Notas de Calculo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
PROGRAMA DE DOUTORADO EM MATEMÁTICA UFPA/UFAM
JOSÉ ROBERTO SILVA DO NASCIMENTO
NOTAS DE AULA: CURSO DE CÁLCULO
BELÉM- PA
2019
Conteúdo
A noção de limite 3
0.1 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.1.1 Algumas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
0.2 Limites no Infinito e Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.2.1 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.2.2 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.2.3 Algumas Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
A noção de Derivada 25
0.3 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
0.4 Derivabilidade e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
0.5 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
0.6 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
0.7 Derivada da Função Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
0.8 O Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
0.9 Máximos e mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
0.10 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A noção de Integral 48
0.11 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
0.12 Propriedades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
0.13 Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1
0.14 Duas Fórmulas para o Cálculo de Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
0.14.1 Fórmula da Mudança de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
0.14.2 Fórmula de Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
0.15 Algumas aplicações da integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A noção de limite
o conceito de limite é o mais fundamental do Cálculo; a derivada e a integral, seus
principais objetos de estudo são, ambas, formas de limite. Além disso, a idéia de lim-
ite permeia nossos argumentos em todo o transcorrer dos cursos de Cálculo e de suas
aplicações.
Motivação
1. O problema da tangente
Um dos problemas que motivam o estude de limite é o do traçado de tangentes, isto
é, determinar a reta tangente a uma curva em um dado ponto. Tal problema, facilmente
solúvel, quando se trata, por exemplo, de uma circunferência, em que a reta tangente
é aquela que a intersecta em apenas um ponto (que é verdadeira neste caso, porém,
este fato, de maneira geral não é verdade conforme indicam as figuras abaixo), gera
interessantes questões quando tratamos com outras curvas e que nos levam ao conceito
de limite, o qual,por sua vez nos motiva a definir o que vem a ser derivada.
3
Para efeito ilustrativo, trataremos um caso particular para tratar a noção intuitiva
de limite e determinar o que seria a reta tangente a uma curva em um dado ponto.
Para isto, considere a função f : R → R dada por f(x) = x2. Nosso problema consiste
em determinar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em um ponto qualquer
P = (x0;x
2
0). Considere agora o ponto Q = (x0 + h, (x0 + h)
2) no gráfico de f . A reta
secante determinada por tais pontos possui inclinação mPQ dada por
mPQ =
(x0 + h)
2 − x20
h
a qual, após as devidas simplificações, adquire a forma
mPQ = 2x0 + h. (1)
Observe que, entanto,quanto mais próximo o ponto P estiver do ponto Q, o que
equivale dizer que h estará próximo de zero, a reta secante determinada por P e Q
estará próxima de uma posição tangente. Contudo, por menor que seja o valor de h
haverá sempre um erro ao aproximar a reta tangente pela reta secante. Contornaremos
tal problema fazendo o h tender a zero ou, tomar o limite da expressão quando h → 0.
Deste modo, a expressão na igualdade (1) assume valor 2x0, ou mais formalmente
lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= 2x0 (2)
a qual representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto (x0, f(x0)).
4
O objeto “limh→0” apresentado de maneira intuitiva será tratado rigorosamente ao
longo do texto.
Deve-se observar que o procedimento que acabamos de descrever, muito embora tenha
sido aplicado a um caso espećıfico, possui um caráter mais geral.
2. O problema da velocidade
Queremos agora determinar a velocidade instantânea de um corpo em movimento.
Um caso concreto de um problema como este surge em cinemática em que a equação
horária de um corpo em movimento, em alguns casos, pode ser escrita como
s(t) = s0 + v0t+
at2
2
em que s = s(t) representa o deslocamento do corpo no instante t.
Aqui os métodos clássicos, entendidos como aqueles desenvolvidos antes do advento
do Cálculo, mostram-se insuficientes para tratar problemas em que haja variações de
velocidade.
Nosso objetivo é mostrar a relação que há entre o problema da determinação da
reta tangente, vista anteriormente, com o de calcular a velocidade instantânea. Para
tal,suponhamos que um móvel esteja se deslocando ao longo de uma reta regido pela
equação horária
s = s(t) = 3t2 − 5t+ 2
em que s = s(t) representa a distância percorrida pelo corpo no tempo t, sendo s a
5
medida em metros e t em segundos. Desejamos dar um sentido à noção de velocidade em
um determinado instante t. Sabemos que a velocidade média de uma part́ıcula em um
certo lapso de tempo é o quociente entre a distância percorrida e o intervalo de tempo
gasto em percorrê-la. Portanto a velocidade média vm do móvel no intervalo [t, t + ∆t]
será dada por
vm =
s(t+ ∆t)− s(t)
∆t
= 6t− 5 + 3∆t.
À medida que fizermos o intervalo de tempo bem pequeno, o valor vm obtido acima
ficará cada vez mais próximo do da velocidade instantânea no tempo t. O valor preciso
será obtido quando fizermos ∆ → 0, o que se lê t tende a zero. Portanto, a velocidade
v(t) no instante t será
v(t) = lim
∆→0
s(t+ ∆)− s(t)
∆
= 6t− 5.
