo o corpo, que por sua vez é formado por 
partículas. O centro de gravidade é o ponto no qual se pode equilibrar todas as 
forças de atração. Isto é, caso seja aplicada uma força de mesma intensidade 
e sentido contrário à força peso no centro de gravidade, o corpo ficará em 
equilíbrio estático. Para obter-se o centro de gravidade de um objeto é preciso 
definir um sistema referencial.
No caso de um corpo constituído por N partículas pontuais, o centro de 
gravidade nas direções x e y, em um determinado sistema referencial, pode 
ser calculado como:
xg = ∑ xi Fi / ∑ Fi 
N N
i i
yg = ∑ yi Fi / ∑ Fi 
N N
i i
{
Onde xg e yg são os centros de gravidade do objeto nas direções x e y, xi é 
a posição x de cada partícula e Fi é a força gravitacional sobre a partícula i.
Não necessariamente o centro de gravidade precisa ser um ponto pertencente ao 
corpo. No caso de um anel perfeito, o seu centro de gravidade está exatamente no 
centro do anel (fora, portanto, dos limites físicos do anel).
Centro de massa
Para entender o conceito de centro de massa, imagine um corpo homogêneo 
constituído por N pequenos pedaços em um determinado referencial. O centro 
de massa desse corpo é determinado matematicamente somando-se os produtos 
Propriedades geométricas – parte I2
da massa de cada pedaço e da distância da origem do referencial até o centro 
de cada pequeno pedaço em cada direção separadamente e dividindo-se pela 
soma das massas dos pedaços. O resultado é um valor médio de coordenadas 
em cada direção, que é exatamente o centro de massa. O centro de massa de 
um corpo é definido, portanto, como sendo um ponto hipotético que representa 
a posição média da distribuição de massa de um corpo.
O conceito de centro de massa é, muitas vezes, confundido com o conceito 
de centro de gravidade. A confusão é justificável quando o corpo analisado 
está sob a influência de um campo gravitacional constante: nesse caso, os 
dois pontos são coincidentes. 
Caso o campo gravitacional não seja uniforme (e isso acontece quando se 
analisa corpos com grandes dimensões na superfície terrestre, por exemplo), 
o centro de gravidade não coincide com o centro de massa. A razão é simples: 
o centro de massa avalia a distribuição de massa de um corpo, enquanto o 
centro de gravidade avalia a distribuição de forças de um corpo. Se o campo 
gravitacional muda significativamente ao longo da extensão do corpo, haverá 
uma porção do corpo onde o peso será maior ou menor para uma mesma massa, 
alterando a posição média da distribuição de forças e, consequentemente, o 
centro de gravidade do corpo.
Assim, no caso de um corpo constituído por N partículas pontuais, o centro 
de massa nas direções x e y, em um determinado sistema referencial, pode 
ser calculado como:
xm = ∑ xi mi / ∑ mi 
N N
i i
ym = ∑ yi mi / ∑ mi 
N N
i i
{
Onde: xm e ym são os centros de massa do objeto nas direções x e y, xi é a 
posição x de cada partícula e mi é a massa da partícula i.
São mostrados alguns exemplos na Figura 1. No painel a) mostra-se um anel, 
onde o centro de massa e de gravidade estão no centro do anel. No painel b) 
mostra-se um quadrado, onde o centro de massa e de gravidade estão no 
centro geométrico da figura. Já no painel c) mostra-se o centro de massa e de 
gravidade de um quadrado composto por dois materiais diferentes (com pesos 
específicos diferentes), representados por diferentes hachuras. Nesse caso, o 
centro de massa não coincide com o centro geométrico do objeto.
3Propriedades geométricas – parte I
Figura 1. Exemplo de figuras com seus respectivos centros de massa (m) e gravidade (F).
a) b) c)
F m F m
F m
Centroides
O centroide é definido como sendo um ponto que representa o centro geomé-
trico de uma forma geométrica. Caso a forma geométrica represente um corpo 
uniforme (ou seja, com mesma massa), o centroide coincide com o centro de 
massa do corpo. Adicionalmente, caso o corpo esteja submetido a um campo 
gravitacional constante, o centroide e o centro de massa coincidem com o 
centro de gravidade. O centroide pode ser: de linha, de área ou de volume.
