Movimento Harmônico Simples na Física

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CIÊNCIAS DA NATUREZA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
PROFESSOR(A): DOUGLAS GOMES
ASSUNTO: MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES
FRENTE: FÍSICA III
OSG.: 120005/17
AULA 16
EAD – ENEM
Resumo Teórico
Introdução
Esse movimento é caracterizado por ser periódico 
(repete-se em intervalos de tempo regulares) e oscilatório (a trajetória de 
ida é a mesma da volta). Uma das funções matemáticas que conhecemos 
e que pode representar repetições, por ser uma função periódica, é a 
função cosseno (o seno também funcionaria).
Um exemplo muito comum de algo que realize esse tipo de 
movimento é a “massa-mola”:
Fe
Fe
Fe
Fe
Fe
Fe
Fe
A
B
C
D
E
F
G
H
-A 0 +A
X
I
Quando esticamos a mola e a soltamos, verifi camos que a 
massa passa a executar um movimento de vaivém. Esse movimento 
pode ser descrito pela seguinte equação:
x = A cos(ωt + ϕ
0
)
• Amplitude (A): representa a maior distância possível para esse 
móvel em relação à posição x = 0, ou seja, o máximo valor da 
deformação sofrida pela mola.
• Pulsação ( ): corresponde a ω π π= =2 2
T
f , onde T é o período 
de repetição do movimento e f é a frequência do movimento.
• Frequência (f): é o número de vezes que um evento ocorre dividido 
pelo intervalo de tempo, para a ocorrência de um evento apenas, 
transcorre-se o intervalo de tempo de um período. Portanto: 
f
t T
= =Nº de repetições
∆
1
. No Sistema Internacional de Unidades, 
a frequência pode ser medida em s–1 ou em Hz.
• Fase ( ): ϕ = ωt + ϕ
0
 é o argumento da função cosseno 
(aquilo que está dentro dos parênteses da função), representando 
a posição do móvel e o sentido do movimento dele.
Pode-se fazer uma analogia entre a fase do MHS e o ângulo do 
MCU. Para tanto, vamos estudar o MHS como uma sombra (projeção) 
do MCU:
2π/3
5π/34π/3
7π/6
5π/6
π
3π/2
11π/6
π/3
π/6
0
π/2
– A A0A 3
2
�
A
2
� A
2
A 3
2
Quando o MHS está na posição x = A, dizemos que a fase 
dele é 0 rad.
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MÓDULO DE ESTUDO
OSG.: 120005/17
2π/3
5π/34π/3
7π/6
5π/6
π
3π/2
11π/6
π/3
π/6
0
π/2
– A A0A 3
2
�
A
2
� A
2
A 3
2
Quando o MHS está na posição x = 
A
2
 em movimento 
retrógrado, dizemos que a fase dele é 
π
3
 rad.
2π/3
5π/34π/3
7π/6
5π/6
π
3π/2
11π/6
π/3
π/6
0
π/2
– A A0A 3
2
�
A
2
� A
2
A 3
2
Agora atente! Quando o MHS está na posição x = 
A
2
 em 
movimento progressivo, dizemos que a fase dele é 5
π
3
 rad.
Fase inicial: ϕ
0
 representa as condições iniciais do movimento.
Resumo das equações 
Considerando o MHS uma projeção do movimento harmônico 
simples no eixo x, chega-se às equações abaixo:
Elongação.
x = A · cos(ωt + ϕ
0
)
Velocidade instantânea.
v
MHS
 = –ω · A · sen(ωt + ϕ
0
)
Aceleração.
α = –ω2 · A · cos(ωt + ϕ
0
)
α = –ω2 · x
Valores máximos
Baseiam-se no fato de que os valores do seno e do cosseno 
variam de –1 e 1.
0–A +A
x –A 0 A
v 0 ±ωA 0
a +ω2A 0 –ω2A
v
máx
 = ωA (ocorre quando x = 0)
α
máx
 = ω2A (ocorre quando x = ±A)
Note, na tabela anterior, que a velocidade é nula nos extremos, 
indicando a inversão do sentido do movimento.
Observe também que, nos extremos, por estar muito afastado 
do ponto de equilíbrio, o valor da força resultante é máxima e, 
portanto, a aceleração também é máxima.
Fe
Fe
Fe
Fe
Fe
Fe
Fe
A
B
C
D
E
F
G
H
-A 0 +A
X
I
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MÓDULO DE ESTUDO
Pêndulo simples
T
P
t
P
n
P
Ox
θ
máxθ
θ
�
O movimento de um pêndulo simples não é, a rigor, um 
movimento harmônico simples, mas quando o ângulo de abertura é 
pequeno (no máximo, igual a 10º), ele pode ser considerado um MHS.