3. O problema das áreas
Aqui desejamos Determinar a área de uma região limitada por uma curva. Quando
trabalhamos com poĺıgonos, isto é ,figuras que podem ser decompostas em um número
finito de triângulos, o problema das áreas é perfeitamente solúvel por intermédio da Ge-
ometria básica. No entanto, quando a figura é curviĺınea a geometria básica é insuficiente.
Por exemplo, como calcular a área da região R compreendida entre o gráfico de f , o eixo
das abscissas e as retas x = a e x = b?
O método para calcular a área da região R consiste fundamentalmente em aproximar
a região por figuras mais simples como retângulos, cujas áreas sabemos calcular e tomar
6
o processo de limite.
0.1 Limite
Antes de iniciarmos o conceito formal, começaremos com uma pequena digreção infor-
mal. Tomemos uma função f : U ⊂ R→ R, e seja p ∈ R um ponto não necessariamente
pertencente a U . Suponhamos que exista L ∈ R tal que f(x) se aproxima de L, quando
fazemos x se aproximar de p, embora x 6= p. Quando isto ocorre, dizemos que L é o
limite de f em p e escrevemos
lim
x→p
f(x) = L.
Por exemplo, suponhamos que f seja dada por
f(x) =
x2 − 1
x+ 1
.
Note que f coincide com g(x) = x−1 em R−{−1}. Além disso, observe que f(x) se torna
arbitrariamente próximo de −2 = g(−1) bastando tomar x suficientemente próximo de
−1. Então escrevemos
lim
x→−1
x2 − 1
x+ 1
= −2
Note que não estamos interessados em quanto vale f(−1), nem mesmo em saber se
f(−1) existe. Estamos interessados exclusivamente no comportamento de f(x) nas prox-
imidades de x = −1. Porém, devemos ter cautela uma vez que não estamos apresentando
o conceito de limite de maneira formal e rigorosa.
Exemplo: Seja f(x) = sen(1/x). Observe que encontramos pontos x suficientemente
próximode 0 para os quais f(x) = −1, 0, 1.
7
Definição 0.1. Dados f : U ⊂ R → R e um ponto de acumulação p do conjunto U ,
diz-se que L ∈ R é o limite de f em p se a seguinte condição é satisfeita: Para todo
� > 0, exite um número δ = δ(�) tal que
x ∈ U, 0 < |x− p| < δ ⇒ |f(x)− L| < �. (3)
Escreve-se: limx→p f(x) = L.
Observação 0.1. (1) Um fato importante referente ao limite de uma função f é o que
afirma que se o limite de f existir num ponto p então este limite é único.
(2) O limite de uma função possui uma propriedade de localidade, isto é, se f e g são duas
funções que coincidem em um vizinhança do ponto p, com posśıvel exceção do próprio
ponto p, então
lim
x→p
f(x) = lim
x→p
g(x)
Exemplo:(1) Se considerarmos f(x) = c (constante) , temos
lim
x→p
f(x) = c.
De fato, dado � > 0, qualquer δ > 0nos serve, pois sempre teremos |f(x)− c| = 0 < �.
(2) Se f(x) = x, temos limx→p f(x) = p. De fato, dado � > O , se tornarmos δ = � temos
0 < |x− p| < δ ⇒ |f(x)− p| = |x− p| < δ = �.
(3) limx→p cosx = cos p. Observe inicialmente que
| cosx− cos p| < |x− p|
se x, p ∈ R, x 6= p.
Dado � > 0, tomando δ = � vem
0 < |x− p| < δ ⇒ | cosx− cos p| < |x− p| < δ = �.
8
Observação 0.2. Dados f : U → R e B ⊂ U , seja p um ponto de acumulação p do
conjunto B. Se limx→p f(x) = L, é claro que também para a restrição de f a B temos
lim
x→p
f |B(x) = L
Exemplo: limx→p
x
|x| não existe.
De fato, suponha que exista um número L tal que
lim
x→0
x
|x|
= L
Isto significa que para qualquer � > 0, existe δ = δ(�) > 0 tal que
0 < |x| < δ ⇒ | x
|x|
− L| < �.
Então, para 0 < � < 1, devemos encontrar δ∗ > 0 tal que
0 < |x| < δ∗ ⇒ |
x
|x|
− L| < 1
Para 0 < x < δ∗, temos
x
|x|=1 e
|1− L| < 1,
e portanto 0 < L < 2. Para −δ∗ < x < 0 temos x|x|=−1 e
| − 1− L| = |1 + L| < 1,
9
e portanto −2 < L < 0 o que é uma contradição pois L não pode ser positivo e negativo
ao mesmo tempo.
O exemplo anterior sugere a seguinte definição.
