Lista de Exercícios - Conjuntos e Função Afim

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1. (Espcex (Aman) 2014) Uma determinada empresa de biscoitos realizou uma pesquisa sobre 
a preferência de seus consumidores em relação a seus três produtos: biscoitos cream cracker, 
wafer e recheados. Os resultados indicaram que: 
 
- 65 pessoas compram cream crackers. 
- 85 pessoas compram wafers. 
- 170 pessoas compram biscoitos recheados. 
- 20 pessoas compram wafers, cream crackers e recheados. 
- 50 pessoas compram cream crackers e recheados. 
- 30 pessoas compram cream crackers e wafers. 
- 60 pessoas compram wafers e recheados. 
- 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa. 
 
Determine quantas pessoas responderam a essa pesquisa. 
a) 200 
b) 250 
c) 320 
d) 370 
e) 530 
 
2. (Epcar (Afa) 2013) Considere os seguintes conjuntos numéricos ℕ, ℤ, ℚ, ℝ, Ι = ℝ− ℚ e considere 
também os seguintes conjuntos: 
 
𝐴 = (ℕ ∪ Ι) − (ℝ ∩ ℤ) 
𝐵 = ℚ− (ℤ −ℕ) 
𝐷 = (ℕ ∪ Ι) ∪ (ℚ −ℕ) 
 
Das alternativas abaixo, a que apresenta elementos que pertencem aos conjuntos A, B e D, nesta ordem, é 
a) –3; 0,5 e 
5
2
 
b) √20; √10 e √5 
c) −√10; –5 e 2 
d) 
√3
2
; 3 e 2, 31 
 
3. (Espcex (Aman) 2013) Na figura abaixo está representado o gráfico de uma função real do 
1º grau f(x). 
 
 
 
A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é 
a) 𝑦 =
𝑥
2
+ 1 
b) 𝑦 = 𝑥 +
1
2
 
c) 𝑦 = 2x − 2 
d) 𝑦 = −2x + 2 
e) 𝑦 = 2x + 2 
 
 
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4. (Epcar (Afa) 2011) Luiza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. No gráfico abaixo, a 
reta c representa o custo total mensal com a confecção de x bolsas e a reta f representa o faturamento 
mensal de Luiza com a confecção de x bolsas. 
 
 
 
Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente se, vender 
a) no mínimo 2 bolsas. 
b) pelo menos 1 bolsa. 
c) exatamente 3 bolsas. 
d) no mínimo 4 bolsas. 
 
5. (Enem 2016) Uma cisterna de 6.000 𝐿 foi esvaziada em um período de 3 ℎ. Na primeira hora 
foi utilizada apenas uma bomba, mas nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de 
esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por dois 
segmentos de reta, mostra o volume de água presente na cisterna, em função do tempo. 
 
 
 
Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora? 
a) 1.000 
b) 1.250 
c) 1.500 
d) 2.000 
e) 2.500 
 
6. (Eear 2019) A função que corresponde ao gráfico a seguir é 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, em que o valor 
de 𝑎 é 
 
 
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a) 3 
b) 2 
c) −2 
d) −1 
 
7. (Espcex (Aman) 2012) Considere a função real f(x), cujo gráfico está representado na figura, 
e a função real g(x), definida por 𝑔(𝑥)   =  𝑓(𝑥 − 1) + 1. 
 
 
 
O valor de 𝑔 (−
1
2
) é 
a) −3 
b) −2 
c) 0 
d) 2 
e) 3 
 
8. (Eear 2016) Na função 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 − 2(𝑚 − 𝑛), 𝑚 e 𝑛 ∈ ℝ. Sabendo que 𝑓( 3) = 4 e 𝑓(2) =
−2, os valores de 𝑚 e 𝑛 são, respectivamente 
a) 1 e −1 
b) −2 e 3 
c) 6 e −1 
d) 6 e 3 
 
9. (Epcar (Afa) 2017) Sejam os números reais 
 
𝑎 =
√(−1)2 ⋅ 0,1222 …
(1,2)−1
 
𝑏 = comprimento de uma circunferência de raio 1 
𝑐 = √12 ⋅ √90 ⋅ √160 ⋅ √147 
 
Sendo ℕ,  ℤ,  ℚ e ℝ os conjuntos numéricos, assinale a alternativa FALSA. 
a) {𝑎,   𝑐} ⊂ ℚ 
b) 𝑐 ∈ (ℤ ∩ ℕ) 
c) (ℝ − ℚ) ⊃ {𝑏,   𝑐} 
d) {𝑎,   𝑐} ⊂ (ℝ ∩ ℚ) 
 
10. (Epcar (Afa) 2018) Na reta dos números reais abaixo, estão representados os números 
 
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𝑚,  𝑛 e 𝑝. 
 