Centroide de linha
No caso do centroide de linha, o centroide é um ponto que representa o centro 
geométrico da forma geométrica que é uma linha. A forma geométrica pode 
ser composta por linhas curvas ou por uma combinação de linhas. De forma 
que se pode expressar o centroide como sendo:
xC = ∑ xi li / ∑ li 
N N
i i
yC = ∑ yi li / ∑ li 
N N
i i
{
Onde: xC e yC são os centroides do objeto nas direções x e y, xi é o centro 
em x de cada linha e li é o comprimento da linha i.
Propriedades geométricas – parte I4
Centroide de área
No caso do centroide de área, o centroide é um ponto que representa o centro 
geométrico da forma geométrica que pode ser expressa em um plano. A forma 
geométrica pode ser composta pelas mais diferentes formas geométricas. O 
centroide de área pode ser escrito como sendo:
xC = ∑ xi Ai / ∑ Ai 
N N
i i
yC = ∑ yi Ai / ∑ Ai 
N N
i i
{
Onde: xC e yC são os centroides do objeto nas direções x e y, xi é a posição 
centroide no eixo x de cada elemento que compõe a forma geométrica e Ai é a 
área da i-ésima parte que compõe a forma geométrica analisada.
Centroide de volume
No caso do centroide de volume, o centroide é um ponto que representa o centro 
geométrico da forma geométrica que é um volume. A forma geométrica pode 
ser composta por diversos volumes, conectados ou não entre si. De forma que 
se pode expressar o centroide como sendo:
xC = ∑ xi Vi / ∑ Vi 
N N
i i
yC = ∑ yi Vi / ∑ Vi 
N N
i i
{
Onde: xC e yC são os centroides do objeto nas direções x e y, xi é a posição 
x do centroide do elemento i e Vi é o volume do elemento i que compõem o 
volume da forma analisada.
O centroide pode ser aplicado para a determinação de área e de volume, em sólidos 
de revolução, por exemplo, por meio do Teorema de Pappus-Guldinus. 
5Propriedades geométricas – parte I
Determinação do centro de gravidade e 
centroide
Centro de gravidade e centroide para 
um sistema de partículas
Uma das formas mais fáceis de entender os conceitos de centro de gravidade e 
centroide é através da aplicação em um sistema de partículas. Por exemplo, o 
centrode gravidade de um sistema de partículas pode ser encontrado através 
da posição média das partículas, com relação a um sistema de referências, 
utilizando como ponderação o peso de cada uma das partículas. Assim:
xg = ∑ xi Pi / ∑ Pi 
N N
i i
yg = ∑ yi Pi / ∑ Pi 
N N
i i
{
Onde xg e yg representam o centro de gravidade do sistema de partículas 
em um plano e Pi é o peso da i-ésima partícula.
Calcule o centro de gravidade do sistema de partículas mostrado a seguir (Figura 2).
Figura 2. Exemplo de sistema de partícu-
las para cálculo do centro de gravidade.
y
x
A B
C D
(5,5)
10N
(10,5)
10N
(5,10)
10N
(10,10)
10N
Propriedades geométricas – parte I6
Neste caso, o sistema é composto por quatro partículas: A, B, C e D.
O centro de gravidade pode ser calculado através das seguintes expressões:
xg = =
∑A
D xiPi
∑A
D yiPi
Pi
Pi ∑A
D 1
(xA + xB + xC + xD) = (5 + 10 + 5 + 10) = 7,5
10
10 ∙ 4
yg = =
∑A
D yiPi
∑A
D Pi
Pi
Pi ∑A
D 1
(yA + yB + yC + yD) = (10 + 10 + 5 + 5) = 7,5
10
10 ∙ 4{
O centro de gravidade é, portanto, o ponto (7,5; 7,5).