Definição 0.2. Dados f : U ⊂ R → R e p um ponto de acumulação à esquerda
do conjunto U , diz-se que L ∈ R é o limite lateral de f à esquerda de f em p se
limx→p f |U∩(−∞,p)(x) = L e denota-se:
lim
x→p−
f(x) = L
De modo análogo define-se o limite lateral á direita de f no ponto p
lim
x→p+
f(x) = L
Observação 0.3. Se p é ponto de acumulação à esquerda e à direita do conjunto U ,
para a função f : U → R, o limite limx→p f(x) existe se, e somente se, os limites laterais
limx→p− f(x) e limx→p+ f(x) existirem e forem iguais.
Utilizando o recurso dos limites laterais mostraremos que o limite
lim
x→0
x
|x|
não existe. Para isto, note que f(x) = 1 para x > 0, e f(x) = −1 para x < 0. Assim,
como
lim
x→0
f |(0,∞)(x) = lim
x→0+
f(x) = 1,
lim
x→0
f |(−∞,0)(x) = lim
x→0−
f(x) = −1,
conclúımos que o limite em questão não existe.
Exemplo: Vamos calcular o limite
lim
x→−3
|x− 3||x+ 4|.
10
Para isto, observe que
lim
x→−3+
|x− 3||x+ 4| = lim
x→−3+
(x− 3)(x+ 4) = 0,
lim
x→−3−
|x− 3||x+ 4| = lim
x→−3+
−(x− 3)(x+ 4) = 0,
e portanto,
lim
x→−3
|x− 3||x+ 4| = 0.
Veremos à seguir alguns exemplos de funções para os quais o limite não existe. Ex-
emplo: Aqui estão quatro funções que, de um modo ou de outro, não admitem limite
em algum ponto.
(1) f(x) =
1− x
|x− 1|
(2) g(x) = sen
(
1
x
)
(3) h(x) =
 1 se x ∈ R−Q,−1 se x ∈ R.
(4) k(x) =
 1 se x ∈ R− A−1 se x ∈ A , onde A = {x ∈ R;x = 1/n com n ∈ N}
Observemos seus gráficos:
11
Esses foram apenas alguns casos de funções que não admitem limites. Há uma in-
finidade de outros exemplos, incluindo casos em que a função não admite limite por
outras razões.
0.1.1 Algumas Propriedades
Veremos a partir de agora algumas propriedades que, em muitos casos, tornam
desnecessário recorrer-se à definição de limite para o cálculo. Para nossa comodidade,
iremos supor sem mencionar que p é um ponto de acumulação do conjunto U ⊂ R.
12
Na seguinte proposição está subentendido que as funções f e g têm o mesmo domı́nio
e que a variável independente x sempre pertence a esse domı́nio.
Proposição 0.1. Se limx→p f(x) = L e limx→p g(x) = M , então
(1) limx→p(f(x) + g(x)) = L+M,
(2) limx→p f(x)g(x) = LM
(3) limx→p
f(x)
g(x)
= L/M , se M 6= 0.
Proposição 0.2. Seja f : U → R tal que existe L = limx→p f(x). Então f é localmente
limitada em p, isto é, existe uma vizinhança V (p) de p e uma constante K > 0 tais que
|f(x)| ≤ K, ∀x ∈ V (p) ∩ U.
A propriedade acima sugere um critério de não existência do limite. Porém, devemos
ter uma certa cautela.
Exemplo:(1) Não existem os limites limx→0 1/x e limx→0 1/x
2, pois 1/x e 1/x2 não são
localmente limitadas em p = 0.
(2) A função f(x) = sen(1/x) é localmente limitada em p = 0, mas, como já vimos antes,
não existe limx→0 sen(1/x). Isto é, não vale a rećıproca da proposição 0.2
Uma propriedade interessante do limite de uma função é dado na seguinte.
13
Proposição 0.3. Sejam f, g : U → R funções tais que
• limx→p f(x) = 0
• g é localmente limitada em p = 0
então
lim
x→0
f(x)g(x) = 0.
Exemplo:(1) limx→0 xsen(1/x) = 0, pois este é o limite do produto de uma função
limitada (e portanto, localmente limitada) por uma função cujo limite é 0.
(2) A hipótese de g ser localmente limitada na proposição 0.3 é essencial. Poe exemplo,
se tivermos f(x) = x e g(x) = 1/x, que não é localmente limitada em p = 0, será
inválida a conclusão da Proposição 0.3, pois limx→0 f(x)g(x) = 1. Na verdade, quando
essa hipótese não é imposta nada se pode dizer, pois se tomarmos agora f(x) = x2 e
mantivermos g(x) = l/x, teremos limx→0 f(x)g(x) = 0.
A proposição 0.3 é uma consequêfncia do seguinte.
Teorema 0.1 (Teorema do Confronto). Sejam f, g, h : U → R e V (p) uma vizinhança
do ponto p, tais que
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
para todo x ∈ V (p)− {p}. Se limx→p f(x) = limx→p h(x) = L então
lim
x→p
g(x) = L.