 
 
Analise as proposições a seguir e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA). 
 
( ) √
𝑚−𝑛
𝑝
 não é um número real. 
( ) (𝑝 + 𝑚) pode ser um número inteiro. 
( ) 
𝑝
𝑛
 é, necessariamente, um número racional. 
 
A sequência correta é 
a) V – V – F 
b) F – V – V 
c) F – F – F 
d) V – F – V 
 
11. (Espcex (Aman) 2012) Considere as funções Reais 𝑓(𝑥)   =  3x, de domínio [4, 8] e 𝑔(𝑦)  =
 4y, de domínio [6, 9]. Os valores máximo e mínimo que o quociente 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑦)
pode assumir são, 
respectivamente 
a) 
2
3
 e 
1
2
 
b) 
1
3
 e 1 
c) 
4
3
 e 
3
4
 
d) 
3
4
 e 
1
3
 
e) 1 e 
1
3
 
 
12. (Epcar (Afa) 2020) Uma pesquisa foi realizada com um grupo de Cadetes da AFA. 
 
Esses Cadetes afirmaram que praticam, pelo menos uma, dentre as modalidades esportivas: 
voleibol, natação e atletismo. 
 
Obteve-se, após a pesquisa, os seguintes resultados: 
 
I) Dos 66 Cadetes que praticam voleibol, 25 não praticam outra modalidade esportiva; 
II) Dos 68 Cadetes que praticam natação, 29 não praticam outra modalidade esportiva; 
III) Dos 70 Cadetes que praticam atletismo, 26 não praticam outra modalidade esportiva e 
IV) 6 Cadetes praticam as três modalidades esportivas. 
 
Marque a alternativa FALSA. 
 
A quantidade de Cadetes que 
a) pratica pelo menos duas das modalidades esportivas citadas é 59. 
b) foram pesquisados é superior a 150. 
c) pratica voleibol ou natação é 113. 
d) pratica exatamente duas das modalidades esportivas citadas é um número primo. 
 
13. (Ebmsp 2016) Em um grupo de 100 jovens, verificou-se que 
 
- dos que usam óculos de grau, 12 usam aparelho ortodôntico. 
- a metade dos que usam óculos de grau não usa aparelho ortodôntico. 
- 70% dos que usam aparelho ortodôntico não usam óculos de grau. 
 
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Com base nessas informações, pode-se afirmar que o número de jovens que não usam óculos 
de grau e nem aparelho ortodôntico é igual a 
a) 36 
b) 48 
c) 62 
d) 70 
e) 88 
 
14. (Ebmsp 2018) Uma pessoa foi orientada pelo médico a fazer sessões de fisioterapia e 
pilates durante um determinado período após o qual passaria por uma nova avaliação. Ela 
planejou fazer apenas uma dessas atividades por dia, sendo a fisioterapia no turno da manhã e 
o pilates no turno da tarde. 
 
Sabe-se que, no decorrer desse período, 
- houve dias em que ela não fez qualquer das atividades; 
- houve 24 manhãs em que ela não fez fisioterapia; 
- houve 14 tardes em que ela não fez pilates; 
- houve 22 dias em que ela fez ou fisioterapia ou pilates. 
 
Com base nesses dados, pode-se afirmar que o período de tratamento foi de 
a) 30 dias. 
b) 34 dias. 
c) 38 dias. 
d) 42 dias. 
e) 46 dias. 
 
15. (Enem 2011) O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região 
metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de 
fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 
880.605 trabalhadores com carteira assinada. 
 
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado). 
 