Período de oscilação do pêndulo simples
É possível demonstrar que o período do pêndulo simples 
depende apenas do comprimento do fi o e do valor da gravidade no 
local:
T
L
g
= 2π
Observações:
Destaque-se que o período de oscilação do pêndulo simples:
– independe da massa pendular;
– é proporcional à raiz quadrada do seu comprimento;
– é inversamente proporcional à raiz quadrada da intensidade do 
campo gravitacional.
Exercícios
01. (EsPCEx-Aman) Peneiras vibratórias são utilizadas na indústria 
de construção para classificação e separação de agregados 
em diferentes tamanhos. O equipamento é constituído de um 
motor que faz vibrar uma peneira retangular, disposta no plano 
horizontal, para separação dos grãos. Em uma certa indústria 
de mineração, ajusta-se a posição da peneira de modo que ela 
execute um movimento harmônico simples (MHS) de função 
horária x = 8 cos (8πt), onde x é a posição medida em centímetros 
e t, o tempo em segundos.
O número de oscilações a cada segundo executado por essa 
peneira é de:
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
E) 32 
02. (Unesp) Em um parque de diversões, existe uma atração na qual 
o participante tenta acertar bolas de borracha na boca da fi gura 
de um palhaço que, presa a uma mola ideal, oscila em movimento 
harmônico simples entre os pontos extremos A e E, passando por 
B, C e D, de modo que em C, ponto médio do segmento AE, a 
mola apresenta seu comprimento natural, sem deformação.
A B C D E
 Uma pessoa, ao fazer suas tentativas, acertou a primeira bola 
quando a boca passou por uma posição em que o módulo de 
sua aceleração é máximo e acertou a segunda bola quando a 
boca passou por uma posição onde o módulo de sua velocidade é 
máximo. Dos pontos indicados na fi gura, essas duas bolas podem 
ter acertado a boca da fi gura do palhaço, respectivamente, nos 
pontos:
A) A e C. 
B) B e E. 
C) C e D. 
D) E e B. 
E) B e C. 
03. (Mackenzie) Uma partícula descreve um movimento harmônico 
simples segundo a equação x = 0 3
3
2, cos⋅ + ⋅



π
t , no SI. 
O módulo da máxima velocidade atingida por esta partícula é:
A) 
π
3
m/s 
B) 0,2 · π m/s
C) 0,6 m/s 
D) 0,1 · π m/s
E) 0,3 m/s
04. (Uece/2008) A figura a seguir mostra uma partícula P, em 
movimento circular uniforme, em um círculo de raio r, com 
velocidade angular constante ω, no tempo t = 0.
r
V
– r 0 r x
P
ϕ
Re
pr
od
uç
ão
/U
ec
e 
20
08
A projeção da partícula no eixo x executa um movimento tal que 
a função horária v
x
(t), de sua velocidade, é expressa por:
A) v
x
(t) = ω r
B) v
x
(t) = ω r cos (ωt + ϕ)
C) v
x
(t) = – ω r sen (ωt + ϕ)
D) v
x
(t) = – ω r tg (ωt + ϕ)
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05. (Vunesp) Período de um pêndulo é o intervalo de tempo gasto 
numa oscilação completa. Um pêndulo executa 10 oscilações 
completas em 9,0 segundos. Seu período é:
A) 0,9 segundo.
B) 1,1 segundo.
C) 9,0 segundos.
D) 10,0 segundos.
E) 90,0 segundos.
06. (UEL) Um corpo de massa m é preso à extremidade de uma mola 
helicoidal que possui a outra extremidade fi xa. O corpo é afastado 
até o ponto A e, após abandonado, oscila entre os pontos A e B.
Re
pr
od
uç
ão
/U
EL
Pode-se afi rmar corretamente que a:
A) aceleração é nula no ponto 0.
B) aceleração é nula nos pontos A e B.
C) velocidade é nula no ponto 0.
D) força é nula nos pontos A e B.
E) força é máxima no ponto 0.
07. (Enem) Um enfeite para berço é constituído de um aro metálico 
com um ursinho pendurado, que gira com velocidade angular 
constante. O aro permanece orientado na horizontal, de forma 
que o movimento do ursinho seja projetado na parede pela sua 
sombra.
Enquanto o ursinho gira, sua sombra descreve um movimento:
A) circular uniforme.
B) retilíneo uniforme.
C) retilíneo harmônico simples.
D) circular uniformemente variado.
E) retilíneo uniformemente variado.
08. (Mackenzie) Um corpo efetua um movimento harmônico simples. 
Com relação a esse movimento, podemos afi rmar que:
A) a trajetória descrita pelo corpo é uma senoide.
B) o módulo da velocidade do corpo varia senoidalmente com o 
tempo.
C) o sentido da velocidade do corpo varia 4 vezes em cada período.