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Observação 0.4. O fato de limx→0 xsen(1/x) = 0 mencionado anteriormente decorre
também do Teorema do Confronto, uma vez que
−|x| ≤ x · sen(1/x) ≤ |x|
e limx→0 |x| = limx→0−|x| = 0.
Segue diretamente do Teorema do Confronto o seguinte.
Teorema 0.2 (Limite Fundamenta Trigométrico).
lim
x→0
senx
x
= 1.
Demonstração:
�
15
0.2 Limites no Infinito e Limites Infinitos
0.2.1 Limites Infinitos
Considere a função f(x) = 1/x2 cujo gráfico é ilustrado à seguir.
Observe que f não é uma função localmente limitada em x = 0. Por este motivo,
não existe o limite limx→0 1/x
2. Porém, os valores de 1/x2 tornam-se arbitrariamente
“grande”desde que tomemos x “suficientemente”“próximo”de 0. Neste caso, escrevemos
lim
x→0
1/x2 = +∞.
Este fato sugere a seguinte.
Definição 0.3. Sejam f : U → R e pum ponto de acumulação de U . Dizemos que o
limite de f(x) é +∞ quando x→ p e denotamos por
lim
x→p
f(x) = +∞
se, dado qualquer número K > 0, existe δ(K) > 0 tal que
x ∈ U, 0 < |x− p| < δ ⇒ f(x) > K.
De maneira análoga, temos a seguinte definição.
16
Definição 0.4. Sejam f : U → R e pum ponto de acumulação de U . Dizemos que o
limite de f(x) é −∞ quando x→ p e denotamos por
lim
x→p
f(x) = −∞
se, dado qualquer número K > 0, existe δ(K) > 0 tal que
x ∈ U, 0 < |x− p| < δ ⇒ f(x) < −K.
Devemos observar que +∞ (−∞) não é um número; ele indica que o valor de f(x)
torna-se arbitrariamente grande (pequeno) sempre que x tende a p.
Exemplo:(1)
(2)
17
Considere agora a função f(x) = 1/x. Observe que f não é localmente limitada em
0 e não tem limite +∞ nem −∞. Seu comportamento para x próximo de 0, no entanto,
inspira a definição de limites laterais infinitos.
Definição 0.5. Dada f : U → R, se p é um ponto de acumulação à esquerda deU e se
limx→p f |(−∞,p)∩U(x) =∞ (−∞), dizemos que o limite à esquerda de f em p é ∞ (−∞)
e denotamos
lim
x→p−
f(x) =∞ (−∞).
De maneira análoga definimos
lim
x→p+
f(x) =∞ (−∞).
Exemplo:(1)
18
(2)
(3)
Sejam f : U → Re p um ponto de acumulação à esquerda e à direita de U . Então
decorre imediatamente da definição que
lim
x→p
f(x) =∞⇔ lim
x→p−
f(x) = lim
x→p+
f(x)
19
0.2.2 Limites no Infinito
Considere agora a função f(x) =
1
x
+ 1. Observe que para x > 0 suficientemente
grande, f(x) fica arbitrariamente “próximo”de y = 1. Nessa situação escrevemos
lim
x→∞
f(x) = 1.
Isto sugere a seguinte.
Definição 0.6. Sefa f : U → R, e suponha que U ⊂ R não sela limitado superiormente.
Dizemos que L é o limite de f quando x→∞ e denotamos
lim
x→∞
f(x) = L
se dado � > 0, existe K = K(�) > 0 tal que
x ∈ U, x > K ⇒ |f(x)− L| < �.
20
De maneira análoga, temos.
Definição 0.7. Sefa f : U → R, e suponha que U ⊂ R não sela limitado inferiormente.
Dizemos que L é o limite de f quando x→ −∞ e denotamos
lim
x→−∞
f(x) = L
se dado � > 0, existe K = K(�) > 0 tal que
x ∈ U, x < −K ⇒ |f(x)− L| < �.
Observação 0.5. Quando limx→∞ f(x) = L ou limx→−∞ f(x) = L , dizemos que a
reta y = L é uma asśıntota horizontal do gráfico de f . E quando limx→p f(x) = ∞ ou
limx→p f(x) = −∞ (valendo também para x→ p+ ou x→ p− ) dizemos que a reta x = p
é uma asśıntota vertical para f .
Exemplo:(1)
21
(2)
(3)
22
(4)
0.2.3 Algumas Propriedades
23
24
A noção de Derivada
De um ponto de vista geométrico, a noção de derivada é a de tangência. Numa visão
anaĺıtica, a derivada é entendida como taxa de variação , isto é, a razão entre a variação
de uma grandeza e a variação de outra, da qual ela depende. Assim, na dinâmica, a
velocidade e a aceleração são exemplos de derivada. A velocidade é a taxa de variação
do espaço com relação ao tempo e a aceleração é a taxa de variação da velocidade com
relação ao tempo . Um dos principais objetivos deste caṕıtulo é estabelecer o conceito
de derivada e tornar precisas estas interpretações.