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis 
primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as 
quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, 
fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas 
quantidades nesses meses é 
a) 𝑦 = 4300𝑥 
b) 𝑦 = 884 905x 
c) 𝑦 = 872 005 + 4300𝑥 
d) 𝑦 = 876 305 + 4300𝑥 
e) 𝑦 = 880 605 + 4300𝑥 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
Com os dados do problema, temos os seguintes diagramas: 
 
 
 
Portanto, o número de pessoas que responderam a pesquisa será dado por: 
 
N = 5 + 10 + 30 + 20 + 15 + 40 + 80 + 50 = 250. 
 
Resposta da questão 2: 
 [D] 
 
A alternativa [A] não pode ser, pois −3 ∉ 𝐴. 
A alternativa [B] não pode ser, pois √10 ∉ 𝐵. 
A alternativa [C] não pode ser, pois −5 ∉ 𝐵. 
 
Portanto, a alternativa correta é a [D], pois 
√3
2
∈ 𝐴,  3 ∈ 𝐵 𝑒 2, 31 ∈ 𝐷. 
 
Resposta da questão 3: 
 [C] 
 
Seja 𝑓: ℝ → ℝ a função definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. 
O valor inicial de 𝑓 é a ordenada do ponto de interseção do gráfico de 𝑓 com o eixo 𝑦, ou seja, 
𝑏 = 1. Logo, como o gráfico de 𝑓 passa pelo ponto(−2,  0), temos que 
 
 0 = 𝑎 ⋅ (−2) + 1 ⇔ 𝑎 =
1
2
. 
 
Portanto, 𝑓(𝑥) =
𝑥
2
+ 1 e sua inversa é tal que 
 
 𝑥 =
𝑦
2
+ 1 ⇔ 𝑦 = 2 ⋅ (𝑥 − 1) ⇔ 𝑓−1(𝑥) = 2𝑥 − 2. 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
 
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c(x) = 10 + 8x e f(x) = 20x. 
 
Fazendo f(x) > c(x), temos: 
20x > 10 + 8x 
12x > 10 
x > 10/12 
 
Logo, deverá ser vendida pelo menos uma bolsa. 
 
Resposta da questão 5: 
 [C] 
 
A vazão total entre 1 ℎ e 3 ℎ é dada por |
0−5.000
3−1
| = 2.500 
𝐿
ℎ
, enquanto que a vazão na primeira 
hora é |
5.000−6.000
1−0
| = 1.000 
𝐿
ℎ
. Portanto, a vazão da segunda bomba é igual a 2.500 − 1.000 =
1.500 
𝐿
ℎ
. 
 
Resposta da questão 6: 
 [C] 
 
Do gráfico, 𝑏 = 6 e 𝑓(3) = 0. 
Daí, 
0 = 𝑎 ⋅ 3 + 6 
3𝑎 = −6 
𝑎 = −2 
 
Resposta da questão 7: 
 [D] 
 
Como o gráfico de 𝑓 é uma reta, segue que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Do gráfico, temos que 𝑏 = 2 e 
𝑓(−3) = 0. Logo, 0 = −3𝑎 + 2 ⇔ 𝑎 =
2
3
 e, portanto, 𝑓(𝑥) =
2
3
𝑥 + 2. 
Desse modo, 𝑔 (−
1
2
) = 𝑓 (−
3
2
) + 1 =
2
3
⋅ (−
3
2
) + 2 + 1 = 2. 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
𝑓(3) = 4 ⇒ 3𝑚 − 2𝑚 + 2𝑛 = 4 ⇒ 𝑚 + 2𝑛 = 4 
𝑓(2) = −2 ⇒ 2𝑚 − 2𝑚 + 2𝑛 = −2 ⇒ 2𝑛 = −2 
 
Resolvendo, agora, um sistema com as equações: 
{𝑚 + 2𝑛 = 4
2𝑛 = −2
 
𝑚 = 6 e 𝑛 = −1 
 
Resposta da questão 9: 
 [C] 
 
Analisando as alternativas, percebe-se que a única incorreta é a alternativa [C], pois: 
𝑎 =
√(−1)2 ⋅ 0,1222 …
(1,2)−1
=
√1 ⋅
11
90
10
12
→ 𝑎 =
11
75
 
𝑏 = 2𝜋 
𝑐 = √12 ⋅ √90 ⋅ √160 ⋅ √147 = 2√3 ⋅ 3√10 ⋅ 4√10 ⋅ 7√3 → 𝑐 = 5040 
(ℝ − ℚ) ⊃ {2𝜋,  5040} 
 