Pode ser o caso de que os pesos de cada partícula sejam diferentes, como no sistema 
a seguir (Figura 3):
Figura 3. Exemplo de sistema de partí-
culas com pesos diferentes entre si para 
cálculo do centro de gravidade.
y
x
A B
C D
(5,5)
10N
(10,5)
20N
(5,10)
20N
(10,10)
20N
Nesse caso, tem-se:
xg = =
∑A
D xi Pi
∑A
D 
 Pi
(5 ∙ 20 + 10 ∙ 20 + 5 ∙ 10 + 20 ∙ 10)
(20 + 20 + 10 + 20)
 = 7,86
550
70{ =yg = =∑AD yi Pi∑AD Pi (10 ∙ 20 + 10 ∙ 20 + 5 ∙ 10 + 20 ∙ 10)(20 + 20 + 10 + 20) = 9,2965070=
Sendo o centro de gravidade (7,86; 9,29).
O centro de gravidade pode ser de um sistema distribuído em um volume, de modo 
que cada ponto possua três coordenadas. Como no exemplo a seguir.
7Propriedades geométricas – parte I
Determine o centro de gravidade de um sistema composto pelos seguintes pontos 
(Tabela 1):
Ponto
Coordenada 
x (m)
Coordenada 
y (m)
Coordenada 
z (m)
Peso (N)
A 2 3 1 30
B 3 2 0 40
C 4 4 -1 10
Tabela 1. Exemplo de pontos com coordenadas triplas em um sistema, para 
cálculo do centro de gravidade.
Assim:
xg = =
∑A
D xi Pi
∑A
D 
 Pi
(2 ∙ 30 + 3 ∙ 40 + 4 ∙ 10)
(30 + 40 + 10)
 = 2,75m{ yg = =∑AD yi Pi∑AD Pi (3 ∙ 30 + 2 ∙ 40 + 4 ∙ 10)(30 + 40 + 10) = 2,625mzg = =∑AD zi Pi∑AD Pi (1 ∙ 30 + 0 ∙ 40 + (–1) ∙ 10)(30 + 40 + 10) = 0,25m
Logo, o centro de gravidade nesse caso é: (2,75; 2,625; 0,25).
Centro de gravidade e centroide para corpos 
de forma arbitrária
Pode ser o caso que não se esteja analisando o centro de gravidade ou o cen-
troide de um sistema de partículas e, sim, de um corpo com forma arbitrária. 
Pode-se pensar que um corpo é composto por infinitas partículas, de modo 
que os centros de gravidade e centroide são calculados como no caso de um 
sistema de partículas. Do ponto de vista computacional, essa solução parece 
simples e mais adequada. Entretanto, é inviável de ser feita manualmente.
Propriedades geométricas – parte I8
Assim sendo, quando se tem um corpo de forma arbitrária, procura-se 
dividi-lo em pedaços ou formas com centroides e centros de gravidade conhe-
cidos. Com isto é possível calcular os referidos pontos de forma simplificada. 
No exemplo a seguir, é calculado o centro de gravidade de um corpo 
retangular.
Calcule o centro de gravidade do corpo retangular abaixo mostrado (as dimensões 
estão em centímetros) (Figura 4).
Figura 4. Exemplo de corpo retangular para 
cálculo do centro de gravidade.
20kN/m2 10kN/m2
y
200 200
200
20
0
20
0
20
0
200
O corpo é constituído de dois materiais diferentes, conforme mostra a figura. Um 
deles possui um peso específico de 20 kN/m2 e o outro 10 kN/m2.
9Propriedades geométricas – parte I
Digamos que você não saiba qual é o centro de gravidade de um retângulo homo-
gêneo. Você pode dividir a figura da seguinte maneira (Figura 5):
Figura 5. Exemplo de divisão de um retângulo 
para cálculo do centro de gravidade.
y
1
2
3
x
200 200 200
200
20
0
20
0
20
0
Onde agora 1, 2 e 3 são quadrados, com centro de massa conhecidos.
Os quadrados 1 e 2 possuem 2 m x 2 m e são constituídos de material de 20 kN/m2. 
Assim sendo, tanto 1 quanto 2 possuem massa de 80 kN. Já o quadrado 3, de 4 m x 
4 m, possui massa de 160 kN. Os centros de gravidade destes elementos coincidem 
com os seus respectivos centroides. Dessa forma (Figura 6):
Figura 6. Exemplo de divisão de um retângulo em qua-
drados de centros de gravidade conhecidos para cálculo 
do centro de gravidade do retângulo.