Motivação
1. Reta tangente
Procuremos entender o que vem a ser a reta tangente ao gráfico de uma função
y = f(x) num ponto P = (x0, y0), y0 = f(x0), estando f definida numa vizinhança de x0.
Como o único ponto que sabemos pertencer à reta tangente a f em x0 é (x0, y0), para
determinar a equação da reta tangente, devemos determinar o seu coeficiente angular
m. Para determinarmos esse coeficiente angular, devemos primeiro calcular o coeficiente
angular de uma reta secante passando pelos pontos (x0, y0) e (x, f(x)), onde x 6= x0, que
é dado por
f(x)− f(x0)
x− x0
Vamos agora analisar o que acontece quando o ponto (x, f(x)) se aproxima do ponto
(x0, y0). Para isto deixemos o ponto (x, f(x)) deslizar ao longo do gráfico de f , tendendo
25
a (x0, y0). Neste processo , a secante pode tender a uma posição limite, isto é, a uma
reta limite. Diz-se então que a curva y = f(x) tem uma reta tangente no ponto (x0, y0)
e que a reta limite é a reta tangente a essa curva no ponto (x0, y0). .
A figura anterior mostra dois casos em que existe a reta tangente t , embora o gráfico
à direita possa não corresponder à nossa intuição mais primitiva, por assim dizer , porque
a reta tangente corta a curva no ponto de tangência. Também pode não existir a reta
limite.
Tomemos a reta secante pelos pontos (x, f(x)) e (x0, f(x0)) e consideremos seu coe-
ficiente angular ,
m(x) =
f(x)− f(x0)
x− x0
.
O significado de existir a tal reta limite [não vertical ] é que exista o limite dos coeficientes
angulares , com x → 0, limx→x0 m(x) = m0 ∈ R. Neste caso , a reta que passa por
(x0, f(x0)) de coeficiente angular m0 será a reta tangente ao gráfico de f em (x0, f(x0)).
2. Velocidade
Outra motivação que esteve presente nas origens do conceito de derivada é o conceito
de velocidade num determinado instante t. Aqui vamos ver qual a relação da velocidade
num instante t com a derivada da função posição s(t). No intervalo entre os instantes t
e t0 , temos que a velocidade média é dada por
Vm =
s(t)− s(t0)
t− t0
A velocidade instantânea v(t0) é por definição o limite da velocidade média dado por
26
v(t0) = lim
t→t0
s(t)− s(t0)
t− t0
= s′(t0)
.
0.3 Derivada
Definição 0.8. Dada f : U → R, suponhamos que o ponto x0 ∈ U seja também ponto
de acumulação de U . Diz-se que f é diferenciável em x0 se existe o limite
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
.
Neste caso , o número real f ′(x0) é chamado derivada de f em x0.
Às vezes convém escrever a derivada f ′(x0) na forma
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
Exemplos:
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(5)Um objeto desliza num plano inclinado de modo que a distância que ele percorre em
t segundos é s(t) metros , onde s(t) = t 2 + 1/2. Qual a sua velocidade depois de 2
segundos? Em que instante ele tem uma velocidade de 7 metros por segundo?
(6)Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir do chão com uma velocidade
de 30m/s. A altura h(t) atingida em t segundos é dada por h(t) = 30t− 5t2. Quando e
com que velocidade o projétil atinge o chão?
28
Definição 0.9. Considere uma função y = f(x) derivável em x0. A reta tangente ao
seu gráfico em (x0, y0), y0 = f(x0) é dado por
y − y0 = f ′(x0)(x− x0).
Exemplos:
29
0.4 Derivabilidade e Continuidade
A seguinte proposição estabelece uma condição necessária para que uma função seja
diferenciável. Ela e os próximos exemplos ajudam a entender como pode ser uma função
não diferenciável em um ponto.
Problema 0.1. Se uma função f é diferenciável em um ponto x0 , então f é cont́ınua
em x0 .
Não vale a rećıproca da proposição.
Exemplo:A função f(x) = |x| é cont́ınua, mas não é derivável em x = 0. De fato, não
existe f ′(0) = limh→0 |h|/h, pois
lim
h→0−
|h|/h = −1
lim
h→0+
|h|/h = 1
Estas expressões definem, respectivamente, a derivada à esquerda e a derivada à
direita de f em 0 . Mais geralmente,
Definição 0.10. Seja f : U → R e x0 ∈ U um ponto de acumulação à esquerda de U .
Definimos a derivada à esquerda de f no ponto x0 pelo limite
f ′(x−0 ) = lim
x→x−0
f(x)− f(x0)
x− x0
.
De maneira análoga define-se a derivada à direita de f no ponto x0 por
f ′(x+0 ) = lim
x→x+0
f(x)− f(x0)
x− x0
.
É claro que se x0 é um ponto de acumulação à esquerda e à direita de U então f é
derivável no ponto x0 se, e somente se suas derivadas laterais em x0 existem e coincidem.