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Resposta da questão 10: 
 [A] 
 
Sabendo que 𝑚 < 𝑛 < 0, temos 𝑚 − 𝑛 < 0. Logo, sendo 1 < 𝑝 < 2, vem 
𝑚−𝑛
𝑝
< 0. Em 
consequência, o número √
𝑚−𝑛
𝑝
 não é real. 
Supondo 𝑝 = 1,3 e 𝑚 = −1,3, encontramos 𝑝 + 𝑚 = 0, que é um número inteiro. De um modo 
geral, se 𝑚 = −1 − 𝑟 e 𝑝 = 1 + 𝑟, com 0 < 𝑟 < 1, temos 𝑝 + 𝑚 = 0. 
Sejam 𝑝 = √2 e 𝑛 = −
1
4
. É imediato que 
𝑝
𝑛
= −4√2 não é racional. 
 
Resposta da questão 11: 
 [E] 
 
Como 𝑓 e 𝑔 são funções crescentes, segue que o valor máximo do quociente 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑦)
 é 
𝑓(8)
𝑔(6)
=
3⋅8
4⋅6
=
1, e o valor mínimo é 
𝑓(4)
𝑔(9)
=
3⋅4
4⋅9
=
1
3
. 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
Sejam 𝑉 o conjunto dos Cadetes que praticam voleibol, 𝑁 o conjunto dos Cadetes que praticam 
natação e 𝐴 o conjunto dos Cadetes que praticam atletismo, podemos, então, elaborar os 
seguintes diagramas. 
 
 
 
{
𝑥 + 𝑦 + 6 = 66 − 25
𝑥 + 𝑧 + 6 = 68 − 29
𝑦 + 𝑧 + 6 = 70 − 26
 
 
Somando as equações do sistema, obtemos: 
2 ⋅ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 18 = 124 
2 ⋅ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧) = 106 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 53 
 
[A] Verdadeira, pois 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 6 = 53 + 6 = 59. 
[B] Falsa, pois 25 + 29 + 26 + 59 = 139. 
[C] Verdadeira, pois 139 − 26 = 113. 
[D] Verdadeira, pois 53 é primo. 
 
Portanto, a única afirmação falsa é a [B], foram pesquisados é superior a 150. 
 
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Resposta da questão 13: 
 [B] 
 
Considere o diagrama, em que 𝑂 representa o conjunto dos jovens que usam óculos e 𝐴 
representa o conjunto dos jovens que usam aparelho ortodôntico. 
 
 
 
Se metade dos que usam óculos de grau não usa aparelho ortodôntico, então metade dos que 
usam óculos de grau usa aparelho ortodôntico. Logo, temos 
 
𝑥 + 12
2
= 12 ⇔ 𝑥 = 12. 
 
Ademais, se 70% dos que usam aparelho ortodôntico não usam óculos de grau, então 100% −
70% = 30% dos que usam aparelho ortodôntico usam óculos de grau. Assim, vem 
 
3
10
(𝑦 + 12) = 12 ⇔ 𝑦 = 28. 
 
Portanto, o número de jovens que não usam óculos de grau e nem aparelho ortodôntico, 𝑧, é tal 
que 
 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 12 = 100 ⇔ 𝑧 = 88 − 40 ⇔ 𝑧 = 48. 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
Sejam 𝑛,  𝑓 e 𝑝, respectivamente o número de dias em que a pessoa não fez qualquer das 
atividades, o número de dias em que ela fez fisioterapia e o número de dias que ela fez pilates. 
Logo, temos 𝑛 + 𝑝 = 24, 𝑛 + 𝑓 = 14 e 𝑓 + 𝑝 = 22. 
Em consequência, somando essas equações, encontramos 
2𝑛 + 2𝑓 + 2𝑝 = 60 ⇔ 𝑛 + 𝑓 + 𝑝 = 30, 
 
que é o resultado procurado. 
 
Resposta da questão 15: 
 [C] 
 
Admitido um crescimento constante, temos uma função de primeiro grau dada por: 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, onde 𝑎 = 4300 (taxa constante) e 𝑏 = 880605 − 2 ⋅ 4300 = 872005. 
Logo, 𝑦 = 4300𝑥 + 872005.