D) a aceleração do corpo tem módulo invariável.
E) o módulo da aceleração do corpo varia linearmente com o 
tempo.
09. (Enem-PPL) Acorrida dos 100 m rasos é uma das principais provas 
do atletismo e qualifi ca o homem mais rápido do mundo. Um 
corredor de elite foi capaz de percorrer essa distância em 10 s 
com 41 passadas. Ele iniciou a corrida com o pé direito. 
O período de oscilação do pé direito desse corredor foi mais 
próximo de 
a) 
1
10
s.
b) 
1
4
s.
c) 
1
2
s.
d) 2 s.
e) 4 s.
10. (IFSUL) Uma partícula, executando um movimento harmônico 
simples, move-se ao longo de um eixo Ox, e sua posição, em função 
do tempo ao longo desse eixo é representada no gráfi co da fi gura 
abaixo.
A partir da análise do gráfi co, a função horária, em unidades 
que representa corretamente o movimento harmônico simples 
descrito por essa partícula é 
a) x = 2 cos(πt) b) x = 2 sen(πt)
c) x = 4 sen(πt + π) d) x = 4 cos(πt + π/2)
11. (UFRGS) Uma massa M executa um movimento harmônico simples 
entre as posições x = –A e x = A, conforme representa a fi gura. 
Qual das alternativas refere-se corretamente aos módulos e aos 
sentidos das grandezas velocidade e aceleração da massa M na 
posição x = – A?
a) A velocidade é nula; a aceleração é nula. 
b) A velocidade é máxima e aponta para a direita; a aceleração é 
nula. 
c) A velocidade é nula; a aceleração é máxima e aponta para a 
direita. 
d) A velocidade é nula; a aceleração é máxima e aponta para a 
esquerda. 
e) A velocidade é máxima e aponta para a esquerda; a aceleração 
é máxima e aponta para a direita. 
12. (Mackenzie) Uma partícula descreve um movimento circular 
uniforme sobre uma mesa horizontal, conforme a figura a 
seguir. O movimento exibido pela projeção ortogonal das 
posições assumidas pela partícula, em um anteparo disposto 
perpendicularmente à mesa, é um:
a) M.R.U. (movimento retilíneo uniforme). 
b) M.R.U.A. (movimento retilíneo uniformemente acelerado). 
c) M.R.U.R. (movimento retilíneo uniformemente retardado). 
d) M.C.U.V. (movimento circular uniformemente variado). 
e) M.H.S. (movimento harmônico simples).
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13. (Mackenzie) Uma partícula descreve um movimento harmônico 
simples segundo a equação x = 0,3·cos(π/3 + 2·t), no S.I. O módulo 
da máxima velocidade atingida por esta partícula é: 
a) 0,3 m/s b) 0,1 m/s 
c) 0,6 m/s d) 0,2 m/s 
e) π/3 m/s 
14. (Unitau) Uma partícula oscila ao longo do eixo x com movimento 
harmônico simples, dado por x = 3,0 cos (0,5πt + 3π/2), onde 
x é dado em cm e t em segundos. Nessas condições, pode-se 
afi rmar que a amplitude, a frequência e a fase inicial valem, 
respectivamente: 
a) 3,0 cm, 4 Hz, 3π/2 rad b) 1,5 cm, 4 Hz, 3π/2 rad 
c) 1,5 cm, 4 Hz, 270° d) 3,0 cm, 0,5 Hz, 3π/2 rad 
e) 3,0 cm, 0,25 Hz, 3π/2 rad 
15. (UEL) Um movimento harmônico simples é descrito pela função
x = 0,050 cos(2πt + π), em unidades do Sistema Internacional. 
Nesse movimento, a amplitude e o período, em unidades do 
Sistema Internacional, valem, respectivamente, 
a) 0,050 e 1,0 b) 0,050 e 0,50 
c) π e 2π d) 2π e π
e) 2,0 e 1,0 
Resoluções
01. Comparando x = 8 cos (8πt) com x = A cos (ωt + θ
0
), encontramos 
que:
ω = 8π ⇒ 2πf = 8π ⇒ f = 4 Hz.
 Resposta: B
03. De acordo com a Segunda Lei de Newton, o módulo da aceleração 
é máximo nos pontos onde a força elástica tem intensidade 
máxima, ou seja, onde a mola apresenta deformação máxima, o 
que corresponde aos pontos A e E.
O módulo da velocidade é máximo no ponto central C, no qual 
toda energia potencial elástica é transformada em energia cinética. 
 Resposta: A
03. O fator multiplicante do cosseno corresponde à amplitude.
O termo que multiplica o tempo corresponde à pulsação.
Da equação dada: A = 0,3 m e ω = 2 rad/s
v A vmáx máx= = ⋅ ⇒ =ω 2 0 3 0 6, , m/s 
Resposta: C
04. 