30
Exemplos:
31
0.5 Regras de Derivação
32
33
0.6 A Regra da Cadeia
34
35
36
0.7 Derivada da Função Inversa
37
38
39
0.8 O Teorema do Valor Médio
O teorema que dá nome a esta seção tem papel central no Cálculo. Inúmeros argu-
mentos da teoria e de suas aplicações dependem dele. Do ponto de vista da dinâmica
tem a seguinte interpretação: “Durante um movimento retiĺıneo há um instante em que
a velocidade instantânea é igual à velocidade média”.
Teorema 0.3 (Teorema do Valor Médio). Se f é uma função cont́ınua em [a, b] e de-
rivável em (a, b) , então existe c ∈ (a, b) tal que
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a)
.
Algumas Aplicações do Teorema do valor Médio
1. Se f for uma função derivável em um intervalo I e se sua derivada se anula em todos
os pontos de I, então f será constante em I.
2. Se f for uma função derivável em um intervalo I e se f ′(x) > 0 em todos os pontos
no interior do intervalo I, então f será crescente em I.
3. Se f for uma função derivável em um intervalo I e se f ′(x) < 0 em todos os pontos
no interior do intervalo I, então f será decrescente em I.
40
41
42
0.9 Máximos e mı́nimos
O assunto desta seção é indispensável e m muitas aplicações.
Definição 0.11. Seja f uma função definida num intervalo I. Diz-se que x0 ∈ I é ponto
de máximo relativo [ou local] de f , se existe uma vizinhança V de x0 tal que f(x) ≤ f(x0),
para todo x ∈ V ∩ I. Neste caso, f(x0) é chamado um valor máximo relativo [ou local] .
Se existe uma vizinhança V de x0 tal que f(x) ≥ f(x0), para todo x ∈ V ∩ I, diz-se que
x0 é um ponto de mı́nimorelativo [ou local] e f(x0) um valor mı́nimo relativo [ou local] .
43
44
0.10 Gráficos
45
46
47
A noção de Integral
O conceito de integral surge de tanto de problemas geométricos quanto de problemas
dinâmicos.
Embora este assunto possa parecer completa mente independente do caṕıtulo ante-
rior, a integral tem uma estreita e surpreendente ligação com a derivada, traduzida pelo
Teorema Fundamental do Cálculo.
Motivação
1. Área
Seja f uma função cont́ınua definida no intervalo fechado [a, b]. Do ponto de vista
geométrico, a integral definida de f da esquerda para a direita em [a, b] é definida por
∫ b
a
f(x)dx = As − Ai
48
onde As é a área da região superior em [a, b] dada por
Rs = {(x, y);x ∈ [a, b] e 0 ≤ y ≤ f(x)}
e Ai é a área da região inferior em [a, b] dada por
Ri = {(x, y);x ∈ [a, b] e f(x) ≤ y ≤ 0}.
2. Dinâmica(Problemas Inversos)
Vimos como obter a velocidade a partir da posição: a velocidade no tempo t é igual a
inclinação da reta tangente ao gráfico da posição no ponto t. De maneira análoga, vimos
como obter a aceleração a partir da velocidade. E quanto ao caminho inverso? Como
obter a função posição a partir da função velocidade e, de modo similar, como obter a
função velocidade a partir da função aceleração? Do ponto de vista dinâmico, o conceito
de integral surgiu para responder esses problemas cinemáticos inversos.
Por exemplo, num lançamento vertical de corpo, na ausência de atrito, a integral
definida da função aceleração entre os instantes 0 e t é igual a variação da velocidade
entre esses dois instantes. Por outro lado, a integral definida da função velocidade entre
os instantes 0 e t é igual a variação da posição entre esses dois instantes.
0.11 Integral
Sejam f : [a, b] → R uma função limitada e P = {x0, x1, ..., xn} ⊂ [a, b] um conjunto
finito de modo que
a = x0 < x1 < · · · < xn = b
o qual iremos chamar de partição do intervalo [a, b] e denotaremos por
P : a = x0 < x1 < · · · < xn = b.
Os intervalos [xi−1, xi] são chamados subintervalos da partição P . O comprimento
49
do subintervalo [xi−1, xi] da partição será denotado por ∆xi, ou seja, ∆xi = xi − xi−1,
i = 1, 2, ...n.
Definição 0.12. Seja P : a = x0 < x1 < · · · < xn = b uma partição do intervalo [a, b].
Os números
S(P , f) =
n∑
i=1
Mi∆xi, s(P , f) =
n∑
i=1
mi∆xi,
onde
Mi = sup
x∈[xi−1,xi]
f(x),
mi = inf
x∈[xi−1,xi]
f(x),
são chamados, respectivamente, soma superior e sorna inferior da função f relativamente
à partição P.
Observação 0.6. Observe que s(P , f) ≤ S(P , f). Esta última desigualdade continua
válida mesmo que as partições sejam distintas, isto é, se P e Q são partições do intervalo
[a, b] então
s(P , f) ≤ S(Q, f).