50
0
30
0
40
0
3
2
1
y
x
300
600
Propriedades geométricas – parte I10
Deste modo, monta-se a Tabela 2:
Figura
Centro de 
massa x (m)
Centro de 
massa y (m)
Peso (kN)
Área 
(m2)
1 3 3 80 4
2 3 5 80 4
3 6 4 160 16
Tabela 2. Centros de massa, pesos e áreas dos pontos que representam as di-
visões do retângulo do exemplo.
O centro de gravidade pode ser calculado como:
xg = =
∑A
D xi Pi
∑A
D 
 Pi
(3 ∙ 80 + 3 ∙ 80 + 6 ∙ 160)
(80 + 80 + 160)
 = 4,5m
1440
320{ =yg = =∑AD yi Pi∑AD Pi (3 ∙ 80 + 5 ∙ 80 + 4 ∙ 160)(80 + 80 + 160) = 4m1280320=
Logo, o centro de gravidade é (4,5 m; 4 m).
Considerando o mesmo corpo, agora calcula-se o centroide.
11Propriedades geométricas – parte I
Calcule o centroide do corpo retangular abaixo mostrado (as dimensões estão em 
centímetros) (Figura 7).
Figura 7. Exemplo de corpo retangular para cál-
culo do centroide.
20kN/m3 10kN/m3
200 200 200
20
0
20
0
20
0
200
y
x
O corpo é constituído de dois materiais diferentes, conforme mostra a figura. Um 
deles possui um peso específico de e 20 kN/m3 e o outro 10 kN/m3. Entretanto, isso não 
importa para o cálculo do centroide, que leva em consideração apenas as características 
geométricas do corpo.
Digamos que você não saiba qual é o centroide de um retângulo. Você pode dividir 
a figura da seguinte maneira (Figura 8):
Figura 8. Exemplo de divisão de um retângulo 
para cálculo do centroide.
y 2
1
3
x
200 200200
200
20
0
20
0
20
0
Propriedades geométricas – parte I12
Onde agora as figuras 1, 2 e 3 são quadrados, com centroides conhecidos.
Os quadrados 1 e 2 possuem 2 m x 2 m enquanto o quadrado 3, é de 4 m x 4 m. Assim:
Figura 9. Exemplo de divisão de um retângulo em 
quadrados de centroides conhecidos para cálculo do 
centroide do retângulo.
50
0
30
0
40
0
1
3
2
300
300 600
x
y
Desse modo, monta-se a Tabela 3:
Figura Centroide x (m) Centroide y (m) Área (m2)
1 3 3 4
2 3 5 4
3 6 4 16
Tabela 3. Centroides e áreas dos pontos que representam as divisões do retân-
gulo do exemplo.
O centroide pode ser calculado como:
xC = =
∑A
D xi Ai
∑A
D 
 Ai
(3 ∙ 4 + 3 ∙ 4 + 6 ∙ 16)
(4 + 4 + 16)
 = 5m
120
24{ =yg = =∑AD yi Ai∑AD Ai (3 ∙ 4 + 5 ∙ 4 + 4 ∙ 16)(4 + 4 + 16) = 4m9624=
Logo, o centro de gravidade é (5 m; 4 m). Note como neste caso o centro de gravidade 
é diferente do centro de massa. A razão é que o corpo analisado não é homogêneo.
13Propriedades geométricas – parte I
BEER, F. P. et al. Mecânica vetorial para engenheiros: estática. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 
2012.
BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Mecânica vetorial para engenheiros: cinemática e dinâ-
mica. 5. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2004.
HIBBELER, R. C. Dinâmica: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2011. 
HIGDON, A.; STILES, W. B. Mecânica: estática e dinâmica. São Paulo: Prentice Hall, 1984.
MARTHA, L. Análise de estruturas. 2. ed. São Paulo: Elsevier, 2017.
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para engenharia: estática. 6. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2012. v. 1.
PLESHA, M. E.; GRAY, G. L.; CONSTANZO, F. Mecânica para engenharia: estática. Porto 
Alegre: Bookman, 2014. 
Leituras recomendadas
Propriedades geométricas – parte I14
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
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da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
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