V
c
0
ϕ
ϕ
ϕ
r
x
Note a semelhança 
dos triângulos destacados.
�
• Analisando a projeção do vetor:
v
0
ϕ
ϕ
ϕ
r
x
Note que
�
v
�
ϕ =
�
�
c
v
sen
v
Sabe-se, do estudo do MCU, que vc
���
 = ωr.
Portanto: v v senc
� ���
= · ϕ
v sen
�
= cos . ϕ
Além disso, no MCU, ϕ varia como uma função do tempo dada 
por:
ϕ(t) = ϕ + ϕt
ou
ϕ(t) = ωt + ϕ
Portanto: v r sen
�
= +( )ω ω ϕ· t
Finalmente, atentemos para o fato de que, na fi gura, v
�
 tem 
sentido contrário ao eixo x. Assim, vamos considerar negativo o 
valor da velocidade escalar.
v = – ωr · sen (ωt + ϕ)
Acrescente-se que o conhecimento das funções horárias do MHS 
levaria o aluno diretamente à resposta C.
Resposta: C 
05. T
t
n
s
s= = =∆ 9
10
0 9,
Resposta: A 
06. A força é nula em x = 0. Portanto, de acordo com a Segunda Lei 
de Newton, a = F/m, a aceleração também é nula nesse ponto.
Cuidado! No MHS, quando a velocidade é máxima, a aceleração 
é nula; quando a velocidade é nula, a aceleração é máxima. 
Consulte a teoria dessas aulas.
Resposta: A
07. A projeção do movimento circular uniforme sobre um plano 
perpendicular ao plano do movimento é um movimento 
retilíneo harmônico simples.
Resposta: C
08. Conforme abordado na teoria destas aulas, V
MHS
 = – ω · A · sen 
(ωt + φ
0
), ou seja, a velocidade no MHS varia senoidalmente com 
o tempo.
Resposta: B
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09. O tempo decorrido por passo é de aproximadamente:
T T s= ≈ ⇒ ≈10
41
10
40
1
4
Como foi perguntado o período de oscilação apenas do pé direito, 
podemos obter esse resultado multiplicando o valor de T por 2, 
já que cada pé toca o solo em um tempo que equivale ao dobro 
do período de cada passo. Logo:
T T
T s
d
d
= = ⋅
∴ =
2 2
1
4
1
2
Resposta: C
10. A análise do gráfi co nos dá que:
– O valor máximo da elongação é 2 m. A amplitude do 
movimento é A = 2 m;
– O período do movimento é T = 2 s.
– No instante t = 0 a partícula está no ponto de elongação 
máxima: Φ0 0= ;
– A pulsação é: ω π π ω π= = ⇒ =2 2
2T
srad .
Substituindo esses valores na função horária da elongação para 
o MHS:
x A t x t x t= + ⇒ = + ⇒ =cos( ) cos( ) cos( ).ω π πΦ0 2 0 2
Resposta: A
11. Nas extremidades do movimento, ocorre a “parada” instantânea, 
a fi m de que se possa inverter o sentido do movimento. Por isso, 
em x = –A a velocidade é nula. Por outro lado, nas extremidades, 
a força e a aceleração têm valores máximos, sempre apontando 
para a posição de equilíbrio: força resultante restauradora da 
posição de equilíbrio.
12. A projeção de um movimento circular uniforme gera um 
movimento harmônico simples, quando feito conforme a fi gura 
da questão.
Resposta: E
13. Comparando a equação mostrada no enunciado com a função 
horária da posição em um MHS:
x A t
x A t
t
A m
rad
= +
= +
= +
=
=
=
cos( )
cos( )
x , cos( )
,
ω ϕ
ϕ ω
π
ϕ π
ω
0
0
0
0 3 3 2
0 3
3
2 rrad/s
A máxima velocidade é dada por:
v A= = × =ω 2 0 3 0 6, , m/s
Resposta: C
14. Comparando a equação mostrada no enunciado com a função 
horária da posição em um MHS:
x A t
t
A cm
f
= +
= +



=
= =
cos( )
x , cos ,
,
,
ω ϕ
π π
ω π π
0
3 0 0 5
3
2
3 0
0 5 2rad/s ∴∴ =
=
f Hz
rad
0 25
3
20
,
ϕ π
Resposta: E
15. Comparando a equação mostrada no enunciado com a função 
horária da posição em um MHS:
x A t
t
A
T
T
rad
= +
= +( )
=
= = ∴ =
=
cos( )
x , cos
,
ω ϕ
π π
ω π
π
ϕ π
0
0
0 050 2
0 050
2
2
1
Resposta: A
SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Douglas Gomes
naldo/REV.: Karlla
Anotações
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