No caso em que f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b], a soma inferior de é uma aproximação
por falta da área sob o gráfico de f .
50
Para funções que satisfazem f(x) ≥ 0, para todo x ∈ [a, b], a soma superior é uma
aproximação por excesso da área sob o gráfico de f .
Definição 0.13. Sejam Π o conjunto de todas as partições de [a, b] e f : [a, b]→ R uma
função limitada , então os números
∫ b
a
f(x) dx = sup
P∈Π
s(P , f) e
∫ b
a
f(x) dx = inf
P∈Π
S(P , f)
são, respectivamente, a integral inferior e a integral superior de f .
Se f ; [a, b]→ R é uma função limitada, então
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫ b
a
f(x) dx
Definição 0.14. Diz-se que uma função f limita da em [a, b] é Riemann integrável ou,
simplesmente, integrável em [a, b] se
∫ b
a
f(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx
.
Chamamos este valor de integral de f em [a, b] , ou de a a b, e denotamos
∫ b
a
f(x)dx
.
51
Desde o ińıcio desta seção a condição a < b tem sido admitida. Por esta razão ,
eatabelecemos ∫ a
a
f(x)dx = 0.
Exemplos:(1) Se f(x) = K, x ∈ [a, b], então f é integrável e
∫ b
a
f(x)dx = K(b− a).
De fato, para toda partição P de [a, b] temos
S(P , f) = s(P , f) = K(b− a).
(2) Se f(x) = x, x ∈ [a, b] então f é integrável e
∫ 1
0
f(x)dx =
1
2
.
De fato, consideremos uma partição
P : 0 = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = 1
com xi = i/n, i = 1, 2, ..., n. Assim. ∆xi = 1/n para todo i = 1, 2, ..., n. Deste modo
S(P , f) =
n∑
i=1
Mi∆xi =
n∑
i=1
i
n
1
n
=
1
n2
n∑
i=1
i =
1
n2
n(n+ 1)
2
=
n+ 1
2n
De modo análogo,
s(P , f) =
n∑
i=1
mi∆xi =
n∑
i=1
i− 1
n
1
n
=
1
n2
n∑
i=1
(i− 1) = 1
n2
(n− 1)n
2
=
n− 1
2n
.
Observe agora que
52
n− 1
2n
= s(P , f) ≤ sup
P∈Π
s(P , f) =
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫ b
a
f(x) dx = inf
P∈Π
S(P , f) ≤ S(P , f) = n+ 1
2n
isto é
n− 1
2n
=≤
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫ b
a
f(x) dx ≤ n+ 1
2n
.
Assim, fazendo n→∞ conclúımos que
1
2
=≤
∫ b
a
f(x) dx ≤
∫ b
a
f(x) dx ≤ 1
2
,
ou seja,
∫ 1
0
f(x)dx = 1/2.
(3) A função f : [a, b]→ R, a < b, definida por
f(x) =
1, se x for irracional0, se x for racional
não é integrável. De fato, para toda partição P de [a, b] temos
s(P , f) = 0 e S(P , f) = b− a.
Assim,
∫ b
a
f(x) dx = 0 6= b− a =
∫ b
a
f(x) dx
Observação 0.7. Nos exemplos anteriores, as funções satisfazem f(x) ≥ 0 em seus
domı́nios e a integral corresponde a medida da área compreendida abaixo do gráfico de f
e o eixo x. Porém, se f : [a, b]→ R é uma função integrável tal que f(x) ≤ 0, x ∈ [a, b],
então
∫ b
a
f(x)dx ≤ 0 e o número −
∫ b
a
f(x)dx corresponde a área compreendida acima do
gráfico de f e o eixo x.
53
A esta altura é natura l perguntar-se: Existem muitas funções integráveis ? O teorema
a baixo dá uma resposta inicial a esta questão.
Teorema 0.4. Toda função cont́ınua f : [a, b]→ R é integrável.
As proposições a seguir mostram que o conjunto das funções integráveis em um in-
tervalo [a, b] é bem maior do que pode sugerir o teorema anterior.
Problema 0.2. Toda função monótona f : [a, b]→ R é integrável.
Problema 0.3. Se f : [a, b] → R é limitada e tem apenas um número finito de pontos
de descontinuidade, então f é integrável
Problema 0.4. Se f : [a, b] → [c, d] é integrável e g : [c, d] → R é cont́ınua, então a
função h(x) = g(f(x)) é integrável em [a, b].
Observação 0.8. Se uma função f é nula em [a, b] , exceto em um número finito de
pontos C1, ..., cn ∈ [a, b] , então f é integrável e∫ b
a
f(x)dx = 0.
0.12 Propriedades da Integral
Na proposição a seguir veremos algumas propriedades elementares da integral.
Problema 0.5. Se f, g : [a, b] → [c, d] são funções integráveis e c ∈ R então valem as
seguintes afirmações:
(1) f + g e cf são integráveis e
∫ b
a
[f(x) + g(x)]dx =
∫ b
a
f(x)dx+
∫ b
a
g(x)dx
∫ b
a
cf(x)dx = c
∫ b
a
f(x)dx
(2) Se f(x) ≤ g(x) em [a, b] então
∫ b
a
f(x)dx ≤
∫ b
a
g(x)dx
54
(3) Se c ∈ (a, b) então f é integrável em [a, c] e [c, b] e vale
∫ b
a
f(x)dx =
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx
Observação 0.9. Se f : [a, b]→ R é integrável, então definimos
∫ b
a
f(x)dx = −
∫ a
b
f(x)dx.
Se f, g : [a, b] → R são integráveis, então fg é integrável.Porém, infelizmente, a
integral do produto de duas funções em geral não é o produto das suas integrais. Tome
por exemplo, f(x) = g(x) = x, x ∈ [−1, 1]. Então
0 =
∫ 1
−1
f(x)dx
∫ 1
−1
g(x)dx 6=
∫ 1
−1
f(x)g(x)dx =
∫ b
a
x2dx > 0.
0.13 Teorema Fundamental do Cálculo
O Teorema Fundamental do Cálculo torna o Cálculo Integral viável, já que a definição
de integral, embora engenhosa e bonita, como ferramenta de cálculo é muito enredada.
Teorema 0.5 (Teorema Fundamental do Cálculo). Sejam I ⊂ R um intervalo fechado,
limitado, não degenerado, f : I → R uma função cont́ınua e F : I → R uma função. As
seguintes afirmações são equivalentes:
1. Existe a ∈ I tal que
F (x) = F (a) +
∫ x
a
f(s)ds, x ∈ I
2. F é diferenciável e F ′(x) = f(x) para todo x ∈ I.
Definição 0.15. Seja f uma função integrável num intervalo I . Dado a ∈ I, toda
função F : I → R da forma
F (x) = C +
∫ x
a
f(s)ds, x ∈ I
onde C ∈ R é arbitrário,chama-se integral indefinida de f .
55
As integrais indefinidas de f são usualmente denotadas por
∫
f(x)dx
Definição 0.16. Sej a f : I → R, com I ⊂ R um intervalo. Diz-se que F : I → R é
uma primitiva da função f se é diferenciável e
F ′(x) = f(x), x ∈ I.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, calcular a integral de uma função cont́ınua
num intervalo I, equivale ao de encontrar uma sua primitiva. Ou seja,
∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a)
o qual denota-se ∫ b
a
f(x)dx = [F (x)]ba .
Exemplos:
56
0.14 Duas Fórmulas para o Cálculo de Integrais
Apresentaremos nesta seção duas fórmulas para o cálculo de integrais de certas
funções, a saber, a fórmula da mudança de variáveis em integrais e a fórmula de in-
tegração por partes.
0.14.1 Fórmula da Mudança de Variáveis
Sejam f : [a, b] → R cont́ınua e g : [c, d] → R de classe C1, com g([c, d]) ⊂ [a, b].
Então
∫ g(b)
g(a)
f(x)dx =
∫ b
a
f(g(t))g′(t)dt.
Exemplos:
57
0.14.2 Fórmula de Integração por Partes
Um dos artif́ıcios mais bonitos do cálculo integral baseia-se na regra de derivação do
produto. É a integração por partes.
Se u, v : [a, b]→ R são funções de classe C1 , então
∫ b
a
u(x)v′(x)dx = [u(x)v(x)]ba −
∫ b
a
v(x)u′(x)dx.
Exemplos:
58
0.15 Algumas aplicações da integral
Abaixo são listados três aplicações da integral.
1. Área de conjuntos planos
2. Comprimento de arco
3. Volume de um sólido de revolução
Exemplos:
59
Bibliografia
[1] Francisco Júlio Sobreira de Araújo Corrêa. Cálculo Diferencial e Integral. EAD-
UFPA
[2] Francisco Júlio Sobreira de Araújo Corrêa. Introdução à Análise Real . EAD-UFPA
[3] David Armando Zavaleta Villanueva. Prinćıpios de Análise e Exerćıcios de
Matemática. Editora Livraria da F́ısica.
[4] Plácido Zoega Táboas . CÁLCULO EM UMA VARIÁVEL REAL. EdUSP.
[5] CÁLCULO I, vol 0,1,2,3. CEDERJ
60
	A noção de limite
	Limite
	Algumas Propriedades
	Limites no Infinito e Limites Infinitos
	Limites Infinitos
	Limites no Infinito
	Algumas Propriedades
	A noção de Derivada
	Derivada
	Derivabilidade e Continuidade
	Regras de Derivação
	A Regra da Cadeia
	Derivada da Função Inversa
	O Teorema do Valor Médio
	Máximos e mínimos
	Gráficos
	A noção de Integral
	Integral
	Propriedades da Integral
	Teorema Fundamental do Cálculo
	Duas Fórmulas para o Cálculo de Integrais
	Fórmula da Mudança de Variáveis
	Fórmula de Integração por Partes
	Algumas aplicações da integral